Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. О методах суммирования случайных величин 11
1.1. Регулярные методы суммирования 11
1.2. Вспомогательные утверждения 17
ГЛАВА 2. Оценки скорости сходимости в законе больших чисел 26
2.1. Необходимые и достаточные условия сходимости интегралов 26
2.2. Критерий сходимости интегралов в терминах весовой функции и границы 36
2.3. Достаточные условия сходимости интегралов 39
ГЛАВА 3. Асимптотические задачи для р.м.с. 57
3.1. Асимптотика интегралов по малому параметру 57
3.2. Равномерный вариант асимптотики по малому параметру 64
3.3. Асимптотика среднего времени пребывания 8(Я) за криволинейной границей 70
Литература 76
- Регулярные методы суммирования
- Необходимые и достаточные условия сходимости интегралов
- Критерий сходимости интегралов в терминах весовой функции и границы
- Асимптотика среднего времени пребывания 8(Я) за криволинейной границей
Введение к работе
Известно значение классических задач теории суммирования независимых случайных величин (н.с.в.), занимающих центральное место в теории предельных теорем теории вероятностей. В последние годы в рамках этой проблематики образовалось направление изучающее с одной стороны взвешенные суммы, а с другой функционалы, представи-мые в виде взвешенных сумм вероятностей уклонений специфического вида.
Пусть Хі,Х2,... - последовательность н.с.в., и пусть {cfc(A), к = 1,2,...;А>0}- некоторая последовательность функций (или в случае дискретности параметра А - бесконечная матрица, обозначаемая (сп&)).
Положим
$(*) = <*(*№ [S{n) = Y^c»kXk
к V к
Изучению предельного ( при п —» оо) поведения S(n) посвящены работы [8], [50], [53], [54], [55] и др., в которых при определенных условиях на с„^ и величины Х& установлен закон больших чисел (з.б.ч.), получены оценки скорости сходимости в з.б.ч.
Особенно тщательному исследованию подверглись регулярные методы суммирования. Подробное описание их приведено в 1.1. Здесь лишь отметим, что {cfc(A)} задает некий регулярный метод суммирования, если имеют место следующие условия:
l)cfc(A) - 0 при А -> оо (VJfc);
2)ЫА)|<М (VA);
к 3) X)cfc(A) — 1 при А — оо,
к В [66] для н.с.в. ограниченных случайной величиной X, удовлетворяющей условиям Е\Х\ < оо и ЕХ — \i доказано, что если (c„fc)
- 4 -удовлетворяет условиям 1) -3) и при этом для некоторого 7 при п — оо
та,х\спк\ = 0(тг~7),
тогда из условия Е\Х\1+1^ < оо вытекает усиленный з.б.ч. S(n) —» fi (плі.) при п — оо.Для слабого з.б.ч. необходимо и достаточно, чтобы maxcnfc —» 0 при п —» оо.
А;
Ранее этот результат был получен в [65] для последовательности независимых одинаково распределенных случайных величин (н.о.р.с.в.).
Для конкретных методов суммирования эти результаты были существенно улучшены.
Пусть {Хк} последовательность н.о.р.с.в. В [42] Чоу доказал эквивалентность методов суммирования Эйлера порядка 0 < р < 1 и Бо-реля. Бингхэм и Маеджима [41] установили эквивалентность этих методов с методами Валирона, Тейлора и др. Условие EXf < оо является для суммируемости {Xk} этими методами необходимым и достаточным.
Лай [60] показал эквивалентность метода Чезаро порядка г^ 1и метода Абеля при суммировании {Х&}. Необходимым и достаточным условием суммируемости {Xk} является условие 7|A"i| < оо.
В этих же работах устанавлено, что при суммируемости {Xk} каким-либо из указанных методов, суммы равны ЕХ\.
Позднее А.И. Мартикайнен [23] обобщил эти результаты на н.с.в.
С другой точки зрения рассматривается задача суммируемости последовательности н.о.р.с.в. В.Ф. Гапошкиным [5]. Здесь найдены необходимые и достаточные условия налагаемые на случайные величины, чтобы существовал какой-либо регулярный метод, суммирующий {Хк}-
В работах [5], [36], [44], [58], [72] изучались условия сходимости средних Рисса.
