Применений мартингальных методов в некоторых задачах, связанных с гауссовскими процессами Бутов Александр Александрович

Доказательство теоремы

1. Диссертационная работа посвящена исследованию ряда га уссовских объектов мартингальными методами. С помощью этих ме тодов удается единообразно рассмотреть следующие вопросы:

1) сформулировать условия абсолютной непрерывности и сингулярности гауссовских мер, отвечающих каноническим процессам, 2) установить условия слабой сходимости семимартингалов общего вида к гауссовским процессам диффузионного типа, 3) рассмотреть процессы в обобщенной схеме Калмана (установить кратности этих процессов, необходимые и достаточные условия непрерывности порожденных ими потоков б -алгебр и, наконец, необходимые и достаточные условия существования обобщенного фильтра Калмана). Работа состоит из трех глав.

2. В первой главе рассматриваются условия эквивалентности и сингулярности гауссовских мер, отвечающих каноническим про цессам некоторой кратности Y\ ( КЇ &ОО) , [І J . Следует от метить, что условиям абсолютной непрерывности гауссовских мер посвящено большое количество работ (см., например, библиогра фию в [2 j ). Достаточно полно эти условия представлены для различных классов процессов, например, в терминах характеристик гауссовских мер в гильбертовом пространстве [2,3j , в терми нах характеристик спектральных разложений процессов [2,4] , в терминах гильбертова пространства с воспроизводящим ядром [5, б] и др. В настоящей работе условия формулируются в терминах детерминированных характеристик мартингальных представлений га уссовских процессов. Близкие задачи решались в 5,7,8,9J , где, например, найдены условия эквивалентности распределений гауссовского процесса кратности один и винеровского процесса, гауссовского мартингала, допускающего скачки, и некоторых дру гих процессов. Вопрос об абсолютной непрерывности мер, отвечающих семимартингалам общего вида достаточно полно изучен в flO] . В частности и для случая гауссовских семимартингалов. Представляется интересным распространение развитых в [iOJ методов на случай мер гауссовских процессов, не являющихся семимартингала-ми.

Гауссовские канонические процессы, для которых здесь формулируются условия эквивалентности мер, рассматриваются в следующей схеме: на измеримом пространстве (2 9 ) заданы две веро-ятностные меры Р и Р (распределения определенного на (Q f) процесса X = (Xt)t c? Поток б -алгебр F-s (5- )± о » порожденных процессом X , предполагается непре-рывным справа и пополненным по мере Q (P+P)/2. ( если необходимо, вместо потока ( ь) 0 рассматривается С ь+)-ьго Предполагается, что процесс X гауссовский и доцускает каноническое представление кратности v\ . (п оо) 9 ij f как относительно (F,P) , так и относительно (F, Р) ( заметим, что в случае различных кратностей процесса X меры Р и Р были бы заведомо сингулярны; см. например, [llj ):

Теорема I. Гауссовские меры Р и Р , отвечающие каноническому процессу кратности и (п оо) , эквивалентны тогда и только тогда, когда существуют варианты представлений (1)-(2) с характеристиками (А ,FL(і s), mi\ -1,...,п) и (А± у \-1С"ЬІ Sjj т 1 ±)1=4у...,п) такими, что выполнены условия I - ІУ.

Заметим, что о существовании вариантов представлений приходится говорить поскольку представления (I) и (2) неединственны. Невыполнение хотя бы одного из условий І - ІУ в каждой паре представлений процесса /\ относительно (F, Р) и (F, Р) в силу, известной альтернативы Гаека-Фельдмана ( [l3j , [l4J ) влечет сингулярность мер Р и Р

Доказательство теоремы I проводится в 2 на основе методов, развитых в [ю] . В 3 приведены некоторые следствия и стримеры.

2. Вторая глава посвящена изучению условий слабой сходимости последовательности семимартингалов Х"= (Х±)ь 0 пъ 1 (с соответствующими распределениями Q 1 ), к процессу диффузионного типа (и в частности, к гауссовскому) X = (Х±)ь 0 (с распределением Q ).

