Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Равномерные асимптотические разложения операторов, связанных с показательно эргоддческой цепью Маркова 19
1.1. Вспомогательные результаты . 19
1.2. Разложения для резольвенты и проекторов 30
1.3. Равномерные разложения корректирующей функции 38
Глава II. Равномерные асимптотические разложения для экспоненциальных моментов сумм случайных величин, определенных на цепи Маркова .49
2.1. Разложения функционалов, связанных с начальным распределением 49
2.2. Равномерные асимптотические разложения для экспоненциальных моментов в схеме закона больших чисел и в схеме центральной предельной теоремы 54
2.3. Представление для многочленов и через моментные функционалы, определенные на цепи
62
Глава III. Изложения для операторов, связанных с возмущенными показательно эргодическими цепями Маркова 75
3.1. Разложения для "моментных" операторов и резольвент .75
3.2. Разложение для операторов и .92
Глава IV. Разложения распределении моментов достижения в схеме серий 109
4.1. Разложения по параметру серий многочленов 109
4.2. Асимптотические разложения ждля экспоненциальных моментов в схеме серий 118
4.3. Асимптотические разложения распределений моментов достижения труднодостижимых областей в схеме серий 127
Литература 147
- Равномерные разложения корректирующей функции
- Равномерные асимптотические разложения для экспоненциальных моментов в схеме закона больших чисел и в схеме центральной предельной теоремы
- Разложения для "моментных" операторов и резольвент
- Асимптотические разложения ждля экспоненциальных моментов в схеме серий
Введение к работе
Предельные теоремы составляют весьма обширную и наиболее существенную часть проблематики теории вероятностей.
Классической и наиболее хорошо изученной схемой являются предельные теоремы для сумм независимых случайных величин (св.). Подробные и исторические ссылки можно найти в монографиях [16], [43].
Как показывают многочисленные исследования, распространение имеющихся результатов для независимых св. на случай зависимых св. представляет собой серьезную математическую проблему. При этом существенную роль играет вид зависимости. Истоки этой проблематики лежат в исследованиях А.А.Маркова, выполненных в начале XX века.
Аналог классической интегральной предельной теоремы Муавра-Лапласа для однородных цепей приведен в работе А.А.Маркова [40] . Этот результат Марковым был установлен методом моментов. При этом используется метод производящих функций. По существу, условия Маркова для применимости интегральной предельной теоремы для однородных цепей оказались в некотором смысле, окончательными.. Исследования последующих авторов в этом направлении в общих чертах отличаются лишь методом доказательства. Так, например, сочетая алгебраические методы с методом моментов, В.И.Романовский установил справедливость тех же результатов Маркова.
Г. Шульц [72] в 1936 г.при помощи разностных уравнений для моментов устанавливает центральную предельную теорему для однородных цепей Маркова.
Прямые методы для установления интегральной предельной теоремы были предложены Деблином в 1937 г,[ГО],
Метод характеристических функций для установления интегральной предельной теоремы был развит в работах В.И•Романовского [45] , О.Оническу и Г.Михок [71] .
Эргодические предельные теоремы и интегральная предельная теорема для сумм случайных величия, связанных в однородную цепь Маркова с конечным числом состояний, в общем виде изучены В.И.Ро-мановским. Эти вопросы для цепей Маркова, у которых множество состояний составляет некоторый отрезок прямой, рассмотрены в монографии Т.А.Сарымсакова [46]. Многомерная локальная предельная теорема для случайного вектора, компонентами которого являются числа попаданий в состояния, доказана А.Н.Колмогоровым [26].
Кроме того, решалась задача об уточнении и асимптотическом разложении остаточного члена в предельных теоремах. Важность последней задачи состоит в том, что во всех практических применениях предельными теоремами пользуются в качестве приближенных формул при конечных значениях соответствующего параметра n . Для того чтобы такое применение предельных теорем было вполне обосновано, они должны быть снабжены оценками скорости сходимости.
