Содержание к диссертации
Введение
Глава I. 20
1. Эквивалентность задач 20
2. Теорема существования -периодического решения дифференциального включения 24
3. Теорема существования оптимального периодичес кого решения дифференциального включения 47
Глава 2. 56
4. Аппроксимация периодических решений дифференциального включения 56
5. Непрерывная зависимость множества периодических решений дифференциального включения отправой части 75
6. Априорная ограниченность периодических решений дифференциального включения 86
Глава 3. 94
7. Достаточные условия оптимальности -периодического решения дифференциального включения 94
8. Об одной задаче химической технологии 114
Литература 121
- Теорема существования -периодического решения дифференциального включения
- Теорема существования оптимального периодичес кого решения дифференциального включения
- Непрерывная зависимость множества периодических решений дифференциального включения отправой части
- Достаточные условия оптимальности -периодического решения дифференциального включения
Введение к работе
Данная работа посвящена изучению свойств периодических решений дифференциального включения
fjf- e Q(t,x) ,
где Q (t,oc) представляет собой при фиксированных (t, ос)
_ п
некоторое множество в R . Полученные результаты применяются для исследования периодических управляемых систем
X=j(t, ос, и), ОС Є: R* u
Во введении диссертации приведены основные определения и обозначения, используемые в дальнейшем, краткий обзор работ, посвященных дифференциальным включениям и задачам оптимизации периодических решений дифференциальных уравнений, содержащих управления. Даны постановки задач, исследованию которых посвящена данная работа,и сформулированы основные результаты диссертации.
п.1. Основные определения и обозначения. Пусть JR —.
евклидово пространство размерности /г со скалярным произведением < эс,у> элементов ос, у . пространства JR. и нормой \х\= У <зс,ос>' . В случае, когда в пространстве R введена ортонормированная система координат, элементы прост-
п.
ранства К будем называть векторами, а координаты вектора X е Л обозначать ос , ... } ос . Скалярное произведение
в этом случае определяется равенством < я,у,>=.х*у'+ --- + хлу*
Обозначим через S^ (эс0) — замкнутый шар радиуса у- в пространстве R с центром в точке х0 ; Sf(x0)^ fz&R :
|x0-z.|^ Y"}. Вместо S^(O) будем писать Sf. Обозна
чим через jl ( R. ) совокупность всех непустых подмножеств
пространства R у через сотр (Ш. ) — совокупность всех
непустых коьшактных подмножеств пространства к. . Определим расстояние от ос е R. до множества fl&comp(R- ) равенством
р (ос, Л) = min ix-ul ,
а отклонение множества Я є. сотр СИ. ) от множества
3 в сотр (Тс ) — равенством
d( Я,3 ) = max р (х,Ь) . сеє Я
Расстояние между множествами Я, В є сотр (R. ) определим по Хаусдорфу
dUt ( Л, 3) = мах { с[( Я, 3), d(3, Л)} .
Множество непустых компактных подмножеств пространства К с расстоянием dUt (, ) образует метрическое пространство, которое также будем обозначать сотр (JR. ) .
Множество J1<=comp(lR- ) называется выпуклым, если для любых ос,у&Л и любого Ле-\.0,1] выполнено включение: Ая+{1-Л)у « Я . Наименьшее выпуклое замкнутое множе-
ство, содержащее в себе множество Д, назовем выпуклой оболочкой множества Л и обозначим его conirjf.
Нам понадобятся в дальнейшем следующие простые свойства, связанные с метрикой в пространстве сотр (&""). Доказательства этих свойств даны в работах [1],[2].
гг.. ._ п.
Пусть Д,3,Сс CompflR. ), ос ^ 1R. . Тогда:
(а) если у*Л* то f(oc,B) \х-у\ + d(/f,3);
(б) если у&Л,то j(#,3) ^ с1(Л,3);
(в) J>(x,M) ± j>(x,B) + dUt(J,3);
(г) dtit (х+/?,В) ± \оа\ + dtit (Л,3)
(напомним, что здесь и далее ос + Л= у є л а: у = x+Z, %<=.Д} );
(д) dtit (Л,3) ± dtit (Л, С) + dost (0,3) ;
(е) если у*Л> *еЗ, то | y-z| ez dtit (J, В)}
(ж) если d(/1,3) А, то dicono-Л, conisB) *=
(з) й(Л,Ъ) ^ J~ тогда и только тогда, когда для лю
бого у^Д существует не, что |^-Z/^r Л.
Отображение t-r Q (t) из 2? в С0/п/? ( R ) назы-
вается измеримым,если существует счетное семейство {. C^;J
измеримых сечений ( Чі^Ь) є Q(t) при почти всех і)
отображения Q(') такое, что Qlt) совпадает с замыкали-'
л
ем (по норме в R ) объединения L/ a. (t) при почти
всех t .
Отображение х -* Q (х) из 1Rл в сотр (Ж*") называется полунепрерывным сверху в точке ос0 є R * если для любого г>0 существует 8т>0 такое, что из неравенства \х-ос0\ 4=$ следует неравенство d(Q(x), Q(x0)) ^= Z.