Закону повторного логарифма и его аналогам посвящены работы [3], [41], [61].
Множество работ написано по исследованию центральной предельной теоремы (ц.п.т.) и оценкам в ней. По-видимому первая работа в этом направлении принадлежит Герберу [51], в которой получена оценка в ц.п.т. для метода Абеля. Эта оценка затем была значительно улучшена в работах С.Х. Сираждинова и М.У. Гафурова [32], М.У. Гафурова [7]. Следует отметить также работы Т.А. Азларова и Б. Мередова [1], Б. Мередова [24], Вольфа [71]. В несколько обобщенном виде эти вопросы рассмотрены Эмбрехтсом и Маеджимой [48].
Вопросы умеренных уклонений затронуты в работе Л. Падитца и Ш. Шарахметова [27], в которой исследуются суммы с весами приводящими, в частности, к методу Абеля.
Суммированием слабо зависимых случайных величин занимались В.Ф. Гапошкин [4] и И.Ж. Юлдашев [39].
Для полноты обзора укажем на работы [23] и [25], где рассматривались вопросы суммирования н.с.в. в банаховых пространствах.
К перечисленным в обзоре работам примыкает и настоящая, круг рассматриваемых задач в которой, можно подразделить на следующие пункты:
- оценки скорости сходимости в з.б.ч. для регулярных методов
суммирования в виде сходимости интегралов в терминах:
а) моментов исходных случайных величин;
б) весовой функции и границы;
- асимптотика интегралов по малому параметру и их равномерные
(в смысле исходного распределения) варианты.
Приведем основные результаты диссертации.
Материал главы 1 носит вспомогательный характер. В первом параграфе описаны регулярные методы суммирования. Определен класс Da, охватывающий широкий круг методов.
Во втором параграфе приведены известные формулы и утверждения, используемые в дальнейшем. Попутно доказана ц.п.т. для методов суммирования из Da и ее равномерный вариант, обобщающий теорему Парзена [64]. Получена оценка в ц.п.т., усиливающая перечисленные в обзоре.
Регулярные методы суммирования
В работе теоремы и формулы имеют самостоятельную нумерацию в каждом параграфе. При ссылках на теорему или формулу другого параграфа в рамках одной главы впереди указывается номер параграфа, затем номер теоремы или формулы. При ссылках же на формулу ю другой главы, используется тройная нумерация: сначала указывается номер главы, затем номер параграфа и в последнюю очередь номер формулы. Буквой с, с индексом или без, обозначены положительные постоянные, не всегда одни и те же.
Данная глава носит вспомогательный характер. В первом параграфе определяется понятие метода суммирования. Приведена известная теорема Теплица о регулярности метода суммирования. Определен класс Da методов суммировалия, включающий многие регулярные методы.
Во втором параграфе доказана центральная предельная теорема для сумм 5(A) и получена оценка в ней. В этом параграфе будет рассмотрено понятие обобщенного предела расходящейся последовательности и тесно связанного с ним понятия регулярного метода суммирования (р.м.с). Как линейное преобразование, последнее будет задано с помощью матрицы - конечной или бесконечной. Допустим Sn(x) - частичная сумма некоторого ряда, сходящегося в интервале \х\ а и расходящегося вне интервала. Введем в рассмотрение новую последовательность оо полученную преобразованием последовательности { (х)} матрицей С = (cnk). Предположим, что при фиксированном х все ряды в (1) сходятся, хотя бы начиная с некоторого п. Если окажется, что сгп(х) стремится к некоторому пределу при п » оо хотя бы для некоторых X из множества а; о, то мы получаем право, в определенном смысле, приписать этот предел расходящейся последовательности {5„(ж)}. Очевидно, сказанное для последовательности частичных сумм некоторого ряда, можно рассматривать для произвольной последовательности {хп} Обозначим линейное преобразование так же. как и задающую его матрицу, через С. В этом случае {х п} — J2 cnkXk \ будем называть С - преобразованием последовательности {хп}. Таким образом, если: б) {х п} сходится для некоторой расходящейся последовательности {хп}, то мы будем приписывать этой расходящейся последовательно сти {хп} предел последовательности {xfn} в качестве ее обощенного предела и называть его пределом {хп}, полученным при помощи С преобразования, или С - пределом. Иногда при этом говорят, что {хп} суммируется матрицей С к пределу последовательности {ж }, а ли нейное преобразование С именуют, по понятным причинам, методом суммирования (м.