Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I Абсолютная сходимость в пространствах 18
1. Предварительные сведения 18
2. Абсолютная сходимость в нелокально выпуклых F-пространствах 30
ГЛАВА II Суммируемость в пространстве измеримых функций 37
3. Суммируемость по мере в пространстве измеримых функции 37
4. Абсолютная сходимость и суммируемость по мере 43
5. Множители сходимости 48
6. Абсолютная (Л,р.)-суммируемость 51
7. Абсолютная сходимость и абсолютная суммируемость по мере 65
ГЛАВА III Абсолютная суммируемость функциональных рядов 73
8. Резонансные теоремы 73
9. Абсолютная суммируемость функциональных рядов почти всюду 77
10.Абсолютная (W^/O-суммируемость функцио нальных рядов почти всюду 89
Цитированная литература 97
Публикации по матеррлам диссертации 102
- Абсолютная сходимость в нелокально выпуклых F-пространствах
- Абсолютная сходимость и суммируемость по мере
- Абсолютная сходимость и абсолютная суммируемость по мере
- Абсолютная суммируемость функциональных рядов почти всюду
Абсолютная сходимость в нелокально выпуклых F-пространствах
Результаты диссертации докладывались на республиканском семинаре математического анализа Эстонс кой ССР в 1981 и 1982 году, на семинаре кафедры теории функ ций Уральского госуниверситета в 1983 году, во всесоюзной школе по теории функций, посвященной 100-летию со дня рожде ния академика Н.Н.Лузина в городе Кемерово в 1983 году, на научной конференции "Методы алгебры и анализа" в городе Тар ту в 1983 году и на семинаре кафедры высшей математики Днеп ропетровского сельскохозяйственного института в 1983 году. Основные результаты диссертации опубликованы в шести работах (см. стр. 102 ). 6. Структура и объём диссертации. Работа состоит из введения и трёх глав, которые делятся на 2, 5 и 3 параграфа соответственно. Параграфы имеют общую нумерацию. В списке литературы насчитываются 58 наименований. Работа написана на русском языке и изложена на 103 страницах машинописного текста. 7. Рассмотрим теперь подробно литературу, наиболее тесно связанную с проблематикой нашей работы. Надо сразу отметить, что количество работ по абсолютной суммируемости почти всюду рядов Фурье по разным ортогональным системам огромно. Этот факт уже довольно ясно свидетельствует о важности исследования этих проблем. Детальное изложение теории абсолютной суммируемости имеется в книгах j_3J, L29J, [48J , [_58j и в обзорной статье jJIJ. В первой главе диссертации мы будем исследовать абсолютную сходимость в F -пространствах. В этой области по сей день опубликовано весьма мало работ. Тут можно отметить лишь статью Лиго [43J и монографию Дей [J3J. Вторая глава диссертации посвящена изучению абсолютной суммируемости в пространстве измеримых по Лебегу конечных почти всюду на отрезке 0/4]] функций. В этой главе мы докажем несколько теорем включения типа теорем Хана, Кноппа-Лоренца и Пейеримхоффа, дающих необходимые и достаточные условия для того, чтобы данное матричное преобразование переводило один класс последовательностей в другой, в частности. Для нахождения теорем, дающих необходимые и достаточные условия для того", чтобы данное матричное преобразование переводило один класс последовательностей (скажем ос) в другой (скажем/3»), исторически сложились три следующих общих метода. 1) Непосредственный метод, или метод быстро возрастающих последовательностей. Этот метод впервые применялся Теплицем L.55J в 1911 году. Достаточность условий доказывается непосредственно, а их необходимость доказывается от противного путем построения одной последовательности, такой, что при невыполнении рассматриваемого условия преобразованная последовательность не входит в класс /3 . 2) Метод, основанный на применении теоремы Банаха-Штейн-гауза о точечной сходимости на банаховым пространстве последовательности непрерывных линейных функционалов. 3) Метод Целлера. Он разработан в 1953 году немецким математиком Целлером [57J и основывается на применении теоремы о замкнутом графике.