Отображение х -»- Q(x) из 1R в сотр (R ) называется непрерывным по Хаусдорфу в точке х0 е lit''1, если для любого > 0 существует #?0 такое, что из неравенства |0?-jco1 ^ S следует неравенство cUft(Q(x), Q(x0))^e.
Говорят, что отображение (t, ж) —" и (t, х) из R. в СОтр ( R ) удовлетворяет условиям Каратеодори, если U(i,x) измеримо по і при каждом фиксированном эо, непрерывно по ос при любом гоиксированном t и для всякого у- >0 существует локально интегрируемая функция т^ (t) такая,что при всех е- R ) I ос\ 4*у~ выполнено неравенство I U(i,oc)\ez ту (i)} где, по определению, для всякого множества U из
\ U\ - бир \у,\ . yeU
Введем теперь понятие решения дифференциального уравнения
и дифференциального включения. Пусть функция f:R —* R
удовлетворяет условиям Каратеодори, то есть функция t^?f(t,x)
измерима по t, а функция эз —»- f (і, х) непрерывна по зс и
для любого у>0 сзпцествует локально интегрируемая функция
т^ (t) такая, что I fit, х)\ ^ м ^ (t) при всех
\х\ё=у и всех . . ifycTb j, — произвольный интервал числовой прямой. Функция if:j, —* R. называется решением
уравнения (см., например [3], с.62)
на Z, если Lf> абсолютно непрерывна на j* и при тех t из L, при которых производная <^ҐЙ существует, выполнено равенство
# = М *у.
Существует много различных определений решения дифференциального включения. Хороший обзор этих определений и теорем существования решения в сьшсле каждого определения дан в работе В.И.Благодатских [4]. В данной работе решение дифференциального включения понимается в сьшсле Каратеодори: функцию U):i —* R называют решением дифференциального включения
U2*. є Q(i, ъ) (0.1)
на интервале LcR, если if(-) абсолютно непрерывна на і и для тех t<=L , для которых существует производная (]?(), выполняется включение
п.2. Дифференциальные включения возникают во многих при-лояениях.К ним приводят уравнения,не разрешенные относительно
производной, дифференциальные уравнения с разрывной правой частью (А.Ф.Филиппов), дифференциальные неравенства, задачи управления, дифференциальные игры (Н.Н.Красовский, А.Е.Куржан-ский, Е.Роксин и Л.Штерн [5]) и другие задачи. Прежде чем перейти к периодическим решениям дифференциальных включений,сделаем краткий обзор результатов, посвященных решениям включения (0.1), удовлетворяющих начальным данным
oc(io) = эсо . (0.2)
В случае, когда множество Q(l,x) выпукло при фиксированных (,х}, как показал А.Плиш [б], для существования решения задачи (0.1), (0.2) достаточно измеримости по t ж полунепрерывности сверху по х многозначного отображения Q в точке (to у Хо) . При естественных предположениях это решение продолжаемо (см.например, [7], [8], а также [9] 2.2). Теорема существования решения задачи (0.1),(0.2) для непрерывного, но не обязательно выпуклого отображения Q. дана в работе А.Ф.Филиппова [7]. Интересное обобщение этих результатов на случай, когда отображение Q в каждой точке (t, х) либо непрерывно по эс, либо полунепрерывно и выпукло дано в работе К. Олеха [ТО].
Если множество Q С , х) непрерывно по Хаусдорфу и выпукло, то множество всех решений задачи (0.1), (0.2) — не пустое компактное подмножество в пространстве непрерывных функций с естественной нормой в С [8]. Пусть сопо Q — замкнутая выпуклая оболочка множества Q . Тогда при определенных условиях множество решений включения
- Q _
ос e cono- Q(t,OC), ОС (to)= 0Со
совпадает с замыканием (по норме в С ) множества решений задачи (0.1), (0.2) (Пианджини [II]). Кроме того для множества всех решений включения
ОС Є Q(t,DC,JL) , ОС(±0)=ОС0
найдены условия полунепрерывной снизу , а также непрерывной зависимости от начальных условий ( tQ> х0) к параметра z (П.ИЛугунов [12]). Вопросам обобщения понятия решения дифференциального включения и построения усредненного решения включения посвящены работы В.А.Плотникова (см.например, [13]).
Каждому решению ос (і) включения (0.1), удовлетворяющему фазовому ограничению -oc(t) є QC(t) можно поставить в соответствие функционал
I(oc(t)) = 9>Uifx(if)) + f l(t,oc(i))dt (0.3)
и рассматривать задачу оптимизации функционала (0.3) на соответствующем множестве решений включения (0.1). Достаточные условия оптимальности такой задачи в форме принципа максимума Понтрягина даны в работе В.И.Благодатских [14]. Из работ,посвященных необходимым условиям оптимальности, отметим работы Б.Н.Пшеничного [15] и А.А.Левакова [16].Подробное исследование дифференциальных включений в банаховом пространстве проведено А.А.Толстоноговым в цикле работ (см.в частности [17],
[18]). Устойчивости решений дифференциальных включений посвящены работы А.Ф.Филиппова [19], Л.РО.Анапольского [20],В.З.Ца-люка [21] и других авторов. Функционально-дифференциальные включения рассматриваются в работах А.И.Булгакова, В.П.Максимова [22] , Л.Н.Ляпина, И.А.Финогенко [23] .
