Содержание к диссертации
Введение
2 Задача о разорении для гауссовского стационарного процесса . 22
2.1 Выделение промежутка основного вклада 24
2.2 Оценка первого факториалыюго момента 32
2.3 Оценка второго факториалыюго момента 36
3 Асимптотики больших экстремумов гауссовского гладкого процесса с плоским максимумом дисперсии 64
4 Список литературы 81
- Выделение промежутка основного вклада
- Оценка первого факториалыюго момента
- Оценка второго факториалыюго момента
- Асимптотики больших экстремумов гауссовского гладкого процесса с плоским максимумом дисперсии
Введение к работе
Актуальность темы.
Задача асимптотического анализа вероятностей высоких выбросов гаус-совских процессов является актуальной уже в течение длительного промежутка времени. Разработан ряд общих методов ее решения в дискретном и непрерывном случаях. К ним относятся метод сравнений, метод моментов1, основанный на формуле Раиса, и метод двойных сумм2, базирующийся на лемме Пикандса и идее подсчета вероятности на измельчении параметрического множества. Многие задачи асимптотического анализа вероятностей могут быть сведены к задаче о разорении.
Пусть скорость поступлений доходов некоторой компании с > 0 а суммарные расходы представляют собой случайный процесс Xt,t > 0,Хо = 0. Пусть также и — начальный капитал компании. Тогда в момент времени t капитал составляет величину и + ct — Xt. Разорение происходит, если в какой-либо момент выполняется соотношение и + ct — Xt < 0. Таким образом, вероятность разорения есть
ф(и) = P(inf (n + ct- Xt) < 0) = P(sup(Xt - ct) > u).
*> t>0
Классическим примером задачи о разорении является модель страхования Крамера-Лундберга3, в которой с > 0 скорость поступления взносов, Xt = Ej=i r)j, Nt — пуассоновский процесс интенсивности А > 0, a r/j — независимые одинаково распределенные случайные величины, представляющие индивидуальные страховые выплаты такие, что ~Eevr]1 < оо для любого v > 0
^^Питербарг В.И. Метод Раиса для гауссовских случайных полей. Фунд. и прикл. матем. 1996. 2. 187-204
2Питербарг В.И. Асимптотические методы в теории гауссовских случайных процессов и полей. М.: Изд-во МГУ, 1988
3Cramer Н. Collective Risk Theory, Esselte, Stockholm (1955)
и с > XEr/i. Тогда для вероятности разорения выполняется оценка
P{supXt-ct>u)
t>0
где Vo > 0 — (единственный) корень уравнения X(Eevr]1 — 1) = vc.
Ряд вопросов, связанных со случайным блужданием с отрицательным сносом допускает интерпретацию в рамках задачи о разорении4. Также важными для приложений оказываются случаи зависимых выплат, выплат с тяжелыми хвостами распределений5.
В теории очередей рассматривается величина
Q(t) = sup (Q(0) + C(t) - fit,C(t) - C(s) - fi(t - s)),
называемая загруженностью очереди, где ^(t) — суммарный объем входящего трафика на интервале [0,], а /і — скорость обработки данных. Q(0) — загруженность в начальный момент времени. Задача нахождения вероятности переполнения P(Q(T) > и) также сводится к задаче о разорении6.
Результаты исследований процесса передачи данных в сети интернет показали, что для процесса ^(t) характерна автомодельность7. Данное предположение было реализовано в модели ^(t) = >я(), где Bff(t) — дробное броуновское движение с показателем Харста Н. Точная асимптотика для вероятности (разорения) переполнения ф{и) при и —> оо была получена в работе Ю.Хюслера и В.Питербарга8.