Дополнительные результаты и примеры

Из условий І - ІУ и независимостей Х0 и (Х±-Хо) следует (по теореме 17в [iOj для гауссовских семимартингалов и ее очевидному многомерному обобщению), что существует мера Р , эквивалентная Р , такая, что і С -і( )) го , /; явля ются мартингалами относительно (Fy Р) с характеристиками, удовлетворяющими условиям П - Ш, и Р0 = Р0 . Тогда по ме ре Р , как следует из (20), процесс X имеет представле ние (I) с характеристиками (А± , Р;( sJ } т;\ L- /, .-. Следовательно, мера Р совпадаете Р на . Следовательно, мера совпадает с на Следовательно, Р Р . Теорема доказана. Дополнительные результаты и примеры

Представление (I) процесса X относительно (г; Р) , вообще говоря, не единственно. Однако, в случае кратности I (то есть п -{ ), [51J , если процесс X допускает относительно (tr PJ представление с характеристиками ( А± F (t $) т\ ), то, как легко следует из теоремы о представлении мартингалов [l9J , любое другое его представление с (А } F C tts) , гйЛ: ) относительно (tr,P) связано с первым соотношениями (30): Fft,s)=f F( ,sJ, Vi 1 т л-»-"- (зо) с некоторой измеримой детерминированной функцией f . такой,

Эти соотношения позволяют получить следующее следствие: ГУ Следствие. Гауссовские меры Р и Р , отвечающие каноническому процессу кратности один эквивалентны тогда и только тогда, когда для любых двух вариантов представлений X (или, что то же самое, для каких-либо двух вариантов) с (А± , Ffcs), "%) и (А± ,Г(і,&), т ±) относительно (F,PJ и (IF,P соответственно выполнено условие I и существует измеримая детерминированная функция -f , удовлетворяющая ограничениям (31) и такая, что для определенных в (30) характеристик (/Ц , Pft }s) j w ± ) выполнены условия П-ІУ (для п=4 ) вместе с (А± ,F(t,&)} \) .

Пример I. (См., например, теорему 15 в [IOJ ), Если вине ровский процесс относительно равен W± - W±+A± , Р - п.н., где U/ = (W±) o - винеров-ский процесс относительно (F, Р) , а Ль - детерминиро-ванная функция, то меры Р и Р эквивалентны тогда и только тогда, когда о// «о/ и J ( г) o/S

индикаторная функция. Процесс X не является семимартингалом. Действительно, если бы (Х -ъ о был семимартингалом, то, J 29J , существовал бы гауссовский мартингал М - (М±)± о относительно ((F} Р) , такой, что (Х± М±)} 0 - процесс локально ограниченной вариации. Но любой мартингал М имеет вид /%_= = і $"s 4 с некотоР0и функцией fg , и, как нетрудно ви деть, процесс С А " З Ц Л» э имеет возрастающую квадратичную вариацию, не меньшую №,) /] t/2L 2 при любом і 0 . Следовательно, какой бы ни была функция fs , процесс (X.t Aft )t»o не является процессом локально ограниченной вариации.

Согласно следствию к теореме I получаем, что для любой гауссовской меры Р , эквивалентной г , существует вине ровский процесс ( t)t o относительно ($\, Р такой, что

Пусть на измеримом пространстве (2 , J определена вероятностная мера Р и задана последовательность потоков б -алгебр F""- (Э- ± JL „ п = у 2- 3,... , удовлетворяющих обычным условиям Деллашери [23] .

Пусть на (Q , F/ при каждом п ,2.,... определен выходящий из нуля семимартингал X = (Х± )± о относитель но (и } Р/ с траекториями из D , распределением О (определяемом на Ф,&) как 0"(Г)=Р(Х"Г) для любого множества / из ее) ), и с соответствующим каноническим представлением (I), l5J : где х чх;\и - непрерывный локальный мартингал от носительно с квадратичной характеристикой С Х" \ 0 с/мп= M fiXydt) _ дифференциал меры скачков процесса X , V w - компенсатор jw 7, В г(В 0 предсказуемый процесс локально ограниченной вариации.