п.З. Перейдем теперь к рассмотрению периодических решений дифференциального включения
X є 6? (і, ос) . (0.1)
Вопросу существования и) -периодического решения включения
(0.1) посвящена работа А.й.Поволоцкого и Е.А.Ганго [24] и не
которые другие работы тех же авторов. В работе [24] даны дос
таточные условия существования и) -периодического решения
включения (0.1) в следующих предположениях относительно О.
Отображение Q 'К —* сотр(К ) полунепрерывно свер-
ху по совокупности аргументов, сл>-периодично по t при фиксированных X и выпукло при всех (t,3C) є С О, сО] х Ці . Периодическим решениям дифференциального включения (0.1) в предположении выпуклости Q(t,oc) посвящены также работы [25], [26], [27]. В заключение отметим работы [28], [29] . Работа [28] посвящена доказательству существования периодического решения включения
(-pa?, %(Ь) є !ft((j,(t),p(t»,
где дії — субдифференциал ft? fi(Q>P)
— опорная функ-
- II -
ция заданного компактного выпуклого множества с R в
точке (Q.,p). В работе 29] даны достаточные условия существования периодического решения гамильтоновой системы дифференциальных включений
ОС є Q(t, ОС,р) ,
-р є F(t, х,р) ,
ЭС(О)** X(LQ) , р(0)=р(">)
в предположении выпуклости отображений Q и F.
п.4. Задачи управления периодическими процессами возникают во многих областях науки и техники. 3 частности, в таких, как механика, теория регулирования, кардиология, химическая технология и другие. Одной из первых работ, содержащих постановку задачи периодической оптимизации, является работа [30]. Она возникла в связи с вопросами управления химическими реакторами и содержит необходимые условия оптимальности в форме принципа максимума Л.С.Понтрягина. Достаточно полный обзор работ, посвященных периодическим процессам и опубликованных до 1977 года,дан в работе 31]. Из более поздних работ по этой тематике отметим работу [32].
п. 5. Задача периодической оптимизации. В данной работе большое место уделяется следующей задаче. Пусть в пространстве
п.
К задано уравнение
%f- = J(i,xtu), (0.4)
где осє/R, ugR , rrxn, функция f:JR —* JR удов
летворяет условиям Каратеодори, то есть измерима по і при каж
дых фиксированных (ос, и), непрерывна по (х, и) при фиксиро
ванном t и для всякого у?0 существует локально интегриру
емая функция т*(1) такая, что при всех i^R и всех х,и
таких, что \зс\ +\и\4 у- выполнено неравенство j <(> эс, и)\ <
4 rn^(i). Пусть, далее, функция i-* frt, ^, и) перио-
дична по і с периодом сО>0 при фиксированных (х,и). Пусть,кроме того,задано отображение U'-IR —* сотр(1к ), где U(,oc) непрерывно в метрике Хаусдорфа по (^,зс),
со-периодично по t при каждом фиксированном ос и задано
отображение DC:R-*J(fe) такое,что ЭС(+<*>) = ЭС().
Измеримая функция t -+ и (і) называется -допустимым уп
равлением уравнения (0.4), если uU+co)~ u(i) при всех
і № t уравнение
эс =
имеет хотя бы одно со -периодическое решение, удовлетворяющее ограничениям
дС(6) є OCci), причем при почти всех имеет место включение
- ІЗ -
u(t) « U(t, x(l)) .
Пара x(-), u(-) } где u(~) — допустимое управление, a x(-) — соответствующее ему решение уравнения (0.5), называется допустимым процессом уравнения (0.4). Следует отметить, что управлению и(-) может соответствовать не одно со -периодическое решение уравнения (0.5К Каждое из этих решений в паре с зшравлением и(-) будет составлять допустимый процесс.
Кроме того, зададим <*> -периодическую по t функцию
у.- R —* Н такую, что
условиям Каратеодори по (і, х) при каждом фиксированном и,
непрерывна по и при фиксированных (і,х) и од -периодич
на по t при фиксированных (х, и). Задача периодической оп
тимизации заключается в следующем: требуется найти такой допу
стимый процесс х(-), и(') уравнения (0.4), на котором
.функционал
7(х('), и())=- J i(t, x(t), u(t)) dt,
рассматриваемый только на множестве допустимых процессов,достигает своего минимума. Назовем эту задачу задачей (Л. Заметим, что задача Сл встречается в ряде прикладных вопросов.
п.6. Одним из способов исследования задачи Сл является применение к ней результатов теории дифференциальных включений. Рассмотрим дифференциальное включение
iff- є Q(t,x), (o.i)
i+n
где X^Rj отображение Q-'R —+ сотр(Ж) ^-пе-
риодично и измеримо no t при каждом фиксированном Xf полу-непрерывно сверху по х при каждом фиксированном t . Пусть, кроме того,задано отображение OC-TR —* QcR) и функция ф:Я *R * Л —* JR. , причем предполагается, что ЭС(+<л)= - ОС (і) при всех teR, а функция Ф(>х,у) ^-периодична по t при фиксированных (ос, у) такая, что
Ф(і,х()? х()) интегрируема по і на [О, и)]
любой <*>-периодической по t абсолютно непрерывной функции х(1).
