Содержание к диссертации
Введение
1 Некоторые сведения из теории семимартингалов и их статистики и вспомогательные результаты 17
1.1 Триплеты локальных характеристик семимартингала . 17
1.2 Критерии абсолютной непрерывности и сингулярности распределений семимартингалов с независимыми приращениями 23
1.3 Явная формула для процесса плотности локально абсолютно непрерывных распределений семимартингалов с независимыми приращениями 26
1.4 Сравнение статистических экспериментов 27
1.5 Вычисление триплетов 36
2 Два представления для обобщенного процесса плотности семимартингалов с независимыми приращениями 40
2.1 Формулировка результата 40
2.2 Доказательство теоремы 2.1 45
2.2.1 Сведение к случаю несингулярных мер 45
2.2.2 Построение доминирующей меры 46
2.2.3 Вспомогательные вычисления 50
2.2.4 Завершение доказательства теоремы 2.1 56
3 О сравнении некоторых бинарных экспериментов 58
3.1 Формулировка основного результата 58
3.2 Критерий эквивалентности экспериментов 61
3.3 Доказательство основной теоремы 66
3.4 Применение к одной задаче минимизации /-дивергенции . 76
Список литературы 81
- Критерии абсолютной непрерывности и сингулярности распределений семимартингалов с независимыми приращениями
- Сведение к случаю несингулярных мер
- Завершение доказательства теоремы 2.1
- Доказательство основной теоремы
Введение к работе
Актуальность работы.
Вопросы эквивалентности, абсолютной непрерывности и сингулярности распределений случайных процессов, а также вид их плотности являются классическими и находят применение в различных областях приложения теории случайных процессов, в частности, в статистике случайных процессов, анализе, теории информации, финансовой математике.
Одним из хорошо исследованных и широко встречающихся в приложениях классом случайных процессов являются процессы с независимыми приращениями. Первые результаты о плотностях распределений непрерывных процессов с независимыми приращениями были получены Р. Камероном и В. Мартином1'2 в связи с изучением вопроса о замене переменных в интеграле по винеровской мере. Необходимые и достаточные условия абсолютной непрерывности распределений стохастически непрерывных процессов с независимыми приращениями и формула для их плотности были получены А. В. Скороходом3'4 (см. также статью И. И. Гихмана, А. В. Скорохода5).
Необходимые и достаточные условия абсолютной непрерывности распределений произвольных семимартингалов с независимыми приращениями и выражение для их процесса плотности были получены Ю. М. Кабановым, Р. Ш. Липцером, А. Н. Ширяевым6 и Ж. Жакодом7 как след-
1 Cameron R. И., Martin W. Т. Transformation of Wiener integral under translation. // Ann. Math.
1944. Vol. 45. P. 386-396.
2 Cameron R. H., Martin W. T. Transformations of Wiener integrals under a general class
transformation. // Trans. Amer. Math. Soc. 1945. Vol. 58. P. 184-219.
3 Скороход А.В. О дифференцируемое мер, соответствующих случайным процессам. // Теория
вероятн. и ее примен. 1957. Т. 2 № 4. С. 417-443.
4Скороход А.В. Случайные процессы с независимыми приращениями. М.: Наука, 1964.
5Гихман И. И., Скороход А. В. О плотностях вероятностных мер в функциональных пространствах. // Успехи матем. наук. 1966. Т. 21, № 6. С. 83—152.
6Кабанов Ю. М., Липцер Р. Ш., Ширяев А. Н. Абсолютная непрерывность и сингулярность локально абсолютно непрерывных вероятностных распределений П. // Матем. сб. 1979. Т. 108(150), № 1. С. 32-61.
7 Jacod J. Calcul stochastique et problemes de martingales. Berlin, Heidelberg, New York: Springer, 1979. (Lect. Notes Math. Vol. 714)
ствие общей теории, детальное изложение которой можно найти в монографии Ж. Жакода, А. Н. Ширяева8.
Выражение для плотности абсолютно непрерывной компоненты одного распределения относительно другого без предположения об абсолютной непрерывности в случае процессов Леви было получено К. Сато9. Упомянем также работы Ч. Ньюмена10'11 и Ж. Мемена, А. Н. Ширяе-
ва , прилегающие к этому кругу вопросов.
Понятие большей информативности статистических экспериментов было введено X. Боненбластом, Л. Шепли, С. Шерманом в 1949 году в неопубликованной работе и развито в статьях Д. Блекуэлла13' . Дальнейшее развитие теория получила, в первую очередь, в работах Л. Ле Кама и Э. Торгерсена, см. монографии15'16. "Очень часто" эксперименты несравнимы между собой (что привело к введению Л. Ле Камом понятия дефекта одного эксперимента относительно другого), и даже если они сравнимы, то доказать это бывает непросто. Большинство из известных результатов о сравнимости конкретных экспериментов относятся к случаю гауссовских экспериментов или экспериментов с параметром сдви-
8 Jacod J., Shiryaev А. N. Limit theorems for stochastic processes. Second edition. Berlin: Springer-
Verlag, 2003.
