Содержание к диссертации
Введение
1. Разработка нового приближенного метода решения уравнения диффузии и его применение при решении ряда конкретных задач 7
1.1. Приближенные методы решения уравнения диффузии 7
1.2. Решение одномерной задачи в декартовых координатах с постоянным значением концентрации на поверхности тонкостенной оболочки 12
1.3. Решение одномерного уравнения диффузии в тонкостенной оболочке при условии массообмена на ее обеих поверхностях , 18
1.4. Решение уравнения диффузии при постоянном значении концентрации внешней среды на поверхности цилиндра 23
1.5. Решение уравнения диффузии при условии массообмена на поверхности цилиндра 28
1.6. Анализ наблюдаемого масштабного эффекта длительной прочности с использованием приближенного решения уравнения диффузии 32
Критерий длительной прочности металлов при сложном напряженном состоянии 38
2.1. Исследование длительной прочности металлов при сложном напряженном состоянии 38
2.2. Исследование длительной прочности металлов при сложном напряженном состоянии с учетом анизотропии материала 54
2.2.1. Метод определения коэффициента прочностной анизотропии цилиндрических оболочек 57
2.2.2. Экспериментальная проверка достоверности полученных результатов 62
2.3. Корректировка результатов испытаний на длительную прочность при сложном напряженном состоянии 65
2.4. Исследование длительной прочности металлов при сложном напряженном состоянии с учетом отбрасывания результатов случайных испытаний 69
3. Длительная прочность тонкостенных цилиндрических оболочек в агрессивной среде при сложном напряженном состоянии 77
3.1. Постановка задачи 77
3.2. Решение задачи при учете степенной модели длительной прочности 81
3.2.1. Решение задачи для случая постоянного значения концентрации агрессивной среды внутри тонкостенной оболочки 85
3.2.2. Решение задачи для случая постоянного значения концентрации на фронте разрушения 86
3.2.3. Решение задачи с учетом массообмена на фронте разрушения 93
3.3. Решение задачи при учете дробной модели длительной прочности 99
Список литературы
- Решение одномерной задачи в декартовых координатах с постоянным значением концентрации на поверхности тонкостенной оболочки
- Решение уравнения диффузии при постоянном значении концентрации внешней среды на поверхности цилиндра
- Исследование длительной прочности металлов при сложном напряженном состоянии с учетом анизотропии материала
- Решение задачи для случая постоянного значения концентрации агрессивной среды внутри тонкостенной оболочки
Введение к работе
Актуальность
Вопросу моделирования длительной прочности металлов, находящихся в условиях агрессивной окружающей среды, посвящено множество работ, однако проблема анализа влияния агрессивной среды на определение времени разрушения элементов конструкций по-прежнему является очень актуальной. Трудность изучения влияния агрессивной среды на длительную прочность металлов связана с недостатком систематических экспериментальных исследований. Испытания на длительную прочность металлических образцов в основном проводятся в обычной воздушной среде при одноосном растяжении. Проведение высокотемпературных испытаний при сложном напряженном состоянии связано со значительными технологическими трудностями, поэтому в настоящее время известно относительно небольшое количество надежных опытных данных. В настоящее время автору диссертации известны всего 28 серий испытаний на длительную прочность при сложном напряженном состоянии, проведенных отечественными и зарубежными учеными. Испытания на длительную прочность металлических образцов, находящихся при сложном напряженном состоянии в агрессивной окружающей среде, показывают, что пренебречь влиянием агрессивной среды на длительную прочность тонкостенных элементов нельзя: многие среды приводят к уменьшению времен разрушения по сравнению с вакуумом в несколько раз, а особо агрессивные среды (например, среда высокосернистых топлив) — в десятки раз. Технические трудности, связанные с проведением необходимых испытаний, вызывают необходимость разработки эффективных методов расчета для оценки влияния сложного напряженного состояния и агрессивной окружающей среды на характеристики длительного разрушения ответственных элементов конструкций.
