Введение к работе
Актуальность темы исследования. Анализ понятия объекта научной теории занимает одно из центральних і.іест в счтлосо-фии и методологии науки. Это обусловлено прежде всего тем местом, которое что понятие занимает в обеспечении единства теории и в постановке вопроса об истинности научного утверждения. Проблема философского прояснения данного понятия связана с характе-ризацией адекватной этим целям концепции существования и выявлением тех философских предпосылок, в рамках которых эта концепция призвана обнаруживать свою методологическую и гносеологическую правомочность.
В контексте философии математики указанная проблемы приобретает особую значимость з связи с тем, что значительная часть математических утверждений является именно утверждениями существования. Та ил;: иная трактовка математического существования зачастую выступает в качестве рубежа, разделяющего различные подходы к философскому истолкованию математики. С .другой стороны, она мочгет осмысляться в чисто мргодологичєской плоскости, как это делает, например, Поль Бернайс, полагающий, что математический платонизм и интуиционизм суть две крайние методологические позиции, адекватные конкретным областям математики. Содержание упомянутых доктрин в таном случае сводится к выдвигаемая.! ими критериям существования: свобода от противоречий, с одной стороны, и актуальная исполненность некоторого построения - с .другой. Однако, непротиворечивость как критерии существования и "чистые" теоремы существования допускались такими существенно разными авторами, как Гильберт и Кантор. При этом они исходили
из весьма различных философских установок и помещали данный критерий в несовпадаячре методологические контексты. Таким образом, чисто методологическое прочтение математического существования и, следовательно, проблемы математического объекта не является адекватным.
Исследуемая проблема имеет широкий выход в области онтологических и гносеологических рассмотрении. С ней увязан целнй ряд ключевых вопросов философии математики, таких как проблема генезиса математического знания, уяснение способа отнесенности математики к физическому миру, анализ роли интуиции и логики в производстве и функционировании математического знания, а такта места, занимаемого в этих процессах процедурами формализации и т.д. Она мотет быть помещена в рамки фундаментальных тем философского анализа, как это сделано, например, Куайном, считающим логицизм, интуиционизм и формализм - т.е. направления, расходящиеся прежде всего в трактовке способа бытия математического объекта, - современными версиями трех традиционных подходов к проблеме универсалий.
Среди направлений в философии математики особый интерес в контексте рассматриваемой проблемы вызывает математический реализм. Это обусловлено, во-первых, тег:., что классическая математика, по крайней мере со времени оформления дифференциального исчисления, наиболее полно отвечает методологическому аспекту реализма. Во-вторых, тем, что такие направления, как интуиционизм и отчасти и в некотором отношении формализм, - т.е. направления, существенно сказавшиеся в складывании картины развития математической практики XX столетия, - во многом определяли себя в отталкивании от гносеологических и методологических установок реализма. В-третьих, тем, что математический реализм,
являясь стихийным убеждением значительной части работа^я'дих математиков, как таковой должен быть учтен и осшслен, а не просто отброшен по причине его философской наивности. Это требует уяснения того, что в самой математике является ответственным за провоцирование такого убеждения. С другой стороны имеющиеся на сегодняшний день подхода к осїшслению математического реализма - онтологический» гносеологический, семантический и методологический - не приведены к концептуальному единству. Это выражается, в частности, в несовпадении точек зрения на правомочность приписывания реалистической позиции ряду крупнейших представителей философии математики, например, Фреге и Расселу.
Выявление концептуальных основ математического реализма, так 15се как и других типов философствования о математике, исходящих из того или иного понимания онтологического и гносеологического статусов математического объекта, представляет актуальную задачу философии математики.
Все изложенные обстоятельства обусловили выбор темы диссертации и определили общий вектор и логику проведенного исследования.
Степень разработанности проблемы. Особенностью отчествен-ной традиции философии математики является то, что анализ понятия математического объекта предпринимался ею в контексте развития математического знания. Здесь следует назвать имена С.А.Яновской, А.Н.Насанбаева, Г.И.Рузавина, В.С.Владимирова, Е.А.Беляева, В.Я.Перминова, А.Д.Александрова, Л.Д.^адцеева, В.Л.Кураева, В.Э.Войцеховича, Л.С.Кузнецовой, А.Г.Барабаше-ва и др.
Представляют интерес работн, нацеленные на анализ места интуитивных и формальных члементов в построении и обосновании
математики. Эта тема освещена в работах В.Ф.Асмуса, В.Я.Пермино-ва, В.А.Карпунина.
Рассмотрение проблемы математического объекта в контексте логической семантики нашло отражение в работах ряда отечественных/А.В.Бессонова, В.В.Петрова, В.А.Смирнова, Е.Д.Смирновой, П.В.Таванца, В.В.Целищева, Е.Е.Ледникова, К.В.Кирпичникова и др./ и зарубежных/К.Врайта, Д.Берру, Дж.Булоса, К.Доннелана, М.Даммита, С.Крипке, Ф.Китчера, В.Куайна, Х.Шилда, Н.Уайта и др./ авторов.
