Содержание к диссертации
Введение
1 ГЛАВА. Асимптотика вероятности одновременных экстремумов двух гауссовских нестационарных процессов 12
1.1 Формулировка основных результатов 12
1.2 Вспомогательные результаты 15
1.3 Доказательство вспомогательных результатов 16
1.4 Доказательство основных результатов 24
1.5 Примеры 47
2 ГЛАВА. Асимптотика вероятности двойного экстремума для гауссовского нестационарного поля 55
2.1 Формулировка основных результатов 55
2.2 Вспомогательные результаты 57
2.3 Доказательство вспомогательных результатов 59
2.4. Доказательство основных результатов 66
Список литературы 74
- Формулировка основных результатов
- Доказательство вспомогательных результатов
- Вспомогательные результаты
- Доказательство основных результатов
Введение к работе
Гауссовские случайные процессы представляют собой один из важнейших классов случайных процессов. Их привлекательность состоит в том, что результаты могут быть сформулированы в терминах естественных характеристик -среднего и ковариационной функции. В последние десятилетия значительные успехи достигнуты в изучении распределения супремума траекторий, в предельных теоремах, в изучении свойств регулярности траекторий гауссовских функций и задачах пересечения уровня.
Настоящая работа посвящена изучению асимптотических свойств больших уклонений для гауссовских нестационарных процессов и полей.
Второй подтекст заключается в том, что вышеописанные множества малого диаметра, распределенные по всему параметрическому множеству Т в случае стационарного или близкого к стационарному процесса, в нестационарном случае концентрируются вокруг множества точек, в которых достигается максимум дисперсии процесса X.
Вместе с тем, в многочисленных задачах математической статистики, теории надежности, теории приближения случайных процессов и многих других областях помимо стационарных гауссовских процессов возникают гауссовские процессы и поля, не являющиеся стационарными, хотя в некотором смысле и близкие к ним. Речь идет о так называемых локально стационарных процессах и полях. Впервые такой локально стационарный процесс с постоянной дисперсией исследовал С.Бермап в [27]. В работе [18] В.И.Питербарг и А.П.Присяжнюк изучили вероятность больших выходов гауссовского нестационарного процесса, дисперсия которого достигает абсолютного максимума в конечном числе точек и регулярно ведет себя в окрестностях этих точек. Локальная стационарность в данном случае означает, что в этих окрестностях корреляционная функция процесса близка к корреляционной функции некоторого стационарного процесса (из уже изученного класса). В работе В.Р.Фаталова [22] найдены точные асимптотики для вероятностей больших уклонений локально стационарных гауссовских полей, дисперсия которых достигает своего максимума на произвольном компактном множестве в Rn.
Среди других результатов в этом направлении можно отметить предельную теорему для числа выходов гауссовского стационарного процесса за высокий уровень, полученную Ю.К.Беляевым [1] и Г.Крамером [33] а также предельную теорему для максимума гауссовской стационарной последовательности (С.Берман, [26]). В дальнейшем изучению асимптотических свойств гауссовских процессов была посвящена обширная литература (работы [2], [3], [4], [7], [48]).
Формулировка основных результатов
Вернемся к рассмотрению интеграла из формулы (4). Наша ближайшая цель - доказать возможность перехода к пределу под знаком интеграла, для чего докажем сходимость интеграла при всех и. Для этого разобьем плоскость на области и докажем, что в каждой из них подинтегральное выражение ограничено сверху функцией, интеграл от которой по данной области заведомо сходится. 1. Для области (х 0, у 0) ограничим вероятность Р единицей, а плотность / функцией exp I gga- + )+ 1 j _ Интеграл от этой функции по указанной области сходится, что легко установить принимая во внимание условие А1.