Данная диссертационная работа посвящена моделированию процесса накопления повреждений в тонкостенных цилиндрических оболочках, находящихся при сложном напряженном состоянии в агрессивных средах. Для этого применяется кинетическая теория ползучести и длительной прочности Л.М.Качанова-Ю.Н.Работнова. В качестве кинетических параметров
используются зависящие от времени t концентрация вредных элементов C(i), определяемая из решения уравнения диффузии, и параметр поврежденности
материала
Актуальность работы подтверждается тем, что работа выполнялась в рамках ряда грантов Российского фонда фундаментальных исследований (РФФИ) (№ 99-01-00092,99-01-00093, 02-01-00257,02-01-00289).
Цели работы
Целями работы являлись построение математической модели и разработка методов расчета для описания влияния агрессивной окружающей среды на длительную прочность цилиндрических оболочек, находящихся при сложном напряженном состоянии.
Достоверность основных положений И ВЫВОДОВ
Результаты работы хорошо согласуются с экспериментальными данными по длительной прочности металлов, находящихся при сложном напряженном состоянии, которые были получены различными авторами. Оценка погрешности при использовании нового приближенного метода решения уравнения диффузии показала его высокую эффективность.
Научная новизна
-
Предложен новый метод приближенного решения уравнения диффузии в цилиндрических оболочках и сплошных цилиндрах, основанный на введении диффузионного фронта; проведенный анализ погрешности показал высокую эффективность метода.
-
На основе статистического анализа всех известных экспериментальных данных по длительной прочности металлов при сложном напряженном состоянии среди различных вариантов дробной модели определен вариант, приводящий к наилучшему соответствию экспериментальных и теоретических значений времен разрушения.
-
Предложен количественный метод исключения из рассмотрения экспериментальных данных, имеющих случайный характер: показано, что это исключение не вызывает изменения критериев длительной прочности.
4. Проведено исследование длительной прочности тонкостенных цилиндрических оболочек в агрессивной среде при различных видах плоского напряженного состояния с учетом взаимодействия диффузионного фронта и фронта разрушения, с использованием нового приближенного метода решения уравнения диффузии и введением скалярного эквивалентного напряжения.
Положения, выносимые на защиту
-
Новый метод приближенного решения уравнения диффузии, позволяющий избежать громоздкость точного решения и обеспечивающий достаточную точность.
-
Метод анализа результатов испытаний на ползучесть до разрушения при сложном напряженном состоянии, позволяющий выявить достоинства и недостатки различных моделей длительной прочности.
-
Метод решения задач о длительной прочности тонкостенных цилиндрических оболочек в агрессивной среде при различных видах сложных напряженных состояний, в котором учитывается движение диффузионного фронта и фронта разрушения.
Научно-практическоезначение
Результаты работы могут быть использованы для анализа долговечности напряженных металлических элементов конструкций, работающих в агрессивных средах.
Апробацияработы
Основные положения работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях:
Международная молодежная научная конференция. XXVI Гагаринские чтения
"Механика и моделирование материалов и технологий" (Москва, 2000); 4-я
Международная конференция "Научно-технические проблемы
прогнозирования надежности и долговечности конструкций и методы их решения" (Санкт-Петербург, 2001); Международная молодежная научная конференция. XXVII Гагаринские чтения "Механика и моделирование материалов и технологий" (Москва, 2001); Международная молодежная научная конференция. XXVIII Гагаринские чтения "Механика моделирования
материалов и технологий" (Москва, 2002); Всероссийская научно-техническая конференция "Новые материалы и технологии НМТ-2002" (Москва, 2002); Международная молодежная научная конференция. ХХГХ Гагаринские чтения "Механика и моделирование материалов и технологий" (Москва, 2003); Научная конференция. Ломоносовские чтения МГУ. Секция механики (Москва, 2003); IV Международная научно-практическая конференция "Разработка и реализация инновационных технологий" (Москва, 2003); Вторая международная научно-техническая конференция "Проблемы динамики и прочности в газотурбостроении" (Украина, Киев, 2004). 4- International Conference "Mechanics of time-dependent materials" (Lake Placid, New York, USA, 2003); 7- International Conference of Biaxial and Multiaxial Fatigue and Fracture (Berlin, Germany, 2004).
