Дифференциальные включения с невыпуклой правой частью в банаховом пространстве Толстоногов, Александр Александрович

Содержание к диссертации

Введение

Глава I. Многозначное дифференциальное уравнение, порожденное дифференциальным включением .

1. Основные определения и вспомогательные утверждения 33

2. Локальные решения. Условия типа компактности 42

3. Локальные решения. Теоремы сравнения 53

4. Глобальные решения. Теоремы сравнения 65

5. Комментарии 84

Глава II. Дифференциальные включения. Существование решений .

1. Основные определения и вспомогательные утверждения 89

2. Непрерывные селекторы многозначных отображений 97

3. Решения дифференциального включения с невыпуклой правой частью 109

4. Решения дифференциального включения с выпуклой правой частью 123

5. Комментарии 135

Глава III. Связи между решениями дифференциальных включений .

1. Основные определения и вспомогательные утверждения 140

2. Плотность множества решений включения хеГ(Ь,х) во множестве решений включения ссесЬГ(іу xj 147

3. Граничность множества решений включения xeFft.x) во множестве решений включения хе со Г ft, х) 167

4. Экстремальные точки множества решений линейного дифференциального включения 181

5. Комментарии 187

Глава ІV. Свойства решений дифференциального включения .

1. Основные определения и вспомогательные утверждения 191

2. Компактность множества решений дифференциального включения хе сдГ(Ь, х) 197

3. Зависимость решений дифференциального включения от начальных условий и параметров 205

4. Параметрические решения дифференциального включения 214

5. Связность множества решений дифференциального включения 226

6. Комментарии 240

Глава V. Интегральная воронка дифференциального включения и ее уравнение .

1. Основные определения и вспомогательные утверждения 245

2. Уравнение интегральной воронки 247

3. Свойства R- решений уравнения интегральной воронки 258

4. Компактность, зависимость от начальных условий и параметров, связность интегральной воронки 268

5. Экстремальная структура интегральной воронки линейного дифференциального включения 277

6. Существование оптимального управления 283

7. Комментарии 296

Приложение.

Литература 329

• Локальные решения. Условия типа компактности
• Решения дифференциального включения с невыпуклой правой частью
• Экстремальные точки множества решений линейного дифференциального включения
• Зависимость решений дифференциального включения от начальных условий и параметров

Введение к работе

У дифференциального включения (2) решением того или иного типа (классическим, правильным, Каратеодори) называется абсолютно непрерывная функция ее ftJ, и это определение в настоящее время считается общепринятым, производная xft) которой обладает определенными свойствами (непрерывная, правильная [57, стр. 197] , измеримая функция) и в том или ином смысле (всюду, всюду кроме счетного числа точек, почти всюду) удовлетворяет включению (I).

После того, как А.Ф.Филиппов ввел [53 а] весьма удобное и имеющее наглядную геометрическую интерпретацию определение решения уравнения с разрывной правой частью, решения таких уравнений стали трактовать как решения дифференциального включения с выпуклой правой частью [і, 2 а, б, 7, 53 а, б и др.] , порожденной правой частью уравнения.

Обратно, если функция ос ft) является решением дифференциального включения (2), порожденного управляемой системой (6), то в соответствии с леммой А.Ф.Филиппова [53 в J , найдется измеримая функция u(t) = U такая, что будет иметь место равенство (7). Другими словами, решение дифференциального включения, порожденного управляемой системой, является траекторией управляемой системы, соответствующей некоторому управлению. В интенсивно развивающейся в эти годы теории оптимального управления наличие установленной связи между управляемыми системами и дифференциальными включениями позволяло сводить задачи отыскания оптимального управления к задачам отыскания оптимального решения соответствующего дифференциального включения.

Все это послужило толчком к всестороннему изучению дифференциальных включений. На первоначальном этапе изучения дифференциальных включений центральным вопросом была взаимосвязь определений решения, дифференциального включения в смысле Маршо и Зарембы с естественным определением решения, согласующимся с понятием решения обыкновенного дифференциального уравнения, а также вопросы существования и свойств множества всех решений дифференциального включения с выпуклой правой частью. Решение этих вопросов в свою очередь ставило задачи введения соответствующих определений измеримости, полунепрерывности снизу и сверху, непрерывности многозначного отображения Г , установления взаимосвязей между различными определениями этих понятий и изучения свойств многозначных отображений.

В этом направлении в те годы интенсивно работали польские математики во главе с Важевским. Им было показано [149 с] , что в рамках предположений относительно отображения Г , при которых Маршо было доказано существование решения дифференциального включения, если контингентная производная D+x(t) непрерывной функ -10 ции x(t) почти всюду удовлетворяет (5), то x(t) является абсолютно непрерывной функцией и ее производная x(t) почти всюду удовлетворяет (I). Наоборот, если производная ее ft J абсолютно непрерывной функции x(t) почти всюду удовлетворяет (I), то контингентная производная D+x(t) этой функции почти всюду удовлетворяет (5). При соответствующих предположениях относительно отображения Г такие же взаимосвязи существуют и между паратин-гентной производной D++x(t) и обычной производной oc(t) функции x(t) (см., например, [72, 155- и др.] ). Этот результат позволил остановиться на том определении решения дифференциального включения, которое в настоящее время является общепринятым, и это решение часто называется решением типа Каратеодори по аналогии с решением обыкновенного дифференциального уравнения.

Итог исследованиям учеников и своим исследованиям в этом направлении Важевский подвел в обзорном докладе на международной конференции по дифференциальным уравнениям и их приложениям, состоявшейся в Праге в сентябре 1962 года. Полный текст этого доклада был опубликован в трудах конференции [149 б ] . Основные результаты, приведенные в этом докладе, касались: вопросов взаимосвязей между различными понятиями решений дифференциального включения, о чем уже говорилось выше; существования глобальных решений (свойство Р0 ), компактности множества всех решений (свойство №, ); компактности и связности сечений (множеств достижимости) интегральной воронки дифференциального включения (свойство Рг -свойство Кнезера); периферийной достижимости (свойство Р3 -свойство Хукухары), суть которой состоит в том, что каждая точка, лежащая на границе интегральной воронки, достижима вдоль решения дифференциального включения, целиком лежащего на границе интегральной воронки; оптимальности - если замкнутое множество достижимо вдоль решения дифференциального включения, то оно достижимо за минимальное время (свойство {Р ); оптимального достижения точки - если точка достижима вдоль решения дифференциального включения, то она периферийно достижима за минимальное время (свойство

Все эти свойства были установлены для дифференциального включения, значениями правой части которого являлись выпуклые компакты конечномерного пространства. Что же касается дифференциальных включений с невыпуклой правой частью, то к этому времени еще не были для достаточно общих случаев изучены даже вопросы существования решений. Поэтому вместо решений дифференциального включения с невыпуклой правой частью рассматривались так называемые квазирешения и сильные квазирешения (в терминологии работы [149 б] квазитраектории и сильные квазитраектории). Следует отметить, что понятие сильного квазирешения под названием скользящего режима, было раньше Важевского введено А.Ф.Филипповым в работе [53 г ] . Когда отображение Г непрерывно в метрике Хаусдорфа, то было доказано [ 149 б ] , что множество всех квазирешений дифференциальных включений (2)-(4) совпадает с множеством всех решений включения (3). Относительно сильных квазирешений, используя пример Плиса [l35J , констатировался только факт, что даже при непрерывном отображении Г множество всех сильных квазирешений включения (2) не совпадает в общем случае с множеством всех квазирешений включения (2) и всех решений включения (3). Все эти результаты были сформулированы в работе [і49 б] и для управляемых систем.

