О функционалах от случайных блужданий и процессов броуновского типа Люлько, Ярослав Александрович

Введение к работе

Актуальность темы. Диссертация посвящена исследованию функционалов от случайных процессов в дискретном и непрерывном времени с точки зрения нахождения их распределений, предельных свойств распределений, стохастических представлений, а также получению «максимальных» неравенств и решению связанных с ними задач оптимальной остановки.

Практически каждая задача или результат современного стохастического анализа так или иначе связаны с функционалами от случайных процессов - даже знаменитая формула Ито для дважды непрерывно дифференцируемых функций

df df 13²f

df(t,X_t) = -±(t,X_t)dt + --(t,X_t)dX_t + --^L(t,X_t)(dX_t)²

оперирует с функционалом f(t,X_t) от случайного процесса (X_t)t>o-При изучении любого случайного процесса классическими задачами для функционалов от его траекторий являются нахождение распределения максимума на фиксированном и случайном отрезках времени; момента первого достижения некоторого уровня; момента первого выхода из заданного множества; момента, обратному к размаху, а также исследование локальных времен случайных процессов. Основные известные результаты о функционалах от случайных процессов изложены в монографиях Revuz и Yor¹, Karatzas и Shreve², А. Н. Ширяева³'⁴, Rogers и Williams⁵.

Зачастую для выявления специальных свойств стохастических процессов и получения новых результатов обращаются к базовым процессам и исследуют функционалы уже от этих процессов более простой структуры. Таким базовым процессом в дискретном времени является сумма

¹ Revuz D., Yor М. Continuous martingales and Brownian motion. 3-rd ed. — Berlin: Springer, 1999 ²Karatzas I., Shreve S. Brownian motion and stochastic calculus. — Berlin, Heidelberg and New

York: Springer, 1988

³Булинский А. В., Ширяев A.H. Теория случайных процессов. — М.: Физматлит, 2003

⁴Липцер Р. Ш., Ширяев А. Н. Статистика случайных процессов. — М.: Наука, 1974

⁵Rogers L., Williams D. Diffusions, Markov processes, and martingales. II. — New York: Wiley and

Sons, 1987

независимых случайных величин - случайное блуждание S = (Sk)k>o, ^и в непрерывном времени - броуновское движение (винеровский процесс) W = (Wt)t>o- Примером специальной задачи может служить задача исследования дискретных стохастических интегралов, которые включают в себя и интегральные функционалы от случайных блужданий. Высокий интерес к подобным функционалам связан с их использованием в моделях рынка акций в финансовой математике, а также с рядом задач, возникающих в современной теории временных рядов. В процессе решения подобных задач являются полезными различные варианты предельных теорем, позволяющие получать свойства стохастических интегралов от более сложных процессов, в частности, от фрактального броуновского движения (B^(t))t>o с параметром Харста Ш Є (0,1). Данный гауссовский процесс, введенный в работах А. Н. Колмогорова⁶ и Б. Ман-дельбротта, И. Ван Несса⁷, в общем случае не является ни марковским процессом, ни семимартингалом. Однако, с помощью рассмотрения дискретных интегралов от случайных блужданий, в работах⁸'⁹ выводятся общие условия сходимости к интегралам Ито от стандартного броуновского движения (Ш = 1/2), а в работе¹⁰ - к интегралам по фрактальному броуновскому движению с параметром Харста Ш > 1/2. Таким образом, изучение некоторых свойств интегралов по фрактальному броуновскому движению сводится к исследованию дискретных стохастических интегралов по случайному блужданию, которые устроены значительно проще. Отметим также, что многие результаты, относящиеся к функционалам от стандартного броуновского движения, приведены в справочнике А. Н. Бородина, П. Салминена¹¹ и монографии А. Н. Ширяева¹².

В главе 1 мы рассматриваем так называемые стохастические ин-

⁶Колмогоров А. Н. Математика и механика. Избранные труды. Том 1. — М.: Наука, 1985

⁷Mandelbrot В. В., Van Ness J. W. Fractional Brownian motion, fractional noises and applications. // SIAM Review, 1968, v. 10, p. 422-437

⁸Скороход А. В., Слободенюк Н.П. Предельные теоремы для случайных блужданий. — Киев: Наукова Думка, 1970

^gYoshihara K.-I. A weak convergence theorem for functionals of sums of martingale differences. // Yokohama Math. J., 1978, v. 26, p. 101-107

¹⁰ Mishura Yu.S., Rode S.H. Weak convergence of integral functionals of random walks weakly
convergent to fractional Brownian motion. // Ukrainian Math. J., 2007, v. 59, No 8 p. 1040—1046

¹¹ Бородин A. H., Салминен А. Справочник по броуновскому движению. — СПб.: Лань, 2000

¹²Ширяев А. Н. О мартингальных методах в задачах о пересечении границ броуновским движением. — Современные проблемы математики, в. 8, М.: МИАН, 2007

тегральные представления (однократные представления) и представления хаоса (многократные представления) функционалов от случайных процессов в дискретном времени. Полученные нами однократные представления функционалов от случайного блуждания являются дискретными аналогами представлений для функционалов от стандартного броуновского движения (Bt)t>o, полученных в работах¹³'¹⁴. Одним из результатов данных работ является представление максимума My = maxo<_ss, которое также было получено другим методом в монографии¹⁵.

