Содержание к диссертации
Введение
1 Оценки точности аппроксимации обобщенных процессов Кокса с ненулевыми средними смесями нормальных законов 20
1.1 Обобщенные процессы Кокса 20
1.1.1 Случай управляющих процессов с конечной дисперсией 21
1.1.2 Случай управляющих процессов с бесконечной дисперсией 31
1.2 Экстремумы обобщенных процессов Кокса 33
1.3 Обобщенные процессы риска 36
2 Оптимизация параметров спекулятивной деятельности 43
2.1 Общая постановка задачи 43
2.2 Неоднородные потоки клиентов 47
2.3 Однородные потоки клиентов 50
3 Применение асимптотических свойств обобщенных процессов Кокса в некоторых задачах оптимизации 64
3.1 Общая постановка задачи
3.2 Применение асимптотических свойств обобщенных процессов Кокса в одной задаче оптимизации резерва
3.3 Применение асимптотических свойств обобщенных процессов Кокса в задаче оптимизации параметров процесса риска 75
3.3.1 Гарантированные оценки для начального капитала страховой компании 75
3.3.2 Гарантированные оценки для оптимальной ставки страховой премии . 81
3.3.3 Гарантированные оценки для времени достижения желаемого значения резерва 84
3.4 Применение асимптотических свойств обобщенных процессов Кокса в задаче оптимизации начального капитала страховой компании. Альтернативный подход 85
3.5 Применение асимптотических свойств пуассоиовских случайных сумм в одной задаче оптимизации резерва 87
4 Применение асимптотических свойств обобщенных процессов Кокса в задаче оценки надежности модифицируемых систем. Случай непрерывного времени 92
4.1 Неоднородные рекуррентные модели изменения надежности модифицируемых систем. Непрерывное время 92
4.1.1 Неоднородные экспоненциальные модели с непрерывным временем 96
4.1.2 Неоднородные логистические модели с непрерывным временем 101
4.1.3 Неоднородные гиперболические модели с непрерывным временем 105
Литература 108
- Случай управляющих процессов с конечной дисперсией
- Неоднородные потоки клиентов
- Гарантированные оценки для оптимальной ставки страховой премии
- Неоднородные рекуррентные модели изменения надежности модифицируемых систем. Непрерывное время
Введение к работе
Объект исследования
Данная работа посвящена изучению некоторых асимптотических свойств специальных случайных сумм - сумм независимых случайных слагаемых, в которых число слагаемых само является случайной величиной и неограниченно увеличивается в соответствии с некоторым дважды стохастическим пуассоновским процессом, также называемым процессом Кокса. Такие суммы описывают поведение координаты частицьт при неоднородном или нестационарном случайном блуждании. От однородного случайного блуждания оно отличается тем, что распределения случайных интервалов времени между последовательными скачками являются, вообще говоря, различными. Предположение неоднородности (различия распределений времен между последовательными скачками) случайного блуждания хорошо согласуется с представлением о том, что интенсивность изменений координаты частицы, испытывающей броуновское движение в изменяющейся (например, турбулентной) среде, существенно непостоянна. Это непостоянство может быть вызвано многими причинами, проявляющимися, например, как непериодические или периодические компоненты (тренды), связанные с изменениями локальных (во времени) тенденций, например, панического характера на биржах при моделировании динамики финансовых или экономических показателей или внешних параметров тороидальных магнитных ловушек (токамаков и стел-лараторов) при моделировании плазменной турбулентности (Королев, 2007). Кроме того, участки нестационарности могут быть вызваны некоторыми случайно возникающими (не поддающимися абсолютно надежному прогнозированию) причинами.
Пусть N(t) - число скачков случайно блуждающей частицы за период времени [0, f], t 0. При решении многих практических задач естественно считать, что моменты скачков образуют хаотический точечный случайный процесс на оси времени. Однако этот хаотический случайный процесс мол-сет не быть однородным в силу указанных выше представлений. Как известно, наиболее разумными стохастическими моделями неоднородных хаотических точечных процессов являются дважды стохастические пуассоновские процессы, иначе называемые процессами Кокса (см., например, (Bening and Korolev, 2002)). Определение процессов Кокса следует предварить кратким экскурсом в описание некоторых свойств однородных и неоднородных пуассоновских процессов. В полном объеме свойства однородных и неоднородных пуассоновских процессов описаны, например, в книгах (Kingman, 1964) и (Кингман, 2007), где также можно найти многочисленные примеры математических и прикладных задач, в которых возникают такие процессы.
Как известно (см., например, (Bening and Korolev, 2002)), пуассоновский процесс, характеризуемый тем обстоятельством, что интервалы времени между событиями потока стохастически независимы и имеют одинаковое показательное распределение, является наилучшей моделью однородного стохастического хаотического потока событий. Напомним, что привлекательность пуассоновского процесса в качестве модели однородного дискретного хаоса обусловлена как минимум двумя обстоятельствами. Во-первых, показательное распределение обладает максимальной дифференциальной энтропией среди всех абсолютно непрерывных распределений вероятностей, сосредоточенных на всей положительной полуоси и имеющих конечное математическое ожидание, а энтропия, как известно, является очень удобной численной характеристикой неопределенности. Во-вторых, точки (события) пуассоновского потока равномерно распределены на оси времени в том смысле, что для любого конечного интервала времени [fi, to], t\ , условное совместное распределение точек пуассоновского потока, попавших в интервал [іь Ь при условии, что в этот интервал попало фиксированное число, скажем, п точек, совпадает с совместным распределением вариационного ряда, построенного по независимой однородной выборке объема п из равномерного на [f і, іг] распределения. Равномерное же распределение обладает максимальной дифференциальной энтропией среди всех абсолютно непрерывных распределений вероятностей, сосредоточенных на конечных интервалах, и очень хорошо соответствует общепринятому представлению об абсолютно непредсказуемой ограниченной случайной величине.