Решение эс(-) включения (0.1) называется допустимым, если эс(-) — периодическая функция с периодом to и
Х() є Х(і) .
Допустимое решение Х(') включения (0.1) называется оптимальным относительно функционала
<*>
J (х(-)) =/ф(, х(), Х(Ь) ctt, (0.6)
если функционал (0.6), рассматриваемый только на допустимых решениях включения (0.1), достигает своего минимума на решении zc(-). Задачу нахождения оптимального и) -периодического решения дифференциального включения (0.1) назовем задачей %.
п.7. Обзор основных результатов диссертации. При определенных условиях, наложенных на отображение Q и функции Ф, f и Ot и Й- эквивалентны. Эти условия сформулированы в теореме I I. Параграф 2 посвящен доказательству следующей теоремы существования со -периодического решения дифференциального включения.
Теорема 2. Пусть выполнены условия:
(I). Для каждой фиксированной точки (t, ос) є 1ft мно
жество > ос) представимо в виде Q(t,x) = A(t)x * F(t, ос),
где функция t-*A(t)
риодична; отображение F~-' R —*Сотр(К ) непрерывно в
каждой точке (t, эс)е К и и) -периодично по t при
фиксированных ос .
(2). Уравнение Jc=A(t)X не имеет оО -периодических решений, кроме тривиального.
(3). Существует непрерывная неотрицательная функция & -Е #> сО] —* [О, ) такая, что неравенство
J\G(t,s)\ a(s,<5(s)) dj 4: *s(t) о
выполнено при всех t^l О, со] , где G-(,J) —опе
ратор Грина задачи ос = А(Ь)ос, х{сО)= ос(о) , а функция
t -*- Q.(t, f) определена равенством 0.(t,y-) = /па.х \ у\
при y&F(t,x) и \ос\ 4= f .
Тогда дифференциальное включение (0.1) имеет хотя бы одно оО -периодическое решение.
Условиям существования со -периодического решения дифференциального включения посвящены работы [24], [25], [26] , [27]. Теорема 2 ,в отличии от результатов этих работ,не предполагает выпуклости образов отображения Q (t?x) при фиксированных (t, х). После теоремы 2 приведены примеры и следствие, посвященное условиям существования допустимого процесса задачи. Ol .
В параграфе 3 рассматриваются достаточные условия существования решения задачи й\ Эти условия сформулированы в следующей теореме.
Теорема 3. Пусть множество OC(t) замкнуто при каждом фиксированном t, отображение ( t,x)—+UttjX) имеет выпуклые образы и удовлетворяет условиям:
(а) Q «J-периодично и измеримо по t при фиксирован
ном х;
(б) U полунепрерывно сверху по х при фиксированном tt
(в) для любого f*0 существует J>tf такое, что
тэ.ос I Q(t>?c)\- J* при почти всех t.
Пусть, далее, множество допустимых решений задачи ТЬ- не пусто и ограничено. Тогда,если существует такая непрерывная функция -6(t,x,z) : 0, од] * 1R * R —^RrL) что при всех e0,6O], x&X(t), ze Q(t,x) для любого ^еQ(t,x) выполнено неравенство
ф(і,х,#)- Ф(Ь,х,ъ) > <(t,x,z))y~z>,
то оптимальное решение задачи )& существует.
Основной результат параграфа 4 заключен в следующем утверждении.
Теорема 4. Пусть выполнены условия теоремы 2 и кроме того существует непрерывная функция yf , V-), (, гг) е [0}иУ1*[ 0,2&()] , if( ,0) = 0 такая, что
(а) для любых ос, y.e.R таких, что \эс\ 4= <&(.)^ty-X^^t)
и всех t є Г О, сд] ,
dUt(F(i,x), F(t,$))± y(t, \х-^\) >
(б) для всякого >0 существует Т>0, что при любом
V"o е Г Of Т] все неотрицательные решения неравенства
и>
v-()^v0+J\G(t,s)\ V(S, v(S)) dS, 0±*ксд
(такие, что V(c0) = V'(O)) удовлетворяют неравенству
/7?ax| v(t)\ ^ при O^t^oO.
Тогда замыкание по норме в C([0,co]?R) множества и) -периодических решении включения
ое&А()х + F(,x) (0.7)
совпадает с множеством о?-периодических решений включения
х є A(t) х + conix F( t, x),
где Con&F — замкнутая выпуклая оболочка множества F,
Получен ряд следствий из этой теоремы,касающихся случая, когда функция
В 5 показано (теорема 5), что при выполнении условий теоремы 4 множество о?-периодических решений дифференциального включения (0.7) непрерывно зависит от множества F(t,X). В 6 исследованы условия априорной ограниченности од -периодических решений дифференциального включения (0.1), удовлетворяющих ограничению х[1) є OC(t)-
Назовем функцией Л.С.Понтрягина функцию
и обозначим
X(t,x,v) = (Sup на,х^,
Для каждого допустш.юго решения Х(-) задачи ^- определим многозначную функцию (,4*) """*" F(,
га, *)-{)* ^: Ха, хм, v) > Ma,*, w +
+ < > z- x(t) > Для всех z є JCa)J .
В параграфе 7 доказан следующий результат.