Для () = /о Z(s)ds, где Z(s) — стационарный центрированный гауссов-ский процесс с ковариационной функцией R(t), различают два случая:
4Mikosch Т., Samorodnitsky G. The supremum of a negative drift random walk with dependent heavy-tailed steps. Ann. Appl. Probab. 2000, V. 10., pp. 1025-1064
5Embrechts P., Veraverbeke N. Estimates for the probability of ruin with special emphasis on the possibility of large claims. Insurance: Mathematics and Economics, 1, 55-72, 1982
6Gaussian fluid models; a survey. Symposium on Performance Models for Information Communication Networks. Sendai, 23-25.01.2000
7Norros I. A storage model with self-similar input. Queueing Systems. 1994. 16. 387-396
8Husler J., Piterbarg V. Extremes of a certain class of Gaussian processes. Stochast. Proc. and Appl. 1999. 83. 257-271
длинной памяти J \R(t)\dt = оо,
короткой памяти f \R(t)\dt < оо.
Модель с непрерывной, медленно меняющейся (случай длинной памяти) на бесконечности R(t) с показателем a = 2Н — 2}Нє (1/2,1), рассмотрена Ю.Хюслером и В.Питербаргом9, а также Т.Дьекером10. Для нее получена асимптотика вероятности разорения в следующем виде:
ф(и) = (ст4(1 - а)(2 - а)4/о2)-1/(2-а)>/^^/2УД(ц) х
л/Вд(и)
ф(тїїгН(1 + о(1))'
\y/R{u)auJ
где д = д(х) — минимальный корень уравнения
g2R{gx) = R2(x),
a2 = sup (J2u{s) = (2/(1 + cs)2) /0s(s — v)R{uv)/r{v)dv)
9 ,. 9 (2-a)1_aaa „ cV
(7 = llIIL.^oo (7,, = ; -, В = — -,
и 2c2-a(l-a)' 4(2-a)'
Ф(іі) — хвост функции распределения стандартной гауссовской случайной величины.
Пусть ((t) — центрированный гауссовский процесс со стационарными приращениями. Определим обобщенную константу Пикандса как
П((,Т) = Еехр{щах/ад -E(2(t)}.
9Husler J., Piterbarg V. On the ruin probability for physical fractional Brownian motion. Stochast. Proc. and Appl. 2004. 113. 315-332
10Dieker T. Extremes of Gaussian processes over an infinite horizon. Stochastic Processes and their Applications, 115, p. 207-248, 2005
К.Дебицки11 показал, что константа определена и положительна, если дисперсия процесса ((t) непрерывно дифференцируема на [0,оо), строго возрастает, правильно меняется в нуле с показателем «о Є (0, 2] и на бесконечности с показателем а^ Є (0,2). Кроме того, требуется, чтобы
dt ~
при t —> оо для некоторого С > 0. Пусть для непрерывной ковариационной функции R(t) процесса Xt выполнены условия
11111^00^(^)=0,
J\R{t)\dt < оо,
/о00 t2R{t) < оо, /о00 R{t)dt > 0.
Тогда12
n-((Gc ґ\
ф(и) = fl е-гс2ве-Сси{1 +о(1)), Gcz
где G = /q00 R(t)dt, В = Jo00 tR(t)dt. К сожалению, точное значение обобщенной константы Пикандса известно для очень немногих процессов.
Д.Пикандс13 предложил способ вычисления асимптотики вероятности
P(maxX(t) > и) v teT v ' '
для стационарного процесса X(t) при и —> оо, а именно, если X(t) — стационарный центрированный гауссовский процесс с ковариационной функцией R(t), такой что R(t) < l,t > 0 и R(t) = 1 - \t\a + о(||а) при -> 0, то
Р(тах Хт > и) = ^арм2/аФЫ(1 + о(1)), и ^ оо.
nDebicki, К. (2001), Generalized Pickands constants, CWI Report PNA-R0105
12Debicki K. Ruin probabilities for Gaussian integrated processes. Stochast. Proc. and Appl. 2002. 98.
151-174 13 J. Pickands, Asymptotic properties of the maximum in a stationary Gaussian process, Trans. Amer. Math.
Soc. 145 (1969) 75-86
Здесь Ф(іі) — хвост функции распределения стандартной гауссовской случайной величины, TLa — константа Пикандса, определяемая следующим образом.