Публикации
Основное содержание работы отражено в 14 печатных трудах, список которых приведен в конце автореферата (2 статьи в академических журналах, 2 статьи в трудах международных конференций, тезисы докладов на 10 конференциях).
Структурадиссертации
Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 83 наименований и приложений. Работа изложена на 147 страницах машинописного текста с приложениями и содержит 33 рисунка и 40 таблиц.
Решение одномерной задачи в декартовых координатах с постоянным значением концентрации на поверхности тонкостенной оболочки
Анализ точного решения уравнения параболического типа показывает, что изменение температуры в каждой точке зависит от удаленности рассматриваемой точки от границы области. В связи с этим естественно разделить всю рассматриваемую область на невозмущенную и возмущенную части и исследовать движение границы между этими частями.
К.ЭЛембке [44] впервые рассмотрел методы приближенного решения основанные на последовательной смене стационарных состояний для задач нестационарной фильтрации. Л.С.Лейбензолом развил метод для решения некоторых температурных задач. Наиболее широкое применение данный метод получил в работах И.А.Чарного [67-69] при изучении нестационарной фильтрации. Распределение давления в возмущенной области предполагается соответствующим стационарному закону, а подвижная граница между невозмущенной и возмущенной областями - фронт возмущения - определяется с помощью уравнения материального баланса и краевых условий. И.А.Чарный получил, что координата фронта возмущения перемещается пропорционально квадратному корню из значения времени (l = kjt,k = const). В 1950 г. А.М.Пирвердян [51] устранил возникающую при использовании данного метода разрывность потока жидкости на фронте возмущения: с этой целью он задал эпюру давления на возмущенном участке в виде соответствующей параболы.
В работе Г.И.Баренблатта [2] проказано дальнейшее развитие метода последовательной смены стационарных состояний. Для определения зависящих от времени коэффициентов Г.И.Баренблатт вводит необходимое количество последовательных моментных интегральных соотношений, а также фиксированное количество условий на границе пласта и на границе возмущенной области (х = /(/)). В выражениях для давления используются многочлены высоких степеней и при увеличении степени многочлена возмущенная область разрастается, а погрешность решения уменьшается. При выборе интегральных соотношений обе части исследуемого параболического уравнения автор [2] умножает на х" (где п - неотрицательное целое число) и интегрирует полученные произведения по всей области пласта (границы которого в общем случае переменны). В [2] получена полная система уравнений для случаев одномерного, осесимметричного и центрального симметричного движений и проведена оценка погрешности для осесимметричной задачи.
Большой вклад в развитие приближенных методов, использующих разделение рассматриваемой области на возмущенную и невозмущенную части и исследование фронта возмущения между ними, внесен СА.Шестериковым и М.А.Юмашевой [72, 73]. На основе трехмерного тела исследовалось нестационарное температурное поле без предположения какой-либо геометрической симметрии. Точка Q на поверхности S тела определяется системой ортогональных криволинейных координат и и v, координата w направлена по нормали внутрь тела. Было принято, что в начальный момент времени, температура во всем теле постоянна (например Т-0). При /їО на границе тела задается зависящее от времени известное температурное поле. Для того, чтобы отделить прогретую часть тела от той, где нагревание границы не ощущается был введен температурный фронт w = /(/). Распределение температуры в прогретой части тела задается в виде где функции 4 выбираются из граничных условий, а % - базисные функции. Для записи параболического уравнения используются геометрические переменные M,V,W, после этого интегральное удовлетворение полученного уравнения в объеме прогретой зоны позволяет получить дифференциальное уравнение для определения зависимости глубины прогретого слоя от времени.