с). Естественно возникает вопрос: каков класс линейных преобразований, суммирующих сходящиеся последовательности к их собственным пределам. Ответ на него дает следующая теорема, принадлежащая Теплицу [20]. ТЕОРЕМА. Для того, чтобы х п = 2 cnkXk стремилась к х при fc=i п — оо всякий раз, когда Xk —+ х, необходимо и достаточно, чтобы: а) J2 \спк\ = М для любого п по; Преобразование, задаваемое такой матрицей, называется регулярным или р.м.с. М.с. допускают аналоги с непрерывным параметром. Определе - 13 ние р.м.с. для такого случая приведено во введении. Все теоремы в работе приводятся для м.с. с непрерывным параметром А, но, очевидно, их легко переложить на случай дискретного параметра п. Для этого достаточно интегралы по Л заменить суммированием по п. В большинстве работ, посвященных м.с. случайных величин, рассматривались частные методы. Для систематизации изложения определим класс р.м.с, охватывающий многие известные м.с. Итак, пусть О а 1
Необходимые и достаточные условия сходимости интегралов
В этой главе получены опенки в законе больших чисел в виде сходимости интегралов от вероятностей больших уклонений для сумы S(X). Известен результат Баума и Кана [40] о необходимых и достаточных условиях сходимости ряда Ранее его частные случаи получили Сюй и Роббинс [57], Эрдеш [49], Спицер [68], Кац [59]. Это утверждение обобщено в 2.1, где найдены необходимые и достаточные условия сходимости интеграла т(є,д, t). В 2.2 доказан критерий сходимости интеграла х(/, Н) в терминах функций f(x) и Н(х). Из него вытекает результат С.Х. Сираждинова и М.У. Гафурова [32]. В 2.3 найдены оценки скорости сходимости в одностороннем законе больших чисел в виде достаточных условий сходимости одного интеграла. 2.1 Необходимые и достаточные условия сходимости интегралов Во избежание разночтений, приведем следующие определения. Пусть f(x) и д(х) некоторые функции. Запись /(х) = Э(д(х)) означает, что найдутся такие ci,C2 0 и такое жо, что 0 с д(х) f(x) С2д(х) для всех х XQ. Говорят, что f(x) = 0(д(х)), если найдется такая константа с 0 и такое число хо, что 0 /(яг) сд(х) для всех х XQ. -27 Говорят. что f(x) = Q(g(x)), если найдется такая константа с О и такое число х0, что 0 сд(х) f(x) для всех х х0. Для ск(Х) Є Da введем в рассмотрение следующий набор индексов к по степени убывания с (А) по Л / = {к : ск(Х) = П(Л а) при А со} Учитывая условие (1.1.2) из определения Da, получаем, что в I попадают те fc, для которых Cfc(A) = в(А_Сї). Пусть є 0, q , g 1. Обозначим Выясним условия сходимости r(e?q, t). ТЕОРЕМА 1. Пусть Х\,Х2,...— последовательность н.о.р.с.в {сд.(А)} Є Da, кроме того, пусть при А — оо для 0 t 1. Для сходимости т(е, 5, і) при любом є 0 достаточно, чтобы Е ІЛ-! Iі оо и Хі =0в случае t 1. Эти условия и необходимы, если при А — со ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Зафиксируем зависимость r(e,q,t) от а в виде нижнего индекса та(е, q1 і). Подстановкой А = уа} TJ (Є, g, t) переводится в та(є, q:t). С учетом замечания к определению класса Da, доказательство теоремы 1 достаточно провести для случая {с .(А)} Є D\. Достаточность. Пусть .Е.ХГі ос, 0 t 1. Воспользуемся неравенством (1.2.10). Поскольку Е CUA)
Поскольку сумма абсолютно сходящегося ряда не зависит от перестановки слагаемых, то можно предположить, что вероятности в А\ суммируются в порядке убывания по к. Это, в свою очередь, равносильно тому, что при всяком фиксированном А, последовательность cfc(A)} убывает по к.