Как известно, параметр -L ( tv - число слагаемых) являет-ся основным показателем скорости сходимости в предельных теоремах для распределения сумм независимых одинаково распределенных случайных величин и векторов. Аощштотические разложения остаточ-ных членов по степеням -j=z как в одномерных, так и в многомерных предельных теоремах для однородных цепей Маркова с конечным числом состояний установлены С.Х.Сираждиновым [56] . в дальнейшем эти результаты были обобщены С.В.Нагаевым [41],[42] для цепей с произвольным множеством состояний, а В.А.Статулявичусом [61І »[6 J на случай неоднородных цепей Маркова.
Наряду с традиционными предельными теоремами для сумм св. значительный интерес представляет исследование предельных теорем для других функционалов, определенных на цепях Маркова, в том числе для моментов достижения труднодостижимых областей. Теоремы такого типа и связанные с ними теоремы об асимптотическом укрупнении марковских и полумарковских процессов изучались в работах И.В•Коваленко, В.С.Королюка, затем в работах В.В.Анисимова, Д.С.Сильвестрова, А.Ф.Турбина и др. Здесь следует выделить две дополняющие друг друга постановки задачи.
В работе [І2] рассматривалась задача об изучении моментов достижения удаляющихся уровней для однородных цепей Маркова.
В дальнейшем путем использования метода асимптотического фазового укрупнения в работах [зз] #[34] изучалось предельное распределение момента достижения удаляющегося уровня эргодическим счетным полумарковским процессом.
В работе [б9] рассматривалась равномерно эргодическая цепь Маркова с произвольным фазовым пространством. Показана асимптотическая распределения момента достижения удаляющейся области фазового пространства.
Аналогичная задача для эргодического дискретного случайного процесса полумарковского типа рассмотрена в [5-У»
В работах [b$] [Ъ7] изучается предельное поведение моментов достижения "удаляющейся" области фазового пространства для эргодической цепи Маркова с произвольным фазовым пространством.
б) Область фазового пространства SD фиксирована, от параметра зависят "локальные" характеристики процесса, его в одном цикле полумарковской регенерации, причем таким образом, что вероятности достижения области ё) за один цикл стремятся к нулю. К задачам этого типа относится проблематика диссертации.
Для эргодических цепей Маркова и полумарковских процессов с дискретным (конечным или счетным) фазовым пространством эта задача исследовалась, начиная с работы [27],многими авторами [5-7,19,23,24,29-31,33,34,47-50,52,6].
В более сложной ситуации для процессов с произвольным фазовым пространством в основном исследовался случай, когда соответствующие вложенные цепи Маркова равномерно по параметру серии эргодичны [6-10,13,18,52,] .
Также рассматривались различные обобщения подобных результатов на последовательности с равномерным или сильным перемешиванием [11,18,51,52] ,
В работах [25,35] рассматривались приложения полученных результатов к конкретным системам надежности и массового обслуживания.
Настоящая работа посвящена исследованию асимптотических разложений в схеме серий, с явной оценкой остаточных членов для экспоненциальных моментов сумм св., определенных на показательно эргодических цепях Маркова с произвольным фазовым пространством, а также применениям этих результатов к асимптотическим разложениям с явной оценкой констант в нормальной зоне и в зоне больших уклонений для распределения моментов достижения трудно достижимых областей для цепей Маркова.
Основные результаты диссертации следующие.
1. Получены асимптотические разложения для экспоненциальных моментов с комплексным аргументом для сумм св., определенных на показательно эргодических цепях Маркова. В частном случае при чисто мнимом аргументе из этих разложений получаются асимптотические разложения для характеристических функций.
2. В перше получены явные оценки для остаточных членов как в асимптотических разложениях для общих экспоненциальных моментов, так и в асимптотических разложениях для характеристических функций.
3. Получены асимптотические разложения равномерные по некоторому классу цепей Маркова, и асимптотические разложения для возмущенных цепей в схеме серий с явной оценкой остаточных членов.
4. Установлена связь между асимптотическими разложениями для экспоненциальных моментов сумм случайных величин, определенных на цепи Маркова, и асимптотическими разложениями для распределений моментов достижения. Разработан новый метод, позволяющий получить асимптотические разложения для распределений моментов достижения в нормальной зоне из асимптотических разложений для экспоненциальных моментов сумм св., определенных на цепи Маркова в схеме закона больших чисел, в зоне больших уклонений из асимптотических разложений для экспоненциальных моментов таких сумм в схеме центральной предельной теоремы.