Для области (х 0,у 0) ограничим вероятность Р значением р(х) = P(maxteA u(t) zfu(0) = 0,77u(0) = 0), а плотность / функцией
Заметим, что свойства процесса „() при условии fu(0) = 0,77 (0) = 0 таковы, что мы можем применить к нему теорему Dl[21j (неравенство Бореля). Действительно, поскольку t/ar(u(t)„(0) = 0,77u(0) = 0) = шг(&(0 - «(0)&(0) = 0,7?u(0) = 0) L\tf LM0,M = const (где существование M вытекает из ограниченности Лі и использовано неравенство (9)), то, используя неравенство Чебышева P(\u(t) — Eu(t)\ а) ьаг { и полагая о = у/2ЬМ&, мы получаем условия теоремы D1. Применяя ее, имеем р(х) Сехр(—х2є) для некоторого є 0, откуда вытекает сходимость интеграла и в этой области.
Аналогично предыдущему случаю, подынтегральное выражение не превосходит . Рассмотрим теперь последнюю оставшуюся область, а именно (х 0, у 0). В этой области мы оценим вероятность Р как -P(max(t)S)eAixA2u(0 + f]u{s) х + yu(0) = 0,77u(0) = 0), а функцию плотности / функцией
Аналогично предыдущему, используем теорему D1 и получаем ограничение на вероятность в виде Сехр(—(х+у)2є), что и завершает доказательство сходи-мости интеграла. Переходя к пределу при и — со, и обозначая Л = (Лі,Лг), получаем: где a = аъг г_т2, b = -ІЇ ГІ. Произведя под интегралом замену, получаем, что последнее выражение равно: где в последнем равенстве мы воспользовались автомодельностью броуновского движения. Используя независимость процессов Bai/2 и Ваг/2, окончательно получаем, что последний интеграл равен Введем дополнительные обозначения: 5 = 5(и) — Cu l \ogu, П = [Ті,Тг] х [Тз,Т4], D = {(, s) Є П; \t—tm\ 6, \s — sm\ 6}, при этом значение константы С будет определено в дальнейшем. Ниже приведены очевидные ограничения сверху и снизу на вероятность Р: где 0 р 1. В качестве параметра р выберем и обозначим q = 1—р. Отметим, что в силу условия А1 р в (14) будет больше О и меньше 1. Теперь заметим, что к вероятности (13) можно применить теорему 8.1 [20]. Действительно, для всех (t, s), (ti, si) и некоторого Li, где в последнем неравенстве использовано условие А4 и то, что D + Dn 2Еп для любых случайных величин , г). Применяя теорему 8.1, получаем, что вероятность в (13) не превосходит Рассмотрим более подробно тах(М)ЄП\г E(pXi(t) + qX2(s))2, предварительно заметив, что, согласно обозначениям из условия А2 (t,s)ll\D V " (t,s)eII\D V Итак, используя условие A2 имеем: где Cz некоторая положительная константа. Это неравенство дает нам возможность получить желаемую оценку на вероятность в (13): Теперь перейдем к рассмотрению вероятности из (12). Мы получим ограничения сверху и снизу на эту вероятность, доказав затем что они имеют один и тот же порядок. Покроем множество D прямоугольниками следующего вида: Akj = А\ х Д? = [tk, tk+1] х [sh sw], где tk = tm + k\u-Va , a, = sm + IXu 2 1, l, к Є Z, Л - некоторое положительное число. Поскольку множество D представляет из себя квадрат со сторонами длиной 2СУ ?Ц и центром в точке (tm, sm), то оно будет полностью покрыто следующей совокупностью вышеописанных прямоугольников:
Доказательство вспомогательных результатов
Вместе с тем, в многочисленных задачах математической статистики, теории надежности, теории приближения случайных процессов и многих других областях помимо стационарных гауссовских процессов возникают гауссовские процессы и поля, не являющиеся стационарными, хотя в некотором смысле и близкие к ним. Речь идет о так называемых локально стационарных процессах и полях. Впервые такой локально стационарный процесс с постоянной дисперсией исследовал С.Бермап в [27]. В работе [18] В.И.Питербарг и А.П.Присяжнюк изучили вероятность больших выходов гауссовского нестационарного процесса, дисперсия которого достигает абсолютного максимума в конечном числе точек и регулярно ведет себя в окрестностях этих точек. Локальная стационарность в данном случае означает, что в этих окрестностях корреляционная функция процесса близка к корреляционной функции некоторого стационарного процесса (из уже изученного класса). В работе В.Р.Фаталова [22] найдены точные асимптотики для вероятностей больших уклонений локально стационарных гауссовских полей, дисперсия которых достигает своего максимума на произвольном компактном множестве в Rn.