В 1924 году Хан [37J нашёл необходимые и достаточные условия для того, чтобы данное матричное преобразование переводило все абсолютно сходящиеся ряды в сходящиеся последовательности. Кангро ((_I0j, теорема 3) обобщил теорему Хана для банаховых пространств X и У с элементами матрицы п как линейными непрерывными операторами из X в у, а Ламп іЗ] для преобразований обобщённых последовательностей.
В 1949 Кнопп и Лоренц L39J нашли необходимые и достаточные условия для матрицы И , чтобы она переводила все абсолютно сходящиеся ряды в абсолютно сходящиеся ряды. В 1968 Фрайди [_36j доказал теорему Кноппа-Лоренца непосредственным методом. Кангро ([_I0J, теорема 4) обобщил эту теорему для банаховых пространств X и Ч с элементами матрицы Я как линейными непрерывными операторами из л в У , а Ламп LI3J ДЛЯ преобразовании обобщенных последовательностей.
В 1955 году Пейеримхофф L5IJ нашёл необходимые и достаточные условия для того, чтобы матрица Я переводила все сходящиеся к нулю (или все ограниченные) последовательности в абсолютно сходящиеся ряды. Разновидные необходимые и достаточные условия для последнего включения нашли Целлер [57J и Лоренц [44J.
В I960 году вышла статья Сарджента j_53J , где он нашёл необходимые и достаточные условия для того, чтобы матричное преобразование, осуществляемое числовой матрицей, переводило 1) /3/(-пространство t (i {i .cx ) в В /(-пространство Г , 2) ВК-пространство С ( /! / ао) в В К-пространство I, 3) В/(-пространство I в / -пространство С (, 4 .а . х= ) и 4) /(-пространство С в jB/v-пространство оо). Кроме того Сарджент нашёл необходимые условия и достаточные условия (но не необходимые и достаточные условия) для того, чтобы матричное преобразование переводило / /(-пространство в В/(-пространство С {4 оо).
Абсолютная сходимость и суммируемость по мере
Целью настоящего параграфа является введение терминологии и обозначений. Также формулируются результаты теории абсолютной суммируемости, обобщаемые в данной работе. Как обычно, через R , f?+ , Q, , Q.+ , Z и Z- обозначаются соответственно множества всех вещественных, всех положительных вещественных, всех рациональных, всех положительных рациональных, всех целых и всех отрицательных целых чисел.
Топологические векторные пространства (ТВП). Мы рассматриваем векторные пространства над полем вещественных чисел R . Нулевой элемент во всех векторных пространствах кроме R будем обозначать через 0 . Под топологическим векторным пространством в этой работе всегда понимается хаус-дорфово топологическое векторное пространство. Топология в ТВП с определяется базисом окрестностей нуля , Удовлетворяющим аксиомам фон Неймана ([зі], стр. 25). (TBI) Для любого V &E существует U&&E такое, что (ТВ2) Все \М$Е поглащающие и уравновешенные. (ТВЗ) Если )еЕ Лї & , то существует Ue-o&E с еЦ. Отметим, что в хаусдорфовом ТВП аксиома (ТВЗ) всегда выполнена ([I2J, стр. 92, следствие 2). Если существует базис &Е , состоящий из выпуклых окрестностей нуля, то ТВП Е называется локально выпуклым пространством и его топологию можно определить аналитически некоторым семейством полунорм Р. Топологическое векторное пространство называется г -пространством, если его топология порождается полной инвариантной метрикой. Локально выпуклое F-пространство называется пространством Фреше и нормируемое пространство Фреше называется банаховым пространством (коротко Б-пространством) . Пусть и F - топологические векторные пространства. Пространство всех непрерывных линейных операторов из Е в F обозначается через L(,F) . Подмножество ТВП называется тотальным, если его линейная оболочка плотна в Е . При изучении последовательностей линейных непрерывных операторов мы будем пользоваться следующими двумя теоремами. Теорема І.