Актуальность темы исследования
В основе конструкции базовых математических моделей неоднородных хаотических процессов, рассматриваемых в данной диссертации, лежит асимптотическая схема, основанная на принципе, который может быть наглядно проиллюстрирован на примере простейшей задачи из теории измерений (см., например, (Romanowski, 1979), (Новицкий и Зограф, 1991)). Погрешность измерения является результатом суммарного воздействия большого числа случайных факторов, ни один из которых не является доминирующим, и потому, согласно центральной предельной теореме, должна иметь нормальное распределение. Однако на разные измерения воздействует, вообще говоря, разное число случайных факторов, то есть число случайных факюров, определяющих погрешность, само является случайным фактором. Поэтому вместо классической центральной предельной теоремы здесь более уместно пользоваться предельными теоремами для сумм случайного числа независимых случайных величин.
Теория случайного суммирования довольно хорошо развита (см., например, монографии (Gut, 1988), (Круглов и Королев, 1990), (Gnedenko and Korolev, 1996), (Kalashnikov, 1997), (Bening and Korolev, 2002), (Silvestrov, 2002) и (Klebanov, 2003)), в которых содержится изложение как основ асимптотической теории случайного суммирования, так и описание специальных ее разделов. Не преуменьшая вклад остальных математиков, посвятивших свои работы исследованию тех или иных свойств случайных сумм, упомянем здесь лишь основополагающие работы Г. Роббинса (Robbins, 1948), который в схеме «нарастающих сумм» нашел достаточные условия сходимости распределений иецентрированных случайных сумм к масштабным, а неслучайно центрированных случайных сумм - к сдвиговым смесям нормальных законов; Р. Л. Добрушина (Добрушин, 1955), обобщившего результаты Роббинса на произвольные случайно индексированные случайные последовательности при специальном выборе центрирующих и нормирующих констант; Б. В. Гнеденко, который, во-первых, совместно со своим учеником X. Фахимом доказал знаменитую теорему переноса, устанавливающую достаточные условия слабой сходимости случайных сумм независимых одинаково распределенных случайных слагаемых в схеме серий (Гнеденко, Фахим, 1969), и, во-вторых, поставил задачу об отыскании необходимых и достаточных условий упомянутой сходимости, первые шаги в решении которой были сделаны его учениками и прежде всего, А. В. Печинкиным (Печинкин, 1973) (для случая сходимости к нормальному закону) и Д. Саасом (Саас, 1972), (Szasz, 1972) для общего случая; В. М. Круглова, в частности, нашедшего необходимые и достаточные условия слабой компактности случайных сумм (Круглов, 1998); В. Ю. Королева, который, во-первых, совместно с В. М. Кругловым нашел окончательное решение задачи Гнеденко-Сааса о необходимых и достаточных условиях слабой сходимости случайных сумм независимых одинаково распределенных случайных сумм (Korolev and Kruglov, 1998), и, во-вторых уточнил и обобщил упоминавшиеся выше результаты Р. Л. Добрушина, указав необходимые и достаточные условиях слабой сходимости суперпозиции произвольных независимых случайных процессов (Korolev, 1996). Последние результаты, в частности, позволили установить необходимые и достаточные условия слабой сходимости распределений обобщенных процессов Кокса и обобщенных процессов риска как с детерминированными, так и со случайными премиями (Bening, Korolev. 2002), (Королев, Бенипг и Шоргин, 2007).
Пример 0.0.2. Рассмотрим следующую модель одномерного броуновского движения -теплового движения некоторой частицы, испытывающей соударения с молекулами вещества, заполняющего среду, в которой движется частица. Пусть N(t) - число соударений частицы с молекулами до момента t. Если бы среда и свойства частицы не изменялись во времени, то было бы естественно предполагать, что N(t) является однородным пуассонов-ским процессом. Однако если допустить, что среда или свойства частицы изменяются во времени, то интенсивность столкновений перестает быть постоянной. Поэтому, обозначив перемещение частицы в результате j-ro столкновения через Хэ, можно придти к выводу, что процесс S(t), определяемый соотношением (0.0.5), описывает координату частицы в момент , если она испытывает броуновское движение в неоднородной (случайной) среде.
Всюду в дальнейшем будем считать, что у случайных величин {Xj}j x имеется, по крайней мере, два первых момента. Обозначим ЕХ\ = a, DX\ = а2, 0 а2 оо. Как показано, например, в (Bening and Korolev, 2002) пли (Королев, Бенинг и Шоргин, 2007), даже в таких предположениях предельные распределения обобщенных процессов Кокса могут иметь произвольно тяжелые хвосты. При этом асимптотическое поведение обобщенных процессов Кокса с нулевым средним принципиально отличается от асимптотического поведения обобщенных процессов Кокса с ненулевым средним. Если в первом случае в качестве предельных законов в оговоренных выше моментных условиях выступают масштабные, то во втором - сдвиговые смеси нормальных законов.