После этой работы Важевского и работы А.Ф.Филиппова [53 б] , в которой рассматривались почти все те же вопросы, что и в работе [ 149 б] , появилось большое количество статей [70 а, б, 79, 89, 94 а, 100, 104 а-д и др.J , посвященных уточнению результатов работ [і49 б, 53 б] и их обобщению за счет ослабления предположений на отображение Г . Однако ни в одной из этих работ не было снято предположение выпуклозначности отображения Г.

Быстрый прогресс в изучении дифференциальных включений с выпуклой правой частью объясняется прежде всего тем, что здесь, не встречая принципиальных трудностей, можно было использовать хорошо разработанные методы и технические приемы из теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Попытки использовать эти методы и приемы для изучения дифференциальных включений с невыпуклой правой частью встречали трудности принципиального характера как в идейном, так и в техническом отношении.

Поясним суть этих трудностей на примере доказательства теорем существования. Для доказательства теорем существования решений обыкновенных дифференциальных уравнений используют два хорошо разработанных и стандартных подхода: I) построение последовательных приближений и доказательство сходимости этих приближений к решению; 2) использование теорем о неподвижных точках в соответствующих функциональных пространствах. Строя последовательные приближения по любой из разработанных для обыкновенных дифференциальных уравнений схем (ломанные Эйлера, последовательные приближения Тонелли [Дж. Сансоне. Обыкновенные дифференциальные уравнения, т.П - М.: ИЛ, 19541 и др.), мы придем к последовательности xn(t)}nz- / абсолютно непрерывных функций и последовательности производных хп(Ь)}п$- J этих функций таких, что последовательность ocn(t) nzl будет относительно компактной в банаховом пространстве С(Х) непрерывных функций, а последовательность uOn(t) , п У - относительно слабо компактной в банаховом пространстве Ь1(Х ) интегрируемых функций. Как обычно в этих случаях делается, мы можем считать, что последовательность xn(-)t nzl сама сходится в топологии пространства С(х) к некоторому элементу xf Jt & +(•), п&/ сходится в слабой топологии пространства L X) . Тогда, используя хорошо известную связь между сходимостью в нормированной топологии пространства Li(X ) и в слабой топологии, получаем, что почти всюду.

Если при стандартных предположениях относительно правых частей соотношение (8) для обыкновенных дифференциальных уравнений означает, что z(t) - решение, то для дифференциальных включений это соотношение означает, что cc(t)- решение дифференциального включения с овыпукленной правой частью. Функция x(tj будет решением исходного включения (2) тогда, когда из последовательности dcn(t)7 пъ У можно будет выбрать подпоследовательность Хп ft)} къ- і , сходящуюся почти всюду. Для этого достаточно, чтобы последовательность ccn(t)} пъ1 была относительно компактной в пространстве Ьг (X ). Если мы хотим этим методом доказать существование классического решения, то нужно, чтобы производные ucn(t) /zW обладали определенными свойствами гладкости, а последовательность -хп ftj} к& У сходилась уже не почти всюду, а равномерно.

Поэтому, прежде чем доказывать методом последовательных приближений теоремы существования решений дифференциальных включений с невыпуклой правой частью, нужно было решить задачу построения последовательных приближений со свойствами, указанными выше. Решение такой задачи требовало привлечения новых идей. Положение усуглублялось еще тем, что до сих пор не существует эффективных достаточных критериев относительной компактности множеств в пространстве Lj(x).

Если бы мы попытались доказывать теорему существования методами теории неподвижных точек, то в конечном итоге пришли бы к необходимости использования либо теоремы о существовании непрерывных селекторов у многозначного отображения, значениями которого являются замкнутые, невыпуклые множества в соответствующем функциональном пространстве, либо теоремы о неподвижной точке в соответствующем функциональном пространстве у многозначного отображения с невыпуклыми, замкнутыми значениями. В рамках тех предположений относительно отображения Г , из которых мы исходим, таких теорем не существовало до середины 70-х годов. 

Таким образом, доказательство теорем существования решений у дифференциальных включений с невыпуклой правой частью требовало решения хотя бы одной из перечисленных выше задач, являющихся самостоятельными проблемами в соответствующих разделах теории дифференциальных уравнений и функционального анализа. С подобной ситуацией мы сталкиваемся не только при доказательстве теорем существования, но и при изучении любых вопросов, относящихся к дифференциальным включениям с невыпуклой правой частью. Все перечисленное выше и объясняет определенный застой в изучении дифференциальных включений с невыпуклой правой частью, существовавший до конца 70-х годов.

Первые теоремы существования локальных решений дифференциального включения с невыпуклой правой частью в предположении, что отображение Г непрерывно по совокупности переменных и удовлетворяют условию Липшица по второй переменной, были доказаны в 1967 году А.Ф.Филипповым. В своей работе [53 г] А.Ф.Филиппов предложил схемы построения последовательных приближений, с помощью которых ему удалось доказать не только существование классических и типа Каратеодори решений включения (2), но и плотность множества всех таких решений в множестве всех типа Каратеодори решений включения (3). В терминологии Важевского [l49 б J это означает, что были найдены условия, при которых множество всех сильных квазирешений включения (2) совпадает с множеством всех квазирешений этого же включения и с множеством всех решений включения (3).

-15 В дальнейшем А.Ф.Филиппов модифицировал [53 д, е] , предложенные им в работе [53 г] , схемы последовательных приближений, что позволило ему доказать существование локальных правильных и классических решений у включения (2) без предположения липшице-вости по второй переменной отображения. Г.

После работ А.Ф.Филиппова [53 г, д] наметился прогресс в изучении дифференциальных включений с невыпуклой правой частью. В 1974 году Качинский и Олех [iOl] предложили схему построения последовательных приближений для доказательства существования типа Каратеодори решения дифференциального включения с невыпуклой правой частью, у которого отображение Г по переменной х было непрерывно, а по переменной t - измеримым. Эта схема в 1975 году была с соответствующими видоизменениями применена Оле-хом [130 б] для доказательства существования типа Каратеодори решения включения, у которого отображение r(t}x) было измеримым по t для каждого зе , полунепрерывным сверху по х. для каждого t и в каждой фиксированной точке (ty ае0) , в которой множество r(t}x0) не выпукло, отображение Г было непрерывным по д? в точке х0.

Существование правильных и типа Каратеодори решений у дифференциальных включений с невыпуклой правой частью в том же году было методами теории неподвижных точек установлено Антосевичем и Челлини [б2 a J . Основой этому послужили доказанные авторами принципиально новые теоремы существования в соответствующих функциональных пространствах непрерывных селекторов у непрерывных многозначных отображений с невыпуклыми, замкнутыми значениями.

