Содержание к диссертации
Введение
1 Вероятности высоких выбросов условно-гауссовских процессов со случайными постоянными параметрами. 21
1.1 Случай степенных хвостов распределения случайных параметров 22
1.2 Случай ограниченного справа носителя распределения случайных параметров 29
2 Вероятности высоких выбросов условно-гауссовских процессов со случайными параметрами в виде квадратичной и линейной функций . 39
2.1 Асимптотика вероятностей высоких экстремумов условно-гауссовского процесса со случайной дисперсией 40
2.1.1 Основные результаты 41
2.1.2 Доказательства 42
2.2 Асимптотика вероятностей высоких экстремумов условно-гауссовских процессов со случайным средним 63
2.2.1 Основные результаты 64
2.2.2 Доказательства 65
3 Вероятности высоких выбросов комбинации двух процессов: стационарного гауссовского и гладкого процесса . 79
3.1 Асимптотика вероятностей высоких экстремумов произведения процессов 80
3.2 Асимптотика вероятностей высоких экстремумов суммы процессов 88
Литература 93
- Случай ограниченного справа носителя распределения случайных параметров
- Асимптотика вероятностей высоких экстремумов условно-гауссовских процессов со случайным средним
- Асимптотика вероятностей высоких экстремумов произведения процессов
- Асимптотика вероятностей высоких экстремумов суммы процессов
Введение к работе
Изучение вероятностей высоких выбросов случайных процессов и полей представляет собой важную область в теории вероятностей. В настоящее время наибольшее развитие получила асимптотическая теория экстремумов гауссовских процессов (см. монографиии и обзорные статьи: [1], [2], [3], [4], [5], [6]).
Разработан целый ряд общих методов для исследования больших уклонений гауссовских процессов. К ним относятся метод сравнений [1], [7], метод моментов [1], [8], а также метод двойных сумм [1]. Эти методы дали возможность получить достаточно полную картину асимптотического поведения вероятностей высоких выбросов.
Дадим краткое описание перечисленных выше методов.
Метод моментов. Этот метод основан на формуле Каца-Райса для среднего числа пересечений уровня случайным процессом (см. [9]). Обозначим iVu(0, h) число пересечений снизу вверх уровня и процессом X за время [0, h]. Тогда во многих случаях можно показать, что
PJh) := P(max X(t) > и) ~ ENJO, h) при и -> со. (1)
*Є[0,Л]
Физический смысл этого асимптотического соотношения состоит в том, что выходы за высокий уровень случаются крайне редко, поэтому можно наблюдать не более одного пересечения высокого уровня за фиксированный промежуток времени [0, h]. Напомним, что согласно формуле Каца-Райса
rh /»оо
ENu[Q,h)= / / ypt{u,y)dydt, Jo Jo
гдеpt— совместная плотность распределения (X(t), X'(t)). Более того, формула
Pu{h) « ENu{0, h) + Р{Х(0) > и) (2)
часто является довольно точным приближением и позволяет получить второй член в асимптотическом разложении Pu(h) при и —> со. Существует также и физическое обоснование этого приближения. Может случиться
Введение
(как правило, с маленькой вероятностью), что Х(0) > и, в то время как Nu(0,h) = 0. Этот метод был детально разработан для гауссовских процессов. Дальнейшее развитие метода Раиса для гауссовских и близких к гауссовским процессов связано с именами Ж. Азаиза, В. Питербарга, И. Рыхлика, М. Вшебора.
Метод сравнения. Метод сравнения был развит только для тауссовского случая и широко обсуждалось его применение для гауссовских полей. Математическая сторона метода состоит в изучении геометрических свойств множества {t: X(t) >и},и Є R. Пусть Xo(t) и X(t), t Є [0, Т\— два независимых гауссовских стационарных центрированных процесса, имеющих гладкие траектории, единичную дисперсию и равные значения дисперсий их производных. Тогда, при некоторых дополнительных условиях невырожденности и гладкости, существует р, 0 < р < 1 такое, что при и -» 00
\Р( max Xi(s) >u)-Pl max XQ(s) > u)\ = Оіе'Щ.
se[0,T] вф,Т]
Таким образом, вычисляя асимптотическое поведение Ри для "простого "гауссовского процесса, получаем вероятность больших уклонений для других гауссовских процессов, имеющих корреляцию, близкую к нулю, вплоть до экспоненциального порядка малости.
Аналогичные выводы можно получить и в случае гауссовских полей (см. [1], глава 1).
Метод двойных сумм. Замечание, сделанное выше, о том, что для реальных случайных процессов пересечения высокого уровня случаются редко, в некотором смысле является решающим. Кроме того, выбросы (т.е. часть траектории над уровнем) обычно очень короткие. Подобные наблюдения, примененные к процессам с негладкими траекториями приводят к мощному методу оценки асимптотического поведения Ри, Пикандс (см. [10], [И]) был первым, кто действительно использовал этот факт в случае недифференцируемых процессов. Пусть X(t)— гауссовский стационарный центрированный процесс с корреляционной функцией rt. Предполо-
Введение
жим также, что для некоторого 0 < а < 2
rt = l-|i| + o(|*|e), <->0. (3)
Тогда для любого Л > 0 и h = Хи~2/а,
Ри(\и-2'а) ~ На(Х)Р{Х{0) >и),и-> оо,
где#а(А) = Е exY)(ma,x^x\(V2BQj2(t)-ta)) и Ba/2(t)— дробное броуновское движение с параметром Херста а/2.
Этот локальный результат генерирует много интересных следствий не только для гауссовских процессов. Разбивая интервал [0, h] на маленькие интервалы длины Хи~2/а, и доказывая, что одновременный выход за уровень и на двух интервалах случается с маленькой вероятностью (согласно неравенству Бонферони), получаем
Pu(h) ~ HQhu2/aP(X(0) > и) при и -» оо, (4)
где На = liiiiA-юо На(Х)/Х с На є (0, со).