І. (Н теорема 17, стр. 67). Пусть Е и F суть F-пространства и l e L(E;F), причём —Щ пЛ существует для каждого }&Е . Тогда lii TK\-Q равномерно относительно n Of fZ.... и Т есть непрерывное линейное отображение Е в F Теорема 1.2. ([7J, теорема 18, стр. 67). Пусть Е и F суть F-пространства и TKGL(E.F). Если uVwT f существует для каждого J" из некоторого тотального множества и если для каждого е Е множество {"T t} ограничено, то предел Т= = Ь- ТіЛ существует для каждого «-Е KTGL(E(F\ 2. Пространства последовательностей. Пусть Е - ТВП. Обозначим через л(Е) пространство всех последовательностей -(hJ с , Е . Это пространство является топологическим векторным пространством с покоординатной сходимостью, т.е. если Xfr—bX, в л(Е), то / , -- С/с в Е , где ==() . Всякое пространство с покоординатной сходимостью называется К-пространством. Полное метризуемое К-пространство называется F/(-пространством. Известно, что пространство / () является FK-пространством в тихоновской топологии произведения (l6J, теорема 2). В настоящей работе будут рассматриваться следующие FK-пространства: 1) пространство всех ограниченных последовательностей ()-{ =(к,)е4() Лк,ограничено в Е) ; 2) пространство всех сходящихся последовательностей с()={х«(}0 (Е): существует 1шуJ }} \ 3) пространство всех сходящихся к нулю последователь ностей 4) пространство всех сходящихся рядов 5) пространство всех абсолютно ru-сходящихся рядов С (Е), которое будет определено в следующем параграфе. Если E-R , то приведенные пространства последователь-ностей будем обозначать соответственно і ,С, С , СЛ и С 3. Пространство измеримых функций. Пространство измеримых функций обозначается через М(5753;/м), где S - некоторое множество, Л - (Г-алгебра его подмножеств и ju. - б -конечная мера. Если S f JL, и /л. фиксированы, то пространство измеримых функций обозначается просто через М. Элементами пространства М являются классы эквивалентных функций, т.е.функций, которые отличны только на множестве меры 0. Пространство М - линейное векторное пространство и в то же время метрическое пространство с метрикой jfr/jJ H/- !! і где F-норма функции 4- положена равной.
Абсолютная сходимость и абсолютная суммируемость по мере
Ниже мы будем изучать абсолютную сходимость и суммируемость функциональных рядов (0.3), где -(L) (// 5) и система tf= { ДсШ состоит из измеримых на отрезке [0,lj функций.
Лемма I.14 даст необходимые и достаточные условия для того, чтобы система измеримых функций и была системой абсолютной сходимости для I (/ п. ) в смысле сходимости почти всюду. В этом параграфе мы найдём необходимые и достаточные условия для того, чтобы система была системой абсолютной Й -суммируемости, в частности системой абсолютной сходимости, для а оо) в смысле определения 4.1. Справедлива теорема. Теорема 8.1. Пусть а 0. Для того, чтобы система ={ /сШ] была системой абсолютной ft.-сходимости для I criyn, необходимо и достаточно, чтобы последовательность (cAjfe HM/ с i/ i/c i/n . Доказательство. По определению 4.1 ряд (0.3) является абсолютно д,-сходящимся в точности тогда, когда для любого 6 0 найдётся А=(А«,)б&+. такая, что и для любого Х 0 . Перепишем последнее условие в виде Положим V A /I I , т.е. А ЧсИкІ Так как (/ 1 Д. , то по следствию I. II (}ic f/c ))6 /а(М) Для всех (}к,)е 1 с р. гь в точности тогда, когда (v ) , где 4/п,+4/о=4/л. Но по условию (8.1) это равносильно тому, что последовательность функций ( ЫЧм) . Теорема 8.2. Пусть /г 0. Для того, чтобы система /e{ ftcttJj была системой абсолютной v-сходимости для I , необходимо и достаточно, чтобы (iPx)l[М) Доказательство. Положим в (8.1) -/1 /1 1, т.