Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Введение 4
1.1. Случайное блуждание и однородный процесс с независимыми приращениями 4
1.2. Распределения с тяжелыми хвостами 5
1.2.1. Субэкспоненциальные распределения 6
1.2.2. Локалыю-субэкспоненциальные распределения 8
1.3. Оценки для распределений сумм независимых одинаково распределенных случайных величин в случае тяжелых хвостов . 11
1.4. Супремум случайного блуждания 14
1.5. Максимум случайного блуждания до момента выхода на отрицательную полуось 16
1.6. Время пересечения фиксированной границы случайным блужданием или однородным процессом с независимыми приращениями 17
Глава 2. Оценки для распределений сумм независимых одинаково распределенных случайных величин 24
2.1. Оценки для распределений из класса П Х> 25
2.2. Класс распределений SC 27
2.3. Оценки для распределений из класса SC 30
2.4. Равномерные оценки 31
2.5. Асимптотика распределения максимума случайного блуждания, управляемого регенерирующей последовательностью 32
2.6. Оценки для вероятностей попадания в конечный интервал . 38
2.7. Доказательства основных утверждений 42
Глава 3. Асимптотика вероятности попадания в конечный интервал для максимума случайного блуждания до момента выхода на отрицательную полуось 53
3.1. Основные свойства класса 5д 54
3.2. Доказательство теоремы 3.1 57
3.3. Доказательства свойств распределений из класса 67
3.4. Максимум случайного блуждания до произвольного момента остановки 70
Глава 4. Асимптотика хвоста распределения времени пересечения фиксированной границы случайным блужданием или однородным процессом с независимыми приращениями 73
4.1. Основные результаты 74
4.2. Вероятности больших уклонений для сумм случайных величин 77
4.2.1. Случай Q(t) = о(у/І) 77
4.2.2. Случай limsup^J- > 0 89
4.2.3. Крамеровский и промежуточный случаи 95
4.3. Вывод асимптотики в явном виде 96
4.4. Доказательства теорем 4.1 и 4.2 100
Список литературы 109
- Оценки для распределений сумм независимых одинаково распределенных случайных величин в случае тяжелых хвостов
- Асимптотика распределения максимума случайного блуждания, управляемого регенерирующей последовательностью
- Максимум случайного блуждания до произвольного момента остановки
- Крамеровский и промежуточный случаи
Введение к работе
Данная глава содержит обзор литературы, а также краткое изложение результатов данной работы. Обзор результатов главы 2 настоящей работы приведен в параграфе 1.3, главы 3 — в параграфе 1.5, главы 4 — в параграфе 1.6. В каждом из этих случаев изложение результатов диссертации отделено от обзора литературы подзаголовком.
Оценки для распределений сумм независимых одинаково распределенных случайных величин в случае тяжелых хвостов
Для каждого из этих классов распределений приведены равномерные по х F n(x) оценки для отношений — , уточняющие (9). Из полученных оценок сле г [Х) дует, в частности, что соотношение (10) для распределений из этих классов остается верным при более слабых ограничениях на а, чем существование экспоненциального момента. В параграфе 2.2 приводятся условия, необходимые и достаточные для того, чтобы распределение принадлежало классу SC.