В случае непрерывного времени существование однократных представлений для класса квадратично интегрируемых Т-измеримых функционалов, где [Tf\^^\ ~ естественная фильтрация броуновского движения, гарантирует известная теорема Ито-Кларка . Хотя данная теорема принципиально и решает вопрос о существовании стохастических представлений для квадратично интегрируемых функционалов, нахождение подынтегрального процесса в представлении в каждом конкретном случае является далеко не самой тривиальной задачей. Одним из методов является формула Кларка¹⁶'¹⁷. Предложенный П. Маллявеном в работе¹⁸ метод исследования переходных вероятностей диффузионных процессов нашел применение для гораздо более широкого класса задач анализа, геометрии, теории случайных процессов. В частности, метод оказался полезен для исследования свойств интегральных функционалов от случайных процессов. Исчислению Маллявена посвящены книги В.И. Богачева¹⁹, D. Nualart²⁰, а таже монография N. Privault²¹.

¹³Ширяев А. Н., Йор М. К вопросу о стохастических интегральных представлениях функционалов от броуновского движения. I. // Теория вероятн. и ее примен., 2003, том 48, вып. 2, с. 375—385

¹⁴Граверсеп С. Э., Ширяев А. Н., Йор М. К вопросу о стохастических интегральных представлениях функционалов от броуновского движения. П. // Теория вероятн. и ее примен., 2006, том 51, вып. 1, с. 64—77

¹⁵Rogers L., Williams D. Diffusions, Markov processes, and martingales. II. — New York: Wiley and Sons, 1987

¹⁶ Clark I. M. C. The representation of functionals of Brownian motion by stochastic integrals. // Ann. Math. Statist., 1970, v. 41, No 4, p. 1282-1295

¹⁷Karatzas I., Shreve S. Brownian motion and stochastic calculus. — Berlin, Heidelberg and New York: Springer, 1988

¹⁸Malliavin P. Stochastic calculus of variations and hypoelliptic operators. // Proc. Intern. Symp. SDE Kyoto, Tokyo: Wiley, 1978, p. 195-263

¹⁹Богачев В. И. Дифференцируемые меры и исчисление Маллявена. — М.: Ижевск, 2008

²⁰ Nualart D. The Malliavin calculus and related topics, 2nd ed. — Springer, 2006

²¹ Privault N. Stochastic Analysis in Discrete and Continuous Settings: With Normal Martingales. —

Несмотря на всеобщность формулы Кларка, в каждом конкретном случае произвести вычисление производной Маллявена и найти явный вид подынтегрального процесса достаточно трудно. Поэтому в настоящей работе мы демонстрируем другой подход, основанный на использовании мартингала Леви и разложения Дуба-Мейера процессов в дискретном времени.

Основная часть главы 2 посвящена вопросу о распределении вероятностей случайной величины N_Tb(a)_: которая есть число посещений состояния а однородной марковской цепью Z = (Zk)k^o ДО момента ть первого попадания цепи в состояние Ъ. Одним из основных результатов данной главы является нахождение распределения N_n(a) в общем виде.

Далее в качестве примера полученный результатат применяется к скошенному случайному блужданию - дискретному процессу, введенному в работе²². Все параметры распределения случайной величины N_n(a) в случае скошенного случайного блуждания найдены в явном виде. В частности, получены обобщения ранее известных результатов. Так, в случае симметричного бернуллиевского случайного блуждания известно²³, что EN_To(a) = 1 и не зависит от уровня а > 0. Из полученных нами результатов непосредственно следует, что для скошенного случайного блуждания с параметром а Є [0,1] при любом Ъ < 0 математическое ожидание EN_Tb(a) равно 2ск|&|/(1 — а), т. е. также не зависит от уровня а > 0. При этом распределение времени N_n(a) в этом случае все же зависит от а.