В зарубежной, прежде всего англо-американской, литературе можно выявить устойчивую традицию, обсуждения проблемы онтологического статуса математического объекта в рамках контроверзы между реалистическим и антиреалистическим подходами к этой проблеме. Эта традиция представлена в настоящее время работами П.Бе-нацеррафа, Д.Бигелоу, М.Штейнера, М.Резника, П.Мэдци, Ч.Парсон-са, Д. Таккера, Б.Хайле и др.
Отдельного упоминания заслуживают работы, посвященные творческому наследию крупнейших представителей философии математики XX века, прежде всего Spere, Рассела, Гильберта и Брауэра. Среди отечественных авторов необходимо назвать Б.В.Бирюкова, В.В. Мадера, Й.С.Нарского, М.И.Панова, Г.И.Рузавина, Е.Д.Смирновой. Среди зарубежных исследований своей фундаментальностью выделяются работы М.Даммита о с&реге. Значительный интерес представляют также посвященные упомянутым персоналиям работы Е.Д.Клемке, Ч.Парсонса,.Е.-Н.Клюге, В.Куайна, Г.Крайзеля, Х.Патнэма, М.Хал-лета и др.
Во всех этих работах имеются существенные результаты, касающиеся онтологических, гносеологических и методологических предпосылок ведущих линий философии математики XX века. В то же вре-
- 5 -мя, задача выявления тех концептуальных горизонтов, в пределах которых философия математики исторически ставила проблему способа бытия математического объекта и в пределах которых, с другой стороны, сама математическая практика осуществляла себя в соответствии с имплицитным пониманием способа бытия своего объекта, остается еще нерешенной.
Цель и задачи исследования. Цель настоящего диссертационного исследования состоит в выявлении концептуальных основ, к которым могут быть приведены имплицитно или эксплицитно выраженные представления о способе бытия математического объекта, обнаруживаемые в значительной части исторически оформившейся математики, с о иной стороны, и в ряде направлений в философии математики - с другой. Данная цель потребовала постановки и решения следующих задач:
Г. Приведение к концептуальному единству различных имеющихся в литературе подходов к проблеме математического реализма.
2. Анализ возможности концептуализировать тезис реалисти-
тического - т.е. не зависящего от субъекта познания и пред
шествующего теории - существования математического объкта. По
добная концептуализация требует помещения указанного тезиса в
такой заданный философски значимыми и математически адекватны
ми положениями теоретический контекст, в котором он был бы
подтверждаем или однозначно опровергаем.
3, выявление фундаментальных философских предпосылок, обус
ловивших согласуемость значительной части исторически оформив
шейся математики с методологическим аспектом реализма и види
мость возможности интерпретировать математическую деятельность
в соответствии с его основными метафизическим положениями.
- б -
4. Анализ способа конституирования математического объекта в логщистских программах реконструкции математики Фре-ге и Рассела и в формалистски ориентированной философии математики.
'Методологической основой исследования послужили труды отечественных и зарубежных философов математики, востребованные в контексте руководящего принципа единства онтологического, гносеологического и логино-семантического подходов к понятию математического объекта.
Диссертант также опирался на труды классиков философии математики XX века/Г. Кантора, Г.С>реге, Б.Рассела, К.Гёделя, Д.Гильберта/ и на историко-математические исследования.
Научная новизна диссертации состоит в выдвижении и обосновании следующих положений:
1. Подлинным концептуальным содержанием математического
реализма является не предметная интерпретация математическо
го объекта, при которой он полагается существующим независи
мо от наших познавательных .ресурсов, но предметная интерпре
тация математической истины. Эта интерпретация имплицирует
различение внутреннего строя обоснования математики, развер
нутого в системе доказательств и внешнего по отношению к не
му строя "реальности", чья конституция полагается в качестве
первичного и фундирующего по отношению к генезису и обоснова
нию математики фактора.
2, Дано обоснование того, что в реализме снимается раз
личив мечду логической истинностью и эмпирически значимой кон
статацией. Это приводит к тому, что никакой сверхлогической,
интуитивной отнесенности к объекту реализм не предполагает:
эта доктрина во всем своем существенном содержании может быть
- 7 -реконструируема без указанного допущения. Тем самым реалистический постулат независимого существования математического объекта оказывается "пустым тезисом", имеющим лишь чисто метафизическое значение,
-
Показано, что ^тот тезис не находит подтверждения, равно как и однозначного опровержения, аргументацией, опирающейся на анализ строения математического Знания или на специфику его производства и социального функционирования. Показано также, что он не находит концептуального выражения средствами семантического анализа.
-
Показано, что конституирование математического объекта в рамках логико-семантической концепции фреге может быть осмыслено в философской перспективе, заданной элейской метафизикой. Дано обоснование того, что присущая системе Рассела онтологизация категорий внутреннего и внешнего вводит чту систему в реалистическую парадигму в философии математики.
5. Анализ гильбертовской программы обоснования математики позволяет сделать вывод, что дуализм внутреннего и внешнего был удержан в ней в виде двух радикально различных способов конституирования математического объекта: на уровне "реальной" математики и на уровне метаматематики. Сгушевывание же этого различия явилось, в конечном счете, причиной ее философской неадекватности и математической нереализуемости.
Структура работы. Диссертация состоит из введения, двух глав/семи параграфов/, заключения и списка литературн.