В параграфе 2.4 приводятся также некоторые дополнительные утверждения для случая Т = оо. В частности, установлена «равномерность» оценок для отношений — по некоторым подходящим классам распределений. Эти F(x) утверждения затем применяются для нахождения асимптотики распределения максимума случайного блуждания, управляемого регенерирующим процессом. Для таких блужданий известные ранее результаты и результаты настоящей работы приведены в параграфе 2.5. В параграфе 2.6 рассматриваются обобщения классов распределений С( \Т и SC на случай произвольного 0 Т оо. Другими словами, мы вводим два класса распределений, дП Д и Д» которые являются подклассами класса д (для класса дП Д эт0 следует из леммы 12 статьи [31], для класса SCA — из замечания 2.7 данной работы). В случае Т = оо эти новые классы совпадают с классами Cf]T и SC соответственно. В параграфе 2.6 для этих классов распределений при 0 Г оо приводятся равномерные но х оценки для отношений (8), уточняющие (12). Из полученных оценок следует, в частности, что соотношение (13) для распределений из этих классов остается верным при более слабых ограничениях на а, чем существование экспоненциального момента. Рассмотрим случайное блуждание {Sn}, определенное в (1). Предположим, что Ei = —а 0. Положим п 0 Условие Ei = — а 0 влечет М оо п.н. (см., например, [22, Глава XII]). Одним из важнейших вопросов теории случайных блужданий является асимптотическое поведение Р(М х) при х — оо. Случай правильно меняющегося распределения F рассмотрен в [3] и [43]. Утверждение 1.6, приведенное ниже, покрывает более широкий класс распределений и было доказано в [73] и [78]. Прежде чем сформулировать это утверждение, приведем определение «интегрального распределения». Определение 1.9. Для любого распределения F с конечным средним определим интегральное распределение F", для которого Известно, что если F является распределением с длинным хвостом (принад лежит классу С), то таким же свойством обладает Fs. Приведем также следу ющее свойство (см. [56]). 1 . Утверждение 1.5. Пусть для распределений F и Н верно Н(х) cF(x) для некоторого с 0. Тогда если Fs субэкспоненциально, то Н8 субэкспоненциально и Hs(x) cFs(x). Утверждение 1.6. (см. [73]и [78]). Пусть {n}n i — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с функцией распределения F и отрицательным математическим ожиданием Ei — — а 0. Предположим, что F3 субэкспоненциально. Тогда при х — оо Р(М х) -Щх). (Л/ В [67] доказано, что обратное также верно, то есть, если Р(М х) - Fs(x) (Л и F принадлежит классу , то Fs субэкспоненциально. В [32] изучается асимптотическое поведение Р(М(х,х + Т}) при х — оо и при фиксированном конечном Г. Эта асимптотика получена для распределений из класса S . Определение 1.10. Распределение F принадлежит классу S , если конечна величина о Класс распределений «S был введен в [65]. Там же доказано следующее важное свойство. Утверждение 1.7. Если распределение F принадлежит классу S , то F и F8 являются субэкспоненциальными. В [32] доказано, что если F принадлежит классу S , то при х —» оо для любого фиксированного конечного Т 0. Доказательство этого утверждения получено также в [38] при предположении субэкспопенциалыюсти плотности F8. Из теоремы 2(b) в [61] следует, что обратное также верно, то есть, если (15) верно при всех 0 Т оо и F принадлежит классу С, то F принадлежит классу S .
Асимптотика распределения максимума случайного блуждания, управляемого регенерирующей последовательностью
Последовательность Y — {Уп}п 1, принимающая значения в произвольном измеримом пространстве (У, В), называется регенерирующей, если существует возрастающая последовательность случайных величин 0 = То Ті Тг ..., принимающих натуральные значения, таких, что для ап = Тп — T„_i,n 1 случайные векторы независимы при п 1 и одинаково распределены при п 2. Для упрощения формулировок и доказательств мы рассмотрим лишь случай, когда первый цикл {(7i, Fi, ...,} имеет то же распределение, что и последующие. Для каждого п 1 введем семейство вещественнозначных случайных величин {%}Уєу, не зависящих от Y. Предположим также, что семейства {%}уеу независимы по п и при всех п случайные величины J[ имеют функцию распределения Fy{x) = P(j х). Рассмотрим случайное блуждание, управляемое регенерирующей последовательностью Y (моделируемое случайное блуждание): если интегральное распределение Fs субэкспоненциально, выполнены условия (А), (В) и условие (Б) выполнено с функцией Ь(у) такой, что Случай, когда {Yn} является цепью Маркова с конечным числом состояний, рассмотрен в работах [1] и [28]. Заметим, что в этом случае выполняется условие (34). Схожая с (33) асимптотика получена в [34] и [76] для стационарного времени ожидания в одноканальних системах обслуживания, управляемых конечной цепью Маркова. Заметим, что из (34) следует, что Bai b п.н. В приводимых ниже теоремах формулируются условия, достаточные для выполнения соотношения (33) в отсутствие (34). Теорема 2.6. Пусть распределение F принадлежит классу Cf)T и выполнены условия (А) и (В). Если для некоторой измеримой функции Ь(у) с(у) выполнено условие (Б), а также - F{x) К Теорема 2.7. Пусть распределение F принадлежит классу SC и выполнены условия (А) и (В). Если для некоторой измеримой функции Ь{у) с{у) выполнено условие (Б), а таксисе для некоторого є 0 и некоторой функции f(x), удовлетворяющей условию (Б) теоремы 2.2, то имеет место (36). Таким образом, по сравнению с ранее известными результатами, в теореме 2.8 условие (34) ограниченности функции Ъ{у) заменено некоторыми мо-ментными ограничениями на длины циклов управляющего процесса. Замечание 2.3. Условия (35), (37) и (38) в общем случае труднопроверя-емы, т.к. заданы в терминах характеристик, зависимость которых от управляющего регенерирующего процесса и от функции Ь(у) весьма сложна. Получение более простых достаточных условий для их выполнения представляет собой самостоятельную сложную задачу. Здесь мы ограничимся лишь частными примерами. Заметим сначала, что для выполнения условия (38) достаточно существования момента Ее 7 . Пусть {Уп} есть цепь Маркова на неотрицательной полуоси с положительным атомом в нуле. Предположим, что найдутся число К 0 и случайная величина гр с распределением G(y) и отрицательным средним такие, что при всех t 0
Максимум случайного блуждания до произвольного момента остановки
В параграфе 3.1 приведены некоторые свойства класса SA, показывающие, что основные свойства класса S переносятся на случай произвольного положительного Т практически без изменений. В параграфе 3.1 приведены также условия, достаточные для того, чтобы распределение принадлежало классу SA. С помощью этих условий показано, что все стандартные примеры субэкспоненциальных распределений принадлежат классу 5Д. В параграфе 3.2 приведено доказательство теоремы 3.1. Доказательства лемм из параграфа 3.1 даны в параграфе 3.3. В параграфе 3.4 приведен пример, показывающий, что, в отличие от случая Т = оо, при Т со асимптотика (56) может не иметь места для произвольного момента остановки о с конечным средним.