9 Sato K. Density transformation in Levy processes. Lecture notes for "Concentrated advanced course
on Levy processes". // MaPhySto, Centre for Mathematical Physics and Stochastics, Department of
Mathematical Sciences, University of Aarhus, 2000.
10Newman С The inner product of path space measures corresponding to random processes with independent increments. // Bull. Amer. Math. Soc. 1972. Vol. 78 P. 268-271.
11 Newman C. On the orthogonality of independent increment processes. // Topics in probability theory. Courant Inst. Math. Sci., New York, 1973. P. 93-111.
12Memin J., Shiryayev A. N. Distance de Hellinger-Kakutani des lois correspondant a deux processus a accroissements independants. // Z. Wahrsch. Verw. Gebiete. 1985. Vol. 70, № 1, P. 67-89.
13 Blackwell D. Comparison of experiments. // Proceedings of the Second Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability, 1950 — University of California Press, Berkeley and Los Angeles, 1951. P. 93-102.
14Blackwell D. Equivalent comparisons of experiments. // Ann. Math. Statistics. 1953 Vol. 24. P. 265-272.
15 Le Cam L. Asymptotic methods in statistical decision theory. New York: Springer-Verlag, 1986.
16 Torgersen E. Comparison of statistical experiments. Cambridge: Cambridge University Press, 1991.
17Le Cam L. Sufficiency and approximate sufficiency. // Ann. Math. Statist. 1964. Vol. 35, P. 1419-
1455.
га, а в качестве стандартного приема при доказательстве использовался рандомизационный критерий Ле Кама.
В последние годы в финансовой математике стали появляться задачи, в которых требуется максимизировать или минимизировать /-дивергенцию по некоторому множеству пар вероятностных мер, причем нередко это требуется сделать одновременно для всех выпуклых функций /. Последнее эквивалентно нахождению наиболее или наименее информативного в некотором множестве бинарных экспериментов.
Так, задача, двойственная задаче максимизации полезности, состоит в минимизации /-дивергенции между "физической" мерой и абсолютно непрерывными локально мартингальными мерами (см., например,18'19). Как правило, если локально мартингальная мера неединственна (т.е. рынок является неполным), мера, на которой достигается минимум /-дивергенций, зависит от функции /.
Весьма распространенное предположение о модели финансового рынка состоит в том, что процесс цен есть экспонента от процесса Леви относительно "физической" меры. Для некоторых специальных/ было доказано, что относительно локально мартингальнои меры, доставляющей минимум в указанной выше задаче минимизации /-дивергенции, процесс цен также является экспонентой от процесса Леви (см., в частности, работы20'21'22'23'24), однако нет оснований предполагать, что это справед-
18 Kramkov D., Schachermayer W. The asymptotic elasticity of utility functions and optimal investment
in incomplete markets. // Ann. Appl. Probab. 1999. Vol. 9, № 3. P. 904-950.
19 Schachermayer W. Optimal investment in incomplete markets when wealth may become negative.
II Ann. Appl. Probab. 2001 Vol. 11, № 3. P. 694-734.
20 Chan T. Pricing contingent claims on stocks driven by Levy processes. // Ann. Appl. Probab. 1999.
Vol. 9, № 2. P. 504-528.
21 Esche F., Schweizer M. Minimal entropy preserves the Levy property: how and why. // Stoch. Proc.
Appl. 2005. Vol. 115. P. 299-327.
22Fujiwara Т., Miyahara Y. The minimal entropy martingale measures for geometric Levy processes. II Finance Stoch. 2003. Vol. 7, № 4. P. 509-531.
23Hurd T. R. A note on log-optimal portfolios in exponential Levy markets. // Statististics and Decisions. 2004. Vol. 22, № 3. P. 225-233.
2iJeanblanc M., Kloppel S. and Miyahara Y. Minimal /'-martingale Measures for Exponential Levy Processes. И Ann. Appl. Probab. 2007. Vol. 17, № 5/6, P. 1615-1638.
ливо для всех выпуклых /.
В работе А. А. Гущина и Э. Мордецки25 рассматривалась задача нахождения верхней и нижней цен выпуклых опционов европейского типа. Был предложен подход к решению этой задачи, основанный на нахождении наиболее и наименее информативных экспериментов в некотором множестве бинарных экспериментов. Для реализации этого подхода в конкретных моделях ими была доказана так называемая лемма о сравнении, дающая достаточные условия сравнимости бинарных экспериментов, отвечающих наблюдениям за случайными процессами с непрерывным временем, т.е. в ситуации, когда применение рандомизационного критерия затруднено и, может быть, даже невозможно. Однако, даже в случае наблюдения за процессами Леви условия леммы о сравнении являются только достаточными, но, вообще говоря, не необходимыми.
Упомянем еще работу А. Шида26, в которой была полностью решена задача максимизации робастной полезности на полном рынке в предположении, что существует субъективная мера, на которой достигается минимум /-дивергенции между субъективными мерами и единственной локально мартингальной мерой одновременно для всех выпуклых функций /. Иными словами, во множестве соответствующих бинарных экспериментов существует наименее информативный.