Метод Пикандса оценки вероятностей Р(тахІЄ[0,г] X(t) > и) основан на принципе локализации— выделении в параметрическом множестве Т малых подмножеств, поведение на которых случайного процесса и определяет асимптотику вероятностей. В процессе развития и уточнения этого метода оказалось,что в определенном смысле он является аналогом асимптотического метода Лапласа (см. [12]). При этом имеют место следующие два обстоятельства. Во-первых, траектория гауссовского процесса превышает высокий уровень и, как правило, на одном из выделенных бесконечно малом при и —> оо интервале. Во-вторых, эти множества малого диаметра распределены равномерно по всему параметрическому множеству Т в случае стационарного или близкого к стационарному процессам, а в нестационарном случае концентрируются в области, где дисперсия процесса X близка к максимальной. Позже в работах В.И. Питербарга (см. [1], глава 2), Ю.К. Беляева и В.И. Питербарга ([13]), К. Кволса и X. Ватанабе
Введение
[14], [15] метод Пикандса был обобщен на случай гауссовских стационарных полей, включая процессы и поля, определенные на бесконечномерных параметрических множествах.
Вместе с тем, в многочисленных задачах математической статистики, теории надежности, теории приближения случайных процессов и многих других областях помимо стационарных гауссовских процессов возникают гауссовские процессы и поля, не являющиеся стационарными, хотя в некотором смысле и близкие к ним. Речь идет о так называемых локально-стационарных процессах и полях. Впервые такой процесс с постоянной дисперсией исследовал С.Берман [16]. В работе [17] В.И. Питербарг и В.П. Присяжнюк изучили вероятности высоких выбросов гауссовского локально-стационарного процесса, дисперсия которого достигает абсолютного максимума в конечном числе точек и регулярно ведет себя в окрестностях этих точек. Локальная стационарность в данном случае означает, что в указанных окрестностях корреляционная функция процесса близка к корре-ляционнй функции некоторого стационарного процесса. В статье [18] найдена асимптотика больших уклонений максимума гауссовского локально-стационарного процесса, математическое ожидание которого есть непрерывная функция, достигающая максимума в единственной точке и ведущая себя регулярно в ее окрестности. В работе В.Р. Фаталова [19] найдены точные асимптотики для вероятностей больших уклонений локально-стационарных гауссовских полей, дисперсия которых достигает своего максимума на произвольном компактном множестве в Rn.
Среди других результатов в этом направлении можно отметить пуассо-новскую предельную теорему для числа выходов гауссовского стационарного процесса за высокий уровень, полученную Ю.К. Беляевым [20] и Г. Крамером [21], а также предельную теорему для максимума гауссовской стационарной последовательности (С. Берман, [16]). В дальнейшем изучению асимптотических свойств гауссовских процессов была посвящена обширная литература (см., например, работы [22], [23], [24]).
Введение
В работе Ю.Хюслера [25] вводится массив гауссовских стандартных случайных переменных (ш,г > 0,п > 0), таких, что (п;,г > 0)— стационарная нормальная последовательность для каждого п > 0. При некоторых условиях на корреляцию между элементами массива найдены оценки для распределения максимума элементов последовательности. Такие массивы из гауссовских последовательностей использовались далее для получения асимптотических оценок вероятностей достижения максимума непрерывного гауссовского процесса.
В работе Ю. Хюслера и В.И. Питербарга [26] найдены асимптотики для экстремальных значений дробного броуновского движения и гауссовских процессов с трендом. В доказательствах использовались результаты, полученные в работе X. Бракера [27].
Метод Пикандса развивается не только для гауссовских процессов. Работы П. Албина [28] и других авторов содержат результаты для диффузионных и некоторых других процессов.
Характерным свойством множества высоких экстремумов гауссовского процесса является "отсутствие памяти": высоты этих максимумов вместе с их расположением асимптотически независимы друг от друга. Это обстоятельство уменьшает сферу приложений гауссовских моделей. В частности, чисто гауссовсие модели не позволяют прогнозировать высокие экстремумы (например, в случае финансовых временных рядов, которые, как правило, трудно прогнозируемы). Известен эффект Тейлора, когда включение в модель высокочастотного движения цен случайной волатильности (дисперсии), существенно повышает прогнозируемость (см. [29], [30], [31], [32], [33], [34]).
В этой связи приобретает значение класс случайных процессов, называемых условно-гауссовскими, к которым, с одной стороны, применима хорошо развитая гауссовская техника, а с другой — в рамках этого класса можно учесть модели с зависимыми экстремумами. Процессы вида X(t, 0(t)), t Є R, где 9{t)— случайный, возможно векторный, процесс, называются условно-
Введение
гауссовскими, если распределение Х(-,в(-)) при фиксированном #() является гауссовским. В настоящей работе рассматриваются условно-гауссовские процессы вида X(t)
Дадим определение субгауссовского процесса. Для этого нам потребуется ряд вспомогательных определений.
Определение. Случайная величина X распределена по устойчивому закону, если найдутся числа 0<а<2, <т>0, —1такие, что характеристическая функция X имеет следующий вид:
TTQ.
ЕехрівХ =
exp{-<7Q|0|Q(l - z7?(sign0)tan—) -Н/і0)}, а ф 1, ехр{-<т|0|(1 + z^-(sign0) In |0|) + г>0}, а = 1.
Случайную величину X, распределенную по устойчивому закону, обозначают X rsj Sa(cr, (3, [і). В случае а = 2 получаем Е ехр г9Х = ехр{—<т202+ г//0}. Это характериситическая функция гауссовской случайной величины со средним ц и дисперсией 2а2.
Понятно, что если X, распределенная по устойчивому закону, является симметричной случайной величиной, то параметры /?, \х равны нулю. Верно и обратное утверждение. Для симметричных устойчивых случайных величин вводят обозначение X ~ SaS.
Утверждение. Пусть X ~ SQ'S(a,0,0), где 0 < а' < 2 и пусть 0 < а < а'. Пусть W ~ Sa/ai((cos^)a'^a, 1,0) и преобразование Лапласа случайной величины W имеет вид
Яехр (-4W) = exp{-7a/Q'}, 7 > 0.
Предположим также, что X uW независимы. Тогда
Z = W1/a'X~Sa{a,0,0).