Настоящая глава посвящена изучению условий слабой сходимости последовательности семимартингалов X , и / (с распределениями Q , п 4 ) к гауссовскому непрерывному процессу диффузионного типа X = (Х±)± 0 (с распределением Q ).

Будем предполагать, что мера Q задана на И решает мартингальную проблему диффузионного типа ( М(Х)\ , &±(Х))± о [Ю] , то есть Q - п.н. на (D,S ) локальным мартингалом относительно (D , ( ) с характеристикой К 00/-( Н(Х\) о ВСЮ = (6 00) , -D -предсказуемым процессом ло кально ограниченной вариации. При этом предполагается, что Q (С) - 1 , то есть мера Q сосредоточена на множест ве непрерывных траекторий.

Вопросу об условиях слабой сходимости к гауссовским про цессам посвящено много работ (см. например, [30,12,31-39J и библиографию в них). Здесь условия формулируются в терминах триплетов предсказуемых характеристик се мимартингалов X , п 4 (аналогично [16,21,33-39J ) без предварительных предположений об относительной компактности Q"} п Ъ4 (см. [21J ) и без предположения об ограниченно сти коэффициентов В±(Х) и (М(Х)\ предельного про цесса, [l6j . Условия такого вида довольно общи (они даже выхо дят за рамки гауссовского случая), и позволяют в 3 рассмот реть известный пример, [30j , сходимости к "броуновскому мосту" и пример сходимости к управляемому диффузионному процессу с квадратичным критерием качества. На основе сформулированной здесь теоремы 2 в 4 главы 3 исследуются условия (теорема 7) слабой сходимости в схеме серий пар семимартингалов к гауссов-ской паре, описываемой уравнениями Калмана, что позволяет установить условия сходимости линейных оценок Калмана.

Применения и примеры

Доказательство пункта Зі Для доказательства пункта 3 в силу пункта 2 достаточно показать, что из условия 1)е) следует гауссовость процесса X Для этого проверим характериза-ционное свойство гауссовского процесса, [50J : для любых чисел $ к и таких, что sz+ u.2= { , и двух независимых копий процесса X и X , процессы sX и. X к и являются независимыми копиями. Действительно, указанное свойство выполняется для независимых копий мартингала М с характеристикой ( -ь)± о из (2). Следовательно, в силу линейности уравнения (2) (по условию 1(e), & (Х) -линейный функционал, -Ьъо ) и единственности сильного решения, [49J , (2), ко-пии процессов X и X , определяемые мартингалами М и м , также удовлетворяют этому свойству. Следовательно, процесс X -гауссовский.

Заметим, что дХ$ J=r , S 0 , следовательно условие П(ак) Условие (в) выполняется тождественно, т.е. Be(XV = = В при всех пгі и Р (достаточно подставить выражение (25) в (28)). Проверим условие (бк). Согласно [20j , если выполнено условие П(а), условие (бж) эквивалентно сходимости по закону Бернулли. Условие П(бк), как отсюда легко следует, вішолнено (равномерная сходимость следует, например из [42] ).

Так, последовательность X" слабо сходится к X на любом интервале [0,Tj , Т I. Для того, чтобы убедиться в слабой сходимости на всем интервале [0,IJ , заметим, что процесс X обратим во времени (в силу симметрии относительно "Ь — р- } (26) и, следовательно, при замене времени и = / - t имеет такое же представление (27), но с другим винеровским процессом

Условия П(ах, 6я, в) выполнены вместе с условиями 1(а,б,в,г,е) на любом интервале [0,Tj , Т 1, аналогично условиям для X" и X . Следовательно, последовательность процессов X слабо сходится к X на любом интервале [i, IJ при Хе 1 0,1 [ и на интервале [0,TJ , что и завершает доказательство слабой сходимости X 7 к X на []0,IJ при п- оо

В этой главе на полном вероятностном пространстве С S2 , iF-C 4 0, Р ) с обычными условиями Деллашери, рассматривается пара процессов X (Х±)Ь0 , Y-CY -ь о с траекториями в D , удовлетворяющих уравнениям обобщенной схемы Калмана:

В этой схеме процесс X рассматривается как ненаблюдае мый, а процесс Y - как наблюдение. Возникающая при этом зада ча оптимального оценивания при і о (фильтрация) X, по наблюдениям V , « " понимается как задача нахозеде ния »i»E(X IT/) , где Т/= e(Ys, osss і) .