В монографии [3] рассмотрены примеры нестационарного распространения температуры в плоских и осесимметричных стержнях. Зависимость температуры от поперечной геометрической координаты в прогретой зоне таких стержней аппроксимируется в виде параболы второго порядка. На границе прогретой зоны принимается нулевое значение с горизонтальной касательной. Получено, что в стержне с сечением в виде тонкого прямоугольника и в цилиндрическом стержне зависимость прогретой зоны / от времени t определяется функцией квадратного корня: l = k Jt. В [3] рассмотрены способы применения распространенного приближенного метода при анализе терморазрушения твердых тел, вызываемого лазерной обработкой поверхностей. Решение большинства задач лазерной обработки материалов связано с такими длительностями импульсов, что, с одной стороны, можно пренебречь волновыми процессами в твердых телах и считать задачу квазистатической, а с другой стороны, время нагревания поверхности значительно меньше характерного времени, определяемого как отношение квадрата среднего размера тела к коэффициенту температуропроводности. В работах [16, 83] для определения поврежденности материала вместо кинетического соотношения в виде общепринятого стандартного степенного уравнения используется вероятностный подход. Основой этого подхода является гипотеза о вероятности разрушения тела в рассматриваемой точке, эта вероятность должна быть функцией характеристик тензора напряжений и концентрации химических элементов окружающей среды в теле.
Решение уравнения диффузии при постоянном значении концентрации внешней среды на поверхности цилиндра
Рассмотрим осесимметричную задачу о диффузии в круговом цилиндрическом стержне радиуса R0 (рис. 1.11).
При решении задачи используются следующие безразмерные переменные: в качестве г принимается отношение произвольного радиуса к радиусу цилиндра R0 в качестве t - отношение реального времени к В-Цо (где
D- const - коэффициент диффузии), в качестве c(r,t) — отношение концентрации агрессивной среды в цилиндре к ее значению в окружающем пространстве. В этих безразмерных переменных задача о диффузии компонентов агрессивной среды в длинном цилиндре принимает следующий вид:
Точное решение уравнения диффузии (1.24-1.25) может быть записано в виде [62]: где J0(r) и Jt(r) - функции Бесселя I рода нулевого и первого порядков соответственно, //Д/ = 1,2,...) - положительные корни уравнения J0{pi) = 0.
Наряду с точным решением (1.26) рассмотрим приближенное решение задачи (1.24)-(1.25). Из уравнения диффузии следует, что заметное изменение концентрации c(r,t) в каждой точке наступает по истечении некоторого времени, зависящего от расстояния данной точки до поверхности цилиндра. В связи с этим целесообразно разделить всю область поперечного сечения на невозмущенную и возмущенную и исследовать движение границы диффузионного фронта между ними, следовательно приближенное решение задачи (1.24)-(1.25) будет основано на введении диффузионного фронта. Здесь следует отдельно рассмотреть две последовательные стадии: первая стадия длится до тех пор (0 t t0), пока фронт r = l(t) от поверхности цилиндра не достигнет центра поперечного сечения цилиндра. Затем начинается вторая стадия, характеризующаяся ненулевым значением концентрации при любом г. В данном параграфе принимается зависимость концентрации с от произвольного радиуса г в виде степенной функции с показателем к. При учете начального и граничных условий (1.25) зависимость c(r,t) принимает следующий вид:
Во многих задачах особый интерес представляет общий уровень концентрации в объеме рассматриваемого тела, в связи с этим введем интегрально среднюю в объеме цилиндра концентрацию cm(t):
Эта средняя концентрация при учете (1.27), (1.29) зависит от времени t следующим образом:
В качестве показателя степени к примем то его значение, которое приводит к наилучшему соответствию функций cmQ(t) И „,,(, 0, характеризующих точное (1.26) и приближенное (1.27) решения соответственно. Для оценки количественной меры расхождения функций cm0(t) и ст}(к,с) рассмотрим величину A(k,t), которая определяется по формуле (1.12).
На рис. 1.14 приведены зависимости Д от к при различных значениях t. Так как основное накопление концентрации в цилиндре происходит при /«1, то из рисунка можно определить значение Д(Д). Минимальное значение Д достигается при Аг = 1,09.