Введение
Отсюда следует, что если — центрированная гауссовская случайная величина ~ 7V(0, о2) и W — положительная а/2- устойчивая случайная величина (0 < а < 2), не зависящая от , т.е. W ~ S^^oos2^)2/",1,0), то
Z = Ж1/2Є - 5а5.
Случайную величину Z называют субгауссовской.
Заметим, что каждая SaS случайная величина является условно-гаус-совской.
Теперь обобщим это определение на случайные векторы. Выберем положительную случайную величину W ~ Sa/2{{cos )2y,Q, 1,0), а < 2 так, что ее преобразование Лапласа равно
ехр (-7W) = ехр{-7а/2}, 7 > 0.
Пусть далее = (i,2j Ad) — центрированный гауссовский случайный вектор в Rd, не зависящий от W. Тогда случайный вектор Z = (^/^1)---,^/) называется субгауссовским SaS случайным вектором в Rd с образующим гауссовским вектором .
Аналогично определяем субгауссовский процесс.
Пусть (t),t Є Т— центрированный гауссовский процесс и положительная случайная величина W ~ Sa/2((cos ^)2//q, і, 0), где а. < 2 такая, что ее преобразоние Лапласа имеет вид Еехр (—^W) = exp{—ja^2}, 7 > 0. Предположим, что W не зависит от (), Є Т. Тогда SQS процесс {Z{t) = W1/2^), Є Т} называется субгауссовским процессом с образующим гауссовским процессом (t),t Є Т. Его конечномерные распределения ({h), ,{h), ,(d>\-~ субгауссовский случайный вектор, введенный выше.
Адлер, Самородницкий и Гадрич в работе ([36]) оценили среднее число пересечений фиксированного уровня субгауссовским процессом и изучили асмиптотическое поведение этой величины при возрастании уровня, которое, как оказалось, имеет порядок и~а. Используя гауссовскую технику, в
Введение
диссертации найдена асимптотика вероятностей высоких экстремумов суб-гауссовского процесса, порядок которой также составляет и~а.
Указанные процессы в случайной среде оказываются полезными моделями стохастических процессов с предсказуемыми экстремумами. Предсказу-мая случайная среда (например, случайная дисперсия) позволяет моделировать экстремумы процессов и другие редкие события. Прогнозируя значения дисперсии (волатильности), можно делать выводы о вероятной высоте экстремумов процесса, основываясь на замечании, что высокие экстремумы гауссовского процесса наиболее вероятны в окрестности точек больших значений дисперсии. Это обстоятельство реабилитирует гауссовскую модель и может служить стимулом для дальнейшего развития асимптотических методов в теории гауссовских случайных процессов.
Перейдем к описанию содержания диссертации.
В первой главе находятся асимптотики высоких экстремумов условно-гауссовских процессов со случайными постоянными параметрами: средним и дисперсией.
Пусть (), Є Т- гауссовский случайный процесс с нулевым средним, заданный на произвольном параметрическом множестве Т и п.н. ограничен в смысле следующего определения
Определение. Гауссовский процесс называется п.н. ограниченным, если P(supfeT \i(t)\ < со) = 1.
Для таких процессов справедливо неравенство (см. [37])
P(sup|W|>u)
teT ГДЄ < Є < 2ma*Uf(fl И С = <) > 0-
Пусть (р, г\— независимые случайные величины и пара (<р, rj) не зависит от (), [0,Т]. В первой главе найдены асимптотики вероятностей
P(meix(t) +Т] > и), P(max(t)
t(zl гЄІ іЄІ
при и —> со. Изучены два типа распределений хвостов случайных параметров: тяжелые (степенные) и имеющие ограниченные справа носители.
Введение 12
Случай степенных хвостов распределения параметров условно-гауссовского процесса.
Доказано, что в случае степенных (тяжелых) хвостов распределения случайных параметров (р, г] изучаемые асимптотики вероятностей (5) имеют степенной порядок.
Обозначим х+ := max{:r, 0} и х_ := — minjrz, 0}.
Предложение 1.1. Пусть поведение на бесконечности случайной величины <р удовлетворяет следующим условиям
lim иаР{<р >и) = А, lim иаР(<р < -и) = В, (6)
u-кэо u->oo
где А и В- постоянные величины, а > 0. Тогда при и —> со верно следующее соотношение
tfc J- їх
где E(ma,xteT {t))+ < oo и і?(max^y ())" < со.
Для субгауссовского процесса, т.е. процесса вида (t)VW, где W — положительная |-устойчивая случайная величина (0 < а < 2) с параметрами а = (cos ^)^, /? = 1, /і = 0 получаем в качестве следствия следующую асимптотику
P(m^(t)^W > и) = Щ^Ши-{1 + „(і)), „ _> ос,
где Г(-)— гамма функция.
Предложение 1.2. Пусть поведение на бесконечности случайной величины У] удовлетворяет условию:
lim и^Р(г] >и) = С, (7)
и->оо
где С > 0— постоянная величины, (3 > 0. Тогда при и ~» со верно соотношение
Р(тахф) + г]>и) = Си~р{1 + о(1)).
tfc.i
Введение
Теорема 1.1. Пусть распределение if удовлетворяет условию (6), а распределение случайной величины г\ удовлетворяет условию (7). Тогда
(і) если (3 > а, то при и —> со имеем соотношение
р/ сил, ^ ї AE(maxteTt{t))a+ + ^(max^ft))^ ,
P(max
(ii) если (5 < ос, то при и —> со имеем соотношение
P(max
(Ш) если (3 = а, то при и -» оо гшеел< соотношение
P(max(p(t) + г}> и) =
Случай ограниченных справа носителей параметров условно-гауссовского процесса.
Пусть fv(x)~ плотность случайной величины ц и о~\ = sup{x : f^{x) > 0}. Предположим, что а\ < оо.
Пусть ср— неотрицательная случайная величина с плотностью fip{x) и сг2 = sup{#: /<Д#) > 0}. Пусть а2 < оо.