Среди других результатов в этом направлении можно отметить пуассоповс-кую предельную теорему для числа выходов гауссвского стационарного процесса за высокий уровень, полученную Ю.К.Беляевым [1] и Г.Крамером [33] а также предельную теорему для максимума гауссовской стационарной последовательности (С.Берман, [26]). В дальнейшем изучению асимптотических свойств гауссовских процессов была посвящена обширная литература (работы [2], [3], [4], [7], [48]).
Далее, в работах [10], [45] и [51] авторами получены точные формулы для вероятности пересечения границы гауссовскими стационарными процессами, где границы представляют собой нелинейные функции. В работах [45] и [51] для этого использован прямой метод получения точной формулы для вероятности для некоторого t Т для кусочно-линейных границ, а затем обобщен для нелинейных границ, которые можно представить в виде предела кусочно-линейных функций. В работе [45] обобщение проведено с использованием метода повторного интегрирования, а в работе [51] - с помощью метода Монте-Карло.
В ряде работ ([34], [35], [41], [43] и [44]) получено сначала асимптотическое распределение максимума элементов стационарной нормальной последовательности, которое зависит от корреляции между элементами последовательности, а на основе этого получены асимптотические оценки для стационарного гауссовс-кого процесса.
В работе Ю.Хюслера [36] вводится массив гауссовских стандартных случайных переменных (Піі, і 0, п 0), таких, что (ПІІ, І 0) - стационарная нормальная последовательность для каждого п 0. При некоторых условиях на корреляцию между элементами массива найдены необходимые оценки для максимума элементов последовательности. Такие массивы из гауссовских последовательностей использовались далее для получения асимптотических оценок вероятностей достижения максимума непрерывного гауссовского процесса.
В работе Ю.Хюслера и В.И.Питербарга [37] найдены асимптотики для экстремальных значений дробного броуновского движения и гауссовских процессов с трендом. В доказательствах использовались результаты, полученные в работе Х.Бракера [26]. Метод Пикандса развивается не только для гауссовских процессов. Работы С.Бермана [27], П.Албина [25] и других содержат результаты для диффузионных и некоторых других процессов. В некоторых задачах математической статистики, теории надежности и других областях возникает необходимость нахождения точной асимптотики одновременных экстремумов гауссовских процессов и полей, то есть вероятностей при и — со, где X\(t), Хг(б ) - два гауссовских процесса или поля, & А, В -некоторые множества. Такого рода задачи уже рассматривались в прошлом. А.Н.Ладнева в своей работе [8] решила задачу нахождения точной асимптотики такой вероятности для гауссовских стационарных процессов и полей. Также, в работе, А.Н.Ладневой В.И.Питербарга и Ю.Хюслера [23] решена задача о кластерах для гауссовского стационарного процесса. В обоих работах основным инструментом служил "метод двойной суммы", разработанный В.И.Питербаргом в [20]. Вместе с тем, в вышеперечисленных работах асимптотика вероятности одновременных экстремумов была найдена лишь для стационарных процессов, в то время как данная диссертация представляет собой исследование точной асимптотики вероятностей одновременных экстремумов для гауссовских нестационарных процессов. В ней также приведены примеры нахождения точной асимптотики вероятности одновременных экстремумов для нескольких нестационарных гауссовских процессов, построенных на базе дробного броуновского движения. Главным методом исследования асимптотик вероятостей является соответствующим образом модифицированный "метод двойной суммы".