Результаты работ [53 г, д, е, 62 а, 101, 130 б] явились в дальнейшем идейной и технической основой при изучении как вопросов существования, так и вопросов свойств решений дифференци -16 альных включений с невыпуклой правой частью. Это ярко проявилось в недавно вышедших работах Брессана [б9 а] и Лойясевича [И6 а], в которых были доказаны теоремы существования решений дифференциальных включений с невыпуклой правой частью, когда отображение r(ttoc) полунепрерывно снизу по своим переменным. Этим свойством обладает, например, остов extcdr(t}x) непрерывного отображения Г(і} х). В своей работе Брессан опирался на доказанную им теорему существования в соответствующем функциональном пространстве непрерывного селектора у полунепрерывного снизу многозначного отображения с невыпуклыми, замкнутыми значениями [69 aJ . Схема же доказательства этой теоремы следовала с соответствующими видоизменениями схеме доказательства подобной теоремы из работы Антосевича и Челлини [б2 а] . Им же была доказана теорема о плотности множества всех типа Каратеодори решений включения (4) в множестве всех типа Каратеодори решений включения (2) для случая, когда отображение Г непрерывно по своим переменным и липшицево по второй переменной [69 б ] . Лойясевич же при доказательстве теоремы существования [і16 а] исходил из схемы построения последовательных приближений, разработанных Качинским и Олехом в работе [iOIJ . В последствии справедливость утверждений работ Брессана [б9 а, б] и Лойясевича [і16 а] была доказана автором и И.А.Фино-генко [51 бJ при менее ограничительных предположениях и для функционально-дифференциальных включений.

В настоящее время теория дифференциальных включений сформировалась как самостоятельный раздел общей теории дифференциальных уравнений. Традиционное место в этой теории занимают те же задачи, что и в общей теории дифференциальных уравнений. После работ Важевского и А.Ф.Филиппова [149 б, 53 б J , в которых были рассмотрены свойства $l-fPs решений дифференциальных включений, изучение этих свойств продолжается и до сих пор. Здесь идут ли -17 бо по пути ослабления предположений на отображение Г , либо доказательству этих свойств у других классов включений, таких как дифференциальные включения с запаздывающим аргументом, функционально-дифференциальные включения, операторные включения и т.д., либо распространению этих свойств на дифференциальные включения в банаховых и локально выпуклых пространствах. Среди работ этого направления отметим работы [4, 9 а, б, 10, 13 а, 15, 18, 31, 32 а, 33 а, б, 36 а, в, г, 45 а, б, 50 л, м, 54 а, 61, 67 а, 70 а, б, 71, 73, 74 а, 76, 78, 79, 82, 89, 92, 94а-с, 99, 100, 104 а-е, 105, 107, НО, III, 132, 155 и др.] . В последнее время для тех или иных классов дифференциальных включений как в конечномерных, так и в бесконечномерных пространствах стали рассматриваться вопросы существования инвариантных решений у дифференциальных включений, определенных на замкнутых, с возможно пустой внутренностью, множествах и вопросы существования инвариантных решений с определенными условиями роста относительно порядка, наведенного конусом. Эти вопросы затрагивались в работах [36 б, 63, 91 а, б, 93 а, б., 125 и др.] . Существуют работы о взаимосвязях между дифференциальными включениями и обобщенными динамическими системами [36 д, 108, 129 и др. ] . Не остались без внимания и классические вопросы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. К ним относятся вопросы зависимости в том или ином смысле множества решений от начальных условий и параметров, входящих в правую часть [22, 39, 53 б, 79, 91 с, 94 а, 104 а, 121, 138, 139, 142 и др.] , существования периодических решений [l5, 45 в, 77 б, 103, 140, 154 а и др. ] , устойчивости решений [53 б, ж, 82, 109 и др.] , асимптотической эквивалентности и асимптотического равновесия j_ 141, 150 и др. ] . Рассматриваются вопросы усреднения дифференциальных включений [44 а, б, 80 и др.] , изучаются краевые задачи [іЗ б, 15, 16, 115, 140, 141, 154 б и др.] .

Если все перечисленные выше вопросы являются в какой-то мере уже традиционными, то в недавно вышедших работах [41, 42 J было выведено уравнение, которому удовлетворяет интегральная воронка дифференциального включения, рассматриваемая как многозначная функция времени, и изучены некоторые свойства этого уравнения.

Если теория оптимального управления стимулировала развитие теории дифференциальных включений, то запросы теории дифференциальных включений в свою очередь стимулировали развитие теории измеримых многозначных отображений, теории многозначного интеграла и многозначной меры [53 а, г, 65, 66, 73, 95 а, в, 96, 98, 146 и др.] . Более того, задачи, которые раньше составляли основу теории оптимального управления, формулируются теперь для дифференциальных включений. К ним относятся вопросы необходимых и достаточных условий оптимальности для дифференциальных включений [ 8 д, 32 с, 47, 77 с, 116 б и др.] и вопросы управляемости дифференциальных включений [8 а, 36 в, 43, 90, 106 с и др.] .

Все сказанное выше относится к дифференциальным включениям с выпуклой правой частью. Развитие же теории дифференциальных включений с невыпуклой правой частью после основополагающих работ А.Ф.Филиппова [53 г, д] , Антосевича и Челлини [б2 а] , Начиненого и Олеха [іОі] , Олеха [іЗО б] шло по следующему пути.

I. За счет ослабления предположений на правую часть обобщались известные [53 в, д, 62 а, 101, 130 б J теоремы существования того или иного типа решений [53 е, 56 а, в, 69 а, 94 б, 96 б, 105, 116 а, 145 а и др.] , рассматривались вопросы существования инвариантных решений и инвариантных решений с определенными условиями роста относительно порядка, порожденного конусом [64, 77 а, 118 и др.] , изучалось существование периодических решений [21 и др. ] . Те или иные известные теоремы существования распространялись на дифференциальные включения с запаздывающим аргументом, функционально-дифференциальные включения, операторные [9 а, 31 а, 51 а, б, 54, 106 а, 136 и др.] и дифференциальные включения в банаховом пространстве [51 а, б, 54, 67 б и др. ] .

П. В том же направлении шло и изучение свойств множества решений. Установленное А.Ф.Филипповым [53 в] свойство плотности всех того или иного типа решений дифференциального включения с невыпуклой правой частью в множестве всех типа Каратеодори решений дифференциального включения с овыпукленной правой частью обобщалось за счет ослабления предположений на правую часть [56 в, 69 б, 74 б, 134 б и др.] . Справедливость этого свойства доказывалась для дифференциальных включений с запаздывающим аргументом, функционально-дифференциальных, операторных включений [9 а, 31 а, 51 б, 106 б и др.] и включений в банаховых пространствах [32 а, 51 б и др.] .

Ш. Изучалась в том или ином смыслах зависимость решений от начальных условий и параметров, входящих в правую часть, как в конечномерных [8 6, 56 б, 81, 134 б, др. ] , так и в бесконечномерных [32 а и др.] пространствах.

ІУ. Свойства решений дифференциальных включений с невыпуклой правой частью использовались при решении задач теории оптимального управления [і2, ЗІ б и др. ] , теории дифференциальных игр [28 и др.] , задач экономической динамики [56 г и др. ] . 