е. A -V ) Ы. По следствию 1.12 (Afc)c [. в точности тогда, когда (\ ) /, т.е. найдётся постоянная W 0 такая, что Значит, ряд (0.3) является абсолютно р.-сходящимся для всех &єІ в точности тогда, когда для любого б 0 найдётся постоянная Л/ 0 такая, что Рассмотрим теперь матричное преобразование ряда (0.3). Пусть матрица /?=(dnic) удовлетворяет условию Если /І Со-лц;) определяет преобразование ряда в последовательность (RF-метод), то, как показал Йоо, справедлива следующая теорема. Теорема 8.3 ((38), стр. 302). При выполнении условий (8.3) и (8.4) система if является системой Й-суммируемости по мере для I (4$[1 ьо) тогда и только тогда, когда она система сходимости по мере для С . Как показал X. Тюрнпу [27J, для регулярного конечностроч-ного метода Й необходимость теоремы 8.3 остаётся в силе и без 0 граничения (8.3). Для нахождения необходимых и достаточных условий для того, чтобы система у была системой Л -суммируемости для t (fh, co) в смысле определения 4.1, нам нужна лемма. Лемма R.4. При выполнении условий (8.3) и (8.5) система и является системой ft -суммируемости к нулю по мере для I (4$р. со) тогда и только тогда, когда она система сходимости по мере для I . Доказательство. Необходимость совпадает с доказательством необходимости теоремы 8.3. Достаточность. Если Ф - система сходимости по мере для 1 (-fІ ?), то применив теорему І.І, получим, что линей ный оператор ТСк) , где ТЫ) определяется соотношением для любого 06 0 , непрерывен. Рассмотрим векторы Очевидно, Jfcft& С (Ы( ос ), n,-=0i/llZl . . Из непрерывности оператора Т на пространстве І выведем, что для ос 0 Положив здесь Т Щ-ТЫ ) получим, очевидно, нужное. Пусть, далее, матрица Й-іо такая, для которой найдётся последовательность (\ )б1 . такая, что Теорема 8.5. Если матрица Й удовлетворяет условиям (8.6) и (8.7), то система р является системой я-суммируемости для I (4$р ) в точности тогда, когда она система сходи-мости по мере ДЛЯ [у . Доказательство. По предложению 4.2 ряд (0.3) является -суммируемым в точности тогда, когда найдётся (/с«.)б 1+ такая, что последовательность (Г ()//4, ,} с сходится к нулю по мере (без ограничения общности можно считать, что /л 0 для всех n-Oj Zi... ). Положим Л - max, \/Unj J. Тогда (Я е/ удовлетворяет условиям т.е. матрица удовлетворяет условиям (8.3) и (8.5) и (" (ij/A/J сходится к нулю по мере. По лемме 8.4 это так тогда и только тогда, когда (/? является системой сходимости по мере для {F. Отметим, что условия (8.6) и (8.7) очень сильны. Например, по мере не сходится, т.е. система шкJ с (АсШ Ш не является системой сходимости по мере для і , хотя по предложению 4.3 последовательность ( А )є( (/ ) , и, следовательно, по теореме 8.1,ІР является системой абсолютной сходимости для I . Значит, для /І= теорема 8.5 не имеет место. 9. Абсолютная суммируемость функциональных рядов почти всюду В этом параграфе мы рассмотрим абсолютную суммируемость почти всюду функциональных рядов (0.3), где fst ficvw} система измеримых конечных почти всюду на е=[&,! функций, одним обобщением классических методов суммирования. Определение 9.1. Пусть (Д ,) - положительная неубывающая последовательность. Ряд (0.3) мы будем называть А -рядом, если для каждого 0 найдутся измеримое подмножество! се с /иТ (-оі-и постоянная М 0 такие, что для всех чисел {с ;} и для всех М-Оу4,.2 .. Если в последнем условии/1 . = 1 , то по лемме 1.13 система U является системой сходимости по мере для с (i± р, оо) . Ниже будут найдены достаточные условия для того, чтобы данный метод суммирования переводил Л-ряд (0.3) в абсолютно сходящийся почти всюду ряд.