Вспомогательные результаты
Таким образом, векторное гауссовское поле ( u(t),Vu(t)) условно на „(0) = »7и(0) = 0 слабо сходится на С (Л і U Л2) к векторному гауссовскому полю ((t),T](t))t t Є Лі U Л2 у которого или, что то же самое, где BE,OI/2, BE,a/2 - две независимые копии дробного броуновского движения с параметром Херста а/2. Вернемся к рассмотрению интеграла из формулы (60). Наша ближайшая цель - доказать возможность перехода к пределу под знаком интеграла, для чего докажем сходимость интеграла при всех и. Для этого разобьем плоскость на облас-ти и докажем, что в каждой из них подинтегральное выражение ограничено сверху функцией, интеграл от которой по данной области заведомо сходится. 1. Для области (х 0, у 0) ограничим вероятность Р единицей, а плотность / функцией ехрІ хаі $іЗг У"1 ) Интеграл от этой функции по указанной облас- ти сходится, что легко установить принимая во внимание условие В1. 2. Для области (х 0, у 0) ограничим вероятность Р значением р(х) = P(maxteAlu(t) х\и(0) = 0,т7и(0) = 0), а плотность / функцией Заметим, что свойства процесса u(t) при условии и(0) = 0,7 (0) = 0 таковы, что мы можем применить к нему теорему Dl[21] (неравенство Бореля). Действительно, поскольку var(Ut)\U0) = 0,77„(0) = 0) = var{ u{t) - (0)1 (0) = 0,r7u(0) = 0) L\t\s,p LM mh , М = const (где существование М вытекает из ограниченности Лі, использовано неравенство (63) и /?тах = тах{&, і = 1,...,п}), то, используя неравенство Чебышева -Р(и() — Eu(t)\ а) var ) и полагая a = y/2LM x, мы получаем условия теоремы D1. Применяя ее, имеем р(х) Сехр(—х2є) для некоторого є 0, откуда вытекает сходимость интеграла и в этой области. 3. Аналогично предыдущему случаю, подынтегральное выражение не превосходит 4. Рассмотрим теперь последнюю оставшуюся область, а именно (х 0, у 0). В этой области мы оценим вероятность Р как P(jnax tS-)e\lXA2 u{t) +Vu{s) х + 2/u(0) = 0, r/u(0) = 0), а функцию плотности / функцией Аналогично предыдущему, используем теорему D1 и получаем ограничение на вероятность в виде Сехр(—(х + у)2є), что и завершает доказательство сходимости интеграла. Переходя к пределу при и — оо, и обозначая Л = (Лі,Лг), получаем: где a = а%, Г1га b = a ГІгд Произведя под интегралом замену, получаем: = (ab)-1 j fex+yp( (J (у/2СІВЕ,а/2(і) - \t\E aCia х/а, где в последнем равенстве мы воспользовались автомодельностью броуновского движения. Используя независимость процессов Ва/2 и Ва/2, окончательно получаем, что последний интеграл равен откуда и следует утверждение леммы. ч.т.д. 2.4 Доказательство основных результатов Введем дополнительные обозначения: П = А х В, 5 = 5{и) - вектор, такой, что \5\ = Cy/logu/u, значение константы С будет определено в дальнейшем, D = {(t,s) Є П; \t — tm\ \8\,\s — sm\ \5\}, Ниже приведены ограничения сверху и снизу на вероятность Р: Наша цель - найти асимптотику последней вероятности при и — оо и показать, что именно эта вероятность и дает главный член асимптотики. Рассмотрим вначале вторую вероятность в сумме (65) и оценим ее: и обозначим q = 1 — р. Отметим, что в силу условия В1 р в (68) будет больше О и меньше 1. Теперь заметим, что к вероятности (67) можно применить теорему 8.1(21].
Доказательство основных результатов
Найдена точная асимптотика вероятности двойного экстремума для дробного броуновского движения на непересекающихся отрезках, то есть асимптотика вероятности дробное броуновское движение.