При таких типах распределения случайных параметров ір,г) для нахождения асимптотик вероятностей (5) необходимо знать поведение при и -> оо вероятности P(supteT \(t)\ > и). Такая асимптотика получена для весьма широкого класса гауссовских случайных процессов и полей (см. [1]). Как правило, она имеет вид
P(sup(*) > и) = Ыае-Ы\\ + о(1)), и -> оо (8)
где h > 0, а— некоторые константы, Ь = 2 l EP(t)'
Доказано, что в случае, когда правые хвосты распределений случайных параметров <р, ц зануляются, асимптотики вероятностей (5) имеют тот же порядок, что и в (8).
Итак, пусть () удовлетворяет свойству (8).
Введение
Предложение 1.3. Пусть f^{x) непрерывна слева в точке х = о\ и fr){&\) > 0. Тогда при и —> оо верно следующее соотношение
P(maxt(t) + г]>и) = h{2b)-1fv{a1)ua-1e-biu-a^{l + о(1)).
Предложение 1.4. Пусть fv(x) имеет разложение
fv(x) = rf(<7i - я)а + о((аі - z)Q) при ж -» ah г(?е а > 0 и rf > 0.
Гог^й npw и —> оо еермо
Р(тахЄЙ + v > и) = dh(2b)-lT(a + 1),^(1 + o(l)),
ter 'и
где Г(-)~ гамма-функция.
Предложение 1.5. Пусть f^{x) непрерывна слева в точке х = о~і, причем jyip'i) > 0. Тогда при и -> оо верно следующее соотношение
Р(тжф)<р >и) = к(2Ъ)-1аги(о2)иа-2е-ы2№(1 + о(1)).
Предложение 1.6. Пусть ftp{x) имеет разложение
fv(x) = d(o2 - х)а + о(((72 - х)а) при ж —> <Т2, где а > 0 и d > 0.
Тогда при и —> оо
Р(шх(Ш > и) = ^±p^u-2-V^(l + 0(1)), (9)
где Г(-)- гамма-функция.
Теорема 1.2. Пусть для некоторого к — 0,1, 2... плотность frj{x) к раз непрерывно дифференцируема слева в точке х = а\, причем ц (аг) ф О, а при і < k : frj (&i) = 0. Пусть для некоторого I = 0,1,2... плотность f
P(maxipt(t) + rj>u) = Киа-к-21-ъе~Ь±^ (I + о(1)),
где /ІГ = (-1)*+'Л(2Ь)-*-|-2/^)(^і)/^І)(^2)а-22*+ЗІ+5-в.
Введение
Доказательства утверждений первой главы проводятся с помощью асимптотического метода Лапласа (см. [12]) и его модификаций.
Во второй главе изучаются асимптотики вероятностей высоких экстремумов условно-гауссовских процессов, представимых в виде произведения и суммы стационарного гауссовского и случайных квадратичной и линейной функций.
Пусть (t),t Є R— стационарный гауссовский случайный процесс с нулевым средним и корреляционной функцией r(t), такой, что для 0 < а < 2 имеет место r(t) = 1 - \t\a + o(\t\a) при МОи r(t) < 1 для всех t > 0.
Пусть г] и ( > 0— случайные величины такие, что пара (г), ) не зависит от процесса (). Пусть f(x,y) = fT,^(x,y)— совместная плотность случайных величин, а /ф{у\х) = f^y.x)/fv{x).
Для случайной величины т/ с плотностью fv обозначим a = swp{x : /г)(х) > 0}, а для случайной величины ( с плотностью fc обозначим а^ = sup-far : fc(x) > 0}. Пусть а^ < со, а < со и для некоторого к = 0,1,2,..., плотность fr)(x) к раз непрерывно дифференцируема слева в точке а, причем fil) (а) = 0 для I < к и $\а) ф 0.
Введем обозначение /^(г/И := Y\mx^a-f^^x).
Асимптотики вероятностей высоких экстремумов условно-гауссовских процессов со случайной дисперсией.
Предположим, что для некоторого є > 0 случайная величина т}> є. п.н.
Положим
Ри,2 = Р{ max (*)fa - ^а2) > «), Pu,i = Р( max (*)(»/ - С*) > «),
где а < у/2є/сг в случае параболы и а < є/а^ в случае прямой.
Введем обозначение Ф(и) = Р( > и), где — стандартная нормальная случайная величина. Как известно 4f(u) ~ (l/\Z27r)w-1e~u /2 при и -» со. Здесь и далее мы считаем, что a(u) ~ 6(w) при и —> со, если функции a(w) и 6(и) такие, что lim^oo a{u)/b{u) = 1.
Теорема 2.1. Предположим, что функция /^(у, #) непрерывна слева в
Введение іб
точке х = а для любого у Є [0, <т^\ и существует функция с{у) такая что
y'1/2fc\v(y\x) < с(у) и ЛГ с(у№ < -
1. Пусть а < 2. Тогда
Рщ2 ~ (-l)kyfaHaE2(a)a-2/a+3k+9'2fW(cr)u2^-2k^(u/a), и^оо,
гдеЕ2{о-) = ^у-112!ф\ст)о:у.
2. Пусть а = 2. Тогда
Рщ2 ~ (-1)каи+'^к\а)Е2(а)и-2-2к^(и/а), и -» оо,
где Ё2(а) = /;< vW+y)7y/c|4(yk)dy.
Теорема 2.2. 1. Пусть а > 1. Предположим, что существует е > О, такое, что плотность fcv(y,x) ограничена на [0, crj х [а —є, а]. Тогда при и -> оо
Л,1 - (-lj^+VfWw-2-2**^).
2а. Пусть а < 1. Предположим, что функция /^(у, ж) непрерывна слева в точке х = <т скя любого у Є [0, сг(] и существует функция с(у) такая что у'1 f<;\v{y\x) < с(у) и j^ c(y)dy < оо. Тогда
PU|i ~ (-1^^^ W/f Wix2^-^^/^, и -> оо,
где Ei(cr) = /*< jrVcfofak)
26. Пусть а < 1. Предположим, что функция /^п(у,х) непрерывна слева в точке х — а для любого у Є [0,сг^, условная плотность /с^Ы7? — ж) непрерывна в точке у — 0 равномерно по всем х 6 [сг — б, <т] для некоторого е > 0 и /ф(0|сг) > 0. Тогда npw и —> оо
Рид ~ 2(-1)*Яв(Г5+3*-2/в/<|ч(0|(7)/^(ajtt^-^logti Ф(«/<т).