Пусть Ba{t) — дробное броуновское движение (т.е. гауссовский действительнозначный процесс с нулевым средним и ковариационной функцией r(t, s) = -(\t\a + \s\a — \t — s\a), а Є (0, 2]). Тогда существует предел
Па = ПШ^-юо — ,
На(Т) = Eexp(max0
Данный метод нахождения асимптотики был обобщен на широкий класс гауссовских полей и процессов и получил название метода двойных сумм14. Во второй главе настоящей работы предложено обобщение данного метода, которое применяется для решения задачи о пересечении движущегося барьера. Данной задачей, т.е. задачей нахождения вероятности P(supr0TiXt — fit) > и), занимались М. Лидбеттер15, Дж. Крайер, и др. Важной работой является статья С. Бермана16, где показано, что
P(max X(t) - f(t) >и) = F'(0)(^)(27r)-^-ie-M2/2(i + o(i))
при и —> оо для стационарного центрированного гауссовского процесса X(t) с единичной дисперсией и ковариационной функцией г it). Здесь предполагается, что г it) ^ 1 для t > 0 и правильно меняется в нуле с показате-
14Питербарг В.И. Асимптотические методы в теории гауссовских случайных процессов и полей. М.: Изд-во МГУ, 1988
15Leadbetter R. On crossings of arbitrary curves by certain Gaussian processes. Proc. Amer. Math. Soc. 16, 60-68, 1965
16C. Берман. Выбросы стационарного гауссовского процесса за высокий движущийся барьер. Случайные процессы. Выборочные функции и пересечения. Изд. "Мир", 133-164, 1978
лем 2 > а > О, кроме того, существует предел р = lim /(/:)/(1 — r(t))1/2] fit) строго положительна при t > 0 и 1 — fit) правильно меняется в нуле с показателем /3 > а/2; v и w суть наибольшие решения уравнений м2(1 — г(1/г>)) = 1, ufil/w) = 1. F(ie) — некоторая функция, которая выражается в явном виде через а,/3,р.
Цель работы.
Целью настоящей работы является получение точной асимптотики вероятности разорения в модели, где убытки описываются проинтегрированным гауссовским стационарным процессом, а доходы - детерминированной неотрицательной функцией (и в частности, линейной), получение асимптотического распределения момента разорения, а также обобщение метода двойных сумм для семейства гауссовских процессов с плоским максимумом дисперсии.
Научная новизна.
Результаты работы являются новыми и состоят в следующем:
Получена точная асимптотика вероятности разорения в модели, где убытки описываются проинтегрированным гауссовским стационарным процессом, а доходы - неотрицательной линейной, степенной, или правильно меняющейся на бесконечности функцией.
Доказана предельная теорема для момента разорения в данной модели.
Найдена обобщенная константа Пикандса для некоторого класса гауссовских процессов.
Найдена асимптотика вероятности превышения уровня семейством гауссовских процессов с плоским максимумом дисперсии (т.е. дисперсией, зависящей от уровня, и сходящейся к константе).
5. Найдена асимптотика вероятности пересечения движущегося барьера для барьеров, нелинейно зависящих от уровня.
Методы исследования.
В диссертации используются современные методы теории максимумов случайных процессов (метод сравнений, метод моментов, метод двойных сумм), методы асимптотического анализа (метод Лапласа).
Теоретическая и практическая ценность.
Работа носит теоретический характер. Результаты и методы работы могут получить применение собственно в теории вероятностей, теории случайных процессов, а также в теории очередей.
Апробация работы.
Результаты диссертации докладывались на международной конференции "Extreme value analysis", Гетебург, Швеция, 2005, на семинаре под руководством Булинского А.В., Питербарга В.И., Шашкина А.П. в 2004, 2005, 2006 гг., Большом Кафедральном Семинаре в 2006 г. и на семинаре "Статистика экстремальных событий" под руководством Маркович Н.М. в ИПУ РАН, 2006 г. Тематика работы была поддержана грантом РФФИ 04-01-00700.