Во второй главе найдена точная асимптотика вероятности двойного экстремума для гауссовского нестационарного поля.
Пусть X(t), t Є Rn - нестационарное гауссовское поле с нулевым математическим ожиданием, функцией дисперсии cr2(t) и ковариационной функцией r(t, s). Нас будет интересовать вероятность Р = Р[ maxX() u.maxX(s) и) \ teA w аев ч ) при и —» оо, где А, В є Rn - непересекающиеся, замкнутые жордановы множества. Введем некоторые обозначения. Пусть дан набор положительных чисел a = {oti, ...ак} и набор целых положительных чисел Е = {е\, ...е }, к п, таких, что ]СІ=І є» = п и положим ео = 0. Пару (Е, а) назовем структурой. Для любого вектора t = (ti,...,tn) Є Rn определим следующим образом структурный модуль к , Е{ї) 4Qj/2 i k« = ( Е ) . i=l j=E(i-1)+1 где Е(г) = 2)=о ej г = 1,..., к. Также обозначим где I I - обычная евклидова норма в пространстве соответствующей размерности. Таким образом, структура (Е, а) определяет разбиение пространства Rn в прямое произведение ортогональных подпространств Re . Обозначим также за gut следующее преобразование пространства R : guRn = x$=l(u-VaiRei), запись в скобках означает гомотетию с коэффициентом и-2/а пространства Re относительно 0. Очевидно, что для любого t Є Rn Ш\в,а = U 2\t\E,a. Пусть для поля X(t) выполнены следующие условия: В1 Функции cr2(t) и r(t, s) непрерывны и имеет производные до второго порядка включительно (функция r(t, s) - по обоим аргументам). Кроме того, r(t, s) a\t), r(t,s) a2(s),\/(t,s), t s. B2 Существует и единственна точка (tm,sm) = argraaX(ts)6AxBD(t,s), где ntt Л = 4ty(s)-r2(t,s) a (t)-2r(t,S) + cr4sy и, кроме того, det Ges(D(tm,sm)) ф 0, где Ges(D(t,s)) - матрица размера In х 2п вторых производных функции D(t, s) по аргументам \ 1П) 1) Sn). 83 Существует вектор а = (ai,...,a„), 0 a 1, і = 1,...,п, такой, что для корреляционной функции поля p(t,s) выполнено: p(t,s) = 1 — C(to)\t — U,a(l + о(1)), при t — to, s — to, для любых t0 лежащих в некоторой окрестности точек tm, sm где C(to) 0 - гладкая функция, 84 Var{X{t)-X{s)) L\t-s\E,0, для некоторых 0 = {(5, ...,13), 0 /? 2, L 0 и для всех t, s Є Rn. Введем несколько дополнительных обозначений. Во-первых, обозначим через ВЕ,Н дробное броуновское движение с параметром Херста Н, то есть гауссовское поле, траектории которого почти наверное непрерывны и для которого выполнено: ВЕ,н{ї) = 0 почти наверное, EBEiH(t) = 0, и E{BEtH{t) - BE,H{S))2 = \t -S\E,2H, V t, s Є Rn. Кроме того, обозначим НЕ,а([0,Т]п) = Eexp (suPteT(V2BEia/2(t) - \t\E a)) для любого T 0. Заметим, что согласно [46] существует конечный положительный предел НЕ,а:=\іт±НЕ аф,Т]п), называемый константой Пикандса. Наконец, для поля X(t) положим а\2 = j(tm), а22 = cr(sm), г = r(tm, sm). Теорема 2.1 Пусть X(t), t Є R" - гауссовское нестационарное центрированное поле и пусть для него выполнены условия В1 — В4. Пусть, кроме того, матрица вторых производных выражения F(t,s) = 2($ш и) (Ы) в точке (tm,sm) положительно определена. Тогда верно следующее асимптотическое соотношение:
Похожие диссертации на Асимптотика вероятностей больших выбросов гауссовских нестационарных процессов