Дисперсию ошибки оценивания будем обозначать Гь = Е(Х Щ.) . Заметим, что уравнения фильтрации традиционно выводятся (см., например, [27j ,J24J , [22J ) при предположении непре рывности справа потока и, более того, су ществования обновляющего мартингала М относительно (FY, Р) такого, что и, следовательно, процесс \ име ет кратность один. Эти условия либо требуются априорно, либо обеспечиваются некоторыми - всегда достаточными - условиями (типа условий равномерной невырожденности шума в наблюдениях в [27J ). Так уравнения фильтрации в [22J были получены при предположении (наиболее общего вида) (3):

В настоящей главе в терминах детерминированных характеристик а , , "%. РЪ и я Л( устанавливаются необходимые и достаточные условия кратности один процесса V (теорема 3), непрерывности справа потока & -алгебр IF (теорема 4) и условия кратности один процесса Y с мартингалом обновления/7 (теорема 5). Заметим, что процесс Y представляет собой сумму двух процессов кратности один и может иметь как кратность один, так и два - некоторые случаи таких процессов рассматривались в , где приводится ряд достаточных условий кратности один сумм процессов кратности один. Заметим также, что условия непрерывности потоков &-алгебр, порожденных семимар-тингалами прежде устанавливались лишь для мартингалов [Ij .

Доказательства теорем приводятся в 2. Обобщение этих результатов на случай многомерных процессов X и [ затруднительно. Однако в 3 удается получить достаточные (в некотором смысле необходимые и достаточные) условия, при которых ЇЇ] и 1 , tZ-o (многомерный случай) определяются уравнениями фильтрации Калмана-Бьюси (теорема б в 3).

Достаточные условия оптимальной линейной фильтрации в многомерной схеме Калмана при "вырождении щумаи в наблюдениях...

Очевидно поток FY заведомо разрывен справа, если разры вен справа мартингал Л/ (мартингал К непрерывен). Если /1/ мартингал с траекториями в О , то IF - непрерывный спра ва поток. Действительно, пусть - случайная величина такая, что при некотором t o = Так как независимы, то при г о ы. в.гэ] ), с некоторыми P- п.н. интегрируемыми с квадратами Us (по измеримыми случайными процессами. Из произвольности о следует, что 5 - о J Р - п.н.

Следовательно, доказательство теоремы 4 сводится к нахож-дению условий, при которых А/± s /1/ = 0 г - п.н. Из леммы 3 получаем условие (в), теоремы 4, и условие (а) получаем непосредственно по определению А/ . Теорема 4 доказана. Утверждение теоремы 5 непосредственно следует из теоремы 3, определения мартингала А/ и леммы 3. Достаточные условия оптимальной линейной фильтрации в многомерной схеме Калмана при "вырождении щума" в наблюдениях

В многомерной схеме Калмана одним из основных условий существования уравнений фильтрации, [27j , является условие " "равномерной невырожденности щума" в наблюдениях. Если щум вырождается, то уравнения фильтрации при определенных предположениях относительно коэффициентов исходных уравнений могут быть принципиально иного типа (например, могут содержать производные по времени реализаций компонент наблюдения). В [24] (гл. 4) предлагается рассматривать "регуляризованные" оценки, сходящиеся в среднеквадратическом смысле к оптимальным. Однако метод доказательства, предложенный в [24J , не позволяет установить скорость сходимости. Поэтому для случая "вырождения шума" в наблюдениях интересно найти условия, при которых оптимальная линейная оценка и дисперсия ошибки оценивания ТГ и Г являются решением многомерных уравнений типа уравнений Калмана. Тогда появляется возможность определения близости оценки "регу-ляризованного" фильтра тг = (7г)± 0 и оптимальной оценки ЇЇ = (ТГ± )-ь о по соотношениям Г7 =(7 )± о и t Заметим, что в сформулированной здесь теореме б приведены достаточные, но не необходимые условия определимости ТГ и Г7 уравнениями типа Калмана. Непосредственное же обобщение теоремы 5 на многомерный случай представляется чрезмерно громоздким.

