Содержание к диссертации
Введение
Глава 1.Предварительные сведения 19
1.1. Обозначения и некоторые сведения из функционального анализа и топологии 19
1.2. Некоторые сведения из теории многозначных отображений 23
1.3. Свойства выпуклых по переключению (разложимых) множеств 28
Глава 2. Возмущение компактнозначного отобралсения многозначным отображением типа Гаммерштейна с невыпуклыми образами 31
2.1. Возмущение линейной краевой задачи для функционально - дифференциальных уравнений 32
2.2. Существование и оценки близости решений возмущенного включения к наперед заданным функциям 36
2.3. Квазирешения и принцип плотности 47
2.4. "Бэнг - бэнг" принцип 59
2.5. Возмущенное включение с внешними возмущениями 77
Глава 3. Применение теории возмущенных включений к дифференциальным включениям 91
3.1. Функционально-дифференциальные включения 91
3.2. Дифференциальные включения с многозначным оператором Немыцкого 97
3.2.Возмущенные функционально - дифференциальные включения 100
Литература 102
- Некоторые сведения из теории многозначных отображений
- Возмущение линейной краевой задачи для функционально - дифференциальных уравнений
- Существование и оценки близости решений возмущенного включения к наперед заданным функциям
- Дифференциальные включения с многозначным оператором Немыцкого
Введение к работе
В последние годы дифференциальные включения привлекают к себе все больший интерес. Это обусловлено широким использованием дифференциальных включений в прикладных задачах, задачах оптимального управления, теории игр, математической экономике. Дифференциальное включение можно рассматривать как формальное обобщение дифференциального уравнения, когда правая часть заменена на многозначное отображение. Поэтому для дифференциальных включений возникают задачи, аналогичные задачам из теории дифференциальных уравнений (вопросы разрешимости, продолжаемости, ограниченности решений и т.д). В то же время, ввиду многозначности правой части, дифференциальное включение обладает рядом специфических свойств. Это вопросы замкнутости, выпуклости семейства решений, выбор решений с заданными свойствами, связь множеств решений дифференциального включения, не обладающего свойством выпуклости значений правой части, во множестве решений "овыпукленного"включения, представление множеств приближенных решений, устойчивости множеств решений к различного рода возмущениям и т.д. (см., например, [3], [17], [48], [21], [49]). Это подтверждает, что дифференциальные включения не являются лишь формальным обобщением дифференциальных уравнений, а представляют собой самостоятельную теорию, имеющую свои особенности и требующую принципиально новых методов исследования.
Исследование дифференциальных включений началось в тридцатых годах двадцатого столетия в работах A. Marchaud (Маршо) [67], S. Zaremba (Заремба) [74] и продолжается до сегодняшнего дня. Отметим, что данными вопросами занимались многие математики (Н.В. Аз-белев, Ю.И. Алимов, А.В. Арутюнов, Б.И. Ананьев, Р.В. Ахмеров, Е.А. Барбашин, В.И. Благодатских, А.В. Богатырев, Ю.Г. Борисович, С.А. Брыкалов, А.И. Булгаков, В.В. Васильев, Е.Е. Викторов-ский, Е.А. Ганго, Б.Д. Гельман, А.Е. Ирисов, А.Г. Иванов, Н.Н. Кра-совский, А.Б. Куржанский, А.А. Леваков, Л.Н. Ляпин, В.П. Максимов, А.Д. Мышкис, М.С. Никольский, В.Р. Носов, В.В. Обуховский, Е.А. Панасенко, А.И. Поволоцкий, Е.С. Половинкин, Р.К. Рагимха-нов, Б.Н. Садовский, А.Н. Сесекин, В.В. Скоморохов, А.И. Субботин, Н.Н. Субботина, СИ. Суслов, Л.И. Ткач, А.А. Толстоногое, Е.Л. Тон-ков, B.C. Тонкова, СТ. Завалищин, Л.Н. Фадеева, А.Ф. Филлипов, Т.Ф. Филиппова, И.А. Финогенко, А.Г. Ченцов, П.И. Чугунов, З.Б. Ца-люк, Н.А. Antosiewicz, A. Bressan, A. Cellina, G. Colombo, J. Davy, Н. Frankovska, A. Fryskowski, Н. Hermes, W. Kelley, N. Kikuchi,
M. Kisielewicz, A. Lasota, S.J. Lojasiewicz, B.S. Mordukhovich, H. Murakami, S. Nakagiri, С Olech, Z. Opial, N.S. Papargeorgiou, G. Pianigiani, A. Plis, S. Szufla, L. Wang, T. Wazewski, P. Zecca и др.)
В настоящее время интенсивно изучаются включения, правая часть которых состоит из алгебраической суммы значений "хорошего" (имеющего замкнутые образы) и "плохого" (не обладающего свойством замкнутости и выпуклости значений) многозначных отображений. Изучению подобных включений посвящена вторая глава предлагаемой диссертации. Такие включения здесь называются возмущенными. Отметим, что все имеющиеся в настоящее время методы исследования (теорема Какутани[1.2;32], принцип сжимающих отображений [1.2;18]) непосредственно применить для изучения вопросов существования решений таких возмущенных включений нельзя. В то же время к таким включениям сводятся многие задачи дифференциальных и интегральных включений, теории аппроксимации, управления и игр. Поэтому построение теории возмущений многозначных включений представляет не только теоретический, но и практический интерес.
Основы теории возмущений заложены в работах [20], [21], [22], [23], в которых для случая, когда "хорошее" многозначное отображение имеет выпуклые замкнутые образы, рассмотрены вопросы существования решений возмущенных включений, а также топологические свойства множеств решений и квазирешений таких включений. В частности, в этих работах получены оценки близости решений к наперед заданной непрерывной функции, которые позволяют путем подбора функций определить приближенное решение возмущенного включения и дать оценку погрешности этого приближенного решения. Кроме того, доказано, что множество квазирешений возмущенного включения совпадает с множеством решений "овыпукленного" включения. На основе этого утверждения и полученных в [22] оценок доказан принцип плотности и "бэнг -бэнг" принцип. Доказательство этих свойств в [22] основывалось на теореме Майкла [1.2;23], с помощью которой доказывалось существование в некотором смысле "минимальной" непрерывной ветви у "хорошего" многозначного отображения с выпуклыми образами. Здесь не предполагается, что "хорошее" многозначное отображение имеет выпуклые образы. Поэтому применить теорему Майкла [1.2;23] для исследования такого возмущенного включения невозможно. Исследования в этом случае здесь осуществляется на основе теоремы 2.2.1, доказанной в 2.2 главы 2.
Третья глава диссертации посвящена приложению полученных ре-
зультатов главы 2 к исследованию краевых задач для функционально -дифференциальных включений.
Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы.
Содержание первой главы носит вспомогательный характер. Здесь собраны основные определения и обозначения, а также утверждения, используемые в основном тексте.
В 1.1 приводятся общие сведения из функционального анализа и топологии.
В 1.2 собраны используемые сведения из теории многозначных отображений.