5а. Пусть а = 1. Предположим, что функция fc>T}(y,x) непрерывна слева в точке х = а для любого у Є [0, а^ и существует функция с(у) такая что у'1 f^(y\x) < с(у) и J^c c(y)dy < оо. Тогда при и -» оо
Введение 17
где Пг(а)= /ff< Eexp{m
[0,оо]
B(t)— стандартное броуновское движение.
ЗЬ. Пусть а — 1. Предположим, что функция /(^(у, х) непрерывна слева в точке х = и для любого у є [0,0(\ и условная плотность fQrjiylv — х) непрерывна в точке у = 0 равномерно по всем х Є [с — е, а] для некоторого є > 0 и /^(Olcr) > 0. Тогда при и -> оо
РиЛ ~ 2(-1)каШк1?\а)Ы0\о-)и-2-2к log и Ф(и/<г).
Асимптотики вероятностей высоких экстремумов условно-гаус-совских процессов со случайным средним.
Положим
Ры+2 = Р(тэх№ + У) - \tf > и), Ри+ = P(max ОД + г; - С* > «).
Теорема 2.3. Предположим, что функция $^(у,х) непрерывна слева в точке х = и для любого у Є [0, о^] w существует функция с(у) такая что У~1І2їс\ц{у\х) < с(г/) и /0СТ< c{y)dy < оо. Тог^а при 0 < а < 2
Ри+2 - (-l)kV2^HaE2(a)fW(а)и21а-*'2-кЩч -а), и -+ оо
2<fc^w = /0acr1/2/fl,(yk)dy.
Теорема 2.4. Предположим, что функция f^(y,x) непрерывна слева в точке х = а для любого у Є [0, <т^\.
1а. Пусть а < 2 и существует функция с(у) такая что у-1 f(\n(y\x) < с(у) и J0a< c(y)dy < оо. Тогда
РІ ~ (-1)*Яв^М/№)((7)и2/в-2-*Ф(и - a), U - 00, 2( #1((7) = /Qa< 2/_1/c|7/(2/k) ^-
16. Пусть a <2 и существует є > 0 такое, что условная плотность f^r]{y\rj=x) непрерывна в точке у = 0 равномерно по всем х Є [а - є, а] и f^v(0\a) > 0. TWa при и -> оо
ift ~ H)fe#a/c(oH/f Ww2/Q-2-fciogw. ф(« - a).
Введение
2. Пусть а = 2 и существует функция с(у) такая, что у 1f^v(y\x) < с(у) и /0СТ< c(y)dy < оо. Тогда при и -> оо
(a)u-k-4(u - а),
где Ёг(а) = /*<(Ф(у^)fclv(y\a) dy, а Ф(х) = Р( < х), - стан-дартная нормальная случайная величина.
Доказательства утверждений второй главы проводятся с помощью метода двойных сумм (см. [1]) и асимптотического метода Лапласа и его модификаций.
Третья глава посвящена нахождению асимптотик вероятностей высоких экстремумов суммы и произведения стационарного гауссовского и процесса, удовлетворяющего определенным условиям регулярности.
Пусть (), t Є R— гауссовский стационарный процесс с нулевым математическим ожиданием , E(t) = 0 и корреляционной функцией r(t), такой что г (t) = 1 - \t\a + o(|t|a), 0 < а < 2 при t - 0 и r(t) < 1 для всех *>0.
Пусть 77(^), t Є К— случайный процесс, не зависящий от ().
Далее предполагаются выполненными нижеследующие условия А, В, С, D.
A. r](t) — три раза п.н. непрерывно дифференцируемый и локально огра
ниченный вместе со своими производными процесс, т.е. для любого огра
ниченного В и неслучайного С(В) < оо п.н. имеет место неравенство
*M\i(t)\ + W'W
B. Для любого t Є Ж плотность распределения ft(x, у, z) := fn(t),Ht),r)"{t){xi Уіz)
вектора (T}(t),r]'(t),r]"(t)) существует и для любого ограниченного Б С R
равномерно по Є Б ограничена на R3.
C. Для любого t и для любого х, таких что !ф){х) > 0 имеет место
/УШ0(0|ж)>0.
Введение
D. Предположим, что a(t) := sup{x : fv(t)(x) > 0} = а для всех t Є [—7, T + 7J, 7 > 0. Предположим, что точки локального максимума процесса r}(t) не вырождены, т.е. для некоторого є > 0 условия r)'(t) = 0 и r}"(t) < 0 влекут r\"{t) < —к. Предположим также, что lim /^(%^)(0|ж) —: fi{t)\n{t){^W) > 0 равномерно по всем t (мы допускаем максимумы любой высоты). Предположим, что для любого t и некоторого к = 0,1, 2,... плотность fv^ (х) равномерно по всем t к раз непрерывно дифференцируема слева в точке а, причем f L{cr) = 0 для I < к и j /Лс) ф 0.
Обозначим (т/'())_ = - min{7/"(), 0}. Тогда в указанных выше условиях имеют место следующие утверждения:
Теорема 3.1. Пусть ф) — п.н. положительный случайный процесс.
1. Пусть равномерно по всем t функция
Et(x) := Я(((т/'й)-)1/2 I Ф) = *, № = 0) (Ю)
непрерывна в точке а и Et(a) := Ііт^-ку- Et(x) > 0. Тогда при а < 2
lim P(m»W('M0>») = ^Нуш,2-2/а
«ос игіа-г-пцф) /0г(-1)*/<й/,'(()|,м(0ИЯ«М<й
2. Пусть равномерно по всем t функция fn"(t))\ri(t),ri'{t{z\x^) непрерыв
на слева в точке х = и для любого z Є [—С, —к] и ограничена сверху
функцией c(z), т.ч. f_c c(z) dz < оо. Тогда при а = 2
Ит Р(тахтт]ф)ф) > и) = ^3*+з
ии-^Щи/о) /0Т(-1)&4Й(a)fmT]{t)(0\a)E}(a)dt
и функция Е}(х) :=е(y/(rj"(t)-)(2x+ r]"(t)-) ф) = х,r/(t) = о) непрерывна слева в точке а, а Е\{и) := \\т.х^а- Е\{х) > 0.