К моменту начала работы над диссертацией были известны некоторые оценки точности приближения распределений обобщенных процессов Кокса с ненулевым средним сдвиговыми смесями нормальных законов (см., например, (Korolev, 2000), (Bening, Korolev, 2002) и (Королев, Соколов, 2008)). Но данные оценки оказываются справедливыми для довольно узкого класса распределений случайной величины, предельной для стандартизованного процесса накопленной интенсивности, довольно громоздки, содержат трудно вычисляемые характеристики и неудобны для анализа и применения. В диссертации получена оценка скорости сходимости в традиционных терминах, справедливая при минимальных ограничениях на моменты слагаемых и без каких бы то ни было ограничений на распределение случайной величины, предельной для накопленной интенсивности. Более того, данные оценки справедливы как для случая, когда у управляющего процесса существует дисперсия, так и для случая, когда у него дисперсии нет. Рассмотрены примеры, в рамках которых найдены численное значение констант, входящих в оценку, и тем самым показано, что с практической точки зрения полученные оценки оказываются вполне приемлемыми. Метод, использованный для получения указанных оценок, оказался довольно универсальным. Так, в диссертации, он практически без каких-либо изменений был применен для получения оценок скорости сходимости распределений экстремумов обобщенных процессов Кокса и обобщенных процессов риска.
Полученные оценки точности приближения распределений обобщенных процессов Кокса с ненулевым средним сдвиговыми смесями нормальных законов применены к решению некоторых конкретных оптимизационных задач. В частности, рассмотрены задачи
• оптимизации резерва в управлении запасами при случайной интенсивности потока заявок,
• оптимизации параметров страховой деятельности при случайном характере интен-сивностей потоков страховых премий и страховых выплат,
• оптимизации параметров спекулятивной деятельности,
• прогнозирования надежности модифицируемых систем.
В задаче оптимизации параметров страховой деятельности используется неклассический стоимостной подход, в рамках которого оптимизируются (минимизируются) суммарные издержки страховой компании за некоторый фиксированный период времени. Стоимостной подход к задачам страхования тесно связан с задачами управления запасами и разрабатывался, в частности, в работах А. Кофмана (Кофман, 1966), Г. В. Ротарь (Ро-тарь, 1972а), Е. В. Булинской (Булинская, 2003), Т. Р. Катаева (Катаев, 2003). Решение рассматриваемой задачи сводится к отысканию корпя некоторого уравнения, связанного с распределением суммарного страхового требования. Поскольку точное решение этого уравнения возможно только при полностью известных распределениях страховых требований и их числа, чего на практике, вообще говоря, быть не может, с помощью оценок точности асимптотических аппроксимаций для распределений обобщенных процессов риска в диссертации приводятся двусторонние оценки для решения упомянутого уравнения. Рассмотрен рад альтернативных способов задания издержек.
Также в диссертации предложена модель образования спекулятивной прибыли, отличной от классической оптимизации стратегии игры на бирже, при котором одновременно выбираются стратегии игры как на повышение, так и на понижение. В рамках рассмотренной модели, во-первых, предложена интерпретация функциональной зависимости спроса и предложения через зависимость интенсивности потока клиентов от параметров спекулятивной деятельности (в частности, от маржи) и, во-вторых, решены задачи определения значений оптимальных параметров спекулятивной деятельности, максимизирующих как ожидаемую, так и гарантированную прибыль спекулирующей компании при известном виде зависимости интенсивности потока клиентов от этих параметров. Рассматриваются наиболее типичные виды такой зависимости.
Отдельная глава диссертации посвящена задаче прогнозирования надежности технических и информационных модифицируемых систем. Оценки точности приближения обобщенных процессов Кокса применяются для двустороннего оценивания надежности в рамках экспоненциальной, логистический и гиперболической моделей с непрерывным временем. Найдены ожидаемые, предельные ожидаемые значения надежности, а также ожидаемый срок жизни модифицируемых систем.
Цель работы
Целью данной диссертации является
• изучение точности асимптотических аппроксимаций распределений обобщенных процессов Кокса с ненулевыми средними сдвиі овыми смесями нормальных законов; • изучение точности асимптотических аппроксимаций распределений экстремумов обобщенных процессов Кокса с ненулевыми средними сдвиговыми смесями нормальных законов;
• изучение точности асимптотических аппроксимаций распределений обобщенных процессов риска сдвиговыми смесями нормальных законов;
• отыскание двусторонних оценок оптимального значения количества продукта в задаче минимизации издержек при управлении запасами со случайной интенсивностью потока заявок;
• решение задачи оптимизации параметров страховой деятельности при случайном характере интенсивностей потоков страховых премий и страховых выплат;
• решение задачи оптимизации некоторых параметров спекулятивной деятельности при случайной интенсивности потока клиентов;
• построение гарантированных двусторонних оценок для значения надежности модифицируемых технических или информационных систем при случайной интенсивности потока модификаций.
Методы исследования
В работе используются классические методы теории вероятностей. Базовым теоретическим результатом является теорема 1.1.2. При ее доказательстве используется метод, основанный на представлении конечномерных распределений обобщенных процессов Кокса в виде смесей обобщенных пуассоновских распределений, в которых смешивание производится по соответствующему конечномерному распределению управляющего процесса. Такой подход позволяет использовать известные результаты о точности нормальной аппроксимации для пуассоновских случайных сумм. Используемый метод оказывается достаточно универсальным и может быть успешно применен к построению оценок скорости сходимости распределений некоторых других процессов с ненулевым средним к сдвиговым смесям нормальных законов. В частности, в диссертации с помощью этого же метода указанные оценки построены для распределений экстремумов обобщенных процессов Кокса и обобщенных процессов риска. Затем теорема 1.1.2 сама становится базой методов решения оптимизационных задач, рассматриваемых в главах 2-4. Для решения этих задач также используются аналитические и асимптотические свойства пуассоновских случайных сумм.