В 1.3 приводятся необходимые свойства выпуклых по переключению (разложимых) множеств.
Главы 2, 3 содержат основные результаты диссертации.
Приведем вкратце результаты изложенные в главе 2 и 3. Нумерация приводимых утверждений совпадает с их нумерацией в параграфах.
Во второй главе предлагаемой диссертации в пространстве Сп[а, 6] рассматривается возмущенное включение
іЄФ(х)+УФ(х), (1)
где Ф : Сп[а,Ъ] -+ comp[Cn[a,6]], Ф : Сп[а, Ь) -+ П[Ьп[а,6]] - многозначные операторы, линейный непрерывный интегральный оператор V : Ln[a, b] —> Cn[a, 6] определен равенством
ь
(Vz) (t) = J V(t, s)z{s)ds, t Є [a, 6]. (2)
Под решением включения (1) будем понимать элемент X Є Cn[a, 6], удовлетворяющий (1). Таким образом, непрерывная функция х : [а, Ъ] —> Шп является решением включения (1) тогда и только тогда, когда найдутся такие элементы v Є Ф(х) и z Є Ф(і), что справедливо равенство х = v + Vz.
Пусть q0 Є Cn[a,b], г0 Є Ф(до) и w;0 Є Ln[a,b]. Представим функцию go в виде
qo = ro + Vwo + є, (3)
где є = qo — го — Vwo- Предположим, что функция к Є L^a, 6] для каждого измеримого U С [а, Ь] удовлетворяет неравенству
pL»(i/)[wo;$(qo)} < / k(s)ds, (4)
а непрерывная функция v : [а, 6] —> [0, со) определена соотношением
б
v(t) = J\V(t,s)\k(s)ds+\e(t)l (5)
где |V(t, s)| - согласованная с пространством Шп норма пхп матрицы V(t,s) в представлении (2), є Є Сп[а, Ь] - функция в правой части равенства (3).
Будем говорить, что отображения V : Ln[a,6] —> Cn[a, 6], Ф : Cn[a,b] -> comp[Cn[a,6]], Ф : Cn[a,6] -+ П[Ьп[а,Ь]] обладают свойством А, если найдутся непрерывные изотопные операторы Г : С+[а,Ь] —> Ь+[а, 6] и Р : С+[а, 6] —у Ж1, удовлетворяющие условиям: для любых х, у Є Сп[а, Ь] и любого измеримого множества U С [а, 6] выполняются неравенства:
кЬп{и)Щх)Му)\ < ||rZ(x-y)||L1([/), (6)
Цвл№(ї), ф(у)] ^ ^ № - у)) ; (7)
для функции v Є СЦа, 6], определенной соотношением (5), сходится в пространстве С1 [а, Ь] ряд
^ ЛЧ Д0^ = г/, .AV = Л (Л*-1!/) , г = 1,2,..., (8)
г=0
где непрерывный оператор Л : С+[а, Ь] —) С+[а, 6] определен равенством
ь (Az)(t) = j\V(t,s)\(Tz)(s)ds + P(z),
а отображение Z : Cnja, 6] —> C+[a, b] определено соотношением
(Zx)(t) = \x(t)\. Пусть (v) - сумма ряда (8), то есть
«") = X>V. (9)
Теорема 2.2.1. Пусть q0 <5 Cn[a,b], r0 Є Ф(до), wQ Є Ln[a, 6] и пусть функция до представимо, равенством (3). Далее, пусть отображения V : Ln[a,6] - Сп[а,Ь], Ф : Cn[a,6] ->> comp[Cn[a, 6]], Ф :
Cn[a,b] —> IT[Ln[a, b]] обладают свойством А. Тогда найдется такое решение х ( х = v + Vz, v Є Ф(я), z Є Ф(х)) включения (1), для которого выполняются следующее оценки: при любом t Є [a, b)
\x(t) - qo(t)\ ^ M(i);
\\v - Ы\сп[а,Ь] ^ РШ)\ при почти всех t Є [a, b]
где и, (^)> -Р, Г, к удовлетворяют соотношениям (5), (9), (7), (6), (4), соответственно.
Отметим, что теорема 2.2.1 дает несколько больше, чем просто условия существования решения включения (1). Оно дает способ нахождения приближенного решения путем подбора функции go Є Сп[а,Ь]. При этом функция (^), зависящая от функций go>ro Є Cn[a,b] и wo Є Ln[a, 6], дает оценку погрешности приближенного решения (функции <7о) включения (1).
Далее исследуется структура множества решений и множества квазирешений возмущенного включения, а также доказывается принцип плотности (определение см. ниже). Свойство плотности занимает центральное место в теории и приложениях дифференциальных включений, и как отмечено G. Pianigiani (см. [70]) является фундаментальным свойством. Следовательно, вопрос о плотности множества решений имеет важное значение и в теории возмущенных включений, так как дифференциальное включение является частным случаем возмущенного включения.
Будем говорить, что функция х Cn[a, Ь] является квазирешением включения (1), если найдется такой элемент v Є Ф(х) и такая последовательность
2*еФ(аг), 2 = 1,2,...,
что последовательность Х{ = v + Vz{ —) х в Сп[а, 6] при г —> со. Обозначим 1-і - множество всех квазирешений включения (1).
Рассмотрим в пространстве Сп[а, Ъ] включение
х Є Ф(ж) + Усо(Ф(ж)). (10)
Включение (10) будем называть "овыпукленным" возмущенным включением или просто "овыпукленным" включением.
Пусть Нсо - мнооїсество решений включения (10). Справедливо следующее утверждение для квазирешений включения (1)
Теорема 2.3.2. Пусть линейный непрерывный оператор V : Ln[a, b] —> Сп[а, b], определенный равенством (2), переводит каждое слабо компактное в Ln[a, b] множество в предкомпактное множество пространства Сп[а, b]. Тогда справедливо равенство
Ті = Нс0.
Определим отображение соФ : Сп[а, Ь] —> Г2(П[Ьп[а, Ь}]) равенством
(соФ)(ж) = со(Ф(ж)).
Теорема 2.3.4. Пусть отображение V : Ln[a, 6] —> Cn[a,6] непрерывно, а многозначные отображения Ф : Cn[a,6] -» comp[Cn[a,6]], соФ : Cn[a, b] —) Q(n[Ln[a, &]]) полунепрерывны сверху по Хаусдорфу. Тогда множество Нс0 замкнуто в пространстве Сп[а, 6].
Будем говорить, что отображения V : Ln[a, b] —> Cn[a, 6], Ф : Cn[a,6] -+ comp[Cn[a,6]], Ф : Cn[a,b] ->> n[Ln[a,6]] обладают свойством В, если найдутся непрерывные изотонные операторы Г : С+[а,6] —> L+[a, Ь] и Р : С+[а, Ь] —> R1, удовлетворяющие неравенствам (6), (7), а также соотношениям
Г(0) = 0, Р(0) = 0,
и, кроме того, для любой функции г/ Є C+[a, 6] из некоторой окрестности 0 ряд (8) сходится в пространстве С1 [а, Ь] и сумма ряда (8) непрерывна в 0, оператор V переводит каждое слабо компактное в Ln[a, Ъ] множество в предкомпактное множество пространства Cn[a, 6].