Публикации.
Результаты диссертации опубликованы в 3 работах, список которых приведен в конце автореферата. Работ, написанных в соавторстве, нет.
Структура и объем работы.
Выделение промежутка основного вклада
Задача асимптотического анализа вероятностей высоких выбросов гауссов-ских процессов является актуальной уже в течение длительного промежутка времени. Разработан ряд общих методов ее решения в дискретном и непрерывном случаях. К ним относятся метод сравнений, метод моментов [4], основанный на формуле Раиса, и метод двойных сумм [3], базирующийся на лемме Пикандса и идее подсчета вероятности на измельчении параметрического множества. Последние два метода развиваются в настоящей работе и применяются для решения задачи о разорении и задачи о движущемся барьере.
Метод моментов основан на вычислении моментов числа пересечений гауссовским процессом высокого уровня. Формула для среднего числа пересечений уровня гауссовским процессом, полученная М.Кацем и С.Райсом, стала началом новой ветви теории гауссовских процессов. В ней установлены удобные формулы вычисления моментов числа пересечений, изучаются вопросы конечности этих моментов, обобщаются идеи и методы с одномерных на многомерные задачи, применяются полученные теоремы для оценки распределений различных функционалов, доказательства предельных теорем. Основы данной теории представлены в книге [14]. Гауссовские поля рассмотрены с этой точки зрения в книге [8].
Для получения оценки вероятности превышения некоторого неслучайного уровня гауссовским процессом можно воспользоваться первыми двумя моментами числа пересечений. По-видимому, Райе был первым, кто применил эту идею, которая в течение долго времени была единственным методом оценки распределения максимума случайного сигнала в статистической радио-инженерии. Этот метод достаточно прост, и тем не менее, достаточно точен. Состоит он в следующем: пусть имеется случайный процесс с достаточно гладкими траекториями, про который известно, что его траектории не касаются прямой у = и, тогда множество траекторий, которые превышают в какой-нибудь точке значение и, можно разбить на непересекающиеся подмножества: траектории, графики которых пересекают прямую у = и снизу вверх ровно один раз, пересекает ровно два раза и так далее. Если добавить еще предположение, что уровень и достаточно высок в том смысле, что траекторий с двумя и более пересечениями снизу вверх много меньше, чем траекторий, пересекающих снизу вверх ровно один раз, то мы приходим к идее Раиса, как можно хорошо приблизить вероятность выхода случайного процесса за уровень при помощи первых двух моментов числа пересечений. Опишем этот подход более точно.
Пусть случайный процесс X(t),t Є [0,Т] почти наверное непрерывно дифференцируем, и все его одномерные плотности распределения ограничены. Тогда имеет место теорема Булииской [2], в силу которой с вероятностью единица отсутствуют касания любого неслучайного уровня. Обозначим через Nu[0,T] число точек t Є [0,Т] таких, что X(t) = u,X (t) 0. Случайные величины Nu[0,T] назовем числом выходов за уровень и. При некоторых дополнительных ограничениях эта величина конечна, конечны ее математическое ожидание и дисперсия. Точные утверждения можно найти, например, в [3]. Поскольку касания уровня траекториями отсутствуют с вероятностью единица, то можно выполнить следующие преобразования: Отсюда видно, что простой путь формализации вышеприведенной идеи о малости вероятности двух и более пересечений снизу вверх уровня — оценить второе слагаемое в правой части половиной второго факториалыюго момента числа Nu[0,T], для которого существует относительно простое интегральное представление. Что же касается третьего слагаемого в правой части, то событие под знаком вероятности может произойти лишь в случае, когда либо одновременно Х{0) и,Х(Т) и, либо имеется более одного входа, то есть, следует также оценить второй факториальный момент числа входов (числа точек, таких что X(t) = u,X (t) 0). Таким образом, если обозначить число входов через Lu[0, Т], то можно получить следующее простое комбинаторное двустороннее неравенство:
Оценка первого факториалыюго момента
При умножении на и последнее слагаемое стремится к нулю равномерно на любом отрезке [а,0\. Функция с достигает минимума в точке тт\п = 1 и принимает в ней значение c/G. Таким образом, подставляя разложение (32), умноженное на и, в определение функции 5з(т) (см. (15), (6)), найдем при и — оо равномерно на [а,/?]. Следовательно, при вычислении ехр{—5з(г)} стремящиеся к нулю члены в (33) можно отбросить. Слага емое, не зависящее от и, является равномерно ограниченным и, согласно методу Лапласа, выносится в асимптотику множителем ехр{—маг )2 ) = ехр{— -}. В этом случае утверждение теоремы выглядит следующим об разом: Рассмотрим обобщение задачи о разорении на модели, где Yt имеет произвольный снос. Для этого напомним некоторые определения и теоремы. Определение. Положительная измеримая функция 1{х) называется медленно меняющейся в смысле Карамата на бесконечности, если \imx- ool(\x)/l(x) = 1 для любого А 0. Определение. Полооїсительная измеримая функция f(x) называется правильно меняющейся в смысле Карамата на бесконечности, если Hindoo f(Xx)/f(x) = Хр для любого А 0. Отсюда видно, что правильно меняющаяся функция / может быть представлена как f(x) = хр1(х), где х — медленно меняющаяся функция. Если 1(х) — медленно меняющаяся функция, то для любого 7 0 вы- полнены соотношения Эти соотношения можно переписать в следующем виде: для любого є О существует хо, такое что для всех х хо выполнено х 1(х) Xе. Теорема.(Карамата) Пусть l(t) — медленно меняющаяся функция, X О, такое что 1(х) ограничена на любом конечном отрезке [Х,х] и а —1, тогда Данная теорема также показывает, что интеграл от медленно меняющейся функции является медленно меняющейся функцией. Теорема(Карамата). Пусть L(i) — правильно меняющаяся функция показателя р; X 0, такое что L(x) ограничена па любом конечном отрезке [X, х]. Тогда для а —(р +1) для а = — (р + 1) функция JxtaL(t)dt является медленно меняющейся; для а —(р+1) (и для а = —(р+1), если интеграл Sx t p+ L(t) сходится) Пусть для некоторого to О где L(r) — правильно меняющаяся измеримая локально ограниченная функция порядка р для р —1, т.е. L(r) = rpl(r), где l(r) — медленно меняющаяся функция, и где L(r) — правильно меняющаяся измеримая локально ограниченная функция порядка — 1 р —3/2 (при р = 1 требуется, чтобы интеграл JJ L(r) сходился). Тогда f(t) имеет строго положительную первую производную для больших t. Кроме того, по теореме Карамата для р ф — 1 при t - со выполняются соотношения для р = — 1 функция f {t) является медленно меняющейся, и Положим 9 = 2 + р. Рассмотрим модель Yt = JQXS(IS — f(t), где ковариационная функция R(t) стационарного гауссовского центрированного процесса Xs по-прежнему действительная, дважды дифференцируемая и удовлетворяющая условиям (І), (а). Теорема 2. В вышеприведенных условиях 1) для достаточно больших и существует единственное решение ulleq{u) уравнения (35). Если ковариационная функция удовлетворяет модифицированному условию (гіі ): имеет единственную точку минимума rm\n = тт[п(и) в окрестности т = 1 для достаточно больших и; Доказательство. Воспользуемся обозначениями и рассуждениями, проведенными при доказательстве теоремы 1. Рассмотрим функцию S\(t). Она достигает максимума в точках, где S[(t) = 0, т.е. Отсюда для и — со следует, что t должно также стремиться к бесконечности, а следовательно, можем применить теорему Карамата для /(). Тогда получим следующую аппроксимацию уравнения для точки достижения максимума