В уже упомянутой работе было показано, что при соответствующей нормировке скошенное случайное блуждание (S%)k>o с параметром а сходится к скошенному броуновскому движению {W")t>o- Скошенное броуновское движение впервые было рассмотрено в книге К. Ито и Г. Маккина²⁴, а затем подробно изучено в работе²⁵. Скошенное броуновское движение с параметром а = 1/2 по закону совпадает со стандартным броуновским движением (Bt)t>o, ^а с параметром а = 1 - с модулем стандартного броуновского движения (|->t|)t>o- Данный процесс приме-Springer, 2009 (Lecture Notes in Math., v. 1982)

²²Harrison J. M., Shepp L. A. On skew Brownian motion. // Ann. Probab., 1981, v. 9, No 2, p. 309-313 ²³Ширяев A. H. Задачи по теории вероятностей. — M.: МЦНМО, 2006 ²⁴Итпо К., Маккип Г. Диффузионные процессы и их траектории. — М.: Мир, 1965 ²⁵ Walsh J. В. A diffusion with a discontinuous local time. // Temps Locaux, Asterisque, 1978, 52-53, p. 37-45

няется при решении разнообразных прикладных задач в геофизике²⁶, экологии²⁷, астрофизике²⁸, финансовой математике²⁹, а также для численного моделирования диффузионных процессов специального типа³⁰. Основные вероятностные свойства скошенного броуновского движения наиболее полно отражены в работе работе .

Используя обобщенный принцип инвариантности Донскера-Прохорова, установленный в работе³¹, мы переходим к пределу от времени пребывания N_Tb(a) скошенного случайного блуждания к локальному времени L_n(a) скошенного броуновского движения и находим распределение локального времени до момента 7. Стоит отметить, что существует общая теория локального времени диффузионных процессов со временем жизни (, основанная на теоремах Рэя-Найта³²'³³. С помощью этой теории, например, в книге¹¹ найдено распределение локального времени стандартного броуновского движения с линейным сносом до момента первого достижения уровня Ъ. В настоящей работе продемонстрирован другой подход, основанный на аппроксимации диффузионных процессов марковскими цепями с дальнейшим предельным переходом, основанным на обобщенном принципе инвариантности.

В третьей главе мы рассматриваем задачи, связанные с оптимальной остановкой скошенного броуновского движения. Полученные результаты позволяют установить неравенства, связывающие среднее значение максимума {W^)t>o до момента остановки г и среднее значение времени наблюдения т. Данные неравенства обобщают классические «максимальные» неравенства для стандартного броуновского движения и его

^2eLejay A. Simulating a diffusion on a graph application to reservoir engeneering. // Monte Carlo Methods Appl., 2003, v. 9, No 3, p. 241-256

²⁷ Cantrell R., Cosner C. Diffusion models for population dynamics incorporating individual behavior at boundaries: Applications to refuge design. // Theoretical Population Biology, 1999, v. 55, No 2, p. 189— 207

²⁸Zhang M. Calculation of diffusive shock acceleration of charged particles by skew Brownian motion. II Astrophys. Journal, 2000, v. 541, p. 428-435

²⁹ Corns T. R. A., Satchell S. E. Skew Brownian motion and pricing European options'. // The European Journal of Finance, 2007, v. 13, No 6, p. 523-544

³⁰Lejay A. On the construction of the skew Brownian motion. // Probab. Surv., 2006, No 3, p. 413—466

³¹ Cherny A., Shiryaev A., Yor M. Limit behaviour of the "Horizontal-Vertical" random walk and some extensions of the Donsker-Prokhorov invariance principle. // Теория вероятн. и ее примен., 2002, том 47, вып. 3, с. 498-517

³²Ray D. В. Sojourn times of a diffusion process. III. // Illinois J. Math., 1963, v. 7, p. 615—630

^ъъKnight F.B. Random walks and a sojourn density process of Brownian motion. // Trans. Amer. Math. Soc, 1963, No 109, p. 56-86

модуля, полученные в работах '.

Цель работы. Целью настоящей диссертации является исследование функционалов от случайных процессов в дискретном и непрерывном времени с точки зрения нахождения их распределений и стохастических представлений. Также целью является получение новых «максимальных» неравенств и решение связанных с ними задач оптимальной остановки для процессов броуновского типа.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Получены однократные и многократные стохастические представления функционалов «максимального» типа от случайного блуждания, рассматриваемых до фиксированного момента времени, до момента первого достижения некоторого состояния (марковский момент) и до момента последнего нуля случайного блуждания на фиксированном отрезке (немарковский момент). С помощью принципа инвариантности Донскера-Прохорова произведен предельный переход от представления максимума случайного блуждания на фиксированном отрезке к известному представлению максимума броуновского движения.