Теорема 2.3.5. Пусть отображения V : Ln[a,6] —> Cn[a, b], Ф : Cn[a,b] ->> comp[Cn[a,6]], Ф : Cn[a,b] -> U[Ln[a,b}] обладают свойством В. Тогда множество Н ф 0 и справедливо равенство
Н = НС0, (11)
где Н - замыкание в пространстве Cn[a, b] множества Н.
Отметим, что выполнение равенства (11) в последнее время называют принципом плотности. Принцип плотности выполняется не всегда. Это доказывает пример Плиса (A.Plis) (см. [71], [58, стр. 63]).
Далее ставится вопрос о условиях выполнения "бэнг - бэнг" принципа. Отметим, что "бэнг - бэнг" принцип играет важную роль в теории управления, поскольку позволяет "упростить" систему управления путем сужения множества допустимых значений управления. При этом замыкания в пространстве непрерывных функций множеств траекторий первоначальной системы управления и упрощенной совпадают. Таким образом "возможности" упрощенной системы управления в этом случае сравнимы с первоначальной системой. В то же время "управлять" упрощенной системой гораздо проще, так как множество допустимых управлений существенно сужается (во многих случаях допустимое управление можно осуществлять простыми, с точки зрения вычислений, функциями, иногда их называют релейными).
Пусть многозначное отображение А : [а, Ь] х Сп[а, Ь] —> comp[Mn] обладает свойством: при каждом фиксированном х Є Сп[а, Ь] отображение А(-,х) измеримо и удовлетворяет равенству
Ф(х) = {у Є Ln[a,6] : y(t) Є А(і,ж) при п.в. t Є [а, 6]}.
Такое отображение существует (см.[1.3;48], [1.3;49], [1.3;50]). Будем называть отображение Д : [a, b] х Cn[a, b] —У сотр[Жп], отображением порождающим оператор Ф : Cn[a, b] —» П[Ьп[а, 6]].
Определим отображение ext<> : Cn[a,6] —> n[Ln[a, b]] равенством
(ext<)(:r) = {у Є Ln[a, b] : у (і) Є ext(co A(t, х)) при п.в.* Є [a, b}},
где отображение ext A(-,rc) : [a, 6] —> comp[Rn] задано соотношением
(extA)(-,z)() = ext(co A (,)).
Рассмотрим в пространстве Cn[a, b] включение
хе У(х) + У(ехЬФ)(х). (12)
Пусть Hext - мноэюество всех решений включения (12).
Будем говорить, что для включения (1) выполняется "бэнг — бэнг" принцип, если выполняются равенства
Не.** = Н = Нг
где Hexi, Н - замыкания множеств Hext, Н в пространстве Cn[a, 6].
Будем говорить, что множество Нсо разложимо по многозначным отображениям Ф, соФ или просто разложимо, если каждое решение х Є Ясо однозначно представимо в виде
х = v + Vz,
где v Є Ф(х), z Є (соФ)(х).
Будем говорить, что отображения V : Ln[a, 6] —> Cn[a,b], Ф : Cn[a,b] - comp[Cn[a,6]], Ф : Cn[a, 6] ->> П[Ьп[а,6]] обладают свойством В*, если эти отображения обладают свойством В, ядро оператора V состоит только из нулевого элемента, а множество Нсо разложимо.
Теорема 2.4.6. Пусть отображения V : Ln[a,6] —> Cn[a,b], Ф : Сп[а,Ъ] -> comp[Cn[a,6]], Ф : Сп[а,Ь] -> U[Ln[а, Ь]]_ обладают свойством В*. Тогда Hext ф 0 и справедливо равенство Hext = Н — Нсо, где Hext, Н - замыкание множеств Hext и Н в пространстве Сп[а,Ъ).
В заключении второй главы рассматривается включение с внешними возмущениями. Такие возмущения в практике имеют место, поскольку они характеризуют погрешность вычислений значений соответствующих многозначных отображений. Как доказывается здесь этими возмущениями нельзя пренебрегать, так как они могут вызвать значительное изменения множества решений возмущенного включения, если отображение Ф : Cn[a,6] —у II[Ln[a, b]] не обладает свойством выпуклости значений.
Обозначим через K([a,b] х [0, со)) множество всех функций rj : [a,b] х [0,оо) —> [0,оо), обладающих свойствами: при каждом 5 ^ О функция г}(-,6) Є Ь![а, >]; для каждого 5^0 найдется такая функция $$() Є Ьх[а, 6], что при почти всех t Є [а, 6] и всех г Є [0,5] выполняется неравенство r)(t,T) ^ Д$(); при почти всех t Є [a, b] справедливо равенство lim r)(t,6) = 0.
<5->0+0 V '
Обозначим через P(Gn[a,b] x [0,00)) множество всех непрерывных функций ш : Cn[a,b] х [0,оо) —У [0,со), для которых для любого х Є Cn[a, b) справедливо соотношение и(х,0) = 0.
Будем говорить, что отображение А(-, *) при почти всех Є [a, b] непрерывно в точке х Є Cn[a, b], если для любой последовательности Хі Є Cn[a, b], і = 1,2,... сходящейся к а: в пространстве Cn[a, b] при
г —> со, при почти всех t Є [a, b] выполняется равенство
lim/i[A(t,cc);A(t,cci)] = 0.
г—Юо
Если отображение Д(-, ) при почти всех t Є [a,b] непрерывно в каждой точке х Є Cn[a,b], то будем говорить, что оно при почти всех t [а, Ь] непрерывно на Сп[а,Ь].
Далее будем считать, что отображение Д(-, ), порождающее отображение Ф : С"[а, Ь] —> П[Ьп[а, b}], при почти всех і Є [a, b) непрерывно на Сп[а,Ь].
Рассмотрим оператор Ф : Cn[a, 6] —> Il[Ln[a,6]] и порождающее его отображение А : [а, 6] х Сп[а, 6] — comp[Mn]. Значения отображения Д(-, ), а, следовательно, и образы оператора Ф(-), могут вычисляться с некоторой степенью точности, которую можно задать функцией 77(-, ) Є K([a,b] х [0,00)). В связи с этим рассмотрим отображение A,, : [a, b] х Сп[а, Ь] х [0, со) —У сотр[Жп], заданное равенством
Av(t)x,6) = (A(t,x))^6\ (13)
где функция г)(-,-) Є K([a,b] х [0,оо)) в каждой точке (t,x) Є [a, b] x Cn[a, b) при каждом фиксированном 5 Є [0,оо) определяет погрешность вычисления значения порождающего отображения А(-, ), причем эти погрешности равномерны относительно переменной х Є Cn[a,6]. Далее, функцию 77(-, ) будем называть радиусом внешних возмущений порождающего отображения А(-, ) или просто радиусом внешних возму-ш,ений.