Оценка второго факториалыюго момента
Обозначим в = р + 2. Положим Yt = /glscis - /(і), где ковариационная функция R(t) стационарного гауссовского центрированного процесса Х3 по-прежнему действительная, дважды дифференцируемая и удовлетворяющая условиям (і), (іі) и модифицированному условию (Ш): (Hi ) u2 2leq(u) 2 lla , sR(s)ds - 0, и -» со, где оЫ определено (и дока Julleq{u) зано, что существует) в теореме 2. Обозначим ГДЄ щах = W Tmin, Tmin ОПрЄДЄЛЄНО В ТЄОрЄМЄ 2. Теорема 4. 5 вышеприведенных условиях где Ф(х) — функция распределения стандартной гауссовской случайной величины, а ти = mi{t 0 : и - U Х8 ds - f{t)) 0} — момент разорения. Доказательство. Воспользуемся рассуждениями, проведенными при доказательстве теорем 3,4, используя обозначения теоремы 3. Тогда на отрезке [a, Cax(l + 7(u)) существует единственная точка tmax = tmax{u) максимума функции S\(t) (и соответственно, точка минимума функ и2 ции Sz{t) = , .). Следовательно, так как к(ж) — ах Cax7(u) ПРИ 2oi(r) и — со, то на отрезке [а, к(х)] эта точка единственна (если она принадлежит этому отрезку). Следовательно, выполнена оценка (13). Кроме того, справедливо неравенство (38) в следующем виде: Р(тахКф) Yt u)- P(maxQ t K(x) Yt u)\ 2Ра, Ра = P(max«Qyt и). Представим к(х) в виде к(х) — Сах(1 + г (и)), где г (и) - 0 при и - со и применим (2) для S = [а, к(х)). Оценим ENU(S). Воспользуемся формулой (14) для первого факториаль-ного момента и произведем замену переменной t = t axr + tmax, где max — точка достижения максимума функцией Si(t) на интервале [а, к(х)). Тогда 2 = v A WT9W)) {) Найдем асимптотику 1\. Так как функция Sz(r) = 5з(і(т)) достигает минимума в точке тт\п = 0и имеют место равномерные по г при и — оо соотношения: Перейдем к оцениванию її- Так как на промежутке интегрирования [О, (к(х) - W)/Cax] (3ДЄСЬ И ДаЛЄЄ ЄСЛИ (к(х) - max)/ max Т0 берЄТСЯ ОТреЗОК [(к(х) — max)/CaxJ ]) ФУНКЦИЯ 5 з(т)-5з(гтіп) ЯВЛЯЄТСЯ МОНОТОННОЙ и неотрицательной, то можем произвести замену переменной интегрирова-ния у2(т) = 2(53(т) - 53(rmin)). Вычислим у2(и 11е(к(х) — tmax)/q(u)). Так как функция 5з(т) имеет минимум в rmjn, то при т - О справедливо представление ЗД = 53(rmin) + 5з;(0(г - rmin)2/2, где — промежуточная точка отрезка [ттш, (к(х) — тах)Дтах]- ак как т— - 0, то S3 () = з(гтіп)(1 + о(1)) при и -» со. Следовательно, S3(rm,n)} X xfe/ p{4})(i+o(i)) Согласно (2) требуется оценить ENU(NU — 1) на отрезке [а, я(я)]. Так как ю(а;) (3, то оценка второго факториального момента в теореме 2 дает соотношение EATU(JVU—1) = o(J). Следовательно, P(ru к(я)) = /(1+о(1)). Так как Асимптотики больших экстремумов гауссов-ского гладкого процесса с плоским максимумом дисперсии Пусть и(і), Є [О,Г] — семейство действительнозначных гауссовских процессов с нулевым средним и п.н. непрерывными траекториями, такое что дисперсия при и — оо равномерно по і Є [,Т], где функция f{t,u) 0 определена для и 0, 0 КТи непрерывна на этом множестве; f(t,u) - 0 при и -» оо равномерно по t. Пусть существует единственное to = to (и), такое что /(to, и) = 0, to Є (0,Т) для всех и, и для некоторого 9 О ДМ) - /e(u)t - toe = o(\t - toft, Ми) О при t - to равномерно по и (т.е. для любого є 0 существует 5(e) 0, такое что для всех и, для всех ) — to о (є) выполнено — -j — Пусть также корреляционная функция Eu(t)u(s)/( ru(t)cru(s)) = ru(t,s) 1 при t ф s, непрерывна, и для любого положительного є существуют 6(e) 0,щ(є) 0 такие, что для всех и щ, — s S и некоторого 7 Є (0,2] выполнено.