Теоретическая и практическая значимость
Результаты диссертации имеют теоретический характер. Особенностью представленных в диссертации результатов, отличающей их от предыдущих, является получение универсальной оценки скорости сходимости обобщенных процессов Кокса с ненулевыми средними к сдвиговым смесям нормальных законов. Найденная оценка оказывается применимой и к таким обобщенным процессам Кокса, в которых у управляющего процесса отсутствует дисперсия. Аналогичные универсальные оценки, существенно улучшающие известные ранее, получены для экстремумов обобщенных процессов Кокса и обобщенных процессов риска. Кроме того, впервые получены двусторонние оценки оптимального количества товара в задаче управления запасами при случайном характере интенсивности потока заявок и аналогичные двусторонние оценки начального капитала страховой компании в задаче минимизации издержек при случайном характере интенсивности потоков страховых премий и страховых выплат.
Краткое содержание диссертации
Глава 1 посвящена оценкам точности аппроксимации распределений обобщенных процессов Кокса с ненулевыми средними сдвиговыми смесями нормальных законов. Здесь также решаются задачи построения оценок скорости сходимости как распределений экстремумов обобщенных процессов Кокса, так и распределений обобщенных процессов риска. Эти оценки являются существенным уточнением и обобщением известных оценок (см., например, (Bening, Korolev, 2002), (Королев, Соколов, 2008)).
В главе 2 решается задача об оптимизации прибыли при спекулятивной деятельности с помощью формализации зависимости спроса на товар или услугу от предложения в виде зависимости интенсивности (ожидаемого значения интенсивности) потока клиентов, характеризующей среднее число обращений за данной услугой в единицу времени, от ее стоимости. Оптимум понимается как в смысле максимума ожидаемой прибыли, так в смысле максимума гарантированной прибыли с некоторой доверительной вероятностью. Рассматриваются модельные примеры зависимости интенсивности потока ктиентов от стоимости, в частности, от маржи - разности между ценами покупки и продажи.
В главе 3 выводится уравнение для значения начального капитала, минимизирующего средние издержки страховой компании. В предположении, что поток страховых требования является процессом Кокса, на основании оценок, полученных в главе 1, строятся двусторонние оценки для решения упомянутого уравнения. Рассматривается критерий оптимальности, связанный как с возможностью инвестирования капитала в прибыльные проекты, так и с возможностью, в необходимых случаях, пользоваться кредитами.
В главе 4 оценки скорости сходимости распределений обобщенных процессов Кокса с ненулевыми средними к сдвиговым смесям нормальных законов из главы 1 применяются к построению гарантированных двусторонних оценок надежности технических и информационных систем. Также находятся ожидаемые значения надежности и оценки для среднего времени жизни системы в рамках экспоненциальных, логистических и гиперболических моделей изменения надежности модифицируемых систем с непрерывным временем.
Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы, содержащего 78 наименований. Общий объем работы составляет 114 страниц.
Апробация работы и публикации.
Основные результаты диссертации опубликованы в 10 печатных работах:
1. Артютов С. В., Базюкина О. А., Королев В. Ю., Кудрявцев А. А. Модель оптимального ценообразования, основанная на процессах риска со случайными требованиями // Системы и средства информатики, 2005. Специальный выпуск. М.: ИПИРАН. С. 207-224.
2. Артпюхов С. В. Применение асимптотических свойств пуассоновских случайных сумм в одной задаче оптимизации резерва // Системы и средства информатики, 2006. Специальный выпуск. М.: ИПИРАН. С. 238-248.
3. Артюхов С. В., Базюкина О. А., Королев В. Ю., Кудрявцев А. А., Шевцова И. Г. Об оптимизации спекулятивной прибыли на примере пункта обмена валют // Актуарий, 2008. №1. С. 50-56.
4. Артюхов С. В., Жалыбина И. Я., Пузановский А. А. О методе оптимизации прибыли маркет-меикера // Управление финансовыми рисками, 2008. Вып. 2. С. 35-48.
5. Артюхов С. В., Королев В. Ю. Оценки скорости сходимости распределений обобщенных дважды стохастических пуассоновских процессов с ненулевым средним к сдвиговым смесям нормальных законов // Обозрение прикладной и промышленной математики, 2008. Т. 15, Вып. б. С. 988-998.
6. Артюхов С. В. Королев В. Ю.. Неоднородные рекуррентные модели изменения надежности модифицируемых систем. Непрерывное время. // Информатика и ее применение, 2008. Т. 2. Вып. 4. С. 57-65.
7. Артюхов С. В. Оценки скорости сходимости распределений экстремумов обобщенных процессов Кокса с ненулевым средним к сдвиговым смесям нормальных законов // Информатика и ее применение, 2009. Т. 3. Вып. 1. С. 69-74.
8. Артюхов С. В., Базюкина О. А., Кудрявгі,ев А. А. О методе расчета курсов покупки и продажи валюты обменным пунктом. // Материалы международной конференции студентов, аспирантов по фундаментальным наукам «Ломоносов-2005», 2005. Секция ВМиК. С. 6-8.
9. Артюхов С. В. Об определении оптимального количества рублевых и валютных средств в обменном пункте. // Материалы международной конференции студентов. аспирантов по фундаментальным наукам «Ломоносов-2006», 2006. Секция ВМиК. С. 6-8.
10. Artyukhov S., Bazyukina О., Korolev V., Kudryavtsev A. On optimization in a demand and supply problem. // Transactions of the XXV International Seminar on Stability Problems for Stochastic Models. Maiori/Salerno, Italy, 20-24 September 2005. University of Salerno, P. 25-31.
Результаты диссертации неоднократно докладывались на научно-исследовательском семинаре 4 Теория риска и смежные вопросы» на факультете вычислительной математики и кибернетики МГУ, на международном научном семинаре по проблемам устойчивости стохастических моделей в Майори-Салерно (Италия) в сентябре 2005 г., на научных конференциях студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2005 и «Ломоносов-2006», а также на научном семинаре кафедры математической статистики факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ.
