Введение к работе
Актуальность темы. Закономерности, описывающие поведение распределений сумм независимых случайных величин с росточ числа слагаемых,составляют знвчитедъкуп часть пселедоваияй современной теории вероятностей п служат основой дія различных прикладных наптьавлетшй. Эта исследования: в основном касевтея свсйстл распределений в целом. В менызеЯ степени изучено асимптотическое поведение "локальных" вероятностей суші - вероятностей областей,составляющих налуо честь от всего распределения. Определились два направления исследования локальных вероятностей: оценки функций концентрации Св том числе максимальній вероятностей в случае решетчатых распределений) я различного типа локальные предельные теоремы. В работах А.Н.Колмогорова, Б.А.Рогозина, Зссеена, Кестена, С.Х.Сираждшюва и И. К.йорманова, В.Паулаускаса, Знгера, -Зигеля, Халаиа, С.И.Аяв^ ньевского, А.Л.Мирошникова, В.В.Ларина и др. получены разнообразные неравенства для функций концентрации сумм,выраженные через различные характеристики слагаемых я описывавшие убывание концентрации с ростом числа слагаемых. Локальные предельные теоремы для плотностей и вероятностей отдельных значений сумм решетчатых случайных величин занимают математиков уне несколько десятилетий (Б.В.Гнедеяко, Ю.В.Прохоров, В.А.Стату-ляяичус, Т. Л. Аз ларов, В.В.Петров, Т.Л.Шерввяадэе. Другие более конкретные ссылки будут указаны далее). Тем не менее,полноценного резенкя этой проблемы в общей постановке нет. Неудовлетворенность пгаюшшкея в этой области результатами отмечается, например, в книге В.Ф.Кодчияэ "Случайные отображения". И.: Наука, 1964. Несколько позднее начато и менее продвинуто
изучение локальній предельных теорем дня вероятностей нопада-ццяг суші произвольных случайных величин в ограниченную області, (Стоун,1965 г.; А.В.Нагаев,73,02; Иаллер,7Є; Гриффин,86).
Указанные два направления, изучения локальних веролтностей развіЕввлвсі независимо друг оу друга, использовали различный аппарат и плохо состыкованы одно с другий. Получазыыа из gO-цих неравенств порядок убывания функций концентрации сумы с ростом числа слагаемых ке всегда достигает гот,который получи-ется из локальних предельных теорем. За исключением частных случаев нет оценок функций концентрации сверху и снизу с одинаковый иорядкон уйцьания.
Икеыся фундаментальные исследования,посвященные асимпто-тяче скин свойствам сглаїиванид распределений суші случайных величин на прямой и на произвольной локально компактной группе с ростом числа слагаеьшх (см. .например,монографии Х.Хейера-"Вероятностные меры ы.а локально" компактных группах". М.: Нир, 1981). Однако,свазь этих свойств с кдасаическкии предельными теореыаци теории вероятностей и в частности с асимптотическими свойствами локальных вероятностей практически на исследована.
Цель райоты.
-
Дать анализ условия, обеспечивающих "правильное" асимптотическое поведение локальных вероятностей.
-
Описать классы последовательностей серий независимых случайных величин,удовлетворяющих локальпой преданной теореме в той пли иной форме. Установить связь мекду различными формами локальных теорем.
-
Исследовать асимптотическое поведение локальных вероятностей в условиях более широких,чей при выполнении локальных предельных теорем. В частности.построить оценки функциї концен--
трений с экстремальным порядком убывания (т.е. двусторонние оценки с-одинаковым порядком убивания сверху и снизу).
Методика исследований. Используется метод характеристических функции .з сочетании о методами пряного вероятностного анализа. Условия, связаннкэ со структурой слагаемых потвояяет получить удобнее верхние оценки модуля характеристических $ук*-циґі сумі! в сделыик точках. Существенно новим является нсполь-зовпчие оценок "в среднем",т.е.оценок пнтеградов по ограниченным облвстял от иодулл характеристических функций. Такие оценки справедлив:» при выполнения определенных условий (А,А0,А1, А2), не связанных со структурой слагаемых.