Далее, определим отображение Ф^ : Cn[a, b] х [0, со) —> П[Ьп[а,6]], заданное соотношением
ФЧМ) = ІУ Є L>,6] : y(t) Є А^,х,$)}. (14)
Пусть / С Сп[а,Ь] и пусть функция w(-, ) Є P(Cn[a, 6] х [0,оо)). Рассмотрим многозначное отображение Ми{ш) : U х [0, со) —> 2е7, определенное равенством
Ми(ш)(х,S) = ВСп[а,ь)[х,и>{х,6)] П Л (15)
Определим отображение ч>и{ы) : [а, Ь] х [/ х [0, со) —> [0, со) соотношением
(pu(w){t,x,6)= sup Л[Д(*,ж);Д(*,у)], (16)
убМ(/(ы)(г,б) 13
где отображение Mu{uS) : U х [0, со) —> 2и задано равенством (15).
Значение функции <ри(и)(-, -, ) в точке (t, х, 5) Є [a, b] х U х [0, оо), на наш взгляд, естественно назвать модулем непрерывности отображения Л : [а, Ь] х Сп[а, Ь] —> сотр[Мп] в точке (t,x) по переменной х на множестве С/, функцию ш(-, ) - функцией радиуса модуля непрерывности или просто радиусом непрерывности, а саму функцию (pj/(cj)(-, , )
- функцией модуля непрерывности или просто модулем непрерывности
отображения Д : [а, 6] х Сп[а, 6] —> comp[Mn] на множестве U отно
сительно радиуса непрерывности а;(-, ).
Пусть U С Сп[а, 6]. Будем говорить, что функция 77(-, ) Є К([а, b] х [О, со)) равномерно на множестве U С Сп[а,Ь] оценивает сверху относительно радиуса непрерывности о>(-,-) Є P(Cn[a,6] х [О, оо)) модуль непрерывности отображения A : [a, b] х Сп[а, Ь] -> comp[Mn], порождающее оператор Ф : Сп[а, Ь] -> II[Ln[a,b]], если для любого є > 0 существует такое 5(e) > О, что при почти всех t Є [a, b] и всех х Є U и 6 Є (0, 5(e)] выполняется неравенство
где отображение (ри(ы) : [a,b] х U х [0,оо) —> [0,оо) определено соотношением (16).
Пусть 7/(-,-) Є К{[а,Ь] х [0, со)) и (-,-) є P(Cn[a,6] х [0, со)). Рассмотрим в пространстве Cn[a, 6] для каждого 5 > 0 включение
хє (адр'^ + ^М), (17)
где отображение Ф^ : Cn[a, 6] х [0,оо) —> ЩЬп[а,Ь}} задано соотношениями (13), (14).
Каждое решение включения (17) при фиксированном ё > 0 будем называть 6 - решением включения (1). Обозначим, через Hv^)^(s)(U)
- множество всех 6 - решений включения (1), принадлежащих множе
ству U С Cn[a,6]. Обозначим множества решений включений (1), (10),
принадлежащих множеству U С Cn[a, 6], через H(U), Hco(U), соответ
ственно.
Теорема 2.5.7. Пусть U - непустое замкнутое множество пространства Сп[а, Ъ) и (,) Є P(Cn[a,6] х [0, со)). Тогда для любой функции 7/(-,-) Є K([a,b] х [0,00)), равномерно на множестве U С Cn[a, Ъ] оценивающей сверху относительно радиуса непрерывности с<;(-,-) Є P(Cn[a,b] х [0,00)) модуль непрерывности отображения Л : [а, Ь] х Сп[а, Ь) —> comp[Mn], порождающее оператор Ф : Сп[а, Ь] —>
n[Ln[a, b]], справедливо равенство
где Hv(s)t(s)(U) - замыкание мносисества Нф)^(б){и) в пространстве Сп[а,Ъ]. '
Пусть U С Cn[a, b]. Будем говорить, что для включения (1) на множестве U С Сп[а, Ь] выполняется принцип плотности (условие плотности), если справедливо равенство
Щи) = нсо{и).
Теорема 2.5.8. Пусть (-, ) Є Р(Сп[а, Ь] х [0, сю)). Если U - непустое замкнутое множество пространства С" [а, 6], то для выполнения равенства
W) = f)Hrim{S)(U) (18)
для любого радиуса внешних возмущений 77(-, ) Є К([а, b] х [0,оо)) достаточно, а если U - непустое выпуклое компактное множество пространства Сп[а, 6], то и необходимо, выполнения принципа плотности на множестве U С Сп[а, 6].
Отметим, что выполнение равенства (18) для любых внешних возмущений (77(-, ),(, )) Є К{[а, Ь] х [0, оо)) х P(Cn[a, b] х [0, оо)) является свойством устойчивости множества решений H{U) включения (1) относительно этих возмущений.
Следствие 2.5.5. Пусть отображения V : Ln[a,b] —> Cn[a, b], Ф : Cn[a,b] -+ comp[Cn[a,6]], Ф : Cn[a,b] -+ II[Ln[a,&]] обладают свойством В. Тогда для любых (77(-, ),(-,')) Є К{[а^Ъ] х [0, со)) х P(Cn[a, 6] х [0,оо)) выполняется равенство (18) на множестве U = Сп[а,Ъ].
Третья глава посвящена изучению краевой задачи
Сх Ф{х), їх Є (р{х), (19)
где С : Т)п[а,Ь] -» Ln[a, 6], / : Cn[a, 6] —> Шп - линейные непрерывные отображения, ц> : Cn[a,6] —\ comp[K.n] - многозначный вектор - функционал.
В 3.1 рассматривается вопрос о существовании, задачи (19), а также доказывается принцип плотности и "бэнг - бэнг" принцип для этой задачи.
В 3.2 рассматривается задача (19) с многозначным оператором Немыцкого.
В 3.3 исследована возмущенная задача (19).
Работа поддержана грантом Российского фонда фундаментальных исследований № 01-01-00140, грантом Министерства Образования РФ № Е 02-1.0-212.
Результаты диссертации докладывались и обсуждались на научных конференциях "Державинские чтения -5"(Тамбов, 2000), на Воронежских весенних математических школах "Понтрягинские чтения - 10 - 13" (Воронеж, 1999-2002), на Воронежских зимних математических школах "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (Воронеж, 1999, 2001, 2003), на конференции молодых ученых (Тамбов, 1999-2003), на Симпозиуме "Математическое моделирование в естественных и гуманитарных науках"(Воронеж, 2000), на международной конференции "Нелинейный анализ и функционально - дифференциальные уравнения "(Воронеж, 2000), на Тамбовском городском семинаре по функционально -дифференциальным уравнениям под руководством профессора А.И.Булгакова (Тамбов, 1999-2003), на Всероссийской конференции "Общие проблемы управления и их приложения к математической экономике" (Тамбов, 2000), на Всероссийской конференции "Качественная теория дифференциальных уравнений и ее приложения" (Рязань, 2001), на международной конференции "Общие проблемы управления и их приложения. Проблемы преподавания математики", посвященной 100 летию А.Н. Колмогорова (Тамбов, 2003).