Далее, так как нас интересует только сходимость интегралов, то при их оценке будем пользоваться асимптотическими свойствами Cfc(A) при А — оо, поскольку получающиеся при этом интегралы, сходятся и расходятся одновременно с исходными, по теореме 1.2.5.
Критерий сходимости интегралов в терминах весовой функции и границы
Приведем некоторые вспомогательные утверждения необходимые в дальнейшем. Это центральная предельная теорема для м. с. из класса Da, се равномерный вариант в смысле исходного распределения, оценки остаточного члена в ц. п. т., аналоги неравенств Нагаева-Фука для взвешенных сумм и т.д.
Пусть Xi,X2,... - последовательность н.о.р.с.в. с функцой распределения F(x). Предположим, что ЕХ\ = 0, EXf = 1. Будем придерживаться введенных выше обозначений, кроме того, примем следующие: - 5„(А), Вп(Х) - частичные суммы рядов 5(A) и В(Х) соответственно; - Лп(Л(є), Іп{Х,є) - частичные суммы рядов Л(А,е) и 1(Х,е) соот ветственно, в которых В(Х) заменено на Вп(Х). ТЕОРЕМА 1. Пусть {cfc(A)} Є Da. В описанных условиях для любого є 0 справедливо неравенство sup Шх) - Ф(я) с(Л(А, е) + /(А, е)), (1) ДОКАЗАТЕЛЬСТБО. Для любого є 0 верно соотношение [28] где Fxn{x) = Р(5„(А) яВл(Л)). Поскольку 5(A) — J2ck( ) k схо fc дится при любом А 0, то при п — оо для каждого х lim FAn(x) = Fx(x). (3) 71—i-OO Следовательно, переходя к пределу при п — оо в (2) и при этом учитывая (3), получаем неравенство (1). Из определения І(Х є) находим у( єаі(Л) Поэтому из (1) получаем неравенство sup \Fx{x) - Ф{х)\ с{є + Л(А, є)) (4) для любого є 0. Так как при А — оо то в условиях теоремы 1 Л(А, є) —» 0 при А —» сю. Следовательно, верна ц. п. т. для 5(A). ТЕОРЕМА 2. В условиях теоремы 1 при А —- оо supFA0r) -Ф(а:) - 0. X Аналогично неравенству (1) доказывается следующая оценка в ц.п.т. для 5(A). AF(«). «КС1 + І Па(А) u (l+M)a(A) ТЕОРЕМА 3. В условиях теоремы 1 имеет место неравенство (A,;c)supcfc(A) Л(х) - Ф(х) с (1 + а в(Л) . (5) ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Очевидно, что \Fx{x) - Ф(х)\ $: \FXn{x) - Ф(х)\ + л(л;) - FAn(a:). (6) Первое слагаемое оцениваем по известному неравенству А. Бикялиса И: пусть Xi,X2, ... - последовательность независимых случайных величин с функциями распределения Fi(u), F2(u),... соответсвенно и пусть ЕХк = О, ЕХІ = а\ ос. Обозначим Sn = Хг + Х2 Н h А , z Qkn{x)= sup { / uzdFk(u)\ + z I u2dFk(u)}. 0я(1 + \х\)Вп J J Тогда ]C Qkn{x) -20 Отсюда п Далее переходя в (G) к пределу при п » оо и пользуясь свойствами Cjfe(A), с учетом последнего неравенства, будем иметь sup cfc(A) J] с(А) (А, я) ад - WI с (1 + И) в»(Л) e(A,ir)supcfc(A) С(1 + х)ЗВ(А) Теорема 3 доказана. Очевидно, ц.п.т. для 5(A) и оценки в ней легко переносятся на случай разнораспределенных св. Рассмотрим класс F -функций распределения F{x) = Р(Х х), обладающих свойствами оо оо [ udF{u)=0, f x2dF{x) =т1, lim sup f x2dF(x) = 0. J J o ooFF J - x - \x\ a Легко заметить, что Л(А, є), построенная по функции распределения из F при А — оо удовлетворет соотношению supA(A,e) — 0. Тем самым из (4) получаем равномерный вариант ц. п. т., обобщающий известную теорему Парзена [64]. ТЕОРЕМА 4. Пусть F(x) Є F, PF - вероятностная мера, соответствующая F(x), тогда lim sup sup \PF(S{\) К XB(X)) - Ф{х)\ = 0. Аналоги неравенств С.В.Нагаева, и Д.Х.Фука [8]. Пусть XbXz,... - последовательность независимых случайных величин с функциями распределения F\(u), F-2{u),. .. соответственно, х - любое положительное число, У = {г/, г/2, } некоторый набор положительных чисел и у = sup{z/i, г/2,... }. Обозначим через Д(2;-,-), .D2(-, ), /i(-, ) суммы урезанных на уровнях., указанных в скобках, соответственно абсолютных моментов порядка t (указанного в скобках), дисперсий и математических ожиданий. Через У - суммирование по к — 1,2,... урезанных на уровнях yi, У2, - - моментов.