Перечисленные в пунктах І-Ш вопросы и составляют на сегодняшний день тот круг задач, которые были изучены в той или иной мере, а результаты упомянутых в этих пунктах работ, кроме работ автора, в полной мере отражают, с точки зрения автора, современное состояние теории дифференциальных включений с невыпуклой правой частью. В этой теории даже в конечномерных пространствах пока не нашли еще своего решения такие классические вопросы теории обыкновенных дифференциальных уравнений как, например, продолжимость классических и правильных решений, существование глобальных решений, свойства глобальных решений, слабая устойчивость решений и т.д. Что же касается результатов, относящихся к бесконечномерному случаю, то они пока носят фрагментарный характер и даже не затрагивают всех тех вопросов, которые нашли свое решение в конечномерных пространствах.

Данная работа посвящена систематическому изучению дифференциальных включений в банаховом пространстве.

Цель работы - дать единый подход к изучению дифференциальных включений, значениями правых частей которых являются непустые, компактные, не обязательно выпуклые подмножества банахова пространства. В рамках этого подхода с одной точки зрения и едиными техническими средствами даже на конечномерном уровне охватить основные результаты, касающиеся существования и свойств решений, уточнить эти результаты за счет привнесения нового содержания в формулировки утверждений, обобщить их путем ослабления предположений на правую часть, изучить вопросы, не рассмотренные до сих пор, и выявить новые закономерности, не известные ранее.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, приложения и списка цитируемой литературы. Во введении отражаются основные этапы развития и дается оценка, с точки зрения автора, современного состояния теории дифференциальных включений с невыпуклой правой частью. Здесь же описывается круг задач, рассматриваемых в диссертации, и дается краткая характеристика полученных результатов.

Каждая глава начинается вводным параграфом и заканчивается комментариями. Во вводном параграфе приводятся основные обозначения, определения и доказываются утверждения, играющие вспомогательное значение при изучении вопросов, рассматриваемых в главе. Результаты этих вспомогательных утверждений, как правило, имеют и самостоятельное значение в соответствующих разделах общей топологии и функционального анализа. Некоторые из этих результатов вынесены в отдельные параграфы приложения. В комментариях дается более детальное, чем во введении, освещение современного состояния вопросов, рассмотренных в главе, и проводится сравнительный анализ полученных результатов с известными.

Решения дифференциального включения (2) ищутся как непрерывные селекторы решения U(t) уравнения (10), причем, как будет показано во второй главе, интервал существования решений дифференциального включения (2) определяется интервалом существования решения V(t) уравнения (10). Поэтому в этой главе рассматриваются вопросы существования локальных и глобальных решений уравнения (10). Существование локальных решений изучается методами теории предельно компактных и уплотняющих оператов и вектор-функций Ляпунова, модифицированных применительно к полулинейному пространству convX выпуклых компактов. Этому вопросу посвящен второй и третий параграф.

В четвертом параграфе методами вектор-функций Ляпунова изучается существование глобального решения уравнения (10). В этом параграфе впервые в терминах вектор-функций Ляпунова даны единообразные как по форме, так и по содержанию условия, обеспечивающие одновременно существование локальных и глобальных решений уравнения (10).

Результаты этой главы охватывают большинство результатов подобного типа, касающихся существования решений обыкновенных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве, и содержат ряд новых моментов. Например, из результатов этой главы на уровне простого следствия вытекает условие, являющееся одновременно уело -23 вием единственности и условием существования и локального,и глобального решения уравнения (10). Ранее для обыкновенных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве это условие, под названием условия Нагумо, было известно только как условие единственности и существования локального решения.

Вторая глава посвящена вопросам существования того или иного типа решений дифференциального включения. Во втором параграфе доказываются теоремы существования в соответствующих функциональных пространствах непрерывных селекторов gfi) с неизвестными ранее свойствами у многозначных отображений с невыпуклыми замкнутыми значениями, порожденных правой частью включения.

Центральное место в третьем параграфе занимают теоремы существования того или иного типа решений дифференциального включения с невыпуклой правой частью. В формулировках всех этих теорем предполагается только существование решения W(tJ уравнения (10), определенного на том или ином интервале. Для доказательства теорем существования решение V(t) уравнения (10) представляется в виде , где К некоторый выпуклый ком пакт из пространства непрерывных функций, элементами которого являются непрерывные селекторы отображения U(t). Используя теоремы, доказанные во втором параграфе этой главы, о существовании в соответствующих функциональных пространствах непрерывных селекторов &(•) Q определенными свойствами у многозначных отображений, порожденных правой частью включения, строятся интегральные операторы, определенные на К • Эти интегральные операторы порождаются непрерывными селекторами g(-) и удовлетворяют всем предположениям классической теоремы Тихонова-Шаудера о неподвижной точке. Из построения интегральных операторов следует, что их неподвижные точки являются либо правильными, либо типа Каратеодо-ри решениями включения. Эти решения являются непрерывными селек -24 торами (/(tj , имеют тот же интервал существования, что и решение U(t) уравнения (10), и обладают рядом свойств, неизвестных ранее. Эти свойства нами будут существенно использованы в третьей главе при изучении взаимосвязей между различными типами решений включений (2) и (3).

В этом же параграфе рассматриваются вопросы существования локальных классических решений, являющихся селекторами Vft). Поскольку доказательство существования глобальных классических решений, являющихся селекторами U(t)t тесно связано со схемами, используемыми в третьей главе, то этот вопрос там и изучается. В четвертом параграфе рассматриваются вопросы существования всех типов как локальных, так и глобальных решений дифференциальных включений с выпуклой правой частью. Предположение выпуклозначно-сти отображения Г позволяет ослабить некоторые условия на Г , связанные с измеримостью и непрерывностью. Доказательство существования локальных решений базируется на идеях и методах теории предельно компактных и уплотняющих операторов, а глобальных - на идеях и методах теории вектор-функций Ляпунова, модифицированных применительно к многозначным отображениям.

Результаты, полученные в этой главе, охватывают подавляющее большинство основных результатов этого типа как в конечномерном, так в бесконечномерном пространстве, Кроме того, в них заложено более глубокое и новое содержание, чем в известных. Например, теоремы третьего параграфа - это не просто теоремы существования, а теоремы существования решений со свойствами, неизвестными ранее: I) решения включения с невыпуклой правой частью являются непрерывными селекторами решения Uft) уравнения (10); 2) решения включения существуют на том же интервале, на каком существует и решение U(t) уравнения (10); решения включения обладают рядом дополнительных свойств.

-25 Основное содержание третьей главы составляет вопросы взаимосвязей между того или иного типа решениями дифференциального включения с невыпуклой правой частью и того же типа решениями дифференциального включения с овыпукленной правой частью.

Во всех утверждениях второго и третьего параграфа этой главы считается, что уравнение (10) имеет решение U(t) , определенное либо на отрезке Т числовой полупрямой R = [Ог ») , либо на всей полупрямой /? , и выполняется одно из неравенств, каждое из которых применительно к обыкновенным дифференциальным уравнениям влечет единственность решения. Эти предположения среди прочих:, если таковые имеются, являются основными.