Теорема 7 . Пусть существует допустимое со-пе
риодическое решение Х(-) задачи Ъ- и пусть ему соответст
вует такое со -периодическое решение () включения
- T -
4у« ГіЬ,^), что на паре Xf-J, ^W при е[#,сО]
выполнено условие максимума:
7t(t, x(t), у/({)) = H(t,oc(t), -x(t), Wt)).
Тогда решение ос(-) является оптимальным решением задачи &.
Этот результат переносится на задачу (Л (теорема 8). Кроме того приведены следствия из теоремы 8.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [51] - [58].
Выражаю благодарность Е.Л. Тонкову за проявленный интерес к работе в процессе ее написания и за совместные обсуждения, во многом определившие содержание диссертации.
Теорема существования -периодического решения дифференциального включения
Каратеодори, то есть измерима по і при каж дых фиксированных (ос, и), непрерывна по (х, и) при фиксиро ванном t и для всякого у?0 существует локально интегриру емая функция т (1) такая, что при всех i R и всех х,и таких, что \зс\ +\и\4 у- выполнено неравенство j ( эс, и)\ rn (i). Пусть, далее, функция i- frt, , и) перио дична по і с периодом сО 0 при фиксированных (х,и). Пусть,кроме того,задано отображение U -IR — сотр(1к ), где U(,oc) непрерывно в метрике Хаусдорфа по ( ,зс), со-периодично по t при каждом фиксированном ос и задано отображение DC:R- J(fe) такое,что ЭС(+ ) = ЭС(). Измеримая функция t -+ и (і) называется -допустимым уп равлением уравнения (0.4), если uU+co) u(i) при всех і № t уравнение эс = f(, ос, и()) (0.5) имеет хотя бы одно со -периодическое решение, удовлетворяющее ограничениям дС(6) є OCci), причем при почти всех te.TR имеет место включение Пара x(-), u(-) } где u( ) — допустимое управление, a x(-) — соответствующее ему решение уравнения (0.5), называется допустимым процессом уравнения (0.4). Следует отметить, что управлению и(-) может соответствовать не одно со -периодическое решение уравнения (0.5К Каждое из этих решений в паре с зшравлением и(-) будет составлять допустимый процесс. Кроме того, зададим -периодическую по t функцию у.- R — Н такую, что f(t,xtu) удовлетворяет условиям Каратеодори по (і, х) при каждом фиксированном и, непрерывна по и при фиксированных (і,х) и од -периодич на по t при фиксированных (х, и). Задача периодической оп тимизации заключается в следующем: требуется найти такой допу стимый процесс х(-), и( ) уравнения (0.4), на котором .функционал рассматриваемый только на множестве допустимых процессов,достигает своего минимума. Назовем эту задачу задачей (Л. Заметим, что задача Сл встречается в ряде прикладных вопросов. п.6. Одним из способов исследования задачи Сл является применение к ней результатов теории дифференциальных включений. Рассмотрим дифференциальное включение где X Rj отображение Q- R —+ сотр(Ж) -пе риодично и измеримо no t при каждом фиксированном Xf полу-непрерывно сверху по х при каждом фиксированном t . Пусть, кроме того,задано отображение OCR — QcR) и функция ф:Я R Л — JR. , причем предполагается, что ЭС(+ л)= - ОС (і) при всех teR, а функция Ф( х,у) -периодична по t при фиксированных (ос, у) такая, что Ф(і,х()? х()) интегрируема по і на [О, и)] при любой -периодической по t абсолютно непрерывной функции х(1). Решение эс(-) включения (0.1) называется допустимым, если эс(-) — периодическая функция с периодом to и Х() є Х(і) . Допустимое решение Х( ) включения (0.1) называется оптимальным относительно функционала J (х(-)) =/ф(, х(), Х(Ь) ctt, (0.6) о если функционал (0.6), рассматриваемый только на допустимых решениях включения (0.1), достигает своего минимума на решении zc(-). Задачу нахождения оптимального и) -периодического решения дифференциального включения (0.1) назовем задачей % - 15 п.7. Обзор основных результатов диссертации. При определенных условиях, наложенных на отображение Q и функции Ф, f и /, задачи Ot и Й- эквивалентны. Эти условия сформулированы в теореме I I. Параграф 2 посвящен доказательству следующей теоремы существования со -периодического решения дифференциального включения. Теорема 2. Пусть выполнены условия: (I). Для каждой фиксированной точки (t, ос) є 1ft мно жество ос) представимо в виде Q(t,x) = A(t)x F(t, ос), где функция t- A(t) zHom(Rf TR ) непрерывна и -пе риодична; отображение F - R — Сотр(К ) непрерывно в каждой точке (t, эс)е К и и) -периодично по t при фиксированных ос . (2). Уравнение Jc=A(t)X не имеет оО -периодических решений, кроме тривиального. (3). Существует непрерывная неотрицательная функция & -Е # сО] — [О, ) такая, что неравенство выполнено при всех t l О, со] , где G-(,J) —опе ратор Грина задачи ос = А(Ь)ос, х{сО)= ос(о) , а функция t - - Q.(t, f) определена равенством 0.(t,y-) = /па.х \ у\ при y&F(t,x) и \ос\ 4= f . Тогда дифференциальное включение (0.1) имеет хотя бы одно оО -периодическое решение. Условиям существования со -периодического решения дифференциального включения посвящены работы [24], [25], [26] , [27]. Теорема 2 ,в отличии от результатов этих работ,не предполагает выпуклости образов отображения Q (t?x) при фиксированных (t, х). После теоремы 2 приведены примеры и следствие, посвященное условиям существования допустимого процесса задачи. Ol . В параграфе 3 рассматриваются достаточные условия существования решения задачи й\ Эти условия сформулированы в следующей теореме.