Основные результаты диссертации опубликованы в работах:
1.Булгаков А.И., Григоренко А.А., Жуковский Е.С. Принцип плотности фундаментальное свойство возмущенных включений //Вестн. Тамб. ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки. 2003, Т.8. Вып.З С.351-352.
2.Григоренко А.А. О непрерывности многозначного оператора с выпуклыми по переключению значениями и порождающего его отображения // Вестн. Тамб. ун-та. Сер. естеств. и техн. науки. 2003.Т8, вып. 1. С.158.
З.Булгаков А.И., Григоренко А.А., Жуковский Е.С. Квазилинейные краевые задачи функционально - дифференциальных включений //Во-
ронежская зимняя математическая школа "Современные методы теории функций и смежные проблемы". Воронеж, 2003. С. 44,45.
4.Булгаков А.И., Григоренко А.А., Жуковский Е.С. К теории возмущенных включений //"Понтрягинские чтения - 13"на Воронежской весенней математической школе "Современные методы в теории краевых задач". Тезисы докладов. Воронеж, 2002. С. 27-28.
5.Григоренко А.А. О реализации расстояний от точки до образа решений многозначного отображения возмущенных включений // Вестн. Тамб. ГУ. Сер.естеств. и технич. науки. Тамбов, 2002. Т.7. Вып.1. С.31-33.
6.Булгаков А.И., Григоренко А.А., Жуковский Е.С. Бэнг - бэнг принцип для квазилинейных краевых задач функционально-дифференциальных включений //Воронежская зимняя математическая школа "Современные методы теории функций и смежные проблемы". Тезисы докладов. Воронеж, 2001. С.61.
7.Булгаков А.И., Григоренко А.А., Жуковский Е.С. Возмущенное включение с нелинейным оператором //Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. 2001, №5. С. 31-33.
8. Булгаков А.И., Григоренко А.А., Жуковский Е.С. Квазирешения возмущенных включений с нелинейным оператором //"Понтрягинские чтения - 12"на Воронежской весенней математической школе "Современные методы в теории краевых задач". Тезисы докладов. Воронеж, 2001. С.39.
9.Булгаков А.И., Григоренко А.А., Жуковский Е.С. Об одной оценки решения возмущенного включения //"Понтрягинские чтения - 11 "на Воронежской весенней математической школе "Современные методы в теории краевых задач". Тезисы докладов. Воронеж, 2000. С. 26.
Ю.Булгаков А.И., Григоренко А.А., Жуковский Е.С. Бэнг - бэнг принцип для возмущенного включения с компактнозначным отображением //Вестн. Тамб. ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки. 2000, Т.5. Вып. 4 С. 427-429.
П.Булгаков А.И., Григоренко А.А., Жуковский Е.С. Возмущенные включения с компактнозначным отображением //Вестн. Удм. ун-та. Ма-тем., механика 2000, №1. С. 33-40.
12.Григоренко А. А. О замыкании множества решений возмущенного включения //Симпозиум "Математическое моделирование в естественных и гуманитарных науках". Тезисы докладов. Воронеж, 2000. С. 73.
13.Григоренко А.А. Существование экстремальных решений возмущенного включения //"Понтрягинские чтения - 11 "на Воронежской весенней математической школе "Современные методы в теории краевых
задач". Тезисы докладов. Воронеж, 2000. С. 43.
14.Григоренко А.А. Квазирешения крайних точек возмущенного включения //Международная конференция "Нелинейный анализ и функционально-дифференциальные уравнения". Тезисы докладов. Воронеж, 2000. С. 83.
Іб.Григоренко А.А. Об одной оценки решений квазилинейных краевых задач функционально-дифференциальных включений //Вестн. Тамб. ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки. 2000, Т.5. Вып. 4 С. 436-437.
Іб.Григоренко А. А. О существовании периодических экстремальных решений дифференциальных включений //Державинские чтения - 5. Материалы научн. конфер. преподавателей и аспирантов. Тамбов, 2000. С.25.
17.Григоренко А.А. О неустойчивости множества решений функционального включения с оператором типа Гаммерштейна //"Понтрягин-ские чтения - 10"на Воронежской весенней математической школе "Современные методы в теории краевых задач". Тезисы докладов. Воронеж, 1999. С. 49.
18.Григоренко А.А. Возмущение замкнутозначного оператора вызванное многозначным отображением типа Гаммерштейна //Воронежская зимняя математическая школа "Современные методы теории функций и смежные проблемы". Тезисы докладов. Воронеж, 1999. С. 45.
Некоторые сведения из теории многозначных отображений
В последние годы дифференциальные включения привлекают к себе все больший интерес. Это обусловлено широким использованием дифференциальных включений в прикладных задачах, задачах оптимального управления, теории игр, математической экономике. Дифференциальное включение можно рассматривать как формальное обобщение дифференциального уравнения, когда правая часть заменена на многозначное отображение. Поэтому для дифференциальных включений возникают задачи, аналогичные задачам из теории дифференциальных уравнений (вопросы разрешимости, продолжаемости, ограниченности решений и т.д). В то же время, ввиду многозначности правой части, дифференциальное включение обладает рядом специфических свойств. Это вопросы замкнутости, выпуклости семейства решений, выбор решений с заданными свойствами, связь множеств решений дифференциального включения, не обладающего свойством выпуклости значений правой части, во множестве решений "овыпукленного"включения, представление множеств приближенных решений, устойчивости множеств решений к различного рода возмущениям и т.д. (см., например, [3], [17], [48], [21], [49]). Это подтверждает, что дифференциальные включения не являются лишь формальным обобщением дифференциальных уравнений, а представляют собой самостоятельную теорию, имеющую свои особенности и требующую принципиально новых методов исследования.
Исследование дифференциальных включений началось в тридцатых годах двадцатого столетия в работах A. Marchaud (Маршо) [67], S. Zaremba (Заремба) [74] и продолжается до сегодняшнего дня. Отметим, что данными вопросами занимались многие математики (Н.В. Аз-белев, Ю.И. Алимов, А.В. Арутюнов, Б.И. Ананьев, Р.В. Ахмеров, Е.А. Барбашин, В.И. Благодатских, А.В. Богатырев, Ю.Г. Борисович, С.А. Брыкалов, А.И. Булгаков, В.В. Васильев, Е.Е. Викторов-ский, Е.А. Ганго, Б.Д. Гельман, А.Е. Ирисов, А.Г. Иванов, Н.Н. Кра-совский, А.Б. Куржанский, А.А. Леваков, Л.Н. Ляпин, В.П. Максимов, А.Д. Мышкис, М.С. Никольский, В.Р. Носов, В.В. Обуховский, Е.А. Панасенко, А.И. Поволоцкий, Е.С. Половинкин, Р.К. Рагимха-нов, Б.Н. Садовский, А.Н. Сесекин, В.В. Скоморохов, А.И. Субботин, Н.Н. Субботина, СИ. Суслов, Л.И. Ткач, А.А. Толстоногое, Е.Л. Тон-ков, B.C. Тонкова, СТ. Завалищин, Л.Н. Фадеева, А.Ф. Филлипов, Т.Ф. Филиппова, И.А. Финогенко, А.Г. Ченцов, П.И. Чугунов, З.Б. Ца-люк, Н.А. Antosiewicz, A. Bressan, A. Cellina, G. Colombo, J. Davy, Н. Frankovska, A. Fryskowski, Н. Hermes, W. Kelley, N. Kikuchi, M. Kisielewicz, A. Lasota, S.J. Lojasiewicz, B.S. Mordukhovich, H. Murakami, S. Nakagiri, С Olech, Z. Opial, N.S. Papargeorgiou, G. Pianigiani, A. Plis, S. Szufla, L. Wang, T. Wazewski, P. Zecca и др.)