Во втором параграфе показано, что: а) множество всех того или иного типа решений дифференциального включения с невыпуклой правой частью, определенных на Т (R+) , не пусто; б) каждое из этих решений является селектором одного и того же решения U(t) зфавнения (10); в) множество всех того или иного типа решений дифференциального включения с невыпуклой правой частью плотно в топологии пространства С(Т,Х) (С(К+УХ)) во множестве всех типа Каратеодори решений дифференциального включения с овыпукленной правой частью, которое является компактным подмножеством пространства С(ТУХ) fCfR X)).

Результаты этого параграфа охватывают основные результаты подобного типа как за счет более слабых предположений относительно отображения Г , так и за счет нового содержания в формулировках утверждений. В частности, впервые в этом параграфе доказано существование глобальных классических и правильных решений .дифференциального включения с невыпуклой правой частью. Этот вопрос до настоящего времени не был решен даже в конечномерном пространстве. Попутно решен вопрос об относительной ком -26 пактности множества всех глобальных решений того или иного типа дифференциального включения с невыпуклой правой частью. В бесконечномерных пространствах этот вопрос является самостоятельной задачей, не изученной до сих пор и имеющей не тривиальное решение.

В третьем параграфе взаимосвязи между решениями уточняются.

Показывается, что если вдоль каждого решения того или иного типа правая часть включения не является всюду выпуклозначной, то множество всех решений того или иного типа дифференциального включения с невыпуклой правой частью является одновременно плотным и граничным во множестве всех решений того же типа дифференциального включения с овыпукленной правой частью. Приведенная здесь интерпретация взаимосвязей - как граничность, является на самом деле следствием более тонких результатов, установленных в этом параграфе. Из них получаем, что множество всех типа Каратеодори решений дифференциального включения с овыпукленной правой частью является совершенным компактом в С(Т}Л) (C(R+}X)) , а множества всех того или иного типа решений дифференциального включения с невыпуклой правой частью не содержат изолированных точек. 

Все результаты третьего параграфа являются новыми. Они не были известны для дифференциальных включений даже в конечномерном пространстве. Известный в конечномерном пространстве [l47] результат о граничности множества всех типа Каратеодори решений дифференциального включения с невыпуклой правой частью во множестве всех типа Каратеодори решений с овыпукленной правой частью нельзя отнести к числу результатов теории дифференциальных включений с невыпуклой правой частью. Он был получен для дифференциального включения, порожденного управляемой системой, и его еле -27 дует относить к результатам теории управляемых систем. Этот результат является частным случаем наших.

Результаты второго и третьего параграфов в четвертом параграфе уточняются для линейных дифференциальных включений. Здесь же показано, что каждая экстремальная (крайняя) точка множества всех типа Каратеодори решений линейного дифференциального включения с овьшукленной правой частью является типа Каратеодори решением дифференциального включения с невыпуклой правой частью и включения с остовом в правой части. Этот результат является бесконечномерным аналогом результата, известного в конечномерном пространстве [49 ] .

В четвертой главе в основном рассматриваются применительно к дифференциальным включениям классические вопросы теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

Второй параграф этой главы посвящен выяснению условий компактности множества всех типа Каратеодори глобальных решений дифференциального включения с выпуклой правой частью. Эти условия формулируются в терминах теории предельно компактных и уплотняющих операторов. В бесконечномерном пространстве этот вопрос раньше не изучался. Что же касается конечномерного случая, то все известные в этом отношении результаты являются следствиями полученных. Точно также результаты этого параграфа охватывают известные результаты, относящиеся к обыкновенным дифференциальным уравнениям в банаховом пространстве.

Во втором параграфе третьей главы уже были даны условия, обеспечивающие компактность множества всех типа Каратеодори глобальных решений дифференциального включения с выпуклой правой частью и относительную компактность множества всех того или иного типа глобальных решений дифференциального включения с невыпуклой правой частью. Даже на уровне простых следствий некоторые из этих условий являются новыми и в конечномерном пространстве. Другие же охватывают известные.

В этом же параграфе рассмотрен вопрос о необходимых и достаточных условиях компактности множества всех типа Каратеодори глобальных решений дифференциального включения с невыпуклой правой частью. Раньше этот вопрос в конечномерном пространстве был решен только для дифференциального включения, порожденного управляемой системой. Формулировки наших утверждений, относящихся к этому вопросу, являются либо вообще новыми, либо охватывают известные .

Изучению зависимости от начальных условий и параметров множества всех того или иного типа глобальных решений дифференциального включения посвящен третий параграф этой главы. В пятом параграфе рассматриваются вопросы связности глобальных типа Каратеодори решений дифференциального включения с выпуклой правой частью. Полученные условия, обеспечивающие в том или ином смысле зависимость от начальных условий и параметров множества всех того или иного типа глобальных решений, являются либо новыми, либо охватывают известные. То же самое в полной мере относится и к условиям связности.

В отличие от третьего параграфа, в четвертом параграфів изучается не зависимость множества решений от начальных условий и параметров, а существование того или иного типа решения включения, определенным образом зависящего от параметра, входящего в начальные условия и в правую часть дифференциального включения. В утверждениях этого параграфа при тех же предположениях относительно правой части установлены более тонкие зависимости, чем известные ранее в конечномерном пространстве.

Установленные в предыдущей главе свойства множества всех типа Каратеодори глобальных решений дифференциального включения с выпуклой правой частью в четвертом параграфе этой главы переносятся простой переформулировкой на интегральную воронку дифференциального включения. Это в первую очередь касается свойств компактности и связности. В вопросе же непрерывной зависимости интегральной воронки от начальных условий и параметров, входящих в правую часть дифференциального включения, получены новые и неизвестные ранее результаты, отличающиеся от традиционных, отсутствием в формулировках утверждений в явном виде условий, которые применительно к обыкновенным дифференциальным уравнениям являются условия единственности решений. Утверждения, относящиеся к этому вопросу, являются полным аналогом самых общих теорем о непрерывной зависимости от начальных условий и параметров решений обыкновенных дифференциальных уравнений и вырождаются в них, ког -30 да отображение Г одноточечно.

В пятом параграфе изучается экстремальная структура интегральной воронки линейного дифференциального включения. Доказано существование решений со свойствами неизвестными ранее, а именно: существуют решения x(t) , являющиеся одновременно экстремальными (крайними точками) множества всех типа Каратеодо-ри решений линейного дифференциального включения с овыпукленной правой частью, решениями дифференциального включения с невыпуклой правой частью и с остовом в правой части, а при каждом t значения oc(t) этих решений являются экстремальными точками сечений интегральной воронки. Такие решения мы называем сильно экстремальными траекториями. Изучены свойства сильно экстремальных траекторий. Установлено, что в конечномерном пространстве через каждую экстремальную точку сечения интегральной воронки проходит сильно экстремальная траектория. Это свойство является полным аналогом свойства периферийной достижимости и заменяет его, когда оно теряет свой содержательный смысл. Свойство периферийной достижимости теряет содержательный смысл, когда сечения интегральной воронки имеют пустую внутренность, что часто имеет место в конечномерном пространстве даже у линейных дифференциальных включений.

Результаты этого параграфа являются либо новыми, либо - бесконечномерными аналогами известных.

Наличие сильно экстремальных траекторий у линейного дифференциального включения в шестом параграфе используется для доказательства ряда теорем существования оптимального управления в линейных системах без стандартных предположений выпуклости. Дана качественная характеристика оптимальных траекторий и оптимальных управлений. Для бесконечномерного пространства полученные результаты являются новыми. С точки зрения качественной характеристики оптимальных решений их можно считать новыми и в конечномерном пространстве.