В работе Д. Крамкова и М. Сирбу27 доказано, что существование так называемого риск-толерантного процесса капитала (что означает важные качественные свойства цен платежных обязательств, основанных на принципе максимизации полезности) для всех функций полезности эквивалентно существованию эквивалентной супермартингальной меры, максимизирующей /-дивергенцию между всеми эквивалентными супер-мартингальными мерами и "физической" мерой одновременно для всех
25Гущин А. А., Мордецки Э. Границы цен опционов для семимартингальных моделей рынка. // Тр. МИАН. Т. 237. Стохастическая финансовая математика. М.: Наука, 2002. С. 80-122.
26Schied A. Optimal investments for robust utility functional in complete market models. // Math. Oper. Res. 2005 Vol. 30, № 3. P. 750-764.
27 Kramkov D., Sirbu M. Sensitivity analysis of utility-based prices and risk-tolerance wealth processes. II Ann. Appl. Probab. 2006. Vol. 16, № 4. P. 2140-2194.
выпуклых функций /. Другими словами, речь идет о существовании наиболее информативного в соответствующем множестве бинарных экспериментов.
Круг вопросов, рассматриваемых в настоящей диссертации, во многом мотивирован перечисленными выше задачами из финансовой математики. В частности, решается следующая задача. Берется произвольный семимартингал с независимыми приращениями. Усредняя его локальные характеристики по времени, мы преобразуем его в процесс Леви. Показано, что этот процесс Леви "ближе" к любому процессу Леви, чем исходный процесс, где "большая близость" процессов понимается как большая близость всех /-дивергенций между их распределениями, что эквивалентно сравнимости бинарных экспериментов, составленных из распределений соответствующих процессов.
Из этого результата вытекает следующий факт. Предположим, что на некотором пространстве с фильтрацией на конечном временном интервале задан процесс Леви. Пусть также есть мера, абсолютно непрерывная (эквивалентная) относительно исходной, по которой рассматриваемый процесс является процессом с независимыми приращениями. Тогда найдется третья мера, абсолютно непрерывная (эквивалентная) относительно исходной, по которой рассматриваемый процесс есть процесс Леви, и которая "ближе" (в прежнем смысле) к исходной мере, чем вторая. При этом, если процесс был мартингалом по второй мере, то он им останется и по третьей. Этот факт может быть полезен при решении задач минимизации /-дивергенции, рассмотренных выше.
В решении задачи, касающейся усреднения локальных характеристик семимартингала с независимыми приращениями, используется доказанный в диссертации критерий эквивалентности бинарных экспериментов, составленных из распределения семимартингала с независимыми приращениями и распределения процесса Леви, и имеющий самостоятельный интерес для теории сравнения бинарных экспериментов, поскольку он позволяет строить вспомогательные эксперименты, эквивалентные ис-
ходным, но более удобные для сравнения.
Как для решения задачи об усреднении локальных характеристик семимартингала с независимыми приращениями, так и для доказательства критерия эквивалентности экспериментов требуется уметь вычислять обобщенный процесс плотности распределения произвольного семимартингала с независимыми приращениями относительно распределения процесса Леви без предположения о локальной абсолютной непрерывности этих распределений.
В диссертации решается более общая задача: установлен вид обобщенного процесса плотности распределений двух произвольных семи-мартингалов с независимыми приращениями. Таким образом, обобщаются упомянутые выше результаты, относящиеся к локально абсолютно непрерывному случаю и случаю процессов Леви.
Цель работы.
Диссертация преследует следующие цели.
Получить представление для обобщенного процесса плотности распределений двух семимартингалов с независимыми приращениями без предположения об их локальной абсолютной непрерывности.
Показать, что процесс Леви, полученный из семимартингала с независимыми приращениями усреднением локальных характеристик по времени, "ближе" к любому процессу Леви, чем исходный процесс, в смысле большей близости всех /-дивергенций между их распределениями.
Получить критерий эквивалентности бинарных экспериментов, составленных из распределения семимартингала с независимыми приращениями и распределения процесса Леви.
Научная новизна.
Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем.
Получены два представления для обобщенного процесса плотности распределений двух семимартингалов с независимыми приращениями без предположения об их локальной абсолютной непрерывности.
Показано, что усреднение локальных характеристик по времени преобразует семимартингал с независимыми приращениями в процесс Леви, который "ближе" к любому процессу Леви, чем исходный процесс. "Большая близость" процессов понимается как большая близость всех /-дивергенций между их распределениями.
Доказан критерий эквивалентности бинарных экспериментов, составленных из распределения семимартингала с независимыми приращениями и распределения процесса Леви.
Методы исследования.
В работе применяются методы стохастического исчисления и теории статистических экспериментов.
Теоретическая и практическая ценность.
Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть полезны в теории вероятностей, теории случайных процессов, а также в различных областях приложения теории случайных процессов, в частности, в статистике случайных процессов, анализе, теории информации, а также в задачах финансовой математики.
Апробация диссертации.
Результаты, относящиеся к диссертации, излагались на следующих семинарах и конференциях:
1. Семинар "Стохастический анализ: теория и приложения", проводимый в Математическом институте им. В. А. Стеклова под руководством члена-корреспондента РАН, профессора А. Н. Ширяева и доктора физико-математических наук А. А. Гущина, г. Москва, март 2009 г.