В настоящее время интенсивно изучаются включения, правая часть которых состоит из алгебраической суммы значений "хорошего" (имеющего замкнутые образы) и "плохого" (не обладающего свойством замкнутости и выпуклости значений) многозначных отображений. Изучению подобных включений посвящена вторая глава предлагаемой диссертации. Такие включения здесь называются возмущенными. Отметим, что все имеющиеся в настоящее время методы исследования (теорема Какутани[1.2;32], принцип сжимающих отображений [1.2;18]) непосредственно применить для изучения вопросов существования решений таких возмущенных включений нельзя. В то же время к таким включениям сводятся многие задачи дифференциальных и интегральных включений, теории аппроксимации, управления и игр. Поэтому построение теории возмущений многозначных включений представляет не только теоретический, но и практический интерес.
Основы теории возмущений заложены в работах [20], [21], [22], [23], в которых для случая, когда "хорошее" многозначное отображение имеет выпуклые замкнутые образы, рассмотрены вопросы существования решений возмущенных включений, а также топологические свойства множеств решений и квазирешений таких включений. В частности, в этих работах получены оценки близости решений к наперед заданной непрерывной функции, которые позволяют путем подбора функций определить приближенное решение возмущенного включения и дать оценку погрешности этого приближенного решения. Кроме того, доказано, что множество квазирешений возмущенного включения совпадает с множеством решений "овыпукленного" включения. На основе этого утверждения и полученных в [22] оценок доказан принцип плотности и "бэнг -бэнг" принцип. Доказательство этих свойств в [22] основывалось на теореме Майкла [1.2;23], с помощью которой доказывалось существование в некотором смысле "минимальной" непрерывной ветви у "хорошего" многозначного отображения с выпуклыми образами. Здесь не предполагается, что "хорошее" многозначное отображение имеет выпуклые образы. Поэтому применить теорему Майкла [1.2;23] для исследования такого возмущенного включения невозможно. Исследования в этом случае здесь осуществляется на основе теоремы 2.2.1, доказанной в 2.2 главы 2.
Третья глава диссертации посвящена приложению полученных результатов главы 2 к исследованию краевых задач для функционально -дифференциальных включений. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Содержание первой главы носит вспомогательный характер. Здесь собраны основные определения и обозначения, а также утверждения, используемые в основном тексте. В 1.1 приводятся общие сведения из функционального анализа и топологии. В 1.2 собраны используемые сведения из теории многозначных отображений. В 1.3 приводятся необходимые свойства выпуклых по переключению (разложимых) множеств. Главы 2, 3 содержат основные результаты диссертации. Приведем вкратце результаты изложенные в главе 2 и 3. Нумерация приводимых утверждений совпадает с их нумерацией в параграфах.
Возмущение линейной краевой задачи для функционально - дифференциальных уравнений
Пусть X - полное метрическое пространство и Un, п = 1,2,... - последовательность открытых подмножеств X, каждое оо из которых плотно в X. Тогда плотно в X и их пересечение: X = ( ) Un n=l [46, стр.16]. 2. Пусть U - выпуклое подмножество X. Точка XQ Є U называется крайней точкой множества [/, если она не является внутренней точкой никакого интервала с концами из U или, если из соотношения XQ = Хх 4- (1 — Х)у, х,у Є U, 0 Л 1 вытекает х = у = х$. Обозначим ext U - множество крайних точек множества С/, extU = ext U. Теорема (Крейна-Мильмана): Каждое непустое, компактное, выпуклое множество А С X является замкнутой выпуклой оболочкой своих крайних точек A = co(ext А). [61, стр.89] (Заметим, что в [61] это утверждение доказано для более общих пространств.) Следствие 1.Пусть А С X - компактное множество такое, что со А - также компактное множество. Тогда ext(ccL4) С А. [61, стр.89] Следствие 2. Если А С X - компактное, выпуклое множество, то ext А - минимальное замкнутое подмножество А такое, что со (ext А) = А. [61, стр.90] 3. Функционал / : X — R называется полунепрерывным сверху (снизу) в точке х Є X, если из того, что хп — х в X при п — со следует, что f(x) limsup/(zn) (f(x) . liminf f(xn)), n—юо n— 00 где limsup/(a:n) (liminff(xn)) - наибольшая (наименьшая) из пре п—»оо n—too дельных точек последовательности f(xn). Функционал / : X —» Е называется полунепрерывным сверху (снизу), если он полунепрерывен сверху (снизу) в каждой точке х Є X. Функционал / : X - R является полунепрерывным сверху (снизу) в точке х Є X, тогда и только тогда, когда для любого г Є R множество {х Є X : f(x) r} ({x E X : f(x) г}) замкнуто в R [46, стр.20], [5, стр.7]. 4. Множество всех непрерывных линейных функционалов на X об разует линейное нормированное пространство X и называется сопря женным к X. Последовательность хп Є X, п = 1,2,... слабо сходится к х Є X при п — оо в пространстве X, если lim f(xn) = f(x) для любого Сходимость в пространстве X ( или по норме) влечет слабую сходимость в пространстве X. Обратное, вообще говоря, неверно. В линейном нормированном пространстве можно ввести топологию так, чтобы сходящимися в смысле этой топологии последовательностями были слабо сходящиеся последовательности и только они [59, стр.45]. Такая топология называется слабой. Поэтому слабую сходимость иногда называют сходимостью в слабой топологии. Аналогично обычным понятиям вводятся понятия слабый предел, слабое замыкание (или замыкание в слабой топологии), слабо предком-пактное множество, слабо компактное множество. 5. Замыкание выпуклого множества в линейном нормированном пространстве совпадает с слабым замыканием этого множества [36, стр.177]. Заметим, что это утверждение верно и в более общих пространствах [38, стр.112]. Теорема(Мазура): Пусть X - банахово пространство и точка х принадлежит слабому замыканию множества А С X. Тогда существует последовательность выпуклых комбинаций элементов множества А, сходящаяся к по норме [36, стр.177]. Следствие: Пусть X - банахово пространство и пусть последовательность Х{ Є Х) г = 1,2,... слабо сходится к х в пространстве X при г —У оо. Тогда для каждого т = 1,2,... найдутся такие числа г(т) г(т), \ 0, j = 1, 2,... ,г(т), что Л = 1 и последовательность г(ттг) Рт = Yl Xpxj+mi гп = 1,2,... сходится к х по норме в пространстве X при т — оо (см. [7, стр. 68]). 