5. Впервые получена явная оценка остаточных членов в асимптотическом разложении для распределения моментов достижения трудно достижимых областей для возмущенных цепей Маркова в нормальной зоне.
6. Впервые получены асимптотические разложения для распределения моментов достижения труднодостижимых областей для возмущенных цепей Маркова в зоне больших уклонений, а также явные
Равномерные разложения корректирующей функции
Метод характеристических функций для установления интегральной предельной теоремы был развит в работах В.ИРомановского [45] , О.Оническу и Г.Михок [71] .
Эргодические предельные теоремы и интегральная предельная теорема для сумм случайных величия, связанных в однородную цепь Маркова с конечным числом состояний, в общем виде изучены В.И.Ро-мановским. Эти вопросы для цепей Маркова, у которых множество состояний составляет некоторый отрезок прямой, рассмотрены в монографии Т.А.Сарымсакова [46]. Многомерная локальная предельная теорема для случайного вектора, компонентами которого являются числа попаданий в состояния, доказана А.Н.Колмогоровым [26].
Кроме того, решалась задача об уточнении и асимптотическом разложении остаточного члена в предельных теоремах. Важность последней задачи состоит в том, что во всех практических применениях предельными теоремами пользуются в качестве приближенных формул при конечных значениях соответствующего параметра n . Для того чтобы такое применение предельных теорем было вполне обосновано, они должны быть снабжены оценками скорости сходимости.
Как известно, параметр -L ( tv - число слагаемых) являет-ся основным показателем скорости сходимости в предельных теоремах для распределения сумм независимых одинаково распределенных случайных величин и векторов. Аощштотические разложения остаточ-ных членов по степеням -j=z как в одномерных, так и в многомерных предельных теоремах для однородных цепей Маркова с конечным числом состояний установлены С.Х.Сираждиновым [56] . в дальнейшем эти результаты были обобщены С.В.Нагаевым [41],[42] для цепей с произвольным множеством состояний, а В.А.Статулявичусом
Наряду с традиционными предельными теоремами для сумм св. значительный интерес представляет исследование предельных теорем для других функционалов, определенных на цепях Маркова, в том числе для моментов достижения труднодостижимых областей. Теоремы такого типа и связанные с ними теоремы об асимптотическом укрупнении марковских и полумарковских процессов изучались в работах И.ВКоваленко, В.С.Королюка, затем в работах В.В.Анисимова, Д.С.Сильвестрова, А.Ф.Турбина и др. Здесь следует выделить две дополняющие друг друга постановки задачи:
Процесс полумарковского типа фиксирован, область й зависит от параметра серии t таким образом, что вероятность достижения процессом области на одном цикле голумарковской регенерации стремится к нулю при &- 0 В работе [І2] рассматривалась задача об изучении моментов достижения удаляющихся уровней для однородных цепей Маркова. В дальнейшем путем использования метода асимптотического фазового укрупнения в работах [зз] #[34] изучалось предельное распределение момента достижения удаляющегося уровня эргодическим счетным полумарковским процессом. В работе [б9] рассматривалась равномерно эргодическая цепь Маркова с произвольным фазовым пространством. Показана асимптотическая экспоненциальность распределения момента достижения удаляющейся области фазового пространства. Аналогичная задача для эргодического дискретного случайного процесса полумаркОБСКОГО типа рассмотрена в [5-У» В работах [b$] [Ъ7] изучается предельное поведение моментов достижения "удаляющейся" области фазового пространства для эргодической цепи Маркова с произвольным фазовым пространством. - 5 б) Область фазового пространства SD фиксирована, от параметра зависят "локальные" характеристики процесса, задащйе его в оддом цикле полумарковской регенерации, причем таким образом, что вероятности достижения области ё) за один цикл стремятся к нулю. К задачам этого типа относится проблематика диссертации. Для эргодических цепей Маркова и полумарковских процессов с дискретным (конечным или счетным) фазовым пространством эта задача исследовалась, начиная с работы [27],многими авторами [5-7,19,23,24,29-31,33,34,47-50,52,6]. В более сложной ситуации для процессов с произвольным фазовым пространством в основном исследовался случай, когда соответ-ветствующие вложенные цепи Маркова равномерно по параметру серии эргодичны [6-10,13,18,52,] . Также рассматривались различные обобщения подобных результатов на последовательности с равномерным или сильным перемешиванием [11,18,51,52] , Б работах [25,35] рассматривались приложения полученных результатов к конкретным системам надежности и массового обслуживания. Настоящая работа посвящена исследованию асимптотических разложений в схеме серий, с явной оценкой остаточных членов для экспоненциальных моментов сумм св., определенных на показательно эргодических цепях Маркова с произвольным фазовым пространством, а также применениям этих результатов к асимптотическим разложениям с явной оценкой констант в нормальной зоне и в зоне больших уклонений для распределения моментов достижения трудно достижимых областей для цепей Маркова.