Теорема существования оптимального периодичес кого решения дифференциального включения
Предположим далее, что выполнено условие априорной ограниченности, то есть существует такое у 0, что задача о& не имеет допустимых решений вне шара S . Это условие заведо-мо выполнено, если OC(i)c Su. при всех і и достаточно большом у. Если же множество ОС(1) не ограничено, то для проверки условия априорной ограниченности можно воспользоваться методом вектор-функций А.М.Ляпунова. Исследованию вопроса об априорной ограниченности множества и) -периодических решений включения (0.1) посвящен 6. Функцию f. R R. называют полунепрерывной снизу на множестве Р? если для любого эс0&Р и для любого Є 0 найдется 8 0, что f{oc0) /(oc) C при всех OCGP таких, Теорема 3 . Предположим, что множество ЭС() замкнуто при каждом фиксированном Ь, отображение (і,х)- — Q(t,x) удовлетворяет условиям (а), (б), (в) и имеет выпуклые образы, а функция (t,x.}y.)— Ф(Ь,х,у) удовлетворяет условиям (об), (j6), (/). Пусть, далее, множество допустимых решений задачи )& не пусто и выполнено условие априорной ограниченности. Тогда,если существует такая непрерывная (функция 6(t,x, г): [о, со] х "«R%Rr\ что при всех Й% осе JCrt), гє Q(t,x) для любого у.є Q(t,x) выполнено неравенство ф(,х,у)- Ф(І,Х,Е) 6(t,x, ),tf-z , (3.1) то оптимальное решение задачи & существует. Обозначим через Ї&- множество допустимых решений задачи с&. Напомним, что через ow обозначено пространство непрерывных функций х:[О, со] — - ]R с нормой }\сс(-)1\ == ±та.эсJэс()1} где 0 t4c0, а І, — пространство суммируемых со функций z. f co]— $? с нормой z(-)liu == J\2(i)\dt . О В силу условий теоремы 3 множество - не пусто и ограничено в пространстве С , то есть семейство решений {, 3 задачи & равномерно ограничено. В силу условия априорной ограниченности существует У 0, что /т?ал? аэ ;4 . Тогда существует такое м 0} что max \Qti,x(i))\ м. d зеМе & А так как для любого х(-) = Ї& выполнено включение dbci) - 50 є Q(t,x[i)) при почти всех t, то для любого х(-) G Ї& выполнено неравенство \x(i)\ /пах Qc,zc())\ 4 М . Из ограниченности производной зс(-) следует равностепенная непрерывность семейства решений foc(-)j задачи & Тогда, в силу теоремы Арцела (см.например, [38], с.НО) семейство решений )& предкомпактно. Для доказательства теоремы 3 нам понадобится следующая левша. Л е м м а 3 . Множество 6- замкнуто в С . Доказательство леммы 3. Пусть УУ1— множество всех измеримых функций и: [OfCOJ- Rj удовлетворяющих неравенству \u(i)\4jl4 (при почти всех ef wj), Множество JJ7. слабо компактно, то есть из любой последовательности элементов множества Ш. можно выделить подпоследовательность { с ( Л , слабо сходящуюся к некоторой функции у0 () е fll : о J zU), frd)- y0ci) cLt -+ о (3.2) При 6- 0О ДЛЯ BCeX Z(-) є L . Пусть г. )} — последовательность из с&, равномерно на [О,со] сходящаяся к х0(-). Очевидно, что осй(0)= - эс0(со) и функция t- XoU) непрерывна. В силу замкнутости множества 3C(i) при каждом t} имеем: ос0() = ЭС(). Покажем, что функция "L- х0({) абсолютно непрерывна. Для - 51 этого выделим из последовательности t c l слабо сходящуюся подпоследовательность,которую снова обозначим через \xt( )j Слабый предел этой подпоследовательности обозначим через #„(). Построим вектор H(«S)= coton(o,--- І ze(s)r.,o), где z (s)=1 для $s$t+e и z (s)=0 для остальных S (здесь н — /Г-тая координата вектора 2 ). Тогда соотношение (3.2) для слабо сходящейся подпоследовательности \ ( П при 2=2 примет вид Ji ;» #+} - эс/VO —" / {S)ds (3.3) при — -= , к=іг..уп. Поэтому для каждой правильной точки (см.примечание на с.32) функции y0(-) справедливо равен ство #?()= --(эс (+е)-х ()&()). Следовательно, производная dc0K() функции эс0к() существует при почти всех t \_o?co\ и dc () =%.„(), /с-/,...,/г. Перейдем в со отношении (3.3) к пределу при І-+ о= . Получим равенство t+a t к= i,...} п., что и доказывает абсолютную непрерывность функции t -+- DC0() . Для доказательства соотношения ос0( ) е Ї& осталось по казать, что dc0(t) є Q(t,x0()) при почти всех e[ J. Пусть Е. — множество неправильных на [О,со] точек функ ций ос.( ). Мера Лебега тъбЕ. множества Е. равна нулю. Далее, пусть "0 — множество неправильных точек функции