6. Теорема. Выпуклое замкнутое множество в банаховом пространстве замкнуто и в слабой топологии этого пространства [36, стр. 177]. 7. Теорема(Егорова): Пусть на [а, 6] задана последовательность измеримых функций /j, г = 1,2,..., почти везде на [а, 6] сходящаяся к функции /. Тогда для любого 8 0 существует такое измеримое множество Es С [а, 6], что 1) ц(Е6) ц([а, Ь]) - 6; 2) на множестве Es сходимость /г- к / равномерно на [а,Ь]. [39, стр. 269] 8. Теорема(Лебега): Пусть на измеримом множестве Е с [а, 6] за дана последовательность / , г = 1,2,... измеримых на Е функций, которая сходится почти всюду на Е к некоторой функции /. Если су ществует функция (р Є ЪХ{Е) такая, что \fi(t)\ p(t) при каждом г = 1, 2,... и для почти всех t Є Е, то / Є 1 (12) и / fi(t)dt - / /()сЙ при г — со [39, стр. 284]. 9. Множества на числовой прямой, принадлежащие минимальной а - алгебре над совокупностью всех сегментов на [а, Ь], называются боре левскими, или В - множествами [39, стр. 43]. Числовая функция, заданная на прямой называется измеримой по Борелю (или В - измеримым), если прообраз каждого борелевского множества есть борелевское множество [39, стр. 265]. 10. Пусть К С Ln[a, 6]. Множество К обладает равностепенно аб солютно непрерывными нормами, если для любого є 0 существует такое 5 0, что соотношения е С [а,6], д(е) 6 влекут соотношение f \f(x)\dx є для любой функции / Є К. е Теорема(Витали): Пусть последовательность суммируемых функций fi : [a, b] — Шп, і = 1,2,.. . сходится по мере к функции / : [а, Ь] — Ш.п. Если последовательность {fi} обладает равностепенно абсолютно непрерывными нормами, то функция / суммируема и [45, стр. 144] Множество К С Ln[a, b] слабо предкомпактно в Ln[a, 6] тогда и только тогда, когда множество К обладает равностепенно абсолютно непрерывными нормами [34, стр.317], [40, стр.17]. 11. Для того, чтобы последовательность хп Є Cn[a,b], п = 1,2,.. слабо сходилась к а: в пространстве Cn[a,6], необходимо и достаточно, чтобы 1) яп() М для всех п = 1, 2,.. . и для всех t Є [а, Ь]; 2) lim xn(t) = x(t) при каждом t Є [a,b]. [38, стр.291] n— 00 12. Теорема, (см. [47, стр.111]) Пусть Ф Є П[Ьп[а,6]]. Тогда для любой функции х Є соФ найдется такая последовательность Х{ Є Ф, і = 1, 2,..., что ХІ — я слабо в пространстве Ln[a, 6] при г — со и для любого г = 1,2,... выполняется равенство ь ъ jzi{s)ds = / М а а 13. Обозначим C+[a, b] (L\[a,b\) - конус неотрицательных функций пространства С1 , 6] (Ll[a,b\). Понятие конуса К позволяет вводить в вещественных линейных пространствах полуупорядоченность (или частичную упорядоченность), обозначаемую , полагая х $С у, если у — х Є К. [59, стр.386] Если К - конус неотрицательных функций в пространстве С1 [а, Ь] (Ll[a, b]), то отношение полуупорядоченности приобретает естественный смысл , а именно х у, если x(t) y(t) при всех (при почти всех) t Є [a, b]. [59, стр.387] 14. Пусть (X, ), (У, ) - полуупорядоченные пространства. Опе ратор А : X — У называется изотонным, если для любых х,у Є X таких, что х у выполняется Ах - Ау. 15. Пусть С : Dn[a, Ъ] — Ln[a, 6] - линейный оператор. Некото рые характерные свойства оператора С обнаруживаются при его спе циальной записи, основанной на изоморфности пространств Dn[o, Ъ] и Ln[a, 6] х Кп, устанавливаемой с помощью представления x{t) = t f x(s)ds -+- x(a).
Существование и оценки близости решений возмущенного включения к наперед заданным функциям
Будем говорить, что множество Ф С Ln[a,b] выпукло по пе реключению (разложимо), если для любых измеримых по Лебегу мно жеств UxMi С [а, 6], таких что Ьі\ П ІАі = 0, U\\J ІАч — [а, 6] и лю бых х,у Є Ф справедливо включение х(Мі)х + х( г)у Ф, где х( ) - характеристическая функция соответствующих множеств. Обозначим через n[Ln[a,6]] (f2(n[Ln[a, b}])) множество всех непустых, замкнутых, ограниченных и выпуклых по переключению (всех непустых, выпуклых, замкнутых, ограниченных и выпуклых по переключению) подмножеств из Ln[a,b]. Отметим, что понятие выпуклого множества и выпуклого по переключению множества есть два независимых понятия. Например, Д [а,ь][0 1] " единичный шар с центром в нуле в пространстве Ll[a, b] является выпуклым, но не выпуклым по переключению множеством и, в то же время, множество {х Є Ьг[а, b] : \x(t)\ = 1 t Є [a, 6]} является выпуклым по переключению, но не выпуклым. 43. Пусть w Є Ln[a, 6], Ф Є II[Ln[a, b)]. Тогда для любого измери мого множества U С [a, Ь] справедливо равенство [6, стр.372] PL«[a,fc][w, Ф] = PL»(l/)[w ф] + PL»([a,b}\U)[w, $] 44. Пусть w Є Ln[a,b], Ф Є П[Ьп[а, b)]. Тогда существует такая функция к Є I ja, 6], к : [a, 6] —v [0, 00), что для любого измеримого множества Ы С [a, Ь] справедливо соотношение [6, стр.372] Используя доказательство этого факта, можно получить и такое свойство рассматриваемого класса функций: Если Ф Є П[Ьп[а, 6]], то для любого v Є Ln[a,6] существует такой Элемент Z Є Ф, ЧТО L»[a,b]h$] = \\v ь«[о,Ь] 45. Будем говорить, что многозначное отображение F : [а,Ь] —У 2Rn ограничено суммируемой функцией, если найдется такая функция (З Є Ll[a,b], что при почти всех t Є [a, b] выполняется неравенство \F(t)\ Далее обозначим 46. Пусть измеримые отображения F{ : [a,b] - comp[Rn], і = 1, 2 ограничены суммируемыми функциями. Тогда для любого измеримого множества Ы С [а, 6] справедливы соотношения (см. [7, стр. 65]) 47. Пусть измеримые отображения Fi : [а, 6] — comp[Rn], г = 1,2 ограничены суммируемыми функциями и пусть существует такая функ ция (р Є Ь![а, Ь], что для любого измеримого множества Ы С [а, 6] вы полняется неравенство hLn{u)[S(F1),S(F2)} Jф)(іі. и Тогда при почти всех t Є [а, Ь] справедливо неравенство (см. [7, стр. 65]) h[Fl{t),F2(t)} p(t). 48. Пусть Ф Є П[Ьп[а, 6]]. Тогда существует такая функция и Є L+[a, b], что для любой функции ір Є Ф и для почти всех t Є [a, 6] выполняется оценка p(t) u(t) (см. [7, стр. 65]). 