Приложение состоит из трех параграфов.

В первом параграфе изучается пространство правильных функций с топологией равномерной сходимости. Результаты этого параграфа мы использовали в § 4 четвертой главы при доказательстве существования у дифференциального включения с невыпуклой правой частью решений, определенным образом зависящим от параметра, входящего в начальные условия и в правую часть включения. Пространство правильных функций, как объект для изучения, представляет и самостоятельный интерес с прикладной и теоретической точек зрения. Полученные в этом параграфе результаты являются либо новыми, либо обобщают и дополняют известные.

Во втором параграфе рассматриваются вопросы продолжения по непрерывности многозначных отображений с замкнутых подмножеств на все пространство с сохранением определенных свойств. Результаты этого параграфа являются новыми и представляют самостоятельный как теоретический, так и прикладной интерес. Они использовались нами в третьем параграфе первой главы при изучении вопроса существования решения уравнения (10).

Как уже говорилось ранее, при определенных условиях управляемая система и порожденное ею дифференциальное включение эквивалентны с точки зрения совпадения множеств решений. Возникает вопрос: для данного дифференциального включения существует ли эквивалентная с точки зрения совпадения множеств решений управляемая система Положительный ответ на этот вопрос дан в третьем параграфе приложения. Для ответа на этот вопрос была решена задача параметрического представления многозначного отображения в виде однозначной функции с определенными свойствами, зависящей от параметра. Результаты, относящиеся к этой задаче, являются новыми и представляют самостоятельный интерес в общей теории многозначных отображений.

Библиографию, приведенную в диссертации и касающуюся работ, в которых рассмотрены те или иные вопросы теории дифференциальных включений с невыпуклой правой частью, в полной мере можно считать исчерпывающей. К этим работам мы не относим работы по дифференциальным включениям, порожденным управляемыми системами. Остальные работы, приведенные в библиографии, либо имеют самое непосредственное отношение к кругу задач, рассматриваемых в диссертации, либо необходимы для ссылок. Дополнительную библиографию по дифференциальным включениям можно найти в обзорных работах [8 б, 149 бJ и в дополнении к обзору [12] .

В пределах каждой главы в диссертации принята двойная нумерация, а в ссылках на другие главы - тройная.  

Локальные решения. Условия типа компактности

Все эти свойства были установлены для дифференциального включения, значениями правой части которого являлись выпуклые компакты конечномерного пространства. Что же касается дифференциальных включений с невыпуклой правой частью, то к этому времени еще не были для достаточно общих случаев изучены даже вопросы существования решений. Поэтому вместо решений дифференциального включения с невыпуклой правой частью рассматривались так называемые квазирешения и сильные квазирешения (в терминологии работы [149 б] квазитраектории и сильные квазитраектории). Следует отметить, что понятие сильного квазирешения под названием скользящего режима, было раньше Важевского введено А.Ф.Филипповым в работе [53 г ] . Когда отображение Г непрерывно в метрике Хаусдорфа, то было доказано [ 149 б ] , что множество всех квазирешений дифференциальных включений (2)-(4) совпадает с множеством всех решений включения (3). Относительно сильных квазирешений, используя пример Плиса [l35J , констатировался только факт, что даже при непрерывном отображении Г множество всех сильных квазирешений включения (2) не совпадает в общем случае с множеством всех квазирешений включения (2) и всех решений включения (3). Все эти результаты были сформулированы в работе [і49 б] и для управляемых систем.

После этой работы Важевского и работы А.Ф.Филиппова [53 б] , в которой рассматривались почти все те же вопросы, что и в работе [ 149 б] , появилось большое количество статей [70 а, б, 79, 89, 94 а, 100, 104 а-д и др.J , посвященных уточнению результатов работ [і49 б, 53 б] и их обобщению за счет ослабления предположений на отображение Г . Однако ни в одной из этих работ не было снято предположение выпуклозначности отображения Г.

Быстрый прогресс в изучении дифференциальных включений с выпуклой правой частью объясняется прежде всего тем, что здесь, не встречая принципиальных трудностей, можно было использовать хорошо разработанные методы и технические приемы из теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Попытки использовать эти методы и приемы для изучения дифференциальных включений с невыпуклой правой частью встречали трудности принципиального характера как в идейном, так и в техническом отношении.

Поясним суть этих трудностей на примере доказательства теорем существования. Для доказательства теорем существования решений обыкновенных дифференциальных уравнений используют два хорошо разработанных и стандартных подхода: I) построение последовательных приближений и доказательство сходимости этих приближений к решению; 2) использование теорем о неподвижных точках в соответствующих функциональных пространствах. Строя последовательные приближения по любой из разработанных для обыкновенных дифференциальных уравнений схем (ломанные Эйлера, последовательные приближения Тонелли [Дж. Сансоне. Обыкновенные дифференциальные уравнения, т.П - М.: ИЛ, 19541 и др.), мы придем к последовательности xn(t)}nz- / абсолютно непрерывных функций и последовательности производных хп(Ь)}п$- J этих функций таких, что последовательность ocn(t) nzl будет относительно компактной в банаховом пространстве С(Х) непрерывных функций, а последовательность uOn(t) , п У - относительно слабо компактной в банаховом пространстве Ь1(Х ) интегрируемых функций. Как обычно в этих случаях делается, мы можем считать, что последовательность xn(-)t nzl сама сходится в топологии пространства С(х) к некоторому элементу xf Jt & +(), п&/ сходится в слабой топологии пространства L X) . Тогда, используя хорошо известную связь между сходимостьго в нормированной топологии пространства Li(X ) и в слабой топологии, получаем, что почти всюду

Если при стандартных предположениях относительно правых частей соотношение (8) для обыкновенных дифференциальных уравнений означает, что z(t) - решение, то для дифференциальных включений это соотношение означает, что cc(t)- решение дифференциального включения с овыпукленной правой частью. Функция x(tj будет решением исходного включения (2) тогда, когда из последовательности dcn(t)7 пъ У можно будет выбрать подпоследовательность Хп ft)} къ- і , сходящуюся почти всюду. Для этого достаточно, чтобы последовательность ccn(t)} пъ1 была относительно компактной в пространстве Ьг (X ). Если мы хотим этим методом доказать существование классического решения, то нужно, чтобы производные ucn(t) /zW обладали определенными свойствами гладкости, а последовательность -хп ftj} к& У сходилась уже не почти всюду, а равномерно.

Поэтому, прежде чем доказывать методом последовательных приближений теоремы существования решений дифференциальных включений с невыпуклой правой частью, нужно было решить задачу построения последовательных приближений со свойствами, указанными выше. Решение такой задачи требовало привлечения новых идей. Положение усуглублялось еще тем, что до сих пор не существует эффективных достаточных критериев относительной компактности множеств в пространстве Lj(x).

Если бы мы попытались доказывать теорему существования методами теории неподвижных точек, то в конечном итоге пришли бы к необходимости использования либо теоремы о существовании непрерывных селекторов у многозначного отображения, значениями которого являются замкнутые, невыпуклые множества в соответствующем функциональном пространстве, либо теоремы о неподвижной точке в соответствующем функциональном пространстве у многозначного отображения с невыпуклыми, замкнутыми значениями. В рамках тех предположений относительно отображения Г , из которых мы исходим, таких теорем не существовало до середины 70-х годов.