Мы предложим сначала условия, достаточные для принадлежности некоторого распределения классу SA. С помощью этих условий нетрудно установить, что все стандартные примеры распределений из S содержатся в классе 5Д при любом значении Т. Лемма 3.1. Пусть распределение F принадлежит классу д для некоторого конечного Т 0. Предположим, что существуют постоянные с 0 и хо со такие, что F(x + t + А) cF{x + Д) для всех t Є (0,х\ и х х0. Предположим также, что т+ со. Тогда F Є 5Д.
Замечание 3.2. В [31] показано, что если распределение F удовлетворяет условиям леммы 3.1, то F Є 5д. Ясно, что для таких распределений F(2x) cF(x), а в ([65], теорема 3.2) показано, что распределения с таким свойством принадлежат классу S . Распределение Парето (с хвостом F(x) = I ) , /3 1, к 0) удо у К + X J влетворяет условиям леммы 3.1 для любого Т 0. То же верно для любого распределения F такого, что Р( Є х + А) является правильно меняющимся на бесконечности, т.е. если F(x + Д) х_131{х), где 1{х) — медленно меняющаяся на бесконечности функция. Обозначим Эд(ж) = — In F(x + А) для всех конечных Т и Q(x) = — In F(x). Следуя, с очевидными изменениями, конструкции, предложенной в [65] (см. также [74]), нетрудно проверить, что для любого распределения F Є д существует распределение G такое, что G Є д, F(x + Д) G(x + А) при х — со и функция R&(x) = — \nG(x + А) дифференцируема. Тогда (ввиду леммы 3.4) достаточные условия для F Є «SA можно формулировать в предположении существования производной 3д(я). Лемма 3.2. Предположим, что г = limsup 1, функция —— является невозрастающей при достаточно больших х и функция F (х) интегрируема при некотором є 0. Тогда F Є 5Д. Замечание 3.3. Лемма 3.2 является обобщением Теоремы 2.8 (с) из [66] на случай произвольного положительного Т. Заметим, что в случае Т = со условия обоих утверждений совпадают, так как в этом случае предположение г 1 влечет то, что функция Q(x)/x является невозрастающей при достаточно больших х. Прямые вычисления показывают, что распределение Вейбулла (распределение с хвостом F(x) = е х ) удовлетворяет условиям леммы 3.2 для любого Г 0, если 0 Р 1. То же верно для лог-нормального распределения (рас е-0пх-1п/?)2/2ст2 пределения с плотностью , , где Р 0). Также нетрудно показать, что семи-экспоненциальные распределения (см. определение 1.6 во введении) удовлетворяют условиям леммы 3.2 для любого Т 0. Из лемм 3.1 и 3.2 следует, что все стандартные примеры субэкспоненци-альных распределений (распределение Парето, распределение Вейбулла, лог-нормальное распределение) принадлежат классу SA при любом Т. Покажем теперь, что для классов SA при конечных Г выполняются основные свойства класса S . Известно (см. [31]), что SA С S для любого положительного Г. Из леммы 3.3 следует, что включение SA С S также верно. Лемма 3.3. Если F Є SA для некоторого конечного интервала Д = (0,Т], moFeS . Следующая лемма является обобщением теоремы 2.1 (Ь) из [65] на случай произвольного Т.
