Введение к работе
Актуальность темы. В диссертационной работе рассматриваются марковские случайные процессы с дискретным множеством состояний N3,N = {0,1,2,...}, и непрерывным временем t, t Є [0, со), интерпретируемые как процессы распространения эпидемии.
По точным решениям уравнений различных марковских процесов эпидемии и способам их вывода имеется обширная литература. Первыми детально рассмотренными марковскими процессами эпидемии были процесс эпидемии Бартлетта—Мак-Кендрика ^ и процесс эпидемии Вейса2); оба этих марковских процесса определяются как процессы рождения и гибели на множестве состояний N2. В процессе эпидемии Бартлетта—Мак-Кендрика при взаимодействии переносчика инфекции и здоровой особи появляются два переносчика инфекции. Такой марковский процесс сложен для изучения; ряд результатов получен асимптотическими методами А.В. Нагаевым, А.Н. Старцевым, М. Мирзаевым.
В процессе эпидемии Вейса при взаимодействии переносчика инфекции и здоровой особи остается только переносчик инфекции, т. е. здоровая особь после контакта с переносчиком инфекции удаляется из популяции (популяция находится под наблюдением, но первоначальные переносчики инфекции не могут быть выявлены). Марковский процесс эпидемии Вейса более доступен для изучения; имеются многочисленные обобщения процесса Вейса на случай Nn. В диссертационной работе рассматриваются определенный Дж. Гани марковский процесс на N3, интерпретируемый как дву-стадийный процесс распостранения СПИД, и определенный Н. Беккером процесс на Аґ3, интерпретируемый как двойная эпидемия.
Задача вычисления финального распределения вероятностей для марковского процесса на N2 решалась в специальном случае ветвящегося процесса 3\ когда переходные вероятности связаны нелинейным соотношением и известно нелинейное уравнение для одночастичной производящей функции переходных вероятностей. Процессы, рассмотренные в диссертации,
^Эпидемии процесс // Математическая энциклопедия. Т. 5. М.: Советская энциклопедия, 1985. Кол. 1008. 2> Weiss G. On the spread of epidemics by carries // Biometrics. — 1965. — V. 21, № 2. — P. 481-490. ^Севастьянов Б.А. Ветвящиеся процессы. — M.: Наука, 1971. — 436 с.
принадлежат определенному Б.А. Севастьяновым 4' специальному классу марковских процессов на Nn. Для процессов класса 4) нахождение финального распределения сводится к решению стационарного первого уравнения Колмогорова для экспоненциальной производящей функции финальных вероятностей.
В диссертации при рассмотрении уравнений Колмогорова для процессов на N3 используется экспоненциальная двойная производящая функция переходных вероятностей. Полученные решения уравнений сведены к интегральному виду, легко используемому для вывода предельных теорем. На основе интегральных представлений для производящей функции финальных вероятностей исследованы асимптотические свойства финальных распределений и установлены предельные теоремы для случая, когда число здоровых особей стремится к бесконечности, а число особей — переносчиков инфекции фиксировано.
Математическая теория эпидемий является областью прикладной математики и моделирование реальных эпидемий проводится численно на ЭВМ. С точки зрения «вычислительной» теории эпидемий марковские процессы Бартлетта—Мак-Кендрика, Вейса, Гани, Беккера и другие являются крайними модельными случаями. Однако они важны, так как дают возможность получить точные аналитические результаты и предельные теоремы. Подобные исследования позволяют объяснить и интерпретировать результаты статистического моделирования процессов эпидемии 5' 6^.
Цель работы — получение точных решений уравнений Колмогорова для марковских процессов эпидемии, исследование финальных распределений в процессах эпидемии.
Основные результаты, выносимые на защиту:
Получено точное решение стационарного первого уравнения Колмогорова для процесса эпидемии Гани, исследовано финальное распределение
4) Севастьянов Б.А., Калинкин А.В. Ветвящиеся случайные процессы с взаимодействием частиц // Доклады АН
СССР. - 1982. - Т. 264, № 2. - С. 306-308.
5) Калинкин А.В., Ланге A.M., Мастихин А.В., Шапошников А.А. Численные методы Монте-Карло для моделирования
схем взаимодействий при дискретных состояниях // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Естественные науки. — 2005. —
-V. 2(17). - С. 5Ї-74.
е)Мастихин А.В. Численное моделирование марковского процесса эпидемии // Третья Всероссийская конференция «Необратимые процессы в природе и технике»: Тезисы докладов. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана. — 2005. — С. 62-63.
процесса, получены предельные теоремы для числа финальных частиц.
Получено точное решение системы из первого и второго уравнений Колмогорова для процесса эпидемии Беккера. Найдено финальное распределение, установлена предельная теорема.
Научная новизна. Все полученные результаты являются новыми.
Методы исследования. Использовались методы теории марковских процессов со счетным множеством состояний, метод характеристических функций, методы теории дифференциальных уравнений в частных производных, специальные функции.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в математической теории эпидемий.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, разделенных на параграфы, заключения и списка литературы из 69 наименований. Текст изложен на 93 страницах и включает 6 рисунков.
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 3 статьях и 4 тезисов докладов. 5 научных работ опубликованы в журналах, входящих в утвержденный ВАК перечень ведущих рецензируемых научных изданий, в которых должны быть размещены научные результаты диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на научно-методической конференции, посвященной 40-летию НУ К ФН МГТУ им. Н.Э. Баумана (Москва, 1-2 декабря 2004 г.), Третьей Всероссийской конференции «Необратимые процессы в природе и технике» (Москва, 24-26 января 2005 г.), Четырнадцатой Всероссийской школе-коллоквиуме по стохастическим методам (Адлер, 29 сентября-7 октября 2007 г.), Международной конференции «Стохастические модели в биологии и предельные алгебры» (Омск, 2-7 августа 2010 г.).
Результаты диссертации докладывались и обсуждались на научных семинарах в Московском государственном техническом университете им. Н.Э. Баумана, Российском университете дружбы народов, Математическом институте им. В.А. Стеклова РАН, Московском государственном институте электроники и математики (технический университет).
Похожие диссертации на Финальные вероятности марковских процессов эпидемии