Из рис.1.16 следует, что при / 0,2 относительная погрешность приближенного решения составляет менее 0,44%, при / 0,4 (t) уменьшается, а при погрешность c(t) асимптотически стремится к нулю. Если возникает необходимость уменьшить погрешность є(t) при малых значениях t, то следует заменить в (1.27) степенную функцию от радиуса г на многочлен. Зависящие от времени коэффициенты этого многочлена следует определять с помощью замены уравнения (1.28) на соответствующие моментные соотношения.
В этом параграфе рассматривается задача о диффузии в круговом цилиндре радиуса R0 с учетом массообмена на поверхности цилиндра. При решении данной задачи использовались безразмерные переменные, описанные в п. 1.4. В этих безразмерных переменных задача о диффузии компонентов агрессивной среды в цилиндре принимает вид (1.24) с начальными и граничными условиями: где под у в (1.32) и ниже понимается безразмерный коэффициент, характеризующий произведение коэффициента массообмена и радиуса R0 (скорость диффузионного процесса).
Точное решение уравнения диффузии (1.24) с начальными и граничными условиями (1.32) может быть записано в следующем виде [9]: где J0, J у - функции Бесселя I рода нулевого и первого порядков, a ju, -положительные корни трансцендентного уравнения
Можно заметить, что точное решение задачи (1.33) с начальными и граничными условиями (1.32) является очень громоздким, в связи с этим оно плохо поддается анализу.
Приближенное решение уравнения диффузии при условии массообмена, основанное на введении диффузионного фронта, имеет следующий вид:
Изменение значений у не приводит к каким-либо качественным различиям решений (см. рис. 1.17), поэтому во избежание громоздких вычислений ниже приведено исследование решения (1.34) при значении у = 1. вычисляемые с помощью интегрального удовлетворения уравнения диффузии (1.28), имеют следующий вид: Время t0 достижения диффузионным фронтом середины сечения цилиндра /(/„) = 0 (т.е. время окончания первой стадии) зависит только от значения показателя к:
На рис.1.18 построены графики функции c(r,t). Сплошными линиями на графике изображено точное решение при различных значениях /, а штриховыми линиями изображено приближенное решение в виде (1.34) уравнения (1.24) с начальными и граничными условиями (1.32),
Определим интегрально среднюю концентрацию внешней среды в объеме цилиндра при учете (1.30), (1.34), зависящую от времени t: где /(/), (/) определяются согласно (1.35).
На рис. 1.19 приведены зависимости A(kj) от к при различных значениях t Основное накопление концентрации происходит при f»3. В качестве значения , определяющего минимум функции Л, примем приближенное значение к = 2.
Исследование длительной прочности металлов при сложном напряженном состоянии с учетом анизотропии материала
Тонкостенные трубчатые элементы получили в современном машиностроении чрезвычайно широкое распространение. Во многих случаях особенности работы этих элементов определяют долговечность различных промышленных установок. Как правило они эксплуатируются в условиях сложного напряженного состояния.
Для испытаний на длительную прочность в основном используются трубчатые образцы в состоянии поставки. Лишь некоторые исследователи уделяют большое внимание вопросу снятия исходной анизотропии, полученной в процессе изготовления трубок, а также снятия остаточных напряжений, возникших при изготовлении образцов. Так, например, А.А.Лебедев [18] перед испытаниями трубок из стали 1Х18Н9Т при 520С в условиях комбинации растяжения и внутреннего давления проводил термообработку используемых заготовок, а затем и изготовленных образцов, с большой тщательностью готовил их поверхности и допускал образцы к испытаниям не раньше, чем через 8 месяцев после их изготовления. В [18] подробно описана технология подготовки поверхности образцов к испытаниям (обработка внутренней поверхности твердосплавными развертками и последующая доводка чугунными притирами с использованием специальных паст, а также шлифовка наружной поверхности).