Непрерывная зависимость множества периодических решений дифференциального включения отправой части
Отсюда следует неравенство (4.20).Тогда,в силу условий след ствия 3, dti(F rt,-x), F (i,y)) f(J,\oc-y.\) и для включения (4.19) выполнены все условия теоремы 4. Пусть эс(-) — допустимое решение включения (4.19), существова ние которого обеспечивается теоремой 4. Тогда, в силу лешлы А.Ф.Филиппова (с.20), существует однозначная измеримая ветвь иф є U(і) такая, что при почти всех t є [О, ь ] . Таким образом, эс(-), и(-) — допустимый процесс уравнения (4.18). Следствие 3 доказано. Следствие 4. Пусть выполнены условия след ствия 3, функция fc;OC;U) линейна по ц, а множество UU) выпукло. Тогда для любого 0 и любого допусти мого процесса ос(-); и(-) уравнения (4.18) такого, что -ос(-) є ZJ&C-) найдется такой допустимый процесс ( ) ис-) ) что u(i) е при всех і и \\ ссб; -эс(-)Цс Є . Здесь оU — граница множества U. Доказательство . Так как f(t, ж, и) линейна по и. и Ыф выпукло, то com? f(, x,oU(J))-s f(i, ос, сопіу ЭШ)) = f({, я Ш)) . Тогда, в силу следствия 3, имеет место утверждение следствия 4. Замечание 4. Пусть в задаче периодической оптимизации , функционал J. (&()) не зависит от управления. Тогда, если выполнены условия следствия 4, то для любого 0 и любого допустимого (в том числе п оптимального на множестве СУ ) процесса хсо/ис-) такого, что сс(-) s U найдется такой допустимый процесс Sec-), исо , что ис)ъ edU(i) при всех і, Л осе-)-х( )\\с Є и I !( :()) - I ( хс-))\ . 5. Непрерывная зависимость шюжества периодических решений дифференциального включения от правой части Мы продолжаем рассматривать дифференциальное включение &Aci)x +Fct 3c), (5.1) где з;є R , функция A R — Н от (1R 1R. ) непрерывна и о)-периодична, отображение г К — comp(R) — непрерывно и и) -периодично по t. На множестве 5?( С ) всех непустых ограниченных подмножеств пространства С - 76 введем псевдо-метрику Хаусдорфа JD( /7, /7,; = = ma.Dc [lup ln f IIX0)-V(-)L, бир Ln/n \\т-ц(-)\\р } Обозначим П — множество всех л)-периодических решений эс(-) включения (5.1) таких, что эс(-) & XT, . . Теорема 5. Пусть дифференциальное включение (5.1) удовлетворяет условиям 2, 3, 4 (эти условия выписаны в начале 4). Тогда для любого 0 найдется & 0 та кое, что для всякого отображения г1 R - compCR )} удовлетворяющего всем условиям, наложенншл на отображение F(tfoc)} из неравенства oiUt ( conv F(i, ос), conir Ff сі, х)) « U (5.2) при всех (і,х) =.0,со/ Rn следует, что JDcП, /7,) Є. Здесь Пі — множество всех со -периодических решении включения эсе А()х + Ff U,x) } (5.3) Пространство Я сС ) не будет метрическим, так как из равенства ЮсП1 , /72) = 0 не следует, что /7f-/7a. Остальные свойства метрического пространства выполнены. - 77 находящихся в множестве Ц л) Замечание 5 . Аналогично свойств} - (з) введения (с.5), из определения Ю следует, что неравенство Т)( 17,17,) Є выполнено тогда и только тогда, когда для любого эс0(-)& П найдется ХіС є-Пи что \\ эс0(-) — ocf(-)llQ4a и для любого ocfc-) /7i найдется хл(-)е. е/7, что // ос0С-) эс,(-)11с & Доказательство теоремы 5. I. Рассмотрим сначала случай, когда F(Jzc) и Ft(,jc) выпуклы при каждом фиксированном (, с). Обозначим через эс,С-) произвольное о) -периодическое решение включения (5.3). Построим измеримую функцию 2,() = эЬ/zO-А(1)-х$) . ОчеВИДНО, ЧТО Z, f є F, (,30/1)) При ПОЧТИ ВСЄХ -6 є0;Ьд]. Так как F (-, -) непрерывно, то для измеримой функции ъ -Ь) найдется измеримая функция г/-(;Х) такая, что #(-6, эс)& &F(,3c) при почти всех
Достаточные условия оптимальности -периодического решения дифференциального включения
