Введение к работе
Актуальность темы. Теория полу марковских процессов и, в частности, теория восстановления, будучи самостоятельным разделом теории случайных процессов, имеет также широкое применение в прикладной математике (теории массового обслуживания и теории надежности, теории запасов и т.д.) в физике (теории счетчиков), при построении математических моделей страхования и во многих других областях приложений. Важным условием применимости математических моделей для описания конкретного явления является возможность статистического оценивания характеристик соответствующей модели.
Необходимо отметить, что среди обширной библиографии, статей, посвященных указанным процессам, доля работ, связанных со статистическими аспектами, весьма невелика. В то же время можно считать, что статистический анализ интегральных характеристик полумарковских процессов (матриц переходов, функций распределения времен пребывания в отдельных состояниях) и процессов восстановления (распределения интервалов между моментами восстановлений) в определенном объеме проведен, см. [1].
Помимо теоретического интереса проблема оценки плотностей распределения имеет важные прикладные аспекты. Не все статистические проблемы можно решить, опираясь на оценки интегральных характеристик. В частности, такие проблемы разведочного анализа данных, как формирование гипотезы о типе плотности вероятности времени пребывания процесса в заданном состоянии или плотности распределения интервалов между моментами восстановлений процесса восстановления удобнее делать на основе графического анализа данных с помощью графика оценки плотности распределения. В определенном смысле более удобно использовать оценки плотности распределений при статистическом моделировании траекторий рассматриваемого процесса для статистических выводов в рамках интенсивных компьютерных методов типа " бутстреп" метода.
Теория оценивания плотностей распределения отдельных наблюдений для данных типа независимой выборки имеет более чем полувековую историю, а библиография, связанная с исследованием свойств статистических оценок плотностей распределения, насчитывает не одну
Чепурин Е.В. Статистический анализ восстанавливаемых систем. М.: Знание, 1983.
сотню работ, см.[2],[3]. Теоретические результаты о состоятельности и скорости сходимости непараметрических оценок плотности, развивающих гистограммные, начали появляться в начале шестидесятых годов, см.[4],[5],[6]. Оказалось, что наилучшая скорость сходимости таких оценок — более медленная, чем для параметрических моделей, в зависимости от априорного класса плотностей, которому принадлежит искомая.
В диссертации строятся и исследуются ядерные оценки для плотностей распределения интервалов между событиями процесса восстановления и времен пребывания полумарковского процесса с конечным множеством состояний по реализации на интервале [0,Т]. Для такого рода плана испытаний интервалы времен пребывания полумарковского процесса и интервалы между событиями процесса восстановления в наблюденной траектории становятся зависимыми случайными величинами. В этом случае непосредственно использовать результаты, полученные для независимой выборки, нельзя. Необходимо развивать параллельную теорию и создавать соответствующие методы анализа. Эти методы широко используют стохастические структурные соотношения для анализируемых характеристик на основе использования вложенных марковских моментов модели, а также асимптотическую теорию свойств решений интегральных уравнений типа свертки.
Все вышесказанное составляет вместе и новизну проблематики и новизну методологии статистического анализа свойств ядерных оценок плотностей вероятностей характеристик полумарковских процессов и процессов восстановления.
Цель работы состоит
(а) в исследовании статистических свойств ядерной оценки плотности распределения интервалов между событиями в процессе
[2] Bean S.J., Tsokos Ch.P. Developments in Nonparametric Density
Estimation. Intern. Stat. Review, 1980, 48, p.267-287. [3] Деврой Л., Дьерфи Л. Непараметрическое оценивание
плотности: L\ - подход. Москва, "Мир", 1988. [4] Rosenblatt М. Remarks on some non-parametric estimates
of a density function. Annals Math. Statist. 27, 1956, 832—837. [5] Ченцов H.H. Оценка неизвестной.плотности распределения
наблюдениям. ДАН СССР, 1962, 147, 1, 45-48. [6] Parzen Е. On estimation of a probability density
function and mode. Annals Math. Statist., 1962, 33, 3,
восстановления при плане эксперимента [ 1ВТ] при Т —> со (глава I);
-
в исследовании состоятельности ядерной оценки плотности распределения времени пребывания в фиксированном состоянии для полумарковских процессов (глава II);
-
в исследовании статистических свойств ядерной оценки плотности распределения компоненты двумерного случайного вектора в схеме остановленных случайных последовательностей (глава III).
Научная новизна. Все основные результаты являются новыми и состоят в следующем:
-
получены асимптотические представления при Т —у со для сред-неквадратнческой ошибки Е [/і,(Т)(іі) — /(и)] и ковариации cov (fv{T)(u),fv(T)(v)) і u,v Є [О, Г] ядерной оценки плотности распределения /„(г)(и), доказана асимптотическая нормальность этой оценки (глава I);
-
Доказана состоятельность ядерной оценки плотности распределения времени пребывания в фиксированном состоянии для полумарковских процессов (глава II);
-
Доказана состоятельность и асимптотическая нормальность ядерной оценки плотности распределения компоненты двумерного случайного вектора в схеме остановленных последовательностей (глава III).
Практическая и теоретическая ценность . Работа имеет как теоретическое, так и прикладное значение. Ее результаты могут быть непосредственно использованы при статистическом моделировании траекторий рассматриваемого процесса для статистических выводов в рамках интенсивных компьютерных методов типа " бутпстпрегГ или родственных ему. Полученные оценки полезны также при графическом анализе данных, когда нужно сформулировать гипотезу о типе распределения. Диссертация может представлять интерес для специалистов в различных областях прикладной статистики.
Апробация . Результаты работы докладывались:
-
на научной конференции " Ломоносовские чтения —1991 " ( МГУ, апрель 1991г.);
-
на конференции молодых ученых МГУ (МГУ, май 1994г.);
-
на Международной научной конференции " Компьютерный анализ данных и моделирование " ( Минск, БГУ, сентябрь 1995г);
-
на Международной научной конференции по современным проблемам математики ( Самарканд, СамГУ, октябрь 1996г. ).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в трех работах, список которых приведен в конце автореферата.
Структура работы. Диссертация состоит из введения и трех глав, разбитых на 6 параграфов, и списка литературы из 46 наименований. Общий объем диссертации — 61 страница.