49. Пусть Ф Є n[Ln[a,6]]. И пусть ф{ Є Ф, г = 1,2,... - по следовательность плотная в Ф. Далее, пусть измеримое отображение F : [а, Ь] —ї comp[Rn] определено равенством F(t) = {фі(і), і -1,2...}. Тогда справедливо равенство S(F) = Ф (см. [7, стр. 65]). 50. Используя два последних утверждения, можно следующим об разом описать класс множеств n[Ln[a, b]] : Множество Ф принадлежит множеству n[Ln[a, b]\ тогда и только тогда, когда существует измеримое многозначное отображение F : [а,Ь] —у comp[Rn], ограниченное суммируемой функцией и удовлетворяющее условию S(F) = Ф. 51. Пусть измеримые отображения Fi : [a, b] — comp[Rn] і = 1,2 ограничены суммируемыми функциями. Тогда S(Fi) С 5(1) тогда и только тогда, когда Fi(t) С F2(t) при почти всех t Є [a, 6] [7, стр. 66]. 52. Пусть Ф Є П[Ьп[а,6]]. И пусть F{ : [а, 6] - comp[Rn] і = 1,2 - такие измеримые функции, что выполняются равенства Ф = S(Fi) = S(F2). Тогда Fi(t) = F2(t) при почти всех t Є [a,b] [7, стр. 66]. 53. Пусть Ф Є n[Ln[a,6]]. Тогда соФ Е Q(U[Ln[a, b}}) и справедливо равенство [7, стр. 66] где Ф - замыкание множества Ф в слабой топологии пространства Ln[a,b]. 54. Пусть Ф Є П[Ьп[а, b}] и пусть F$ : [a, b] - comp[Mn] - такое измеримое многозначное отображение, что Ф = ( ) (см. предыдущие утверждения). Тогда справедливы равенства [7, стр. 66]
Дифференциальные включения с многозначным оператором Немыцкого
В данной главе изучается включения, правая часть которого состоит из алгебраической суммы значений "хорошего" (имеющего замкнутые образы) и "плохого" (не обладающего свойством замкнутости и выпуклости значений) многозначных отображений. Такие включения здесь называются возмущенными. Отметим, что все имеющиеся в настоящее время методы исследования (теорема Какутани[1.2;32], принцип сжимающих отображений [1.2; 18]) непосредственно применить для изучения вопросов существования решений таких возмущенных включений нельзя. В то же время к таким включениям сводятся многие задачи дифференциальных и интегральных включений, теории аппроксимации, управления и игр. Поэтому построение основ теории возмущений многозначных включений представляет не только теоретический, но и практический интерес.
Основы теории возмущений заложены в работах [20],[21], [22], [23], в которых для случая когда "хорошее" многозначное отображение имеет выпуклые замкнутые образы рассмотрены вопросы существования решений возмущенных включений, а также топологические свойства множеств решений и квазирешершй таких включений. В частности, в этих работах получены оценки близости решений к наперед заданной непрерывной функции, которые позволяют путем подбора функций определить приближенное решение возмущенного включения и дать оценку погрешности этого приближенного решения. Кроме того, доказано, что множество квазирешений возмущенного включения совпадает с множеством решений "овыпукленного" включения. На основе этого утверждения и полученных в [22] оценок доказан принцип плотности и "бэнг -бэнг" принцип. Доказательство этих свойств в [22] основывалось на теореме Майкла [1.2;23], с помощью которой доказывалось существование в некотором смысле "минимальной" непрерывной ветви у "хорошего" многозначного отображения с выпуклыми образами. Здесь не предполагается, что "хорошее" многозначное отображение имеет выпуклые образы. Поэтому применить теорему Майкла [1.2;23] для исследования такого возмущенного включения невозможно. Исследования в этом случае здесь осуществляется на основе теоремы 2.2.1, доказанной в 2.2 этой главы.
Здесь для общего вида линейной краевой задачи функционально -дифференциальной системы уравнений определяется общая возмущенная краевая задача, которая состоит из функционально - дифференциального включения, определяемого возмущениями линейной функционально - дифференциальной системы уравнений, и из включения для краевых условий, связанных возмущениями линейного вектор - функционала. Устанавливаются некоторые свойства такой возмущенной системы. Эти свойства потребуются для изучения возмущенных систем в главе 3.
Пусть оператор Л : Ln[a,6] — Dn[a,6] определен равенством Оператор Л будем называть оператором интегрирования. Рассмотрим линейный непрерывный оператор С : Dn[a, 6] — Ln[a, b]. Запишем отображение С в виде где оператор Q : Ln[a, 6] — Ln[a, 6] (главная часть оператора С в представлении (2.1.1) (см.[1.1;15])) Q = Л, каждый столбец п х п матрицы A(t) представляет собой результат применения оператора С к соответствующему столбцу единичной матрицы: A(t) = (СЕ)(і). Будем предполагать, что оператор Q имеет обратный и обратный оператор Q l : Ln[a, b] — Ln[a, b] непрерывен. Отметим, что этот класс линейных отображений содержит линейные дифференциальные операторы вида где отображение V : [а, 6] — M.nxn имеет суммируемые на [а, 6] элементы, дифференциальные отображения с операторами внутренней суперпозиции, интегро - дифференциальные операторы и др. (см. [1.1;11]). Рассмотрим линейную краевую задачу для функционально - дифференциального уравнения где / : Dn[a, b] — Шп - линейный непрерывный вектор - функционал. Будем предполагать, что краевая задача (2.1.2) имеет только нулевое решение. В этом случае согласно [1.1;16] существует непрерывный оператор Грина G : Ln[a, 6] — Dn[a,6], определенный равенством который для произвольного z Ln[a,6] решение x Є Dn[a, 6] краевой задачи представляет в виде x = Gz и, наоборот, каждое значение Gz - решение задачи (2.1.4). Пусть X : [а, Ь] — М.пхп фундаментальная матрица решений первого уравнения (2.1.2), удовлетворяющая условию (Е - единичная матрица, матрица 1{Х) представляет собой результат применения вектор - функционала I к соответствующему столбцу матрицы X). В этом случае краевую задачу где z Є L"[a, 6], с Є Мп, можно представить в виде Отметим, что равенства (2.1.6) в реальных математических моделях выполняются с какой-то степенью точности. Кроме того, сами линейные операторы С : Dn[a, Ъ] —У Ln[a, b], I : Dn[a, b] — Шп определяются для различных процессов с теми или иными допущениями и предположениями, которые определяются либо неполнотой информации об реальном исследуемом процессе, либо "простотой" описания самой математической модели этого процесса. В связи с этими обстоятельствами целесообразно рассмотреть включения.
