Введение к работе
I. АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Хорошо известна важная роль предельных теорем для сумм случайных величин в теории вероятностей, математической статистике и их приложениях. Значительная часть предельных теорем посвящена изучению скорости роста этих сумм. К таким исследованиям можно отнести классическое неравенство Чебышева, различные его модификации, показательные оценки Колмогорова, различные оценки в теоремах о больших уклонениях, исследования в области законов больших чисел, центральной предельной теоремы, закона повторного логарифма.
Интерес представляет и исследование связи между скоростью роста сумм и сумм квадратов случайных величин. В этой области хорошо известны результаты Д.А. Райкова, Б.В. Гнеденко, неравенства Марцинкевича - Буркхельдера. В последнее время появились исследования на эту тему , связанные с предельным поведением отношений типа отношения Стыодента.
Актуальными для задач статистики, теории надежности и собственно теории вероятностей являются исследования скорости роста цензурированных сумм в зависимости от количества отброшенных слагаемых. В этом направлении проводились исследования в работах Феллера, И.М.Хамдамова, Черге, Хорвата, Мэйсона, Ревеса,В.А. Егорова и В.Б. Невзорова и др.
Асимптотическое поведение упорядоченных сумм случайных величин изучалось Венделем, В.Б. Невзоровым. Основное внимание в этом вопросе было уделено крайним порядковым статистикам -максимумам и минимумам последовательных сумм. Такие исследования проводились в работах А.Н. Колмогорова, Ю.В. Прохорова, А.В. Скорохода, А.А. Боровкова, В.В. Петрова ., С.В. Нагаева, М. Каца, Эрдеша, Чжуна и др.
Таким образом, вопросы, исследуемые в диссертации актуальны как с точки зрения внутренних потребностей теории вероятностей, так и с точки зрения ее приложений.
2. ЦЕЛЬ РАБОТЫ. В диссертации исследуется скорость роста сумм независимых случайных величин, мартингалов,сумм некоторых других зависимых величин. Эта скорость роста понимается в доволь-
но широком смысле - от ограниченности нормализованных сумм и выбора соответствукщих нормализующих постоянных до законов больших чисел, Функциональной центральной предельной теоремы и функционального закона повторного логарифма. Также изучается связь между скоростью роста сумм и скоростью роста сумм квадратов как с точки зрения слабой сходимости, так и с точки зрения сходимости с вероятностью единица, исследуется асимптотическое поведение упорядоченных сумм случайных величин, квадратичной вариации некоторых случайных процессов.
3. НАУЧНАЯ НОВИЗНА. В диссертации впервые для неодинаково распределенных независимых, а также некоторых зависимых случайных величин получены оценки скорости роста сумм в зависимости от количества отбрасываемых экстремальных слагаемых в " топологии " сходимости с вероятностью единица. Ота скорость роста измеряется в терминах функций от математических ожиданий сумм для положительных слагаемых и функций от дисперсий сумм для симметричных слагаемых. Найдено критическое количество отбрасываемых экстремальных слагаемых, начиная с которого оставшаяся сумма подчиняется верхним оценкам в усиленном законе больших чисел для положительных слагаемых и верхним оценкам в законе повторного логарифма для симметричных слагаемых. Аналогичные исследования проведены для сравнения скорости роста суммы и скорости роста максимального слагаемого.
Впервые получены функциональная центральная предельная теорема и функциональный закон повторного логарифма для упорядоченных сумм случайных величин. При доказательстве этих результатов впервые для подобных предельных теорем теории вероятностей использовались свойства оператора неубывающей перестановки.
Исследована связь между усиленным законом больших чисел для сумм квадратов и Функциональным законом повторного логарифма для сумм независимых случайных величин и мартингалов..Исследована зависимость между скоростью роста максимальной по модулю мартингал-разности и скоростью роста мартингала.
Найдены необходимые и достаточные условия асимптотической нормальности дроби типа Стьюдента , построенной по последовательности независимых неодинаково распределенных случайных величин, а также новые необходимые и достаточные условия слабой устойчивости сумм независимых положительных случайных величин.
Получены результаты типа закона повторного логариїйіа для квадратичной вариации, построенной по суммам независимых случайных величин и по винеровскому процессу в том случае, когда временной параметр стремится к бесконечности.
Все полученные результаты являются новыми и, как правило, используют при получении новые методики исследования.
-
ОБИДО МЕТОДИКА ВЫПОЛНЕНИЯ ИССЛЕДОВАНИЯ. В работе используются разнообразные вероятностные и аналитические методы. Так при исследовании скорости роста сумм в зависимости от количества отбрасываемых слагаемых используются два новых комбинаторных неравенства, при исследовании поведения упорядоченных сумм используются некоторые специальные свойства оператора неубывающей перестановки, широко используется метод усечений, мартингальная техника.
-
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Полученные результаты и методы, развитые в диссертации , могут быть использованы как при решении задач собственно теории вероятностей, так и в математической статистике, теории надежности, других приложениях теории вероятностей.
-
АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты диссертации докладывались на трех международных Вильнюсских конференциях по теории вероятностей и математической статистике / Вильнюс 1981, 1985, 1989 г. /, на 1-ом международном семинаре по асимптотическим методам в теории вероятностей и математической статистике в Карсдорфе / Германия, 1991 г. /,на семинаре по предельным теоремам теории вероятностей СПГУ , на семинаре по случайным процессам СПГУ, на семинарах в Математическом институте им.
В.А. Стеклова, в Санкт-Петербургском отделении Математического института, в Вильнюсском институте кибернетики и математики,
на 3-ей Ферганской конференции по теории вероятностей /Фергана 1983 г. /.
-
ПУБЛИКАЦИИ. По теме диссертации автором опубликовано 25 работ / см. [і] - [25 J /.
-
QEtEM И СТРУКТУРА РАБОТЫ. Диссертационная работа занимает 286 страниц машинописного текста и состоит из введения, пяти глав, библиографии, включающей 153 наименования.