Равномерные асимптотические разложения для экспоненциальных моментов в схеме закона больших чисел и в схеме центральной предельной теоремы
В теоремах 2.1 и 2.2 были получены равномерные асимптотические разложения по степеням п с явной оценкой остаточных членов для экспоненциальных моментов Ер еэср {z,Sf (nO) , соответственно, когда \=0 и \ =0 » а -комплексное число.
Явная оценка остаточных членов позволяет также выписывать разложения по степеням параметра серии Е в том случае, когда суммируемая функция ffi(0 и переходные вероятности цепи -р(.,.) , сами допускают разложения по степеням , т.е. В этом случае полученные равномерные по асимптотические разложения могут быть перегруппированы таким образом, чтобы получить разложения для этих экспоненциальных моментов по степеням , с функциональными коэффициентами, не зависящими от Для "продолжения" полученных в теоремах 2.1 и 2.2 разложе-ний по степеням , как видно из выражения для Ф () , 3р () , достаточно разлагать по степеням Є коэффициен-ты \г и г. і которые в свою очередь требуют разложения операторов Р(! , R-00 t R 1 (А) и И Г г= t,K посте - 76 пеням С Целью настоящего параграфа являются разложения операторов (г) Р.. и R OO по степеням в С с. В дальнейшем без особого замечания, везде предполагается, что р0)=р(0» Для fe( ) »p(v) имеют место разложения: где f0(oc) , (oc) ,..., fK(cc) , f e(ac) - К - измеримые Функции, удовлетворяющие условиям Ек , Ек сформулированным во введении; Р(эс,А) = p.( .A)+fiR ( Л)+...+ Ч( Д)+ НРКНЇ( Д)Я 2 где po(v) переходные вероятности некоторой цепи Маркова ("предельной" для цепи tJt при Є \0 ) , для которой выполняются условия Afe,t , p4(v),...,pK(-.0, pK+. ,e(v) заР ы» УДВ-летворяющие условиям Д , сформулированным во введении. В 2,1 мы в пространстве Wl определили оператор Р следующим образом: Отсюда ясно, что для разложения оператора р по степеням , достаточно разлагать f„(рс) по степеням. С . Введем обозначения Доказа.ельотво. Действительно, из определения Р« и разложения (3 3) следует: к Здесь, сгруппировав слагаемые по степеням с учетом введенных обозначений, получаем разложение (3.4). При выполнении условия Ек , оценки (3.5) получаются непосредственно из выражения для Р« , L - 0,1,..., к и Р, , . Лемма доказана.