Решения дифференциального включения с невыпуклой правой частью

Вторая глава посвящена вопросам существования того или иного типа решений дифференциального включения. Во втором параграфе доказываются теоремы существования в соответствующих функциональных пространствах непрерывных селекторов gfi) с неизвестными ранее свойствами у многозначных отображений с невыпуклыми замкнутыми значениями, порожденных правой частью включения.

Центральное место в третьем параграфе занимают теоремы сущест вования того или иного типа решений дифференциального включения с невыпуклой правой частью. В формулировках всех этих теорем предпо лагается только существование решения W(tJ уравнения (10), оп ределенного на том или ином интервале. Для доказательства теорем существования решение V(t) уравнения (10) представляется в виде, где К некоторый выпуклый компакт из пространства непрерывных функций, элементами которого являются непрерывные селекторы отображения U(t). Используя теоремы, доказанные во втором параграфе этой главы, о существовании в соответствующих функциональных пространствах непрерывных селекторов &() Q определенными свойствами у многозначных отображений, порожденных правой частью включения, строятся интегральные операторы, определенные на К Эти интегральные операторы порождаются непрерывными селекторами g(-) и удовлетворяют всем предположениям классической теоремы Тихонова-Шаудера о неподвижной точке. Из построения интегральных операторов следует, что их неподвижные точки являются либо правильными, либо типа Каратеодо-ри решениями включения. Эти решения являются непрерывными селекторами (/(tj , имеют тот же интервал существования, что и решение U(t) уравнения (10), и обладают рядом свойств, неизвестных ранее. Эти свойства нами будут существенно использованы в третьей главе при изучении взаимосвязей между различными типами решений включений (2) и (3).

В этом же параграфе рассматриваются вопросы существования локальных классических решений, являющихся селекторами Vft). Поскольку доказательство существования глобальных классических решений, являющихся селекторами U(t)t тесно связано со схемами, используемыми в третьей главе, то этот вопрос там и изучается. В четвертом параграфе рассматриваются вопросы существования всех типов как локальных, так и глобальных решений дифференциальных включений с выпуклой правой частью. Предположение выпуклозначно-сти отображения Г позволяет ослабить некоторые условия на Г , связанные с измеримостью и непрерывностью. Доказательство существования локальных решений базируется на идеях и методах теории предельно компактных и уплотняющих операторов, а глобальных - на идеях и методах теории вектор-функций Ляпунова, модифицированных применительно к многозначным отображениям.

Результаты, полученные в этой главе, охватывают подавляющее большинство основных результатов этого типа как в конечномерном, так в бесконечномерном пространстве, Кроме того, в них заложено более глубокое и новое содержание, чем в известных. Например, теоремы третьего параграфа - это не просто теоремы существования, а теоремы существования решений со свойствами, неизвестными ранее: I) решения включения с невыпуклой правой частью являются непрерывными селекторами решения Uft) уравнения (10); 2) решения включения существуют на том же интервале, на каком существует и решение U(t) уравнения (10); решения включения обладают рядом дополнительных свойств.

Основное содержание третьей главы составляет вопросы взаимосвязей между того или иного типа решениями дифференциального включения с невыпуклой правой частью и того же типа решениями дифференциального включения с овыпукленной правой частью.

Во всех утверждениях второго и третьего параграфа этой главы считается, что уравнение (10) имеет решение U(t) , определенное либо на отрезке Т числовой полупрямой R = [Ог ») , либо на всей полупрямой /? , и выполняется одно из неравенств, каждое из которых применительно к обыкновенным дифференциальным уравнениям влечет единственность решения. Эти предположения среди прочих:, если таковые имеются, являются основными.

Во втором параграфе показано, что: а) множество всех того или иного типа решений дифференциального включения с невыпуклой правой частью, определенных на Т (R+) , не пусто; б) каждое из этих решений является селектором одного и того же решения U(t) зфавнения (10); в) множество всех того или иного типа решений дифференциального включения с невыпуклой правой частью плотно в топологии пространства С(Т,Х) (С(К+УХ)) во множестве всех типа Каратеодори решений дифференциального включения с овыпукленной правой частью, которое является компактным подмножеством пространства С(ТУХ) fCfR X)).

Результаты этого параграфа охватывают основные результаты подобного типа как за счет более слабых предположений относительно отображения Г , так и за счет нового содержания в формулировках утверждений. В частности, впервые в этом параграфе доказано существование глобальных классических и правильных решений .дифференциального включения с невыпуклой правой частью. Этот вопрос до настоящего времени не был решен даже в конечномерном пространстве. Попутно решен вопрос об относительной компактности множества всех глобальных решений того или иного типа дифференциального включения с невыпуклой правой частью. В бесконечномерных пространствах этот вопрос является самостоятельной задачей, не изученной до сих пор и имеющей не тривиальное решение.

Экстремальные точки множества решений линейного дифференциального включения

Рассматриваются вопросы существования, единственности, сходимости последовательных приближений, зависимости от начальных условий решений этого уравнения. Впервые доказано, что этому уравнению удовлетворяет не только интегральная дифференциального включения, рассматриваемая как многозначная функция времени, но и интегральная воронка обыкновенного дифференциального уравнения, имеющего неединственное решение. Изучены взаимосвязи между решениями уравнения (10) и (II). Полученные в этих параграфах результаты являются либо новыми и ранее неизвестными, либо охватывают известные за счет более слабых предположений.

Установленные в предыдущей главе свойства множества всех типа Каратеодори глобальных решений дифференциального включения с выпуклой правой частью в четвертом параграфе этой главы переносятся простой переформулировкой на интегральную воронку дифференциального включения. Это в первую очередь касается свойств компактности и связности. В вопросе же непрерывной зависимости интегральной воронки от начальных условий и параметров, входящих в правую часть дифференциального включения, получены новые и неизвестные ранее результаты, отличающиеся от традиционных, отсутствием в формулировках утверждений в явном виде условий, которые применительно к обыкновенным дифференциальным уравнениям являются условия единственности решений. Утверждения, относящиеся к этому вопросу, являются полным аналогом самых общих теорем о непрерывной зависимости от начальных условий и параметров решений обыкновенных дифференциальных уравнений и вырождаются в них, когда отображение Г одноточечно.

В пятом параграфе изучается экстремальная структура интегральной воронки линейного дифференциального включения. Доказано существование решений со свойствами неизвестными ранее, а именно: существуют решения x(t) , являющиеся одновременно экстремальными (крайними точками) множества всех типа Каратеодо-ри решений линейного дифференциального включения с овыпукленной правой частью, решениями дифференциального включения с невыпуклой правой частью и с остовом в правой части, а при каждом t значения oc(t) этих решений являются экстремальными точками сечений интегральной воронки. Такие решения мы называем сильно экстремальными траекториями. Изучены свойства сильно экстремальных траекторий. Установлено, что в конечномерном пространстве через каждую экстремальную точку сечения интегральной воронки проходит сильно экстремальная траектория. Это свойство является полным аналогом свойства периферийной достижимости и заменяет его, когда оно теряет свой содержательный смысл. Свойство периферийной достижимости теряет содержательный смысл, когда сечения интегральной воронки имеют пустую внутренность, что часто имеет место в конечномерном пространстве даже у линейных дифференциальных включений.