Международная конференции студентов, аспирантов и молодых учёных "Ломоносов-2009", г. Москва, апрель 2009 г.
Большой семинар кафедры теории вероятностей (МГУ, механико-математический факультет) под руководством члена-корреспондента РАН, профессора А. Н. Ширяева, г. Москва, март 2010 г.
Публикации.
Основные результаты диссертации опубликованы в 5 работах [1-5] (полный список приведен в конце автореферата), в том числе 3 из них [1-3] в журналах, внесенных в список ВАК. Работ, опубликованных в соавторстве, нет.
Структура и объем работы.
Критерии абсолютной непрерывности и сингулярности распределений семимартингалов с независимыми приращениями
Пусть теперь Р и Р — распределения d-мерных семимартингалов с независимыми приращениями, заданных на временном интервале [0,со), с детерминированными триплетами (В, С, и) и (В , С", и ) и начальными распределениями Р# и Р н соответственно. В данном параграфе приведены критерии их сингулярности и абсолютной непрерывности. Заметим, что случай процессов с конечным временным горизонтом Т сводится к рассматриваемому, если положить процессы постоянными, начиная с момента Т. В дополнение к введенным введенным для меры Р объектам (1.3) обозначим Напомним, что меры v и v не нагружают множества {0} х R(/ и R+ х {0}, ABt = Jh{x)i/({t} х dx), AB t - J h{x)v {{t] x da;). Далее, существует непрерывная возрастающая функция At и две функции ct, с со значениями во множестве симметрических неотрицательно определенных матриц размера d х d такие, что С = с А, С = с А. Введем еще несколько объектов, которые потребуются для формулировки критерия сингулярности мер. Пусть Л — мера на R+ х M.d такая, что (ж2 Л 1) Xt оо для всех t оо и v С Л, v Л. Положим U = , U1 = . Пусть Е = {t : \h(x)(U — f/ ) А оо}. На множестве Е существует разложение где /3 и 01 — измеримые функции Е —» Rd, 5 — функция Е — Rrf с ограниченной вариацией на компактных интервалах, dB и dA взаимно сингулярны на Е и для всех t вектор /1 ортогонален к образу Rd при линейном отображении, связанном с матрицей ct. Существование разложения (1.8) (в более общей ситуации) обсуждается в [23, гл. IV, За]. Как мы увидим далее, если распределения процессов на любом конечном временном интервале несингулярны, то Е = R+ и два последних члена в разложении (1.8) отсутствуют.
Зададим также детерминированный момент г г = inf( : либо t Е, либо Ct ф CJ, либо t є Е и /З -А+В ф 0) (1.9) и введем процесс Предложение 1.8 (Критерий сингулярности. Теорема IV.4.33 [23]) Для того, чтобы Р _L Р, необходимо и достаточно, чтобы имело место, по крайней мере, одно из следующих условий: (і) Р я -L Рн, (и) т оо, (гіг) /і()оо = оо, (iv) существует t М+ такое, что Kf _L к[. Сформулируем ниже критерий отсутствия сингулярности Б одном частном случае, который нам понадобится в главе 3. Следствие 1.9 Пусть Р — распределение процесса Леви, Р — распределение семимартингала с независимыми прирашрниями, и оба процесса заданы на временном интервале [0,1]. Для того, чтобы меры Р и Р были несингулярны, необходимо и достаточно, чтобы имели место следующие условия: Предложение 1.10 (Критерий абсолютной непрерывности, теорема IV.4.32 [23]) Для ТОГО, чтобы Р Р, необходимо и достаточно выполнения последующих условий: существуют две борелевские функции Y :R+xRd - Ши [3 : R+ —» M.d такие, что Замечание 1.11 Некоторые из условий несингулярности сохраняются без изменения в условиях абсолютной непрерывности, остальные усиливаются, что неудивительно, поскольку абсолютная непрерывность является частным случаем несингулярности. Например, в случае отсутствия сингулярности г = оо, что равносильно условиям (iv)-(vi) критерия абсолютной непрерывности; отрицание условия (iii) из предложения 1.8 влечет конечность Щ для любого t (ср. с условием (vii) из предложения 1.10). Ср. также условия (і) обоих предложений и условие (iv) критерия сингулярности с условиями (ii)-(iii) критерия абсолютной непрерывности.