Асимптотики больших экстремумов гауссовского гладкого процесса с плоским максимумом дисперсии
Пусть &,t [О,T] — гауссовский центрированный стационарный процесс с единичной дисперсией, п.н. непрерывными траекториями и ковариационной функцией R(t), R(t) = l-CV+o{fi) при t - О, С 0 u \R(t)\ 1 при t 0. Функция f(t) определена для О t Т, непрерывна на этом множестве. Пусть /(to) = 0, где 0 to Т, и f(i) О, t ф to- Пусть Лемма. Пусть X(t),t Є [0,Т] — гауссовский центрированный стационарный процесс с ковариационной функцией r(t), удовлетворяющей условиям r(t) = 1 — 7 + о(7), — 0 для некоторого 7 0 и r(t) 1 для всех t 0. Тогда Р( max X(t) и) = Ф(и)Яа(Г)(1 + о(1)), и - оо, где Ф(и) — функция распределения стандартной гауссовской случайной величины; для любой р(и) Т, и 2!1 = о(р(и)) выполнено если / (w) 0, причем u2fe(u)u 29 — с 0 при и - оо, то для любого 5 0 x(t) — дробное броуновское двиоісеиие с показателем Харста j. С\)ществу Доказательство. Первые два утверждения содержатся в лемме D1 [3] и теореме D2 [3]. Третье утверждение следует из того, что для любого є и достаточно больших и P(max(e[o,K(u)]X(t) и) P(maxte[0ju-2h]X(t) и) Яв(е)Ф(«)(1 + о(1)), и На(є) -» 1 при є - 0. Нижняя оценка очевидна. Последнее утверждение доказывается аналогично лемме D1 [3]. Доказательство теоремы. 1. Пусть u2fe(u) — со (и —у со). Введем обозначение r)(t) = u(t)/(Tu(t). Зададимся произвольным є 0. Тогда Р{твхф)у/і-/{и,і)(1 + є) tx) P(maxf«W «) P{m xri(t)y/l-f(utt)(l-e) u). К } Возьмем 6 = 2(u2fe(u))- e\n(u2fe(u))/e. Обозначим U = [t0 - 5,t0 + 5} Г) [0,T],Uc = [0,T]\U. Так как P(maxr?( l-/( )(1 ± є) ti) Р(тах т У1 - f(u,t)(l ±є) и) P(w rj(t)yjl-f(u1t)(l±s) и)+Р(тахфуі- f(u,t)(l±e) и), и, согласно неравенству Питербарга [3], для некоторого Go 0 при и -» со то достаточно оценивать вероятности из (46) на U. Пусть u2fe(u)u 29 - 0. Тогда можно выбрать Д = Д(и) так, чтобы u2f9{u)Ae - 0 и гГ2/7 = о(Д) при и - оо. Разобьем [/ на отрезки длины Д. Обозначим через Д& &-й отрезок разбиения. Пусть ї — точка максимума f(u,t) на Д , a ї — точка минимума. По условию для любого 1/2 2 0 и достаточно больших и на Д а следовательно, Обозначим гауссовские центрированные стационарные процессы с ковариационными функциями из (48) X 2(t) и X62(t) соответственно. Тогда согласно лемме Слепяна [3] Р [maxXе2m . \ _) \КЬ Jl-f(u,tt)(l-e)J Р тахт/й , " (49) Р тахХ-2т , " ) .
Похожие диссертации на Некоторые задачи асимптотического анализа вероятностей высоких выбросов гауссовских процессов