Случай управляющих процессов с конечной дисперсией
В основе конструкции базовых математических моделей неоднородных хаотических процессов, рассматриваемых в данной диссертации, лежит асимптотическая схема, основанная на принципе, который может быть наглядно проиллюстрирован на примере простейшей задачи из теории измерений (см., например, (Romanowski, 1979), (Новицкий и Зограф, 1991)). Погрешность измерения является результатом суммарного воздействия большого числа случайных факторов, ни один из которых не является доминирующим, и потому, согласно центральной предельной теореме, должна иметь нормальное распределение. Однако на разные измерения воздействует, вообще говоря, разное число случайных факторов, то есть число случайных факюров, определяющих погрешность, само является случайным фактором. Поэтому вместо классической центральной предельной теоремы здесь более уместно пользоваться предельными теоремами для сумм случайного числа независимых случайных величин.
Теория случайного суммирования довольно хорошо развита (см., например, монографии (Gut, 1988), (Круглов и Королев, 1990), (Gnedenko and Korolev, 1996), (Kalashnikov, 1997), (Bening and Korolev, 2002), (Silvestrov, 2002) и (Klebanov, 2003)), в которых содержится изложение как основ асимптотической теории случайного суммирования, так и описание специальных ее разделов. Не преуменьшая вклад остальных математиков, посвятивших свои работы исследованию тех или иных свойств случайных сумм, упомянем здесь лишь основополагающие работы Г. Роббинса (Robbins, 1948), который в схеме «нарастающих сумм» нашел достаточные условия сходимости распределений иецентрированных случайных сумм к масштабным, а неслучайно центрированных случайных сумм - к сдвиговым смесям нормальных законов; Р. Л. Добрушина (Добрушин, 1955), обобщившего результаты Роббинса на произвольные случайно индексированные случайные последовательности при специальном выборе центрирующих и нормирующих констант; Б. В. Гнеденко, который, во-первых, совместно со своим учеником X. Фахимом доказал знаменитую теорему переноса, устанавливающую достаточные условия слабой сходимости случайных сумм независимых одинаково распределенных случайных слагаемых в схеме серий (Гнеденко, Фахим, 1969), и, во-вторых, поставил задачу об отыскании необходимых и достаточных условий упомянутой сходимости, первые шаги в решении которой были сделаны его учениками и прежде всего, А. В. Печинкиным (Печинкин, 1973) (для случая сходимости к нормальному закону) и Д. Саасом (Саас, 1972), (Szasz, 1972) для общего случая; В. М. Круглова, в частности, нашедшего необходимые и достаточные условия слабой компактности случайных сумм (Круглов, 1998); В. Ю. Королева, который, во-первых, совместно с В. М. Кругловым нашел окончательное решение задачи Гнеденко-Сааса о необходимых и достаточных условиях слабой сходимости случайных сумм независимых одинаково распределенных случайных сумм (Korolev and Kruglov, 1998), и, во-вторых уточнил и обобщил упоминавшиеся выше результаты Р. Л. Добрушина, указав необходимые и достаточные условиях слабой сходимости суперпозиции произвольных независимых случайных процессов (Korolev, 1996). Последние результаты, в частности, позволили установить необходимые и достаточные условия слабой сходимости распределений обобщенных процессов Кокса и обобщенных процессов риска как с детерминированными, так и со случайными премиями (Bening, Korolev. 2002), (Королев, Бенипг и Шоргин, 2007).
В данной диссертации рассматривается частный вариант неоднородного случайного блуждания, в котором число слагаемых в суммах формируется в соответствии с дважды стохастическим пуассоновским процессом (процессом Кокса). Такие блуждания обычно на зывают обобщенными дважды стохастическими пуассоиовскими процессами или обобщенными процессами Кокса. Этот случай имеет чрезвычайно важное практическое значение. Пусть Х\,Хо,... - одинаково распределенные случайные величины. Предположим, что при каждом t 0 случайные величины N(t), Xi, Х2,... независимы. Процесс назовем обобщенным процессом Кокса (при этом для определенности считаем, что YLj=\ = 0). Процессы вида (0.0.5) играют очень важную роль во многих прикладных задачах. Достаточно сказать, что при A(t) = Xt с Л 0 процесс S(t) превращается в классический обобщенный пуассоновский процесс, широко используемый при моделировании многих явлений в физике, теории надежности, финансовой и актуарной деятельности, биологии и т. д. Большое число разнообразных прикладных задач, приводящих к обобщенным пуассо-повским процессам, описано в книгах (Gnedenko and Korolev, 1990) и (Bening and Korolev, 2002). Приведем примеры некоторых задач, сводящихся к обобщенным процессам Кокса.
Пример 0.0.1. Как уже говорилось, пуассоновский точечный процесс в пространстве описывает абсолютно хаотическое распределение точек. Рассмотрим следующее вполне естественное обобщение этого свойства применительно к задаче о суммарной массе тел. Пусть р(х), Ї є R3, - плотность (концентрация) каких-либо материальных частиц в пространстве. Предположим, что частицы - это материальные точки, распределенные в пространстве в соответствии с неоднородным трехмерным нуассоновским точечным процессом, так что если N(B) - число точек в некотором (измеримом) множестве В С R3, то где Х(В) = jBp(x)dx. Положим A(t) = J,, t p(x)dx. Пусть X,- - масса, сосредоточенная в j-ой точке. Тогда процесс S(t), определяемый соотношением (0.0.5), описывает суммарную массу, содержащуюся в сфере радиуса t. Подобные объекты представляют традиционный интерес в космологии.