Рассмотрим на пространстве ft — ]D(Rd) = ED(R+;Rd) всех непрерывных справа, имеющих пределы слева функций ш : R+ —» Rd, канонический процесс X, задаваемый соотношением Xt{u) = си (і). Обозначим fix меру скачков процесса X. Пусть фильтрация F = ( )гещ порождена X, т.е. Ъ = Рассмотрим на (Q, J7) две вероятностные меры Р и Р , такие, что Р «С Р, по которым процесс X является семимартингалом с независимыми приращениями с начальными распределениями Рн и Р н. Обозначим детерминированные версии триплетов X относительно мер Р и Р соответственно (В, C,v) и (В , С, и ). Согласно предложению 1.10 найдутся такие детерминированная измеримая функция (3 : R+ -+ Rd и неотрицательная измеримая функция У : R+ х Rd -» R+, что Известна следующая явная формула для процесса плотности Z меры Р относительно Р (см. [23, теорема III.5.35]): причем 7V — процесс с независимыми приращениями. В случае, когда X является процессом Леви по мерам Р и Р , TV также будет процессом Леви (см. лемму 1.22). Заметим, что (З Є Цос(Хс, Р) и (У - 1 + fe?l{a i}) Є С1ос( ,Р) в силу конечности процесса Н: определенного в n.(vii) предложения 1.10, и предложения 1.2. Теория сравнения статистических экспериментов отражена в монографиях [31], [39], [40], [41]. Обзор используемых в настоящей диссертации сведений можно найти в статье [2]. Статистическим экспериментом (или статистической моделью) называют совокупность (Q, J7, (Р#)б є0) гДе ( 3 ) — измеримое пространство (выборочное пространство), (Pe)eeQ — параметрическое семейство вероятностных мер на (1,.77). От статистика требуется по наблюдению реализованного исхода ш є 7 принять некоторое решение. Потери статистика зависят от принято го решения и значения в, отвечающего "истинному" распределению Р#. Следующие определения формализуют предыдущую фразу. Рассмотрим пространство решений А, снабженное сг-алгеброй V. Рандомизированным правилом принятия решений (или решением) D в статистическом эксперименте ( 2, , (Ро)ве&) с пространством решений (А,Х ) называют марковское ядро D : Т х Q — [0,1]. Отображение D : V х Г2 — [0,1] называют марковским ядром, если оно обладает следующими свойствами: 1) Для каждого из Є О объект D(-u;) есть вероятностная мера на (Д,я); 2) Для каждого множества В Є V отображение ш н D(B\u)) из Г2 в [0,1] измеримо. При этом D(yla ) интерпретируется как вероятность выбора множества А Є Т после реализации исхода и Є Г2.
Сведение к случаю несингулярных мер
Рассмотрим произвольное to Є М+ и обозначим через Q и Q распределение остановленпого процесса XtMo относительно Р и Р соответственно. Легко видеть, что Q _L Q тогда и только тогда, когда Ро JL P to. Процесс X является семимартингалом с независимыми приращениями относительно Q и Q , и версиями его триплетов относительно мер Q и Q являются "остановленные" триплеты (ВШо: Сш0, l[o,to](0 v(dt, dx)), (В Шо,С ШоЛ[ом( ) -v (dt,dx)). Из критерия сингулярности (см. предложение 1.8) следует, что Р о -JL Р при to о и Р\й _1_ Р при to а. Таким образом, для всех to о сужения Pt0 и Р 0 будут несингулярны, а при всех tQ а — сингулярны. Покажем теперь, что при to = сг со сужения Pto и P to сингулярны. Положим Р = ± , Zn = dPa+1/dP і, Zoo = dP /dP . n і n По теореме Дуба о сходимости обращенных мартингалов Zn — 2 Р -п.н. Поскольку сужения Рст+1 и Р _i сингулярны, Zn Р -п.п. может при-нимать только значения 0 либо 2, следовательно и Z , как предел Z„, может принимать только эти два значения, т.е. Pff и Р а сингулярны. Таким образом, мы показали формулу (2.4) и что при t а имеем Zt = 0 Р-п.н. Пусть теперь о о") тогда при t t0 Z Р-п.н. совпадает с обобщенным процессом плотности Q относительно Q. Поскольку процессы N, Ф и D, построенные по парам (Р, Р ) и (Q, Q ) совпадают Р-п.н. при t to, то достаточно доказать формулу (2.5) в случае, когда Р и Р несингулярны на -"оо Везде далее мы считаем, что Р / Р . По критерию сингулярности это означает, что а = оо (в частности Ct = C t) и h\\)oo оо. (2.6) На следующем шаге доказательства мы построим вероятностную меру R на (М ), доминирующую Р и Р , относительно которой X будет семимартингалом с независимыми приращениями. В следующих разделах, используя известные выражения для процессов плотности мер Р и Р относительно R, мы найдем явный вид обобщенного процесса плотности Р относительно P.
Для упрощения вычислений мера R будет выбрана таким образом, чтобы процесс плотности Р относительно R имел максимально простую структуру. Обозначим В = Ас. Положим тогда v С Л, Vі С Л, (я;2 Л 1) А сю для всех t со, А({0} х Rd) = О, Л(М+ х {0}) = 0, А({} х Rd) 1 для всех і со, и функции [/, С/ , задаваемые следующими равенствами, будут версиями плотностей Ё Ж соответственно: и начальное распределение R# = (Ря + Р я)/2 Заметим, что функция 5Д определена корректно и имеет конечную вариацию на конечных интервалах в силу (2.6) и &% = со, ABR = f h(x)pR({t} х dx) для всех оо. Обозначим также Теорема 2.4 Существует единственная вероятностная мера R на (Q, 7) такая, что R[j = Rя w X является семимартингалом с независимыми приращениями относительно R с триплетом (2.8). Более того, Р С R, Р R м процессы плотности ZR и Z R мер Р и Р соответственно от Замечание 2.5 Формально процесс /? -Xе в определении N R и процесс /3 Xе в формулировке теоремы 2.1 имеют разный смысл: в теореме 2.1 Xе = Хс,р — это непрерывная мартингальная компонента семимар-тингала X по мере Р, а в теореме 2.4 Xе = XC R — непрерывная мартингальная компонента семимартингала X по мере R. Кроме того, стохастические интегралы в теоремах 2.1 и 2.4 берутся относительно мер Р и R соответственно. Однако, поскольку Р С R и NR — чисто разрывный локальный мартингал (относительно R), по теореме Гирсанова XC R есть локальный мартингал относительно Р и, следовательно, версия процесса Хс,р. Что касается стохастических интегралов по семимартингалам, а также стохастических экспонент и квадратической вариации, определение которых зависит от вероятностной меры, то мы, не отражая выбор меры в обозначениях, неявно пользуемся тем, что каждый такой объект относительно меры R есть версия соответствующего объекта по мере Р в силу абсолютной непрерывности Р R (см. [22, гл. VII]).
