Качественные свойства стационарных распределений и переходных вероятностей диффузионных процессов. Шапошников, Станислав Валерьевич

Введение к работе

Актуальность темы. Пусть x_t - диффузионный процесс с производящим оператором L, заданным формулой

d

Хорошо известно,что переходные вероятности P(x,t,s,U) удовлетворяют уравнению Фоккера-П лапка-Колмогорова d_tP = L*P, где L* - формально сопряженный оператор к L. Более того, если д - инвариантная мера процесса то д удовлетворяет стационарному уравнению Колмогорова L*д = 0. Исследование таких уравнений восходит к классическим работам А.Н. Колмогорова', в которых выводятся и исследуются дифференциальные уравнения для переходных вероятностей и стационарных распределений диффузионных процессов как в R^d, так и в компактном многообразии (современное изложение см., например, в книг^). Однако в этих работах коэффициенты предполагались гладкими и глобально ограниченными. Достаточные условия существования диффузионного процесса в R^d в случае неограниченных локально липшицевых коэффициентов получены в работе Р.З. Хасьминского, в которой также указаны достаточные условия существования стационарного распределения. В работе Д. Струка и С.Р. Вирили ни"' изучаются глубокие связи между уравнениями Фоккери Плинки Колмогоров,! и мартингаль- ными задачами. В теории дифференциальных уравнений с частными производными такие уравнения исследовались в работах Д. Аронсона,

А. Фридмана, С.Д. Эйдельмана, Ф.О. Порпера и многих других авторов (см. работы''''). Перечисленные работы касаются в основном случая ограниченных коэффициентов оператора L или коэффициентов, имеющих линейный рост. Однако хорошо известно (см., например, работы⁴'⁵), что диффузионный процесс существует, даже если коэффициенты имеют значительный рост при |x| —^ +то. Достаточно, например, чтобы существовала функция Ляпунова. Кроме того, коэффициенты могут быть локально неограничены. Отметим также, что необходимость в исследовании уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова с неограниченными и даже с неинтегрируемыми относительно меры Лебега коэффициентами появляется при изучении бесконечномерных диффузионных процессов.

Итак, в настоящей работе исследуются вероятностные меры д на R^d или R^d х (0,1), удовлетворяющие эллиптическому уравнению

L* д = 0,

понимаемому в смысле интегрального тождества

[ Ludii = 0 Vu є C^rQ⁰⁰(R^d),

или параболическому уравнению

дід = L>,

которое также понимается в смысле интегрального тождества [ ( [dtu + Lu] di = 0 Vu є C₀^TO(R^d х (0,1)).

0 R^{d 0}

Такие уравнения интенсивно изучались В.И. Богачевым, Н.В. Крыловым, М. Рёкнером, В. Штаннатом, Г. Метафуне, Д. Паллара, А. Ранди,

Дж. Да Прато, К. JIe Бри, П.Л. Лионсом, А. Фигалли и другими математиками разных стран (см. работы''''''''). Основные проблемы, которые являются предметом исследования при изучении вероятностных мер, удовлетворяющих эллиптическим или параболическим уравнениям, состоят в следующем.

1. При каких условиях (возможно более общих) на коэффициенты решение д имеет плотность Q относительно меры Лебега? Когда можно утверждать, что у плотности есть непрерывная по Гёльдеру версия или что плотность лежит в соболевском классе? Хорошо известны классические результаты Вейля, Хёрмандера, Маллявэна о гладкости решения уравнения с гладкими коэффициентами. Если мера уже обладает соболевской плотностью q то уравнения Ь*д = 0 и Ot^ = Ь*д мож-

ты о регулярности решений эллиптических и параболических уравнений для функций. Такого рода результаты о регулярности решений эллиптических и параболических уравнений для мер можно найти в работе В.И. Богачева, Н.В. Крылова, М. Рёкнера¹², в которой, в частности, доказано, что в случае невырожденной матрицы диффузии A = (a^ij) решение д имеет плотность относительно меры Лебега, а если Anb достаточно регулярны, то плотность лежит в соболевском классе и имеет непрерывную версию.

1. Когда можно утверждать, что у непрерывной версии плотности решения нет нулей? Если матрица A не вырождена и a^ij Є WOf, а коэффициент сноса & интегрируем относительно меры Лебега в степени p, где p > d в эллиптическом случае и p > d + 2 в параболическом случае, то для плотности q выполняется неравенство Харнака, из которого немедленно вытекает строгая положительность функции q. Однако если коэффициент & не интегрируем относительно меры Лебега, то неравенство Харнака, вообще говоря, может не выполняться.