Для получения разложения для оператора R(A), отметим, что нам достаточно разлагать операторы Л и Р -Л по степеням . Ядрами операторов JL и Р являются соответ-ственно стационарное распределение 5Г и переходные вероятности цепи т е Как следует из работ С203 при выполнении условия А в стационарное распределение возмущенной цепи т) определяется по формуле: где ядрами операторов Л0 и Р0 являются соответственно стационарное распределение и переходные вероятности предельной цепи 1п при &{0 , а ядрами операторов IJ,..-»PK,PK+fe. являются соответственно заряды р(у),...,рк( ,), pK+i(v) Там же доказано, что существует и ограничен оператор
Разложения для "моментных" операторов и резольвент
Рассмотрим цепи Маркова 10 , гъ = 0,1,..., 0 И с фазовым пространством S , IP , начальным распределением р (А) , сосредоточенном на , переходными вероятностями
Нетрудно показать, что при выполнении условия Дк цепи асимптотически равномерно по С показательно эргодичны, с показателем эргодичности, равномерно отделенным от единицы, В работах Б.В.Анисимова, Д.С.Сильвестрова и ряда других авторов для доказательства предельных теорем для функционалов Я используется следукщее представление: Если обозначить fe(?c)--; Іль(і - р(с )) $ то (4.55) принимает следующий вид: Очевидно функция f fe ) равномерно по ос , С ограничена. Для того чтобы применить теорему 4.1 в данной схеме необхо-дамо разложить переходные вероятности р(сс,А) , стационарную меру 91L цепи ті и функцию -f-C ) по степеням с явной оценкой остаточных членов. Сначала разложим функции f C30) по степеням С . Введем обозначения; Аналогично при ± равномерно по осе Таким образом,из (4,53), (4.63), следует: р(ос, А) = [ро(ос,А)+ір(а:,А)+.. л 5 рю(?с,А)+ \ А)} Перегруппировав слагаемые по степеням , с учетом обозначений получаем, что для каждого А г$ где р (ос,А) содержит степени не меньше Иі+i и равномерно по осє 2) , А ї , и Нетрудно показать, что равномерно по oceS), AeF ДОСЛОВНО повторяя доказательство леммы 3.2 при 4« , можно А & получить разложение для 51 е в следующем виде; С4 69) Sta, = 1,2,..., к; St e,9ld , «о = 1,2,...,к+1 определяются из (3.6) следующим образом. Цепи Маркова Og с фазовым пространством X , Б , переходными вероятностями р (ос,А} , допускающие разложение (3.2), заменяются на цепи Маркова П/ с фа-зовыгл пространством , 1 ,переходными вероятностями р (Ъс, А) , допускающие соответствующие разложения (4.66). Таким образом, мы приходим к схеме, изучавшейся в теореме 4.1. С помощью этой теоремы и представления (4.56) доказывается следующая Теорема 4.3. ПУСТЬ ДЛЯ некоторого к 2. выполняется условие Д и условие Е . Тогда для всех rmn(с ,Ь,с\, t[0,T],T o имеет место асимптотическое разложение Здесь з (т) і 3"pfAt,6J и константа rK вычисляются по тем же формулам, что и (t) , hF 0t,O » - следующим образом: вместо цепи т п с Фазовым пространством X , Б , переходными вероятностяглй р(Ьс,А) берется цепь Маркова 19 с фазовым пространством & , R , переходными вероят-ностями рр(ос,А) , функция fi00) заменяется на функцию -j (oc) , а Ь на -1 При этом в условиях Ек ,Ек компоненты f(oc) и р(ос,А) заменяются соответственно на компоненты (ос) и рй(ос,А). а Ло = - $в(ос,)ЗД«). Доказательство. Сначала отметим, что при выполнении условия л Д , дословно повторяя доказательство леммы 3.2 можно дока-зать, что при а , цепи Маркова 1 , начиная с некоторого номера On -l/), также будут показательно эргодичны с шагом h , с показателем эргодичности о = . Для переходных вероятностей р (ос,А) цепи " 2 , как указали выше, имеет место разложение (4.66), а для функции А fgC00-) разложение (4.62). Из равномерной по oceS), 0 41 ограниченности f- (9 и из условия А ясно, что выполняются условия Б„ , Си , Ак » к и - (с теРемы 4.1. Поэтому из представлений (4.65), (4.66) и из теоремы 4.1, проделав вышеуказанные замены, получаем теорему 4.3. Для получения разложения (4.70) мы использовали асимптотическое разложение экспоненциальных моментов сумвл св., определенных на цепи Маркова в схеме з.б.ч. (см.теорему 4.1). Поэтому это разложение естественно назвать асимптотическим разложением для распределения моментов достижения в нормальной зоне. Кроме представления (4.55) может быть использовано другое представление: Это представление позволяет использовать асимптотическое разложение для экспоненциальных моментов сумм св., определенных на цепи Маркова в схеме ц.п.т. (см.теорему 4.2) для получения асимптотического разложения относительного уклонения хвостов распределений момента достижения и предельного показательного распределения при одновременном стремлении аргумента к бесконечности. Такое разложение естественно назвать разложением в зоне больших уклонений.