Абсолютная суммируемость функциональных рядов почти всюду
Теорема 8.3 ((38), стр. 302). При выполнении условий (8.3) и (8.4) система if является системой Й-суммируемости по мере для I (4$[1 ьо) тогда и только тогда, когда она система сходимости по мере для С .
Как показал X. Тюрнпу [27J, для регулярного конечностроч-ного метода Й необходимость теоремы 8.3 остаётся в силе и без 0 граничения (8.3). Для нахождения необходимых и достаточных условий для того, чтобы система у была системой Л -суммируемости для t (fh, co) в смысле определения 4.1, нам нужна лемма. Лемма R.4. При выполнении условий (8.3) и (8.5) система и является системой ft -суммируемости к нулю по мере для I (4$р. со) тогда и только тогда, когда она система сходимости по мере для I . Доказательство. Необходимость совпадает с доказательством необходимости теоремы 8.3. Достаточность. Если Ф - система сходимости по мере для 1 (-fІ ?), то применив теорему І.І, получим, что линей ный оператор ТСк) , где ТЫ) определяется соотношением для любого 06 0 , непрерывен. Рассмотрим векторы Очевидно, Jfcft& С (Ы( ос ), n,-=0i/llZl . . Из непрерывности оператора Т на пространстве І выведем, что для ос 0 Положив здесь получим, очевидно, нужное. Пусть, далее, матрица Й-іо такая, для которой найдётся последовательность (\ )б1 . такая, что Теорема 8.5. Если матрица Й удовлетворяет условиям (8.6) и (8.7), то система р является системой я-суммируемости для I (4$р ) в точности тогда, когда она система сходи-мости по мере ДЛЯ [у . Доказательство. По предложению 4.2 ряд (0.3) является -суммируемым в точности тогда, когда найдётся (/с«.)б 1+ такая, что последовательность (Г ()//4, ,} с сходится к нулю по мере (без ограничения общности можно считать, что /л 0 для всех n-Oj Zi... ). Положим Л - max, \/Unj J. Тогда (Я е/ удовлетворяет условиям т.е. матрица удовлетворяет условиям (8.3) и (8.5) и (" (ij/A/J сходится к нулю по мере. По лемме 8.4 это так тогда и только тогда, когда (/? является системой сходимости по мере для {F. Отметим, что условия (8.6) и (8.7) очень сильны. Например, по мере не сходится, т.е. система шкJ с (АсШ Ш не является системой сходимости по мере для і , хотя по предложению 4.3 последовательность ( А )є( (/ ) , и, следовательно, по теореме 8.1,ІР является системой абсолютной сходимости для I . Значит, для /І= теорема 8.5 не имеет место. 9. Абсолютная суммируемость функциональных рядов почти всюду В этом параграфе мы рассмотрим абсолютную суммируемость почти всюду функциональных рядов (0.3), где fst ficvw} система измеримых конечных почти всюду на е=[&,! функций, одним обобщением классических методов суммирования. Определение 9.1. Пусть (Д ,) - положительная неубывающая последовательность. Ряд (0.3) мы будем называть А -рядом, если для каждого 0 найдутся измеримое подмножество! се с /иТ (-оі-и постоянная М 0 такие, что - 78 для всех чисел {с ;} и для всех М-Оу4,.2 .. Если в последнем условии/1 . = 1 , то по лемме 1.13 система U является системой сходимости по мере для с (i± р, оо) . Ниже будут найдены достаточные условия для того, чтобы данный метод суммирования переводил Л-ряд (0.3) в абсолютно сходящийся почти всюду ряд.