2. Найдено распределение времени пребывания однородной марковской цепи со счетным множеством состояний на разных уровнях фазового пространства до момента достижения фиксированного состояния. Показано, что в общем случае распределение будет геометрическим (с массой в нуле). В качестве примера получено распределение времени пребывания скошенного случайного блуждания и произведен предельный переход к непрерывному времени, устанавливая тем самым распределение локального времени скошенного броуновского движения. Также получены распределения функционалов «максимального» типа в дискретном и непрерывном времени на различных участках траектории рассматриваемого процесса.

^MDubins L., Schwarz G. A sharp inequality for sub-martingales and stopping times. // Asterisque, 1988, v. 157-158, p. 129-145

³⁵Дубине Л. E., Шепп Л. А., Ширяев А. Н. Оптимальные правила остановки и максимальные неравенства для процессов Бесселя. // Теория вероятн. и ее примен., 1993, том 38, вып. 2, с. 288—

3. Получено «максимальное» неравенство для скошенного броуновского движения. Установленное неравенство является обобщением классических неравенств для стандартного броуновского движения и его модуля. Доказательство результата основано на решении задачи оптимальной остановки, для которой найдены оптимальный момент и функция цены. Кроме того, найден явный вид границы множества остановки.

Результаты диссертации обоснованы в виде строгих математических доказательств и получены автором самостоятельно. Точные формулировки установленных автором утверждений приведены ниже.

Методы исследования. В работе применяются методы теории вероятностей, теории случайных процессов, стохастического исчисления, а также методы теории оптимальных правил остановки марковских процессов.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Результаты и методы работы могут быть полезными при изучении распределений функционалов от случайных процессов в дискретном и непрерывном времени. Полученное в главе 2 распределение времени пребывания однородной марковской цепи может быть использовано при изучении свойств локального времени диффузионных процессов и их дискретных аналогов. Установленные в главе 3 «максимальные» неравенства могут быть использованы в задачах оценивания функционалов от случайных процессов.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались автором на следующих научных семинарах и конференциях:

3. Большой семинар кафедры теории вероятностей МГУ под руководством академика РАН, проф. А.Н. Ширяева (Москва, несколько докладов в 2009-2012 гг.).

4. Научный семинар «Вероятностные проблемы управления и стохастические модели в экономике, финансах и страховании» под руководством Аркина В.И. и Пресмана Э.Л. в ЦЭМИ РАН (Москва, 2013 гг.)

3. Научный семинар «Стохастический анализ: теория и приложения»
под руководством академика РАН, проф. А.Н. Ширяева, проф. А.А.
Гущина в Математическом институте им. В.А. Стеклова (Москва,

2011 гг.)

4. Международная конференция «Stochastic Optimization and Optimal Stopping» (Москва, 2012 г.)

5. Международная конференция «Markov and Semi-Markov Processes and Related Fields 2011» (Порто Kappac, Греция, 2011 г.)

6. Международный симпозиум «Workshop on Stochastic Methods in Financial Markets» (Любляна, Словения, 2011 г.)

7. Международный симпозиум «Visions in Stochastics (Leaders and their Pupils)» (Москва, 2010 г.)

8. Международная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов» в МГУ (Москва, несколько докладов в 2009-

2012 гг.)

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 4 печатных работах автора в рецензиремых журналах. Список публикаций приведен в конце автореферата. Работ, написанных в соавторстве, нет.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, основных обозначений и списка литературы, насчитывающего 81 наименование. Общий объем диссертации составляет 102 страницы.

Похожие диссертации на О функционалах от случайных блужданий и процессов броуновского типа

О статистических задачах для процессов типа дробового эффектаМельник, Валентин Николаевич

Асимптотическое оценивание параметров рекуррентных процессов полумарковского типаОразклычев, Акойлы Аширмамедович

Предельные теоремы для экстремальных и рекордных значений случайных процессов с различными типами зависимостиМатюшина, Светлана Николаевна

Большие уклонения и предельные теоремы для некоторых функционалов от случайного блужданияШкляев, Александр Викторович

Сложные процессы полумарковского блуждания при наличии экранаНасирова, Тамилла Илал кызы

Случайные блуждания и ветвящиеся процессы в случайной средеАфанасьев, Валерий Иванович

Асимптотическое поведение некоторых характеристик случайных блужданий и однородных процессов с независимыми приращениямиШнеер Всеволод Владиславович

Ветвящиеся процессы Беллмана-Харриса и их применения к ветвящимся случайным блужданиямБулинская, Екатерина Владимировна

Моделирование и анализ результатов измерения процессов типа Дрелла-Яна с одиночным рождением W и Z бозонов на LHCСапронов, Андрей Александрович

Однопетлевые электрослабые поправки к процессам типа Дрелла-Яна и полулептонным распадам топ-кваркаСадыков Ренат Рафаилович