В настоящем параграфе формулируются (на основе результатов главы 2) условия слабой сходимости пар (X , V/ и (X, Y) При этом в случае частичной наблюдаемости (X ; YУі)і vi і (X - ненаблюдаемый, а г - на-блюдаемый процессы), есть смысл строить линейную оценку, аналогичную (49 ) - (50), Для этого рассмотрим (при каждом п i ) процессы іг( Y )= (щ(У ))tto с Я±(У ) - решением уравнения (51) (отличающегося от (49) заменой с/ г$ на d ) : о о Is где И - решение (50). Это уравнение имеет единственное решение (см. [24] ) где eaf{ \(&s - W + bW g; )dsj . Обозначим - 81 s-fs qz— ( # -дифференцируемая функция с локально ограниченной производной о & ), и представим я± (YV в виде (52): TTJY") = f±\pdY? =

Заметим, что її О) при является непрерыв ным в смысле 1(ч) гл. Z функционалом (т.е. из сходимости Y кг в топологии Скорохода , следует сходимость при п + оо w±(Y") к Ft(K) , откуда в случае слабой сходимости очевидно следует сходимость конеч номерных распределений Л" ( У J к ТГ = П"( У) . Относительная компактность распределений її (У ),пы, следует из относительной компактности Уп, ю /, непрерывности и Q± , и ограниченности 4$ Отсюда получаем, что в случае сходимости (X" Yn) -2 (X V9 при п- оо имеет место сходи-мость(ХУУЮ) jfe,(jCtY v) при п = .

Обозначим о -локально, квадратично интегрируемые мартингалы относительно (JFtP)? n S, Условия (а, I), (б, I) и (в, I) соответствуют условиям П(а, б , в) в гл.2, и по теореме 2 обеспечивают слабую сходи - 83 мость при п- оо (условия группы I гл.2 выпол нены, поскольку снос предельного сёмимартингала имеет вид коэффициент диффузии детерминирован, и уравнение (47) имеет единственное сильное решение).

Заметим, что из сходимости хплх при п— оо вытекает сходимость(JX" 5) " (СХ # ds) (относительная компактность следует из относительной компактности X , т і сходимость конечномерных распределений следует из непрерывности в топологии Скорохода функционала Xs 6gcls . Последо о вательность мартингалов М yY\i по условиям (а, 2), (б, 2), и (в, 2) слабо сходится к гауссовскому мартингалу М= - (М )± о с t5f ts K Следовательно, по оп о ределению Y (53), для доказательства (54) достаточно показать, что при у\- оо имеет место сходимость (55):

Похожие диссертации на Применений мартингальных методов в некоторых задачах, связанных с гауссовскими процессами

Асимптотические методы теории случайных процессов и полей в задачах непараметрической статистикиКонаков, Валентин Дмитриевич

О задачах управления процессом наблюдения по неполным данным Джамбурия Леван Гивиевич

О статистических задачах для процессов типа дробового эффектаМельник, Валентин Николаевич

Предельные теоремы в двуграничных задачах для случайных процессов с независимыми приращениямиХоджибаев, Вали Рахимджанович

Сходимости цен в задачах оптимальной остановки случайных процессов по неполным данным в схеме Калмана-БьюсиБакиа, Инаам

Задача о разладке для процессов Леви в обобщенной байесовской постановкеУстинов Филипп Александрович

Стохастические задачи оптимальной остановки для процессов ЛевиСинельников-Мурылёв Сергей Сергеевич

Некоторые задачи в теории ветвящихся процессов и модели в информационной безопасностиШипилева Алла Владимировна

Задача о разладке для самовозбуждающихся процессовАлиев, Амир Фикрет оглы

Некоторые задачи асимптотического анализа вероятностей высоких выбросов гауссовских процессовКобельков Сергей Георгиевич