2. Как оценить поведение плотности решения при |x| ^ то? Хорошо известны гауссовские оценки плотности в случае ограниченных коэффициентов⁸'¹⁰'⁵, а также в случае коэффициента сноса специального вида. Представляет интерес получение оценок плотности в случае неограниченных коэффициентов. Основная идея состоит в применении метода функций Ляпунова в сочетании с локальными оценками соболевской нормы решения через L^p-HopMy коэффициентов относительно самого решения, а не меры Лебега.

3. Единственны ли решение стационарного уравнения Колмогорова и решение задачи Коши для уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова в классе вероятностных мер? Этот вопрос тесно связан с корректностью мартингальной задачи. Исследованию единственности в различных классах решений посвящены работы⁶'⁹'⁵'¹⁶'¹⁷'¹⁸'¹⁹. Хорошо известно, что единственность нарушается в случае вырождающегося коэффициента диффузии и недостаточно гладкого коэффициента сноса. Оказывается, что неединственность может иметь место даже в случае единичной матрицы диффузии и бесконечно гладкого коэффициента сноса. Типичные условия, при которых доказана единственность в классах, близких к классу вероятностных решений (например, интегрируемые решения или неотрицательные решения), состоят в ограничении роста |&| или предположениях об интегрируемости |b|. Интересно, что для единственности вероятностного решения не требуется ограничений абсолютной величины коэффициента сноса, а достаточно, например, оценить сверху величину (b(x), x). В более общем виде такие условия формулируются в терминах функции Ляпунова. Кроме того, если говорить о единственности решения задачи Копій, то важно получить достаточные условия единственности, допускающие в качестве начального распределения произвольные вероятностные меры, а не только те, у которых есть плотность относительно меры Лебега.

5. При каких условиях вероятностное решение стационарного уравнения Колмогорова или задачи Коши для уравнения Фоккери Плинки Колмогорова является единственным интегрируемым решением (в терминах мер: решение с ограниченной вариацией)? Единственность в классе интегрируемых решений исследовалась в работах⁶'⁹'¹⁸. Отметим также статью, где в случае единичной матрицы диффузии, локально ограниченного сноса и начального условия, заданного плотностью, было показано, что для единственности интегрируемого решения достаточно потребовать, чтобы величина (b(x), x) не слишком быстро стремилась к —ж при |x| ^ ж. Представляет интерес получение достаточных условий единственности интегрируемого решения в терминах функции Ляпунова, по аналогии с вероятностным случаем. Отметим также, что классы вероятностных, интегрируемых и неотрицательных решений действительно различны.

Цель работы. Получение достаточных условий положительности плотностей и вывод нижних оценок плотностей стационарных и переходных вероятностей диффузионного процесса без предположения локальной и глобальной регулярности коэффициента сноса относительно меры Лебега и ограничений на рост коэффициента сноса. Вывод верхних оценок для плотностей переходных вероятностей в случае неограниченного коэффициента сноса. Получение достаточных условий единственности вероятностного и интегрируемого решения стационарного уравнения Колмогорова и уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова. Построение примеров неединственности в классах вероятностных, неотрицательных и интегрируемых решений.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем.

3. 1. Получены нижние оценки плотности стационарного распределения диффузионного процесса без предположения локальной и глобальной регулярности коэффициента сноса относительно меры Лебега и ограничений на рост этого коэффициента.

   2. Получены нижние оценки плотностей переходных вероятностей диффузионного процесса без предположения локальной и глобальной регулярности коэффициента сноса относительно меры Лебега и ограничений на рост этого коэффициента.

   3. Исследована единственность вероятностного и интегрируемого решения стационарного уравнения Колмогорова: получены достаточные условия единственности и построены примеры неединственности.

   4. Исследована единственность вероятностного и интегрируемого решения задачи Коши для уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова: построены примеры неединственности и получены достаточные условия единственности.

   5. Получены верхние оценки плотностей переходных вероятностей диффузионного процесса без предположений об ограниченности коэффициента сноса.

