Введение к работе
Актуальность темы. Существование тесных связей между дифференциальными уравнениями второго порядка и марковскими процессами било установлено еще в конце тридцатых годов, в работах А.Н.Колмогорова, А.Я.Хинчина, И.Г.Петровского, В.Феллера и других. Первоначально эта связь использовалась преимущественно в одну сторону - из свойств решений дифференциальных уравнений делались те или иные выводы о марковских процессах. Вероятностные рассуядения в задачах теории дифференциальных уравнений, в лучшем случае, играли роль наводящих соображений. Лишь после создания аппарата стохастических дифференциальных уравнений К.Ито и И.И.Іихманом, стало возможным чисто вероятностное построение диффузионных процессов, не зависимое от дифференциальных уравнений. Это обстоятельство позволило применить теорию диффузионных процессов к изучению свойств соответствующих дифференциальных уравнений, в частности, вырождающихся или имеющих малые параметры. Возник целый цикл, который бал начат работами Хаськин-ского, Вантцеля, Фрейдлина (СССР) , Кушнера, Фридмана (США) и другах.
Применение теории стохастических уравнений к задачам теории дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных основано на глубокой идее, согласно которой траектории диффузионных процессов могут для таких уравнений играть роль аналогичную роли характеристик в теории уравнений первого порядка. И, так же, как теория характеристик делает геометрически наглядными уравнения.первого порядка, так и вероятностные рассмотрения делают наглядными многие задачи, возникающие в теории эллиптических и параболических уравнений.
Цель диссертационной работы - изучение асимптотических свойств диффузионных процессов с малым параметром,вырождающихся иа границе области и исследование предельного поведения первого собственного значения дифференциального оператора второго порядка с малым параметром,вырождающегося на границе области»
Методика исследования. В работе используются метода теории диффузионных процессов и теории уравнений в частных производных.
Научная новизна. В диссертационной работе наследуется асимптотика некоторых функционалов от траекторий диффузионных
процессов с малим параметром,вырождающихся на границе области.
В работе найдена логарифмическая асимптотика среднего времени выхода из ограниченной области диффузионного процесса, вырождающегося на границе области, перенос которого направлю во «внутрь области, возмущенного некоторым другим невырожденным процессом. Для таких процессов найдено предельное распределение момента первого выхода на границу. Вичислена асимптотика первого собственного значения оператора -Ci*Lj + Le), где Lo оператор вырождающийся на границе области, a Lj- строго эллиптический оператор.
Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались автором на семинарах по теория вероятностей и математической статистике в Ереванском государственном университете, институте математики АН УССР.
Публикация. По теме диссертации опубликована статья ^1"\ .
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Она содержит 70 страниц. Список литературы содержит 36 наименований. .