Асимптотика среднего времени пребывания 8(Я) за криволинейной границей
Так как Ф( — р(\)) лт (ус з при А — оо, то одновременная сходимость и расходимость 1 и интеграла б) следует из теоремы 1.2.5.
Отсюда, учитывая (3) и (7), получаем утверждение теоремы. В частности, для м.с. средних арифметических, из теоремы 1 получаем теорему 5.1 из [32]: Пусть Н(х) — у/х р(х), выполнены условия (1), Я-1(Х1)/(я-1(1Х1))іпЯ-1(Х1[) оо, тогда условия равносильны. Пусть Rd(d 1) - d-мерное евклидово пространство, в котором рассмотрим Zj = {п = (п!,п2,... ,nj); ПІ Є TV, i = l,d}. d Для n Zf обозначим (ті) = Д щ. {Х(п), п Є Z+) - множество и.о.р.св., X - случайная величина с тем же распределением, что и Х(п) и не зависит от X(n), п Z+. Рассмотрим абелеву сумму 5(A) = Y Х(к)е , А 0. Обозначим (d-i) Аналогично теореме 1, легко доказывается ТЕОРЕМА 2. Пусть ЕХ - О, ЕХ2 = 1, выполнены условия (1). ;я-1(х)/(я-1(іх))іпгія-1(! І) (8) тогда условия равносильны. Теорема 1 для м.с. Абеля и теорема 2 при d = 1 совпадают. Доказательство теоремы 2 повторяет доказательство теоремы 1. Достаточно знать асимптотическое (при А — оо) поведение дисперсии которое следует из приводимого предельного соотношения из [22]: пусть d(k) — card {п Z\, 2.3. Достаточные условия сходимости интегралов Пусть Н(х) — определенная для всех х 1 положительная строго возрастающая функция, удовлетворяющая условию Н(сх) lim sup тг/ оо (1) і—со Я(х) -40 для любого с 1. Этому условию удовлетворяют, например, правильно меняющиеся функции Н{х) = ха1(х) (а 0, 1(х) — медленно меняется). Заметим, что для функций, удовлетворяющих условию (1), существуют степенные функции, ограничивающие их сверху. Обозначим некоторого 6 0 при х XQ, (Х) = О I J при X —» ОС к В этом параграфе находятся условия, при которых сходится интеграл оо Функции p(x) к H(x), для которых будет установлена сходимость, можно разбить на три основных класса в зависимости от убывания или возрастания отношений
Условия монотонности функций fix) и д(х), фигурирующие далее в формулировках теорем, можно несколько ослабить. Так, вместо условия f(x) достаточно потребовать, чтобы f(x) cf(y) при всех XQ х у оо. Соответственно условие f(x) I можно заменить на условие /(ж) cf(y) при всех жо х у со. Аналогично для д{х).
Отметим также, что в отличие от других параграфов, утверждения этого параграфа будут носить односторонний характер, то есть мы будем налагать на поведение св. Х = — min(JVi, 0) по возможности более слабые дополнительные ограничения.