Неоднородные потоки клиентов
В заключение данного параграфа отметим несколько моментов. В настоящем разделе получена оценка скорости сходимости в традиционных терминах, справедливая при минимальных ограничениях на моменты слагаемых и без каких бы то пи было-ограничений на распределение случайной величины, предельной для накопленной интенсивности. Более того, данные оценки справедливы как для случая, когда у управляющего процесса существует дисперсия, так и для случая, когда у него дисперсии нет. Рассмотрен пример, в рамках которого найдено численное значение константы в теореме 1.1.2, и тем самым показано, что с практической точки зрения константы вполне приемлемы. Наконец, предложенный метод доказательства довольно универсален и, как будет показано в следующих параграфах, может быть использован для отыскания оценок скорости сходимости, как экстремумов обобщенных процессов Кокса, так и обобщенных процессов риска.
В данном параграфе рассматриваются математические модели катастрофически накапливающихся эффектов, связанных с неоднородными хаотическими потоками экстремальных событий. В качестве таких моделей берутся экстремумы обобщенных дважды стохастических пуассоновских процессов. Как показано, например, в книге (Королев и Соколов, 2008), во-первых, такие модели могут быть вполне адекватны при оценивании рисков некоторых природных катастроф и, во-вторых, дают более реалистичные оценки по сравнению с классическими моделями, недооценивающими риски в случае существенно непостоянной интенсивности потока экстремальных событий.
Целью данного раздела является изучение скорости сходимости в предельной теореме для экстремумов случайных сумм независимых одинаково распределенных случайных ве личин с ненулевым средним, в которых число слагаемых также случайно и изменяется во времени в соответствии с некоторым процессом Кокса. Пусть, как это было определено ранее, Х\, Х2, .. - одинаково распределенные случайные величины, a N(t) - процесс Кокса, управляемый процессом Л() Предположим, что при каждом t 0 случайные величины N(t),X\,X2, независимы. В данном параграфе изучается асимптотическое поведение экстремумов обобщенного дважды стохастического пуассоновского процесса S(t) = max S(t), где S(t) определен в (1.1.1) Предполагается, что ЕХ\ = а ф О, Х)Х\ — и2 со. В книге (Королев, Соколов 2008) доказан следующий результат. Теорема 1.2.1. Пусть а ф 0. Предположим, что ЕЛ() = t и A(t) —+ 00 при t —» 00. Тогда одномерные распределения неслучайно центрированных и нормированных обобщенных процессов Кокса слабо сходятся к распределению некоторой случайной величины Z при t — 00, то есть В книге (Королев и Соколов, 2008) приведены некоторые оценки скорости сходимости в теореме 1.2.1. Повторимся, что существующие оценки обладают рядом недостатков, а именноюни справедливы для достаточно узкого класса распределений предельной случайной величины V, довольно громоздки, содержат трудно вычисляемые характеристики и неудобны для анализа и применения. Здесь будет приведена оценка скорости сходимости в геореме 1.2.1 в традиционных терминах. Прежде чем сформулировать соответствующие результаты, введем дополнительные обозначения: Va2 + a2/ Как видно из введенных обозначений, мы будем использовать несколько иную нормировку, нежели в теореме 1.2.1. Эго сделано для удобства последующих выкладок. Более того, в теореме 1.2.1 S(t) нормируется не ее дисперсией. Как следует из метода доказательства и замечания к теореме 1.1.3, для существования нетривиального предела экстремум обобщенного процесса Кокса можно нормировать просто величиной \Д. Для получения оценки скорости сходимости в теореме 1.2.1 используется следующее утверждение. Лемма 1.2.1. Пусть из оо. Пусть N\ - случайная величина, имеющая пуассоноаское распределение с параметром А 0 и независимая от последовательности {Xj}t i независимых одинаково распределенных случайных величин. Тогда существует конечная положительная абсолютная константа С такая, что где с 0 - интенсивность поступления страховых взносов (премий), {Xj}j i - независимые одинаково распределенные случайные величины с EXj = a, DXj = а2 со, "имеющие смысл размеров страховых выплат, N\(t) - однородный пуассоновский процесс с интенсивностью Л 0, независимый от {Xj}j i и имеющий смысл количества страховых случаев до момента времени t. Процесс Ro(t) имеет смысл (остаточного) капитала страховой компании в момент времени t. Свойства классического процесса риска хорошо известны (см., например, (Королев, Бенинг и Шоргин, 2007)). Модель (1.3.1) приводит к очень красивым и глубоким результатам, связанным с вероятностью разорения, таким как, например, неравенство Лундберга или теорема Крамёра-Лундберга. Однако красота этих результатов достигается за счет очень сильных модельных предположений. Например, однородность пуассоновского потока страховых выплат неизбежно влечет неизменность портфеля. В то же время с практической точки зрения эта ситуация представляется не очень реальной, так как всегда надо допускать возможность расширения (или наоборот, сворачивания) бизнеса. Тем самым мы приходим к необходимости рассматривать (вообще говоря, случайные) флуктуации размера портфеля или, что фактически то же самое, флуктуации интенсивности поступления страховых премий. С другой стороны, очевидно, что надо допускать также и колебания интенсивности потока страховых выплат. Например, при страховании автотранспорта или страховании от пожара явно выделяются сезонные колебания интенсивности потока выплат. Таким образом, мы приходим к необходимости учитывать, вообще говоря, случайные флуктуации риска. Подходящей моделью для учета флуктуации риска являются обобщенные процессы Кокса с ненулевыми средними, с помощью которых мы приходим к следующему возможному обобщению классического процесса риска (1.3.1).