При определении длительной прочности труб в этих условиях обычно считают материал изотропным. Однако реальные трубы как правило упрочнены в продольном направлении. Они могут приобрести анизотропию прочности уже в процессе изготовления. Так, например, для цельнотянутых труб характерна повышенная прочность в осевом направлении как результат наклепа при калибровке. Анизотропия прочности может быть и следствием термомеханической обработки. Так, например, результаты испытаний на осевое и окружное растяжение высокопрочных стальных труб, подвергнутых низкотемпературной термомеханической обработке, показали [80], что в результате такой обработки не только повысилась прочность в целом, но и появилась анизотропия прочности: отношение осевой прочности к окружной составило в зависимости от режима обработки величину от 1.25 до 2.5. Такая значительная анизотропия не снимается даже при высокотемпературных испытаниях.
Учет прочностной анизотропии при прогнозировании долговечности труб имеет важное значение. Пусть, например, известны экспериментальные данные по длительной прочности тонкостенной трубы, упрочненной вдоль оси, при чистом растяжении. Определим время разрушения такой трубы при действии внутреннего давления. В качестве критерия длительной прочности примем величину максимального главного напряжения о- = т,. При нагружении трубы внутренним давлением напряжение ст действует, как известно, в
окружном направлении, которое является направлением минимальной прочности. Поэтому в этих условиях определение времени разрушения труб при сложном напряженном состоянии по результатам испытаний при чистом растяжении без учета анизотропии материала является недопустимым.
Выше отмечалось, что используемые для исследования длительной прочности тонкостенные трубчатые образцы как правило изготавливаются из прутков или труб, которые прошли предварительную калибровку и в результате этого приобрели продольный наклеп. В некоторых случаях для устранения последствий этого наклепа образцы перед испытаниями на длительную прочность подвергаются термообработке, однако часто образцы испытываются на длительную прочность в состоянии поставки.
В [63] (О.В.Соснин с сотрудниками) описаны результаты испытаний сплава Д16Т при 250С, при этом использовались образцы в состоянии поставки, без предварительной термообработки. Результаты испытаний при растяжении, сжатии и кручении показывают, что процессы ползучести и разрушения при кручении проходят значительно интенсивнее, чем при растяжении или сжатии, что, возможно, также объясняется существенной анизотропией свойств использованного материала.
Самый естественный способ измерения коэффициента прочностной анизотропии а0 - проведение наряду с испытаниями трубчатых образцов при продольном растяжении прямого растяжения коротких кольцевых образцов из того же материала в поперечном направлении [71]. Описанная в [71] конструктивная схема нагружения применима только для испытания образцов достаточно большого диаметра. Создание специфической установки для испытаний кольцевых образцов в заданном высокотемпературном поле -достаточно трудоемкая задача. Представляет интерес получить метод вычисления коэффициента ог0 конкретного материала на основании анализа результатов проведенных испытаний трубчатых образцов в условиях сложного напряженного состояния. Наличие такого метода позволит ограничиться проведением испытаний на стандартном оборудовании и избавит от необходимости специально создавать установку для растяжения кольцевых образцов и проводить дополнительные испытания.
Решение задачи для случая постоянного значения концентрации агрессивной среды внутри тонкостенной оболочки
Рассмотрим общий метод анализа влияния химических элементов окружающей среды на длительную прочность тонкостенной цилиндрической оболочки, находящейся в условиях сложного напряженного состояния (Р + М) ИЛИ (P + q).
Будем считать, что длина тонкостенной оболочки / во много раз превосходит ее радиус R0 (l»Ra), так что влияние продольной координаты тонкостенной оболочки на процесс разрушения поперечного сечения можно не учитывать. Примем также во внимание, что радиус тонкостенной оболочки Ra значительно превосходит ее толщину Я0 (Л0»Я0), так что в окрестности рассматриваемого конструкционного элемента поверхность малой кривизны оболочки можно приближенно заменить плоскостью.