   Методы исследования. В работе применяются методы теории дифференциальных уравнений с частными производными, в частности итерационная техника Мозера и метод функций Ляпунова, теории диффузионных процессов, теории меры, теории пространств Соболева, используются средства функционального анализа, а также некоторые оригинальные конструкции.

   Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее методы и результаты могут быть использованы в теории случайных процессов, теории вероятностей, теории дифференциальных уравнений с частными производными, теории меры. Результаты диссертации могут найти применение в научных исследованиях, проводимых в МГУ имени М.В. Ломоносова, Математическом институте им. В.А. Стеклова РАН, ПОМИ им. В.А. Стеклова РАН, ИПИ РАН, Институте математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Новосибирском государственном университете, Владимирском Гуманитарном государственном университете.

   Апробация диссертации. Результаты диссертации неоднократно докладывались на семинаре «Бесконечномерный анализ и стохастика» под руководством В.И. Богачева и Н.А. Толмачева (МГУ, 2005-2011); на научно-исследовательском семинаре по теории функций под руководством член-корр. РАН B.C. Кашина (МГУ, 2007), на семинаре «Операторные модели математической физики» под руководством А.А. Шка- ликова, А.А. Владимирова, A.M. Савчука, Н.А. Шейпака, (МГУ, 2011); на семинаре «Уравнения с частными производными» под руководством В.А. Кондратьева (МГУ, 2008); на семинаре «Уравнения с частными производными» под руководством В.В. Жикова, Е.В. Радкевича, А.С. IIIa- маева, Т.А. Шапошниковой (МГУ, 2011); на семинаре «Теория функций многих действительных переменных и ее приложения к задачам математической физики» под руководством академика РАН С.М. Никольского и член-корр. РАН Л.Д. Кудрявцева (МИАН, 2011); на семинаре «Бесконечномерный стохастический анализ» в университете Билефельда (Германия, 2005-2011); на семинаре университета Гейдельберга (Германия, 2009); на семинаре в Пекинском Нормальном университете (Китай, 2007); на семинаре в Институте Миттаг-Леффлера (Швеция, 2007). Кроме того, результаты диссертации докладывались на международной конференции им. И.Г. Петровского «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы» (Москва, МГУ, 2007, 2011), российско-японской конференции по теории вероятностей (МИАН, 2007); на международной конференции "Stochastic Analysis of Advanced Statistical Models" и на международной конференции "Recent Developments in Statistics and Econometrics" (Хиросима, Киото, Япония, 2008); на Российской школе-конференции «Математика, информатика, их приложения и роль в образовании» (Москва, РУДН, 2009); на международной научной конференции «Современные проблемы анализа и преподавания математики», посвященной 105-летию академика С.М. Никольского (Москва, МГУ, 2010), на семинаре Отдела теории вероятностей Математического института им. В.А. Стеклова РАН (2011).

   Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 10 статьях автора в ведущих научных журналах, рекомендованных ВАК.

   Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, разделенных на параграфы, и списка литературы из 87 наименований. Общий объем диссертации составляет 196 страниц.

   Похожие диссертации на Качественные свойства стационарных распределений и переходных вероятностей диффузионных процессов.

   Асимптотические свойства оценок плотностей распределений, связанных с точечными процессамиШамсуддинов, Баходир Рахимович

   Финальные вероятности марковских процессов эпидемииМастихин, Антон Вячеславович

   

   Некоторые задачи асимптотического анализа вероятностей высоких выбросов гауссовских процессовКобельков Сергей Георгиевич

   

   Асимптотический анализ вероятностей высоких выбросов гауссовских процессов со случайными параметрамиРумянцева Екатерина Владимировна

   

   Асимптотика вероятностей малых уклонений гауссовских процессов в гильбертовой нормеПусев, Руслан Сергеевич

   

   Асимптотика вероятностей больших выбросов гауссовских нестационарных процессовАншин Антон Борисович

   Исследование асимптотического поведения вероятностей больших отклонений траекторий гауссовских нестационарных процессов и полей Присяжнюк Владимир Прокофьевич

   

   Асимптотический анализ вероятностей редких событий при больших уклонениях гауссовских стационарных процессов и полейЛаднева Анна Николаевна

   Предельные теоремы и вероятности неравенства для полного и максимального числа потомков ветвящегося процесса Гальтон-ВатсонаКарпенко, Андрей Вячеславович

   Аналитические свойства банаховозначных случайных процессов из пространств ОрличаВеликоиваненко, Галина Ивановна