Выбор вероятностной меры в стохастических интегралах по компенсированным случайным мерам понятен из контекста. Доказательство. С учетом приведенных выше свойств триплета (BR, CR, uR) существование и единственность меры R вытекает из предложения 1.6. Действительно, согласно этому предложению и замечанию после него, на некотором вероятностном пространстве с фильтрацией найдется семимартингал с независимыми приращениями с триплетом (2.8) и начальным распределением Rя. Возьмем в качестве R распределение этого семимартингала. По предложению 1.6 мера R будет иметь требуемые свойства, если доказать, что канонический процесс есть семимартингал относительно R, а это следует из предложения 1.3. Проверим условия абсолютной непрерывности (см. предложение 1.10) для пар (Р, R) и (Р , R), где в качестве (/?, Y) из формулировки упомянутого предложения в первом случае выступает пара (0, U), во втором — Во-первых, заметим, что aR — 1 тогда и только тогда, когда at = a t — 1, поскольку случай at — 0, a t = 1 невозможен в силу того, что о = со. Далее, из (2.7) видно, что \U - lK 1 - Щ и \U - 1 \U - U\, поэтому \h(x)(U — 1) vf оо и \h{x){U — 1) vR оо для всех t со в силу того, что а2 = со. Из определений BR, vR = Л, формулы (2.7), а также формулы (2.2) и о"4 = со легко проверить, что В — BR + h{x){U — 1) vR и В — BR + h{x){U - 1) vR + {ер) A. Наконец, заметим, что на множестве JxMd имеем U+U — 2, поэтому {y/U - I)2 (VU - VU1)2 и (VW - I)2 {VU - VT77)2; на множестве Jc х Rd эти два неравенства очевидны из (2.7). Аналогично проверяется, что и следуют из (2.6). Остальные условия предложения 1.10 очевидно выполнены, и из него вытекает Р R и Р R, а представления для плотностей следуют теперь из формулы (1.10).
Завершение доказательства теоремы 2.1
С учетом формул (2.9)-(2.12) и результатов лемм 2.6-2.9 мы имеем следующее представление для обобщенного процесса плотности меры Р относительно Р (в предположении, что Р/Р ): Р-п.н. где G = W ljc (д — v) (см. лемму 2.8) иЛ4= YI (1 — a s) (см- лемму дх6.=о 2.7). Заметим, что поскольку f(B) = 0, в определении процесса N можно заменить Y — 1 на (Y — 1)1д- Отсюда, учитывая очевидное соотношение и (2.13), имеем причем S(N) разбивается в произведение стохастических экспонент слагаемых в правой части (2.20). Для доказательства первого представления из формулы (2.5) остается заметить, что с учетом (2.19) Заметим, что Л = 6{—Г), где Tt = 2 a s. С учетом второго равен ьх„=о ства в (2.15) это позволяет переписать соотношение (2.18) в виде Поскольку процессы G} L — Ф и Г не имеют попарно одновременных скачков (для пары С и Г это следует из формулы (2.14)), а процессы к и /3 Xе непрерывны, произведение всех экспонент в (2.21) представляется как стохастическая экспонента суммы их аргументов. Поэтому второе представление в формуле (2.5) следует из (2.20) и соотношения к + Ф + Г = Ф, которое легко проверяется с учетом (2.19). В данной главе с помощью полученной в главе 2 формулы для процесса плотности доказано несколько важных результатов о сравнении и эквивалентности некоторых бинарных статистических экспериментов, отвечающих наблюдениям за процессами с независимыми приращениями. Берется произвольный семимартингал с независимыми приращениями.