Теорема 3.2. Пусть равномерно по всем t функция
Et(x):=E((V"(t)^2\r](t)=x,r]>(t) = 0)
непрерывна в точке а и Et(cr) > 0. Тогда при любом 0 < а < 2
Р(тах5Є[0]т] (s) + ф) > и)
«-.оо и2/«-з/2-*ф(и _ а) ^(-l^&fvm{^\a)Et(a)dt
Введение
Доказательства Теорем третьей главы проводятся с помощью методов теории точечных процессов (см. [38]), метода двойных сумм, а также асимптотического метода Лапласа и его модификаций.
Автор приносит глубокую благодарность своему научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Питербаргу Владимиру Ильичу за постановку задачи, постоянную поддержку и внимание к работе.
Случай ограниченного справа носителя распределения случайных параметров
Установлено, что любое возбуждение пчелиной семьи передается клещам Varroa и вызывает увеличение их осыпи, причем причины, вызвавшие возбуждение пчел, самые разные - это может быть отбор меда, дача подкормки, введение в улей сильного запаха и т.д. ( Ларичев, 1977; Таранов, 1981; Bogel, 1986). При использовании сетчатого подрамника на дно улья рекомендуется помещать лист бумаги или картона, смазанный вазелином для фиксации опавших клещей. Сетчатый подрамник рекомендуется класть рано весной и держать до поздней осени, оставлять на зиму ее не следует (Мечев, 1978).
Предложены различные конструкции подрамников, позволяющие их использование в ульях различных систем как с отъемными, так и с глухими доньями -(Ларичев, 1977; Афанасьев, 1978; Мечев, 1978; Твердый, 1978; Турбин, 1979; Озеров, 1979; Гаврилюк, 1980; Liu, 1990)..
Метод удаления трутневого расплода основан на его предпочтении клещом. С этой целью применяют строительные рамки и трутневую вощину. После запечатывания трутневого расплода его вырезают, рамку заменяют на новую (Гунешки Никола, 1984). В качестве комбинированной рамки можно использовать магазинную (Ларичев, 1978; Тарханов, 1982). В свою очередь Т.Т. Казанцев (1984) рекомендует участки с трутневым сотом шириной 60 мм размещать по краям рамки, так как самки Varroa охотнее откладывают яйца на периферии сота, где прохладнее. И.Е. Петренко (1989) предлагает строительную рамку, состоящую из двух трутневых полурамок. По мере запечатывания одну из полурамок меняют. Б.В. Тарханов (1982) рекомендует ставить трутневый сот в гнездо на зиму в качестве кормовых, что позволяет пчелам раньше закладывать трутневый расплод, а пчеловоду - начать борьбу с Varroa. Установлено, что эффективность и интенсивность поражения трутневого .расплода находится в обратной зависимости от его количества. Постановка трутневого сота дает хороший эффект, если площадь его будет составлять 0,4-0,8 площади стандартной рамки на 12 рамочный корпус (Мельник, Муравская, 1980). По данным Н.И. Чеботарева (1977) выявлена акарицидная эффективность данного метода в пределах 29%, В.Н. Шилова (1980) - 36%, В.И. Масленниковой (1997) - 49,4-58,3%. В опытах И.М. Дарагана и Н.Н. Тимченко (1981) установлена акарицидная эффективность использования трутневой вощины до 66%.
Очень эффективными методами регуляции численности клещей в пчелиных семьях является формирование отводков и связанные с ним перенос печатного расплода, распределение пчел (как правило, между основной семьей и отводком) по возрасту, создание безрасплодного периода. И.А. Мочалов (1981) предлагает формировать безрасплодные отводки только из летных пчел, как наименее пораженных. Данные методы позволяют концентрировать паразитов в отдельных пчелиных семьях и получать новые, относительно свободные от клеща. Так, Е.Н. Гурьевым (1981) разработана противоварроозная технология содержания и размножения пчелиных семей, основанная на переносе всего печатного расплода с собравшимися в нем клещами из двух пчелиных семей в третью семью (семью-инкубатор). В дальнейшем от семьи-инкубатора формируют отводок, состоящий из открытого расплода, летных пчел и старой матки. В итоге получают из трех основных семей три семьи, освобожденные от паразита, и одну, в которой клещ сконцентрирован. При высокой заклещеванности рекомендуем перед данными мероприятиями провести акарицидную обработку.
Предложена технология содержания пчелиных семей, сочетающая удаление всего расплода с применением рамок-ловушек, которую удаляют после ее запечатывания вместе с собравшимися в ней клещами (Кинзябаев и др., 1980). При данной технологии все семьи делят на 3 группы: сильные, средние и слабые. Из сильных семей удаляют печатный расплод в слабые семьи, открытый - в средние и в их гнезда ставят рамку-ловушку. Через 10-12 дней из слабых семей удаляют весь расплод в средние семьи и тоже дают рамку-ловушку. Еще через 6-$ дней удаляют весь расплод из средних семей в семьи-инкубаторы и также дают рамку-ловушку. Такая технология позволяет освободить от клеща все основные семьи, исправить ослабевшие семьи и предотвратить роение.
B.C. Нестеренко (1983) также рекомендует проводить отбор всего расплода из половины семей в семьи другой половины, из которых получают семьи-медовики. В семьи первой половины дают рамки-ловушки. После медосбора из семей-медовиков также проводят отбор всего расплода в сформированные из них отводки и используют рамки-ловушки. В свою очередь И.Е. Безродный (1984) предлагает формировать отводки с расплодом в возрасте до 5 дней, где нет клеща, и пчел, обработанных каким-либо препаратом.