Гарантированные оценки для оптимальной ставки страховой премии
Со времен появлення спекулянтов на бирже, внимание многих исследователей сосредоточилось на построении адекватных моделей процесса установления и изменения биржевых цен. Одна из первых серьезных математических моделей была предложена Л. Башелье в своем труде "Теория спекуляции" (см. (Bachelier L., 1900)). С момента опубликования этой работы прошло более века, и за это время исследователям удалось существенно улучшить теорию Башелье, а также дополнить ее новыми, более точными моделями. Основной задачей таких моделей является прогнозирования поведения биржевых цен. В отличие от упомянутых работ, мы не ставим своей задачей прогнозирование изменений цен на товары. Основной задачей данной главы является попытка построения и оптимизации модели образования прибыли в результате осуществления спекулятивных действий.
Основной закон образования спекулятивной прибыли известен с давних времен: надо сначала «дешево» купить какой-то товар, а затем его же «дорого» продать (так называемая стратегия игры на повышение). Спекулятивная прибыль в указанном случае будет определяться разницей между ценами продажи и покупки соответствующего товара. В связи с этим заметим, что явление спекуляции можно наблюдать в любой отрасли экономики. В данном параграфе в качестве основной математической модели используется хорошо известный в актуарной математике процесс риска со случайными премиями, в котором процесс поступления страховых премий и процесс страховых выплат описываются стохастически независимыми обобщенными пуассоновскими процессами. Для таких моделей получены аналоги классических результатов о вероятности разорения (см., например, работы (Бойков, 2003), (Темнов, 2004)). Однако с точки зрения адекватности описания резерва страховой компании указанные модели не выдерживают никакой критики. Их уязвимым местом является условие независимости процессов премий и выплат, с помощью которого, собственно говоря, и оказывается возможным получить красивые теоретические результаты, и которое, конечно же, не может быть выполнено на практике, если речь идет о резерве страховой компании. Вместе с тем, в данной главе будет показано, что подобные модели оказываются весьма полезными при описании спекулятивної! деятельности. Более того, в рамках таких моделей удается довольно удобно формализовать зависимость между спросом и предложением с помощью зависимости интенсивностей обобщенных пуассоновских процессов от маржи (разности между ценами покупки и продажи).
Процесс извлечения спекулятивной прибыли будет рассмотрен на примере пункта обмена валют. Этот пример наглядно иллюстрирует суть используемого подхода. Пусть в начальный момент времени пункт обмена валют обладает некоторой суммой денег (это могут быть либо деньги собственников данной компании, либо деньги, взятые в кредит). Предположим, что у данной организации существует возможность как купить, так и продать любое количество валюты по некоторой цене. Назовем эту цену ценой обмена и пусть в некоторый момент времени t она равна c(t). Тогда часть денег в начальный момент времени to = 0 обменивается на валюту по цене c(to) = с на валютном рынке. Затем обменный пункт выставляет свои цены на покупку и продажу, которые, соответственно, меньше и больше, чем с . При этом цены покупки и продажи пункта обмена валют должны быть определены таким образом, чтобы к концу отчетного периода получить максимально возможную прибыль от проведенных операций.
Разницу между ценой покупки и ценой продажи будем называть маржей (margin). Отклонение цены покупки от цены обмена будем называть спрэдом покупки (buy spread), а отклонение цены обмена от цены продажи - спрэдом продажи (sell spread). Очевидно, что маржа есть сумма спрэда покупки и спрэда продажи. Опишем формально рассматриваемую модель. Определим при г 0 случайные процессы причем 2J=i(-) = 0. Здесь и 0 имеет смысл начального капитала пункта обмена валют, величина v 0 определяет начальный объем имеющейся валюты, положительные числа с+ и с имеют смысл цены продажи и цены покупки валюты обменным пунктом, соответственно, неотрицательные случайные величины Л" " и Х - это количество валюты, проданной А -тому клиенту и купленной у /-того клиента, соответственно, а целочисленные случайные процессы N+(T) И N (T) определяют количество клиентов, пришедших в пункт обмена валют для того, чтобы купить или продать валюту. Везде далее предполагается, что все перечисленные случайные величины и процессы являются независимыми, а последовательности {Х}п \ и {Х }п х состоят из одинаково распределенных случайных величин. Таким образом, процессы М(т) и G{r) характеризуют капитал компании и объем имеющейся валюты в некоторый момент времени.
Везде далее будем представлять числа с+ и с в виде где 6+ 0 и 8 0 - это спрэд продажи и спрэд покупки соответственно. Целью компании является определение 6+ и 5 таким образом, чтобы прибыль от деятельности была максимальной.
Заметим, что при увеличении цены продажи с+ количество клиентов, желающих купить у обменного пункта валюту, в среднем за единицу времени должно уменьшиться или, другими словами, должна уменьшиться интенсивность потока клиентов-покупателей. С другой стороны, очевидно, при приближении цены продажи к цене с , интенсивность потока клиентов должна увеличиться. Таким образом, вполне разумным предположением является обратная зависимость интенсивности потока клиентов, покупающих валюту, от разницы 5+ между ценой продажи и ценой обмена. Аналогичные рассуждения относятся и к зависп мости среднего за единицу времени числа клиентов, продающих валюту обменному пункту. от 5 .