. Пусть множество 0С() при каждом фиксированном t замкнуто, но не обязательно ограничено, отображение (t,x)—+ Q(?x) удовлетворяет условиям (а), (б), (в), а функция ( ъ}у.) — Ф( х %) — условиям (oL), (/3), ( ), сформулированным в 3. Напомним эти условия: (а) отображение t— Q(,x) со-периодично и изме римо при каждом фиксированном «х; (б) отображение эс— 0(і,ос) полунепрерывно сверху при каждом фиксированном і (в) для каждого у ,0 существует число м такое, {oL ) функция і — Ф(,х,и) со -периодична и измерима при фиксированных ( осР у); (/3 ) функция t — Ф(і, oc(t)} dcU)) интегрируема no Лебегу на любом решении дс(-) включения (7.1), удовлетворяющем ограничению ос(6) е ОС (і) ; (/) функция ос - Ф(і,ос,у.) полунепрерывна снизу на Х(і) при каддых фиксированных (і %) Далее, назовем функцией Л.С, Понтрягпна функцию Н(1, х,у, (//)= &,$ - Ф(1,ос,у) (7.2) переменных ( 6, ос,у.Р (//) є [О,со]х OC(i) xQrf ocjxJR и обозначим 7і(Ь,ос, ip)= дир Н(1,х,и,у). (7.3) Определим многозначное отображение (t, ос, (//) - Г (і, ос, у/) равенством У} z-oc ) для всех 2 є Xсі)j (7.4) и построим дифференциальное включение f є Г(і,х, у/) . (7.5) - 96 Б случае, когда множество JC(i) выпукло и 7l(t,x, у) выпукло по х на множестве ОСЫ) при каждых фиксированных (t)4s), отображеппе Г({, ос, і//) задает суб-дифферешщал Ъ ( 3) по х функции Ж(і,х,у) в точке х. Из свойств субдікТтреренщіала (см.например, [48]с.26) следует, что если функция х — (- 7 Ы;Х,ц/)) выпукла по х на множестве 00(6), то множество Г(і,х,ц/) при фиксированных (,х,у) представляет собой не пустое, выпуклое, замкнутое п ограниченное множество. Отметим, что вопросу существования со-периодического решения ( эс(-), //()) системы в предположении выпуклости образов отображений Q и Г посвящена работа [29]. Основной результат этой работы применительно к нашей задаче Как обычно, f:lRn-+R называется выпуклой функцией на множестве X, если для любых xi?x2 =.X и любого Л [0,1] тлеет место неравенство {(Лос1+(1-Л) xz) 4 л/ (х±) + + а-л) /(xz). Субдифференцпал ох j выпуклой функции х — f(X) на выпуклом множестве ЭС с R определяется равенством: для всех ге X} (см., например, [З] , с. 58). имеет следующий вид. Теорема ( [29] , теорема 3.1). Пусть І) Q(t,x) п Г(і, х, (//) — не пустые компактные выпуклые множества при каждых фиксированных (,ж,ір)} 2)-отображение Q по лунепрерывно сверху по х при каждом фиксированном t є [О,со] и измеримо по прп каждом фиксированном х; 3) отображение Г полунепрерывно сверху по (ос, ft) при каждом фиксированном е [О, со] и измеримо по t при каждых фиксированных (ос, у)\ 4) для каждого компакта K RKR найдется функция к(), что ]f\u\r \V:\r 4 oLK() для всех и QU,oc), гг& Г(,ж, р)} 5) существуют положительные постоянные а,6, C;d, е такие, что для всех хє є R" У є Rn, всех ue.Qct,x) и &е.Г(,эс,р) ІШеют место неравенства: Тогда существует хотя бы одно со -периодическое решение (х(-), (J/( )) задачи (7.1), (7.5), (7.6). Эта теорема применима, если Q(ijX) выпукло при фик сированных (,"&) и ( 7) — выпуклая по х функция при фиксированных (і, //). Тогда отображение Г(,х,у/) не пусто, выпукло, замкнуто при фиксированных (,х,) (см., например, [48], с.26) и полунепрерывно сверху по (ж, у) при фиксированных t (см., например,[2], с.250). Из определения шюжества Г(і,ос, ) следует, что если функция (- Ж) не выпукла на множестве ЭС()} то множество { ос є DC(i) Гс1,эс, Р)- 0] не пусто. Пусть ОСЫ) — множество та ких oc&OCd), что Г(і,дс, Ф ) не пусто. Тогда, если система включений (7.1), (7.5), (7.6) имеет решение (эс(-), (//()), то это решение обязано удовлетворять условию: х(і) є ОС (-6) . Укажем теперь еще на один прием исследования вопроса о существовании решения системы включений (7.1), (7.5), (7.6). Заметим предварительно, что этот прием применим в случае, когда множество 0(,эс) не обязательно выпукло при фиксированных (t,oc). Так как Q(,x) не зависит от , то к дифференциальному включению (7.1) применима теорема существования СО -периодического решения (теорема 2). Существованию со -периодического решения У(-) дифференциального включения у е r(t,xU), W) посвящены, например, работы [24] , [25], Применение этих теорем дает достаточные условия существования со -периодического решения включения if/ є Г(і} ос(1), у). Для примера приведем один результат Поволоцкого А.К. и Ганго Е.А. из работы [24] . - 99 Замкнутая выпуклая область G = R называется канони ческой, если она задана конечныгл числом неравенств aL (ys)4,0, 1=1,..., z} где Я-І ) непрерывно дифференцируемые функции и для каждой точки Ц 0 границы L этой области пз %io (У ) = следует fyzad p.it(W) 0. Пусть,далее,че рез ct(yj) (y/eL) обозначено множество индексов L таких, что g. (р) = О.