Асимптотика вероятностей высоких экстремумов условно-гауссовских процессов со случайным средним
Климат региона типично континентальный, формируется главным образом под влиянием свойств воздушных масс азиатского материка; воздействие атлантических масс невелико. Беспрепятственное проникновение арктических масс воздуха с севера и сухих из Казахстана и Средней Азии обусловливает резкие изменения погоды и приводит к общей неустойчивости климата.
Основными чертами температурного режима территории являются: суровая холодная зима, теплое, непродолжительное лето, короткие весна и осень, короткий безморозный период, резкие колебания температуры в течение грда, месяца и даже в течение суток.
Средняя температура января, как самого холодного месяца года, составляет -15...-19С; минимальные температуры в отдельные дни могут достигать -42...-51 С. Средняя температура июля, как считается, самого теплого месяца года, +18...+22С; максимальные температуры на территории могут быть +35...+38С. Характерна большая изменчивость средних месячных температур. Годовое количество осадков невелико и составляет 300-470 мм.
Устойчивый снежный покров образуется в первой декаде ноября и разрушается во второй декаде апреля, продолжительность его залегания 155-165 дней, максимальная высота 35-45 см.
Длительность вегетационного периода около 160 дней, безморозного периода 100-125 дней. Переход средней суточной температуры через 0 и 5С на повышение происходит соответственно в середине апреля и в конце апреля - начале мая, на понижение - в начале октября и середине октября. Заморозки не отмечаются только в июле, во все остальные летние месяцы они возможны (Скворцов, 1960).
Жизнедеятельность пчелиной семьи, ее развитие и продуктивность в значительной мере определяются природно-климатическими и погодными условиями.
В условиях изучаемого региона пчелы, зимующие на воле, совершают очистительные облеты с первого по двадцать восьмое марта, из зимовников их выставляют чаще всего в первой половине апреля, а главный медосбор начинается с пятого-десятого июля. Этот срок выделен природой для наращивания силы пчелиных семей к медосбору. В данный период развитию пчелиных семей мешают длительные весенние похолодания, которые приводят к прекращению поступления нектара и пыльцы и, как следствие, к сокращению яйцекладки маток. Также отрицательно на яйцекладке маток сказывается длительный безвзяточный период в конце мая - начале июня (Елфимов, 1991). В весенний период пчелиные семьи в своем развитии проходят три периода (Теребов, 1994): 1) Смена перезимовавших пчел. Длится он один месяц после первого очистительного облета. 2) Период роста пчелиной семьи до силы 2,5-3,5 кг пчел и 7-9 рамок расплода. Начинается он в начале мая и завершается 15-25 мая в зависимости от силы пчелиной семьи. 3) Период накопления резервных пчел и подготовки пчелиных семей к роению и безрасплодному периоду.
Соответственно, учитывая данные периоды, рекомендуется деление пчелиных семей и формирование отводков проводить с учётом ландшафтно-климатических условий, примерно с 17 мая по 5 июня - во время окончания роста пчелиных семей и начала накопления резервных пчел. Данный срок является оптимальным для подзоны осиново-березовых лесов; в подзоне южно-таежных лесов сроки деления могут быть на 3-5 дней позже, а в подзоне северной лесостепи - раньше.
По результатам анкетирования и многолетних наблюдений, первые очистительные облеты пчел при зимовке на воле в окрестности г. Тюмени происходят в конце марта - начале апреля, а в отдельные годы - в последней декаде апреля. Сроки в развитии семей, ввиду неустойчивости климата, могут различаться по годам на 1,5-2 недели. Развитие пчелиных семей весной проходит неравномерно, что объясняется длительными возвратными холодами. Развитие пчелиных семей, характеризующееся обновлением пчел и освоением гнезда после зимовки, начинается с зацветанием мать-и-мачехи и ивовых (вторая декада апреля - первая декада мая), когда в гнездо поступает в достаточном количестве свежая пыльца и нектар и временно устанавливается теплая погода. Во второй половине мая, при цветении садовых насаждений, одуванчика происходит интенсивный рост пчелиных семей, в гнездах быстро увеличивается количество расплода, появляется трутневый расплод, отмечается побелка сотов.
Асимптотика вероятностей высоких экстремумов произведения процессов
Сложность лечения пчёл от варрооза состоит в том, что с ранней весны и до осени в пчелиных семьях бывает расплод, где и находится основное количество паразитов. Там они питаются, размножаются и практически не доступны современным препаратам. Наиболее эффективным способом регуляции численности клещей является воздействие на них в период, когда в семье отсутствует расплод, и все паразиты находятся на пчёлах. Этот период является разрывом цикла размножения клещей Варроа в пчелиных семьях. Получению безрасплодного периода способствуют: естественное роение, искусственное роение, деление пополам (на пол-лёта) и другие приёмы. Естественное роение - исторически сложившийся способ размножения пчелиных семей, путём отделения от материнской семьи части пчёл с маткой и трутнями и расселения их в диком состоянии, которая является эколого-биологическим способом регуляции клещей в основной материнской семье. Для выявления эффективности регуляции численности клещей Варроа деструктор при естественном роении нами в 2002-2004 г.г. был проведен ряд опытов на экспериментальных пасеках Тюменского и Нижнетавдинского районах. Пчелиные семьи содержали в стандартных 16-рамочных ульях. В начале июня мы для опыта выделили 10 пчелиных семей по принципу пар аналогов (одинаковых по силе, степени заклещеванности, возрасту маток). В течение 7-Ю дней вели наблюдение за биологическим состоянием пчёл (яйценоскостью маток, выращивание расплода и другими показателями). В результате проведенных исследований выяснили, что весной при наличии обилия медоносов в природе яйценоскость маток (по количеству печатного расплода) в пчелиных семьях возрастала в среднем на 40% (таблица 2). Затем наступал безвзяточный период, который длился от 5 до 20 дней в зависимости от ландшафтно-климатических условий.