Научная новизна. В диссертации впервые поставлен вопрос об исследования аснгштотичзскогс поведения локальних вероятностей сунн независимых случайных величин с обвей точки зрения, вг-лсчэя такие направления как верхние оценки функции концентрации и лскальниз иределаые тсорзны, изучавшиеся ранее независимо друг от друга;двустороннее оценивание функций концентрации, ранее в оотей постановке не изучениееся и др.
Введены структурен" характеристики случайных велпчин СоценивапЕит близость распределения к решетчатому) и с их по-иояьи не ;дечп условия на структуру слагаемых минимально необ-холнг.е, чтобы обеспечить "правильное" поведение локальных вероятностен. Обоснована концепция,согласно которой,одних условие на структуру слагаемых недостаточно для эквивалентности интегральней" и локальной предельных теорем. Исследованы условия Сиз связанные со структурой слагаемых), обеспечивавшие до стяточне бнетрсо убивание функций концентрации сумм (в частно сти.для су;:м одинаково распределенных 5 -мерных случай них ве-личіія более б.нстр.нй порядок убивания, чей Ц , где Я — число слагг.2'ін:-;)-
- б -
В сбчнх условиях получены-двусторонние оценки функций концентрации и одинаковые порядком убивания по УІ сверху и снизу,а таїсіа аналогичпие оценки для самих локальных вероятностей. В ьтих йа условиях реїаен вопрос о построении оптимальной нориирующей послеловатзлности.обеспечивапцей стохастическуи компактность нормированных и центрированных сунн независимых случайных величин, Доказан ряд новых неравенств для функции концентрации сумм,учитывающих структуру слаї'аеннх.
Впервые исследованы локальные предельные теоремы различных типоь в od'u;eu постановке для серий независимых случайных величин с произвольным предельный законен. Цолучеїш критерій эквивалентности локальных предельных теорем всех видов и интегральной предельной теоремой (впервые даже для одномерных целочисленных случайных величин с нормальный предельный законов). С помощью названных выше условий двух типов дано наглядное списание оассов последовательностей серии случайных вели-чин.удовлетворяющих локальным предельная теоремам в различной форие (в виде разнообразных достаточных условии справедливості! локальных теорем,выраженных через различные характеристики слагаемых). Показако.что найденные достаточные условия перекрывают иодивлявьіусі часть иолучзншл'ронее. Наследована связь различных форм локальных предельных теорем.
Практическая и теоретическая ценность. Результаты диссертации могут быть ислользовины в различных областях математической статистики,теории восстановления,георли чисел. Введенії ие структурные характеристики распре делений, оценки характеристических функций сумм независимых случайных величин в отдельных точках и "в среднем",другие методы могут применяться в различных вероятностных исследованиях,особенно связанных с
" 7 " '
суммированием случайных величин. Общая постановка вопроса об асимптотическом поведении локальных вероятностей породила ряд нових проблем, указала новые перспективные направления исследования.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на 1-У Международных Вильнюсских конференциях по теории вероятностей и математической статистике (1973,77,61;85,В9 гг.), І м II Всемирных конгрессах обпества км. Бернулли (1986,90), семинарах по проблемам устойчивости стохастических моделей (1982, 83,85,89), иколах-коллоквиумах по теории вероятностей и нате-матнческой статистике в Бакурианй (1962,И,87), II—III Ферганских коллоквиумах по теории вероятностей, семинарах по дискретной математике (1990,91), а также иа семинарах в МКАИ СССР (руководителя Ю.В.Прохоров и В.В.Сазонов), 1117 (рук. В.И.Золотарев, В.М.Круглов, В.В.Калашников), ЛГУ (рук. В.В.Петров), ШЩ (рук. Г.И.Ивченко), ИШИ,,Математической институте АД FS-бекистана я многократно обсуждалась яа семинаре по теория вероятностей н математической статистике прн Ташкентском государственном университете.
Публикации. Основные результаты диссертаций опубликованы в работах [і' - 24].
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, краткого обзора, четырех глав, разбитых на 15 параграфов и списка литература, содеряащего 168 названий. Обций обьем 301 стр.