Результаты этого параграфа являются либо новыми, либо - бесконечномерными аналогами известных. Наличие сильно экстремальных траекторий у линейного дифференциального включения в шестом параграфе используется для доказательства ряда теорем существования оптимального управления в линейных системах без стандартных предположений выпуклости. Дана качественная характеристика оптимальных траекторий и оптимальных управлений. Для бесконечномерного пространства полученные результаты являются новыми. С точки зрения качественной характеристики оптимальных решений их можно считать новыми и в конечномерном пространстве.

В первом параграфе изучается пространство правильных функций с топологией равномерной сходимости. Результаты этого параграфа мы использовали в 4 четвертой главы при доказательстве существования у дифференциального включения с невыпуклой правой частью решений, определенным образом зависящим от параметра, входящего в начальные условия и в правую часть включения. Пространство правильных функций, как объект для изучения, представляет и самостоятельный интерес с прикладной и теоретической точек зрения. Полученные в этом параграфе результаты являются либо новыми, либо обобщают и дополняют известные.

Во втором параграфе рассматриваются вопросы продолжения по непрерывности многозначных отображений с замкнутых подмножеств на все пространство с сохранением определенных свойств. Результаты этого параграфа являются новыми и представляют самостоятельный как теоретический, так и прикладной интерес. Они использовались нами в третьем параграфе первой главы при изучении вопроса существования решения уравнения (10).

Как уже говорилось ранее, при определенных условиях управляемая система и порожденное ею дифференциальное включение эквивалентны с точки зрения совпадения множеств решений. Возникает вопрос: для данного дифференциального включения существует ли эквивалентная с точки зрения совпадения множеств решений управляемая система Положительный ответ на этот вопрос дан в третьем параграфе приложения. Для ответа на этот вопрос была решена задача параметрического представления многозначного отображения в виде однозначной функции с определенными свойствами, зависящей от параметра. Результаты, относящиеся к этой задаче, являются новыми и представляют самостоятельный интерес в общей теории многозначных отображений.

Библиографию, приведенную в диссертации и касающуюся работ, в которых рассмотрены те или иные вопросы теории дифференциальных включений с невыпуклой правой частью, в полной мере можно считать исчерпывающей. К этим работам мы не относим работы по дифференциальным включениям, порожденным управляемыми системами. Остальные работы, приведенные в библиографии, либо имеют самое непосредственное отношение к кругу задач, рассматриваемых в диссертации, либо необходимы для ссылок. Дополнительную библиографию по дифференциальным включениям можно найти в обзорных работах [8 б, 149 бJ и в дополнении к обзору [12] .

Зависимость решений дифференциального включения от начальных условий и параметров

Таким образом,доказательство теорем существования решений у дифференциальных включений с невыпуклой правой частью требовало решения хотя бы одной из перечисленных выше задач, являющихся самостоятельными проблемами в соответствующих разделах теории дифференциальных уравнений и функционального анализа. С подобной ситуацией мы сталкиваемся не только при доказательстве теорем существования, но и при изучении любых вопросов, относящихся к дифференциальным включениям с невыпуклой правой частью. Все перечисленное выше и объясняет определенный застой в изучении дифференциальных включений с невыпуклой правой частью, существовавший до конца 70-х годов.

Первые теоремы существования локальных решений дифференциального включения с невыпуклой правой частью в предположении, что отображение Г непрерывно по совокупности переменных и удовлетворяют условию Липшица по второй переменной, были доказаны в 1967 году А.Ф.Филипповым. В своей работе [53 г] А.Ф.Филиппов предложил схемы построения последовательных приближений, с помощью которых ему удалось доказать не только существование классических и типа Каратеодори решений включения (2), но и плотность множества всех таких решений в множестве всех типа Каратеодори решений включения (3). В терминологии Важевского [l49 б J это означает, что были найдены условия, при которых множество всех сильных квазирешений включения (2) совпадает с множеством всех квазирешений этого же включения и с множеством всех решений включения (3). В дальнейшем А.Ф.Филиппов модифицировал [53 д, е] , предложенные им в работе [53 г] , схемы последовательных приближений, что позволило ему доказать существование локальных правильных и классических решений у включения (2) без предположения липшице-вости по второй переменной отображения. Г.

После работ А.Ф.Филиппова [53 г, д] наметился прогресс в изучении дифференциальных включений с невыпуклой правой частью. В 1974 году Качинский и Олех [iOl] предложили схему построения последовательных приближений для доказательства существования типа Каратеодори решения дифференциального включения с невыпуклой правой частью, у которого отображение Г по переменной х было непрерывно, а по переменной t - измеримым. Эта схема в 1975 году была с соответствующими видоизменениями применена Оле-хом [130 б] для доказательства существования типа Каратеодори решения включения, у которого отображение r(t}x) было измеримым по t для каждого зе , полунепрерывным сверху по х. для каждого t и в каждой фиксированной точке (ty ае0) , в которой множество r(t}x0) не выпукло, отображение Г было непрерывным по д? в точке х0.

Существование правильных и типа Каратеодори решений у дифференциальных включений с невыпуклой правой частью в том же году было методами теории неподвижных точек установлено Антосевичем и Челлини [б2 a J . Основой этому послужили доказанные авторами принципиально новые теоремы существования в соответствующих функциональных пространствах непрерывных селекторов у непрерывных многозначных отображений с невыпуклыми, замкнутыми значениями.

Результаты работ [53 г, д, е, 62 а, 101, 130 б] явились в дальнейшем идейной и технической основой при изучении как вопросов существования, так и вопросов свойств решений дифференциальных включений с невыпуклой правой частью. Это ярко проявилось в недавно вышедших работах Брессана [б9 а] и Лойясевича [И6 а], в которых были доказаны теоремы существования решений дифференциальных включений с невыпуклой правой частью, когда отображение r(ttoc) полунепрерывно снизу по своим переменным. Этим свойством обладает, например, остов extcdr(t}x) непрерывного отображения Г(і} х). В своей работе Брессан опирался на доказанную им теорему существования в соответствующем функциональном пространстве непрерывного селектора у полунепрерывного снизу многозначного отображения с невыпуклыми, замкнутыми значениями [69 aJ . Схема же доказательства этой теоремы следовала с соответствующими видоизменениями схеме доказательства подобной теоремы из работы Антосевича и Челлини [б2 а] . Им же была доказана теорема о плотности множества всех типа Каратеодори решений включения (4) в множестве всех типа Каратеодори решений включения (2) для случая, когда отображение Г непрерывно по своим переменным и липшицево по второй переменной [69 б ] . Лойясевич же при доказательстве теоремы существования [і16 а] исходил из схемы построения последовательных приближений, разработанных Качинским и Олехом в работе [iOIJ . В последствии справедливость утверждений работ Брессана [б9 а, б] и Лойясевича [і16 а] была доказана автором и И.А.Фино-генко [51 бJ при менее ограничительных предположениях и для функционально-дифференциальных включений.