При этом пчелы прекращали строительство сотов, ограничивали яйцекладку матки и выращивание расплода в среднем на 63% и начинали активно оттягивать маточники, готовясь к роению. Соотношение числа рабочих пчёл и личинок в семьях с каждым днём повышалось за счёт молодых вышедших из расплода пчел и в день роения составило в среднем 9,8 раза. Известно (Кокорев, Чернов, 2005), что примерно 80% пчёл и 70% трутней вылетевших с роем, составляют особи в возрасте до 24 дней. Соответственно большая часть уязвимых паразитов находится на роевых (готовящихся к роению) пчёлах и трутнях, так как им необходимо время для созревания, подготовки к способности откладывать яйца и размножаться. Это сказывается и на степени заклещеванности пчёл в материнской семье, которая отпускает рой (табл. 2). сравнению с пчелиными семьями, не отпускавшими рой. Для этого до роения (14 и 25 июня), а так же в августе после отбора меда, когда в роившихся семьях работала молодая матка, отобрали пробы пчел и исследовали их на пораженность клещом. Результаты исследований представлены в таблице 3.
Как видно из таблицы, заклещеванность пчел в роившихся семьях с 14 июня по 10 августа практически не изменилась, в то время как в не роившихся семьях, где в течение всего периода присутствовал расплод, она возросла в 3,1 раза. Таким образом, роение пчёл способствует уменьшению количества клещей в основной материнской семье, что составила её противоклещевая эффективность 67,0±3,8%. Разрывом цикла размножения клещей Варроа в пчелиных семьях можно достичь путём создания безрасплодного периода с непосредственным участием человека, в том числе. К антропогенным методам создания безрасплодного периода в пчелиных семьях относятся: искусственное роение, деление пополам «на ол-лёта», формирование отводков путём «налета на матку», перегон пчел в новое гнездо на пустые соты и другие. Деление пчелиных семей «на пол-лёта» - один из эколого-биологических способов ограничения численности клещей с участием антропогенного фактора и метод создания безрас плодного периода в одной из половин поделённой семьи. Данный метод позволяет равномерно распределить пчёл разного возраста между двумя новыми семьями.
Асимптотика вероятностей высоких экстремумов суммы процессов
Экономическую эффективность комплексного применения эколого-биологических приемов при варроозе рассчитывали в сравнении с традиционной обработкой пчелиных семей химическими препаратами. Учитывая, что применение эколого-биологических приемов не оказывает влияния на продуктивность пчелиных семей, в расчет данный показатель не брали. Эффект от применения этих приемов складывался из разницы в затратах на противоклещевые обработки эколого-биологическими приемами в сравнении с акарициднымии обработками химическими препаратами, в повышении экологической чистоты получаемой продукции. Для этого нами определены, из расчета на обработку одной пчелиной семьи: 1. стоимость растительных препаратов - порошка красного перца и порошка семян укропа; 2. стоимость мази на основе эфирных масел; 3. стоимость сетчатых подрамников; 4. затраты труда на применение комплекса эколого-биологических приемов; 5. стоимость используемых химических акарицидов; 6. стоимость затрат труда на проведение акарицидных обработок химическим препаратом. Для расчета мы брали рыночную цену препарата. Заработная плата пчеловода с учетом полной нагрузки составляет 5000 рублей. При 8-часовом рабочем дне и 22 рабочих днях в месяц стоимость одного человеко-часа равна 28,41 рубля. Для обработки порошком перца или укропа в комплексе с применением сетчатого подрамника на одну семью силой 8-10 улочек требуется 16-20 г порошка.
Стоимость его (при покупке сырья на рынке или в аптеке) составляет 7-9 рублей. Изготовление или покупка сетчатого подрамника обойдется пчеловоду в 50-70 рублей, однако достаточно иметь один подрамник на 5 семей, при этом срок службы его более 10 лет. Таким образом, стоимость его использования при обработке пчелиной семьи составляет 1,0-1,4 рубля. Для смазывания дна подрамника используют растительное масло, расход его на один подрамник составляет 20-25 мл, а стоимость 0,6-0,8 рубля (при цене 30 рублей за один литр). Стоимость материалов для обработки семьи мазью на основе эфирного масла слагается из стоимости самой мази (расход на 1 пчелиную семью 20-30 г), которая составляет 4-6 рублей (для обработки одной семьи), и стоимости бумаги (0,9 рубля) или использования сетчатого подрамника-1,0-1,4 рубля. Затраты труда на применение комплекса эколого-биологических приемов на безрасплодной семье (обработка порошком либо мазью на основе эфирного масла, постановка и удаление сетчатого подрамника (жировой ловушки), применение рамки-ловушки) по результатам проведенного нами хронометража не более 8 минут на одну семью, что в стоимостном выражении составляет 3,8 рубля. Таким образом стоимость применения комплекса эколого-биологических приемов - обработка порошком красного стручкового перца или порошком семян укропа + применение сетчатого подрамника + применение рамки-ловушки, с учетом трудовых затрат составляет 12,4-15,0 рублей (7-9 + 1,6-2,2 + 3,8 руб.) на одну безрасплодную пчелиную семью.
При использовании пчеловодом сырья собственного производства затраты на обработку могут быть уменьшены. Стоимость применения комплекса эколого-биологических приемов -обработка мазью на основе эфирного масла (укропа, пихты или мяты) + применение рамки-ловушки, с учетом трудовых затрат составляет 8,7-11,2 рублей (4-6 + 0,9-1,4 + 3,8 руб.) на одну безрасплодную пчелиную семью. Затраты на проведение тепловой обработки в комплексе с применением сетчатого подрамника и рамки-ловушки слагается из стоимости использования сетчатого подрамника, смазанного растительным маслом (1,6-2,2 рубля) и трудовых затрат на проведение обработки, которые по нашим данным составляли 15 минут, что соответствует 7,1 рубля. Общая стоимость применения этого комплекса составляет 8,7-9,3 рублей. При традиционной обработке против варрооза акарицидными препаратами двукратно в осенний безрасплодный период стоимость ее слагается из стоимости препарата и трудовых затрат на проведение обработки. При использовании таниса она составляет 4,0 рубля и 5,0 минут, что в общей сложности стоит 6,4 рубля. При обработке препаратом ТЭДА она составляет 10,0 рублей и 5,0 минут, что в общей сложности стоит 12,4 рубля.