Усредненяя его локальные характеристики по времени, мы преобразуем его в процесс Леви. Показано, что этот процесс Леви "ближе" к любому процессу Леви, чем исходный процесс, где "большая близость" процессов понимается как большая близость всех /-дивергенций между их распределениями. Согласно предложению 1.17 это означает, что соответствующие бинарные эксперименты сравнимы. Кроме того, доказан критерий эквивалентности бинарных экспериментов, составленных из распределения семимартингала с независимыми приращениями и распределения процесса Леви, имеющий самостоятельный интерес для теории сравнения статистических экспериментов. Пусть Q = B(Rd) = В([0,1];Мгі) — пространство всех непрерывных справа, имеющих пределы слева функций ш : [0; 1] —» M.d, X — канонический процесс, задаваемый соотношением Xt{uj) — ш(і), фильтрация F = ( ) (0,1] порождена X, т.е. Тъ = П- +е» t = {Xs,s і}, Определим Vj (VL, PL,O) как класс всех вероятностных мер на (Г2, J7), по которым процесс X является семимартингалом с независимыми приращениями (соотв. однородным процессом с независимыми приращениями, соотв. процессом Леви). Разумеется, введенные классы зависят от размерности d канонического процесса. Хотя в дальнейшем мы будем иметь дело с распределениями процессов различной размерности, мы предпочитаем не перегружать обозначения указанием размерности. Если меры отвечают распределениям процессов размерности, отличной от d, это будет оговариваться отдельно. Основной результат этой главы состоит в следующем. Пусть Р Є V[, тогда найдется такая мера Р Є VL- ЧТО для любой Р Є VL,O бинарный статистический эксперимент (П, 7, (Р, Р)) является менее информативным, чем (П, .F, (Р, Р )).
Иными словами, для любой Р Є VL,O И ДЛЯ любой выпуклой функции / : (0, оо) — К. имеет место следующее неравенство для /-дивергенций: Отметим также, что мера Р строится явно по мере Р по сути дела усреднением по времени локальных характеристик процесса X (см. (3.2) ниже). О связи полученного результата с результатами ряда работ (среди которых наиболее близкими являются [18], [21] и [25]), мотивированных приложениями к финансовой математике, см в разделе 3.4. Итак, пусть на ( , ) задана вероятностная мера Р Є Р/. В дальнейшем фиксируем произвольную функцию усечения h : M.d —» M.d. Согласно предложению 1.4 триплет характеристик процесса X относительно меры Р можно выбрать детерминированным. Обозначим этот триплет где F(A) = і/([0,1] хА), А Є B(Rd).Введем Р как такую меру из VL-, ЧТО CLW(XQ\P) — LCLW{XQ\P ) и триплет процесса X относительно Р есть Тр. Поскольку /(з;2 Л l)F(dx) = Rd 1 _ І І(\х\2 Л l) (d, dx) со, существование такой меры P следует из де Rd 0 _ терминировашюсти и однородности по времени триплета Тр (см., например, предложения 1.5 и 1.6), а ее единственность очевидна. Заметим, что если X является локальным мартингалом (и, следовательно, мартингалом, см. предложение 1.7) по мере Р , то он является мартингалом и по мере Р. Это вытекает из выполнения условий (1.2) в силу следующих соотношений Отметим также, что если X — сг-мартиигал, но не локальный мартингал по мере Р , то X не обязан быть сг-мартингалом по мере Р. Заметим также, что если X не имеет детерминированных моментов разрыва, относительно Р , то мера Р описывается совсем просто: это такая мера из VL, ЧТО aw((Xo, XI)\P) = Caw((X0,Xi)\P ). Это вытекает из формулы (1.4). Теорема 3.1 Для любой меры Р Є VL,O и введенных выше мер Р , Р статистический эксперимент (Р, Р) менее информативен, чем (Р, Р ). Замечание 3.2 В действительности, в доказательстве теоремы 3.1 используется не совпадение распределений Хо по Р и Р , а только равенство Ppfo = 0) = Р (Хо = 0).
Более того, утверждение теоремы 3.1 сохранится, если меру Р заменить на такую меру Q VL, что триплет X относительно Q есть по-прежнему Тр и Q{XQ = 0) P (XQ — 0): как легко видеть из приводимой ниже формулы (3.5), в этом случае эксперимент (P,Q) менее информативен, чем (Р, Р). В частности, в качестве Q можно взять такую меру из VL,O, что X является процессом Леви с триплетом Тр. Первая идея доказательства теоремы 3.1 состоит в том, чтобы использовать лемму о сравнении [2, лемма 5.1]. Однако условия леммы о сравнении являются только достаточными для большей/меньшей информативности бинарных экспериментов и не всегда выполняются в условиях теоремы 3.1. Тем не менее, с помощью леммы о сравнении (а точнее, ее частного случая — предложения 1.19) оказывается возможным доказать, что эксперимент (Р, Р) менее информативен, чем некоторый эксперимент (Q, Q ), который, в свою очередь, эквивалентен (Р, Р )! Более того, меры Q и Q можно выбрать из классов VL,O И VL соответственно на пространстве B(R). Теорема 3.1 доказывается в разделе 3.3. При этом, для доказательства эквивалентности экспериментов (Р,Р ) и (Q,Q ) используется результат, доказываемый в разделе 3.2 и имеющий самостоятельный интерес, а именно приводятся необходимые и достаточные условия эквивалентности экспериментов (Р, Р ) и (Q,Q ), где меры Р Є VL,O7 Р Є Vi заданы на D(Rd), а меры Q Є VL,o, Q Є Vi заданы на D(Rd ). В этом разделе фиксированы вероятностные меры Р Є VL,Q, Р Є Vi на D(Rd) и Q Є VL,o, Q Є VT на B(Rd ). Наша цель — установить критерий