Крамеровский и промежуточный случаи
Из леммы 4.7 следует, что e-R(vn ) ПрИ достаточно больших j. Используя метод математической индукции, покажем, что при всех j. Тогда утверждение леммы 4.8 справедливо в силу условий (достаточных для принадлежности некоторого распределения классу S) из работы [65]. Если j = 0, то Щу) = QiyW), и (113) выполнено, так как функции Q и Q являются правильно меняющимися с параметрами /3 и /3 — 1, соответственно. Пусть (113) справедливо при некотором j. Из (111) следует, что В!(уп ) = 3,0 ) _ уо+1) — является правильно меняющейся функцией. Следовательно (с уче том (ИЗ)), правильно меняющейся функцией является также R(y ). Напом ним, что уп па при каждом j и что у — Уп — о(п) (см. доказательство леммы 4.7). Тогда R(y%+1)) = Щу{Л + (yj+1) - yij))) i?(yij)) и кроме того R (y(ni+1)) = R (y{nj) + (y{J+1)-y{rP)) #( ). Следовательно, (113) справедливо при і + 1. В этом пункте мы приводим известные результаты о больших уклонениях сумм случайных величин, имеющих распределение с легким хвостом. Обозначим через m(s) = Ees производящую функцию случайной величины . Пусть s0 = sup{s : m(s) оо} 0. Положим Пусть a = lims_So a(s). Уравнение у = a(s) имеет единственный корень s(y) при у Є (a(0),a). Хорошо известен следующий результат (см., например, [17, теорема 2]): Утверждение 4.2. Пусть с — произвольная постоянная из интервала (а(0), а] и пусть 5(п) — произвольная функция, удовлетворяющая 1ітп_оо 8(п) 0. Обозначим через а единственное решение уравнения с = а(а). Если с — а, то предположим дополнительно, что а2(а) оо. Если имеет нерешетчатое распределение, то при п — оо P(Sn 5(п)) = -—і-—-m(a)ne-a (n))-n &(1+OWn)))(l + о(1)). (114) V2ima(a)a Перейдем теперь к так называемому промежуточному случаю, когда уравнение m (s) = 0 не имеет положительных решений, но m(s) оо для некоторого s 0. В этом случае справедлив следующий результат (см. [39]): "Утверждение 4.3. Предположим, что функция G(x) = eaxF(x) является правильно меняющейся с параметром —/3,2 /3 оо. Пусть m (s) ф О для всех 0 s а. Положим а = т!(а) и е-7 = т(а). Предположим, что принадлежит классу Sd ) с параметром "), определяемым равенством е-7 = т(а). В данном параграфе результаты (приведенные в параграфе 4.2) о больших уклонениях сумм случайных величин применяются для получения асимптотики вероятностей Р(тх t) и P{vx t) в явном виде. Напомним, что для проверки условий теоремы 4.2 необходимо исследовать асимптотическое поведение вероятностей Р(Хп 0) и Р(Хп у) (или, что то же, Р(Хп па) и Р(Хп па + у), где Хп — сумма случайных величин с нулевым математическим ожиданием, для которых применимы результаты параграфа 4.2). Мы также приводим (как следствия) соответствующие результаты для асимптотики хвоста распределения длительности периода занятости в системе обслуживания M/G/1. Начнем со случая, когда Q(t) = o{\/t). Теорема 4.4. Пусть Xt — однородный процесс с независимыми приращениями или случайное блуждание. Пусть EXi = —о 0. Предположим, что для распределения случайной величины Х\ + а выполнены условия (92) — (94) п.4-2.1. Тогда Р(тх t) ЕтяРрГ! ta), t оо; (115) P(vx п) Evx?{Xi па), п оо. (116) Следствие 4.3. Рассмотрим систему обслуживания М/G/l. Пусть ЕВ оо и ЕЛ оо при некотором к Є (1,2]. Предположим, что для распределения В\ выполнены условия (93) и (94) п.4-2.1. Тогда Р(ОД 0 ІАТ=-Р?{ВІ (1" p)t) (117) при t — оо для любого фиксированного х 0, где D(x) определено в (19). Проверим выполнение условий теоремы 4.2. Из теоремы 4.3 следует, что Р(Хп 0) Р(Хп+1 0) и Р(Хп у) Р(ХП 0). Из леммы 4.5 заключаем, что Р(Хп 0)/п является субэкспоненциальной последовательностью. Следовательно, теоремы 4.3 и 4.2 влекут