Выше мы предположили, что обменный пункт имеет возможность в любой момент времени обменять валюту на рубли по цене с(т). В этом случае суммарные активы компании к некоторому моменту времени (см. (2.1.1) и (2.1.2)) можно представить в рублевом эквиваленте в следующем виде:
Неоднородные рекуррентные модели изменения надежности модифицируемых систем. Непрерывное время
Рассмотрим несколько измененную постановку задачи минимизации средних издержек деятельности страховой компании, рассматриваемой в этой главе. Пусть с\ (, и) - издержки в момент t на единицу средств начального капитала и. Будем считать, что если а 0, то c\(t,и) = c\{t). В этом случае c\{t) будет иметь смысл издержек из-за «пролеживания» денег ввиду их напрасного привлечения в резерв. В качестве c\{t) можно взять, например, доходность ценных бумаг, в которые страховая компания могла бы вложить средства с целью получения прибыли, которую фактически она теряет (ясно, что эта характеристика может измениться с течением времени). Если же и 0, что соответствует ситуации, в которой компания начинает страховой бизнес, имея долги, то положим c (t, и) = — co(t). Здесь \co(t)\ имеет смысл «штрафа» за наличие долгов. Например, в качестве qj() можно взять процент, под который следует возвратить долги. Пусть c2{t) 0 - издержки в момент t на единицу средств на единицу времени из-за нехватки денег при необходимости из выплаты клиенту. В качестве c2(t) можно взять, например, безрисковый банковский процент, при котором компания может взять кредит в банке для погашения задолженности клисгітам (ясно, что эта характеристика также может изменяться с течением времени). Тогда средние суммарные издержки D(u) страховой компании за время Т определяются соотношениемВыше в этой главе был рассмотрен похожий критерий эффективности деятельности страховой компании, в котором издержки, связанные с недостатком средств, понимаются так же, как и здесь, но издержки другого типа были связаны с нежелательным избытком резерва в каждый момент времени, а не с избытком начального капитала, как здесь.
Мы будем искать такое значение начального капитала щ, при котором минимальны средние суммарные издержки (3.4.1). Проводя рассуждения, аналогичные тем, которые использовались при доказательстве леммы 3.1.1, можно показать, что если существует решение уравнения где S = С2„ Cl. Методы отыскания двустронних оценок решения этого уравнения полностью аналогичны методам, описанным в предыдущих параграфах. Следовательно, легко можно получить двусторонние неравенства для UQ и решить приведенные выше задачи 3.1-3.4. В данном параграфе рассмотрен альтернативный подход к определению стартового капитала страховой компании, при котором не возникает ситуация отрицательности начального капитала. Для этого был представлен модифицированный функционал издержек (3.4.1). Для него найдены двусторонние оценки оптимального капитала UQ, а также показано, что методы решения задач поиска оптимальной страховой премии и времени достижения заданного уровня резерва (3.1-3.4) идентичны методам, использовавшимся для решения этих задач в предыдущих разделах. 3.5 Применение асимптотических свойств пуассо-новских случайных сумм в одной задаче оптимизации резерва Рассмотрим работу обменного пункта па промежутке времени [О, Т]. В кассе обменного пункта необходимо иметь некоторый резерв (остаток) наличных средств как в рублях, так и в валюте. Предположим, что обменный пункт входит в некоторый холдинг. Перед владельцами данного холдинга стоит задача распределения денежных средств между компаниями для поддержания их ликвидности. Возникает вопрос: по какому принципу распределять денежные средства между компаниями? Одним из возможных ответов на этот вопрос может быть решение, в соответствии с которым распределение денежных средств идет по принципу достаточности выделенных средств для поддержания жизнедеятельности компаний, входящих в холдинг. Проанализируем различные варианты, связанные с величиной остатка денежных средств в кассе обменного пункта. С одной стороны, величина данной суммы не должна быть слишком большой, поскольку деньги, которые в данный момент не участвуют в деятельности обменного пункта, могут быть задействованы в других компаниях, входящих в холдинг. Или же их можно, например, разместить в банке и получить по ним процентный доход. С другой стороны, свободных денежных средств не должно быть слишком мало, поскольку они являются гарантом ликвидности пункта обмена валют. Чем меньше резерв, тем чаще будет возникать риск ликвидности, который заключаются в том, что клиенты не будут своевременно и надлежащим образов обслужены. Разобьем задачу поиска оптимальной величины остатка денежных средств в кассе на поиск оптимальной величины денежных средств в рублях и в валюте. Рассмотрим поведение рублевых денежных средств в кассе. Пусть и - это начальная сумма рублей в кассе. Обозначим через S(t) чистые рублевые списания из кассы к моменту времени t (это все проданные рубли за минусом купленных). Тогда где р+, р - это цены по которым обменный пункт продает и покупает валюту: N+(t) и N (t) - пуассоновские случайные процессы с параметрами Л+ и Л- соответственно определяют количество клиентов, пришедших в пункт обмена валют для того, чтобы купить или продать валюту, а неотрицательные случайные величины Х и Xj - это количество валюты, проданной А:-тому клиенту и купленной у /-того клиента соответственно. Везде далее предполагается, что все перечисленные случайные величины и процессы являются независимыми, а последовательности {X }n i и {Х }п \ состоят из одинаково распределенных случайных величин. В рамках поставленной выше в параграфе 3.1 задачи, в качестве функции ci(f) можно взять доходность по альтернативным вложениям, а в качестве функции сг() можно взять величину маржи (разницу между р+ и р ) которую хозяин обменного пункта закладывает в курсы покупки/продажи. Отметим, что задача (3.1.5) для случая р+ = О, р = 1 была решена в (Кашаев, 2003). При нахождении точного решения уравнения (3.1.5) возникают вполне очевидные затруднения, поскольку, даже для простейших видов распределений случайных величин X и Х{ вычисление функции распределения пуассоновской случайной суммы S(t) в явном виде по формуле (2.3.4) представляется крайне затруднительным. Поэтому мы, ограничившись информацией о первых трех моментах случайной величины Х\, будем искать верхние и нижние оценки для «о такого, что будет верно (3.1.2).