Доказательство основной теоремы
Заметим, что если Р _1_ Р, то эксперимент (Р, Р ) будет вполне информативным и, значит, более информативным, чем (Р, Р). Поэтому, не ограничивая общности, мы полагаем ниже, что Р JL Р, тогда согласно следствию 1.9 имеем, в частности, С[ = ct. Таким образом, везде ниже С{ = ct и с = с. Как отмечалось выше, схема доказательства теоремы 3.1 состоит в следующем: на пространстве B(R) будет построена пара мер Q Є VL,O, Q VL, для которых можно показать, что эксперимент (Q, Q ) эквивалентен (Р, Р ) и более информативен, чем (Р, Р). Эквивалентность (Q, Q ) и (Р, Р ) будет доказана в лемме 3.7 с помощью теоремы 3.3, а соотношение (Q, Q ) (Р, Р ) доказывается в лемме 3.8 с помощью предложения 1.19. Основной шаг построения мер Q, Q состоит в построении отвечающих им мер Леви G и G . Основное требование на G и G состоит в том, чтобы выполнялось второе условие из (Е). Этого не всегда можно достичь, если в качестве G брать F (например, если F сосредоточена в точке а, а функция Y(t, а) не является постоянной п.н. по мере Лебега). Другой "естественный" кандидат на роль G, образ меры v при отображении Y, не всегда является мерой Леви. Дополнительные требования на G и G исходят из того, что меры Q и Q должны быть несингулярны. Наличие сингулярной компоненты у G по отношению к G также связано с проверкой выполнения условий (Е). Одна из возможных конструкций мер G и Gf, удовлетворяющих всем необходимым требованиям, приводится в следующей лемме. Лемма 3.6 Существуют мера G на (О, оо) и функция р : (О, оо) — R+, для которых Зафиксируем также взаимно однозначные монотонные отображения равенством GN(B) = v ({t, х) Є [0,1] х Rd : х Є DN, Y {t, x) Є В) , N 1, и положим где GN т/ 1 — образ меры GN при отображении т/)дг. Определим также Условие а) выполнено, поскольку DN что дает Аналогично проверяем условие Ь): Далее, выполнение условия с) следует из построения мер G и G , выполнение условия d) очевидно ввиду с). Заметим также, что существует такое No 2, что для произвольных функций усечения hi : К —» М и /г : Rd — M.d для N NQ имеем откуда следует выполнение условия е), если воспользоваться следствием 1.9 и заметить, что интеграл, стоящий в левой части предыдущей цепочки соотношений, конечен также для N NQ в силу а) и 6). В дальнейшем всюду предполагается, что G и р удовлетворяют условиям леммы 3.6, а мера G задается соотношением G (B) = f(p{x)G{dx) + Щ-1}(В), В Є H(R), в где {-i} есть мера Дирака в точке —1 и Конечность константы К вытекает из несингулярности Ри Р (см. следствие 1.9), значит G — мера Леви ввиду условия Ь) леммы 3.6. Введем триплеты
Пусть мера Q такова, что канонический процесс X является процессом Леви с триплетом TQ. Определим также меру Q как меру, по которой X является процессом с независимыми приращениями с триплетом TQ , причем Qg = Pg. Выполнение условий леммы 3.6 гарантирует существование мер Q и Q , а также тот факт, что Q / Q , для чего достаточно воспользоваться следствием 1.9. Лемма 3.7 Эксперименты (Р, Р ) и (Q, Q ) эквивалентны. Доказательство. Проверим выполнение условий (Е). Из определения меры G следует, что FQ(i, х) = р(х), поэтому выполнено второе условие из (Е). Далее, из определения Ъ находим, что /?Q = f(3Jc(3sds, V о откуда следует выполнение первого условия из (Е). Наконец, имеем Q 0 — PQ, afQt = 0 и Q2([0? 1] х R) = К, поэтому выполнение третьего условия из (Е) следует из определения константы К. ш Рассмотрим теперь эксперимент (Р,Р). Нам понадобится представление для обобщенного процесса плотности Р относительно Р в виде PQ(N — Ф) (см. правую часть соотношения (3.5)) и явный вид соответствующих параметров /5, У, а также сингулярной компоненты меры F(dx) относительно F(dx). Предварительно, конечно, следует проверить, что Р JL Р. Пусть гулярную компоненты относительно F(dx). Таким образом, о Обозначим v2(dt,dx) = dtFf(dx), заметим, что V 2 -L v. Теперь несложно проверить, что условие (и) следствия 1.9 для мер Р и Р выполнено, поскольку оно выполняется для мер Р и Р . Действительно, для мер Р и Р положим A = f + Ц, U = j , U = -, тогда Для мер P и P положим \ = v -hV 2, U = j=, U = f, тогда /i( )(t/- и выполнение условия (гг) следует из Несложно убедиться, что для пары мер (Р, Р) в разложении (1.8) два последних члена обращаются в ноль (т.е. выполнено условие (гг;) в следствии 1.9), а в роли функции (3 выступает функция, тождественно равная р. Заметим, что в силу того, что Р и Р несингулярны. Кроме того, для пары мер Р и Р последний член формуле для Л() равен нулю и (v U — V U )2 Лі (\/ U — VlP)2 Лі со, поскольку