Асимптотические разложения ждля экспоненциальных моментов в схеме серий
Для того чтобы применить теорему 4,1 в данной схеме, разлагаются переходные вероятности р (ос,А) , стационарная мера 5Г - це-пи і и функция fgOxO по степеням с явной оценкой остаточных членов. Таким образом, мы приходим к схеме, изучавшейся в теореме 4.1. С помощью этой теоремы и представления (5) доказывается следукщая теорема. и константа F вычисляются по тем же формулам, что и 5rpr(0 »5"prCt,fi) » FK следующим образом; вместо цепи v с разовым пространством X , F , переходными вероятностями р (зс,А) берется цепь Маркова \) с фазовым пространством оЭ , 5 , переходными вероятностями р (ос,А) , функция f(oc) заменяется на функцию f0:) , а 5 на - і При этом в условиях Е , Е„ компоненты ffcC O и ре(эс А) заменяются соответственно на компоненты
Асимптотические разложения в виде (6) для распределений моментов достижения без явных оценок остаточных членов ранее были получены в работах В.С.Королюка и А.Ф.Турбина (С 31 ]) . При этом использовался другой метод - метод возмущений операторов на спектре. Разложение (6) естественно назвать асимптотическим разложением для распределения моментов достижения в нормальной зоне. Для получения этого разложения в настоящей работе используется асимптотическое разложение для экспоненциальных моментов сумм с. в., определенных на цепи Маркова в схеме з.б.ч. Кроме представления (5), может быть использовано другое представление: Это представление позволяет использовать асимптотическое разложение для экспоненциальных моментов суш св., определенных на цепи Маркова в схеме ц.п.т. для получения асимптотического разложения относительного уклонения ХЕОСТОВ распределений момента достижения и предельного показательного распределения при одно-временнном стремлении аргумента к бесконечности. Такое разложение естественно назвать разложением в зоне больших уклонений. Идея использования представления (7) для получения теорем типа больших уклонении для распределений моментов достижения путем использования ц.п.т. и оценок для экспоненциальных моментов для сумм св., определенных на цепи Маркова,и последовательности с перемешиванием принадлежит Д.С.Сильвестрову {\3\\). Теорема 4.4. Пусть для некоторого к Ъ выполняются условия теоремы 4.3. Тогда для всех 4 имеет место следующее асимптотическое разложение: (2.) Здесь b (t,) 0 , Г = 0,tc-2. , при I 0 для каждого t, [0,Т] , Т Л и обращаются в нуль, если t целочислен ное, о . C"t) ,- Ct,) и константа F определяются J- v pf К из формул (4.101), которые содержат величины, вычисляющиеся из той же формулы, что и „„(t) , Ф Д ,6) , "F с за меной цепи Т2гъ на цепь ф функций. fgC0 на функцию 0 )=1 )- и S на -i , Л/ N А 5t - является коэффициентом 6 в разложении инвариантной меры У\ цепи і? по степеням е В заключение, пользуясь случаем, хочу выразить глубокую благодарность и признательность своему научному руководителю профессору Сильвестрову Д.С. за постановку задач и постоянную помощь при написании данной работы. Пусть Х,Е - произвольное измеримое пространство, Л -банахово пространство ограниченных комплексных функций j( 0 , эсеХ » измеримых относительно F , с нормой IIQ. = = Supcj(x); ЭДЪ, - банахово пространство комплексных вполне аддитивных функций множества (А) , АєЕ с нормой м1НИ(Х), где І№І( ) - полная вариация меры №()