Введем в поперечном сечении координату х вдоль направления толщины сечения оболочки от центра таким образом, что значения x = Q и х Н0 соответствуют боковым поверхностям оболочки. Так как действие агрессивной среды осуществляется с обеих сторон тонкостенной оболочки, то задача является симметричной, и будем рассматривать только внутреннюю половину сечения 0 х 0.5Я0. Для анализа влияния окружающей среды на длительную прочность напряженной тонкостенной оболочки с дополнительным учетом фронта разрушения будем использовать кинетическую теорию Ю.Н.Работнова с двумя структурными параметрами - поврежденностью o)(x,t) и концентрацией химических элементов внутри тонкостенной оболочки c(x,t). Как известно, параметр o(x,t) является возрастающей функцией времени t, В связи с диффузией химических элементов среды в материал тонкостенной оболочки, распространяющейся от внутренней и внешней поверхностей оболочки (х = 0 и х = Н0) и ослабляющей ее прочностные свойства, поврежденность о зависит также от поперечной координаты х, причем эта зависимость монотонно убывающая. Принимая в качестве условия разрушения уравнение о = 1, получаем, что в некоторый момент времени / = f, нарушается сплошность оболочки на ее боковой поверхности. При t t{ происходит движение разрушенного материала вглубь тонкостенной оболочки. Введем координату фронта разрушения Х(/), она определяется из условия m{X{t),t)-\: при 0 /й/, имеем Jf(r) = 0, а при t t{ координата X(t) является подлежащей определению возрастающей функцией времени t. Появление фронта разрушения приводит к уменьшению площади поперечного сечения; так как внешние нагрузки , М, q не зависят от времени, то эквивалентное напряжение сте течением времени / возрастает и становится больше исходного номинального напряжения ае0, вычисляемого согласно (3.3) или (3.6).
Концентрация c(x,t) в произвольный момент времени определяется решением уравнения диффузии: где D - коэффициент диффузии. Для простоты принимается, что в начальный момент времени концентрация во всем сечении равна нулю: с(х,0) = 0. (3.8) В качестве граничного условия, соответствующего середине сечения (х = 0.5Я0), из условий симметрии принимаем уравнение: На внешней поверхности тонкостенной оболочки (Л: = X(t)) можно принять один из двух вариантов граничного условия: постоянное значение концентрации на поверхности оболочки: с( (0 0 = с0, (3.10) либо пропорциональность градиента концентрации разности концентраций на границе тонкостенной оболочки и внешней среды: Основные уравнения
При расчете длительной прочности материалов элементов конструкций обычно используются различные варианты кинетической теории Л,М.Качанова-Ю.Н.Работнова. В последние годы для этой цели иногда применяется вариант, использующий вероятностный подход (см, например [1, 16]). В этой главе при исследовании длительного разрушения цилиндрической оболочки вводится параметр поврежденности a(x,t).
Кинетическое уравнение для поврежденности в (х»0 которое имеет вид степенной зависимости скорости накопления поврежденности о от напряжения
В начальный момент времени параметр поврежденности материала принимается равным нулю (UJ=0), при разрушении т = \. Для учета влияния диффузионного процесса на длительную прочность служит функция f(c(x,t)), которая является возрастающей функцией от концентрации и удовлетворяет условию /(с = 0)=1. Для простоты в качестве /(с) можно рассматривать линейный, экспоненциальный и другие виды функции.
При отсутствии агрессивной окружающей среды выполняется условие /(c( ,o)sl» параметр поврежденности зависит только от времени ty в этом случае уравнение (3.12) становится обыкновенным дифференциальным уравнением: которое легко интегрируется: где t 0 - время разрушения в вакууме (при отсутствии агрессивной окружающей среды).
Для определения времени разрушения тонкостенной оболочки / в присутствии агрессивной окружающей среды рассмотрим уравнение (3.12) в виде, в котором скорость накопления поврежденности у(/) зависит от среднего по площади переменного поперечного сечения тонкостенной оболочки значения функции f(c(x,t))f в этом случае имеем:
