Содержание к диссертации
Введение
1. Предварительные сведения 19
1.1. Многозначные отображения 19
1.2. Элементы стохастического анализа 25
1.3. Элементы теории римановых многообразий 29
1.4. Интегральные операторы с параллельным переносом 31
2. Двухточечная краевая задача для дифференциальных включений второго порядка на римановом многообразии . 34
2.1. Дифференциальные включения с правой частью типа Каратеодори 36
2.2. Двухточечная краевая задача для дифференциальных включений с полунепрерывной снизу правой частью 40
2.3. Двухточечная краевая задача для механических систем с отражением 47
2.4. Случай систем со связями 59
3. Стохастические дифференциальные включения на римановых многообразиях 67
3.1. Стохастические дифференциальные включения Лан-жевена 69
3.2. Включения типа Ито 85
3.3. Дифференциальные включения второго порядка со случайными возмущениями скорости 92
- Элементы стохастического анализа
- Интегральные операторы с параллельным переносом
- Двухточечная краевая задача для дифференциальных включений с полунепрерывной снизу правой частью
- Стохастические дифференциальные включения Лан-жевена
Введение к работе
Дифференциальные включения (иными словами - дифференциальные уравнения с многозначной правой частью) естественным образом возникают в различных прикладных и теоретических разделах математики и в настоящее время активно изучаются. Укажем, например, что при описании дифференциальных уравнений с управлением используется естественный переход к дифференциальному включению - в этом случае в правой части уравнения рассматривают множество значений скорости или силы при всех допустимых значениях управляющего параметра. Другой широко известный случай возникновения дифференциальных включений — когда включениями заменяют дифференциальные уравнения, у которых правая часть существенным образом разрывна. Для этого разработан уже ставший стандартным прием, предложенный А.Ф. Филипповым. В связи с большим прикладным и теоретическим значением дифференциальных включений с 50-х годов прошлого века началось бурное развитие этой теории. Укажем, например, современное монографическое изложение различных ее аспектов, принадлежащее J.P. Aubin и A. Cellina, К. Deimling, А.А. Толсто-ногову, А.Ф. Филиппову и др.
Задачи с управлением и с разрывными правыми частями на гладких многообразиях также исследовались методами теории дифференциальных включений (M.L.J. Hautus, G. Stefani и P. Zecca, Б.Д. Гельман и Ю.Е. Гликлих, G. Grammel и др., [37], [45], [7], [36], [15], [35]). Они описывают системы на нелинейных конфигурационных и фазовых пространствах, и их исследование существенно использует геометрические идеи. Однако из-за значительно более сложного аппарата включения на многообразиях были изучены в меньшей степени, чем в линейных пространствах. В последние десятилетия, начиная, по-видимому, с работ E.D. Conway [28], J.P. Aubin и G. Da Prato [25] активно развивается теория стохастических дифференциальных включений, (см. также, например, [8], [41], [29], [44]). Заметную роль здесь играют представители польской школы (М. Киселевич, Е. Мотыль, М. Михта и др.). Наиболее часто в приложениях стохастические дифференциальные включения возникают из стохастических дифференциальных уравнений аналогично нестохастическому случаю.
Изучение стохастических дифференциальных уравнений на многообразиях было начато работой Ито 1950 г. и к настоящему времени получило большое развитие (имеется монографическое изложение в книгах K.D. Elworthy [31], Ю.Л. Далецкого и Я.И. Бело-польской [1], Ю.Е. Гликлиха [15], М. Emery [32], Е. P. Hsu [38] и др.). Отметим, что даже изучение стохастических дифференциальных уравнений на многообразиях является существенно более сложной задачей, чем в линейных пространствах, и требует значительно более сложной техники, основанной на современной геометрии многообразий. Поэтому стохастические дифференциальные включения на многообразиях ранее практически не исследовались несмотря на то, что они естественно возникают во многих задачах.
Одним из наиболее важных для приложений классов дифференциальных включений являются дифференциальные включения второго порядка, которые имеют физический смысл механических систем с многозначной силой. В терминах подобных включений описываются системы с управляющей силой или с разрывными силами (движение в сложных средах, в присутствии сухого трения и т.д.). Подобные системы на многообразиях позволяют включить в рассмотрение случай нелинейных конфигурационных пространств. В работе Б.Д. Гельмана и Ю.Е. Гликлиха 1980 г. [7] были разработаны новые геометрические методы и получены важные резуль таты о качественном поведении решений подобных включений, учитывающие геометрические и топологические свойства конфигурационного пространства. Однако в этой работе рассматривались только полунепрерывные сверху многозначные силы с выпуклыми образами. Для других типов многозначных сил, также встречающихся в приложениях, подобное исследование не проводилось.
Отметим, что качественное поведение решений дифференциальных уравнений и включений на многообразиях может существенно отличаться от их аналогов в линейных пространствах. Имеются примеры (см. [15], [35]) дифференциальных уравнений второго порядка на компактных римановых многообразиях с гладкой ограниченной правой частью, в которых некоторые пары точек нельзя соединить решением (двухточечная краевая задача не разрешима ни на каком отрезке времени). В связи с этим важным является изучение двухточечной краевой задачи для дифференциальных включений второго порядка на многообразиях и использование полученных условий разрешимости, в частности, в задаче об управляемости для механических систем. Ранее подобные исследования были проведены только для достаточно простого случая многозначных полунепрерывных сверху сил на многообразиях без края.
Особо следует упомянуть системы с неголономными связями, для которых корректно поставлена задача о возможности выпустить из заданной точки такое решение, которое достигает заданного подмногообразия конфигурационного пространства (обычная двухточечная краевая задача для них некорректна, см. например [14], [15], [35]). Отметим, что ранее рассматривались только дифференциальные включения с неголономными связями, у которых правая часть полунепрерывна сверху и имеет выпуклые образы [14], [15], [35]. Учет случайных возмущений силы или скорости в задачах, описываемых дифференциальными включениями второго порядка на многообразиях, т.е. переход к стохастическим дифференциальным включениям второго порядка на многообразиях и их исследование, ранее не были осуществлены. Более того, для ряда важных физических задач, приводящих к подобным включениям, даже не была создана адекватная математическая формализация.
Целью работы является изучение дифференциальных включений второго порядка на римановых многообразиях (как детерминированных, так и стохастических), возникающих в математической физике при описании движения с разрывными силами или скоростями или в системах с управлением; изучение качественного поведения решений детерминированных включений указанного типа, в частности, вопроса о разрешимости двухточечной краевой задачи (вариант задачи об управляемости); создание адекватного математического описания на языке стохастических дифференциальных включений второго порядка на римановых многообразиях для некоторых физических задач, исследование вопроса о существовании решений (сильных и слабых) для различных классов указанных стохастических дифференциальных включений.
Методика исследовании. Использовались идеи и методы современного глобального анализа, нелинейного анализа и стохастического анализа на многообразиях, в частности, разработанный Ю.Е. Гликлихом метод интегральных операторов с римановым параллельным переносом и годографов скорости.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Среди них можно выделить следующие наиболее важные:
1. На полных римановых многообразиях найдены геометрические условия разрешимости двухточечной краевой задачи для диф ференциальных включений второго порядка, удовлетворяющих верхним условиям Каратеодори
2. На полных римановых многообразиях исследованы дифференциальные включения с полунепрерывной снизу правой частью и получена теорема существования решения для двухточечной краевой задачи. Рассмотрены приложения данной теоремы в задаче об управляемости при экстремальных значениях управляющей силы.
3. На языке дифференциальных включений описана механическая система на римановом многообразии с отражением на границе некоторой области; получена теорема существования решения двухточечной краевой задачи для таких систем в области с гладкой границей.
4. Изучены дифференциальные включения второго порядка с полунепрерывной снизу правой частью на римановых многообразиях, подчиненные неголономным связям; найдены некоторые условия существования решений, соединяющих заданную точку с заданным подмногообразием.
5. Введены стохастические дифференциальные включения типа Ланжевена на римановых многообразиях, для которых доказаны теоремы существования слабых и сильных решений.
6. Изучены стохастические дифференциальные включения второго порядка со случайными возмущениями скорости в евклидовом пространстве и получена теорема существования их ослабленного решения.
Теоретическая и практическая значимость.
Работа имеет теоретический характер. Полученные результаты применяются при исследовании механических систем на нелинейных конфигурационных пространствах с разрывными силовыми полями или с управлением, а также с силовыми полями, содержащими случайную (стохастическую) составляющую. Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Международном конгрессе "Качественная теория дифференциальных уравнений" (Сиенна, Италия, 2000), на международных научных конференциях по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, 2000, 2002, 2004 гг.), на международной научной конференции Stochastic Analysis and Related Topics (Санкт - Петербург 2001), на международной научной конференции International Gnedenko Conference (Киев, 2002), на международной научной конференции Kolmogorov and Contemporary Mathematics (Москва, 2003), на международной научной конференции Современные проблемы функционального анализа и дифференциальных уравнений (Воронеж, 2003), на Воронежских зимних математических школах 2002 и 2004 гг., на семинаре по стохастическим методам в финансовой математики кафедры дифференциальных уравнений МГУ (апрель, 2004), на научных сессиях института математики и математического факультета ВГУ (2000 - 2004 гг.).
Основные результаты опубликованы в работах [47] - [62]. Из совместных работ [47, 48, 51, 52, 53, 55, 56, 59] в диссертацию вошли только принадлежащие А.В. Обуховскому результаты.
Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на одиннадцать параграфов и списка литературы
Первая глава носит вспомогательный характер и посвящена изложению необходимых понятий и утверждений из многозначного и стохастического анализа, а также теории римановых многообразий и интегральных операторов с параллельным переносом.
Определение 2.1. Будем говорить, что на М задано многозначное векторное поле Н, если в каждом касательном пространстве ТтМ, т Є М, задано множество S(m).
В первом параграфе второй главы исследован случай, когда правая часть F{t,m(t),m{t)) дифференциального включения (6) удовлетворяет верхнему условию Каратеодори. Такие включения описывают механические системы с управлением и системы с разрывными силовыми полями на нелинейных конфигурационных пространствах.
Используется сведение задачи на многообразии к так называемому уравнению (включению) годографа скорости в одном ка сательном пространстве. Ранее в работе [7]. этим методом указанная задача на многообразии исследовалась в случае полунепрерывного сверху силового поля, а в работе [42] - с силовым полем, удовлетворяющим верхнему условию Каратеодори, но только в евклидовом пространстве.
Основным результатом параграфа является теорема. Теорема 2.4. Пусть точка ті € М не сопрлжена с точкой то Є М вдоль некоторой геодезической a(t) метрики {-, •) и пусть поле F(t,mtX) удовлетворяет верхним условиям Каратеодори и равномерно ограничено длл всех t, т, X некоторой константой С 0. Тогда, существует число Ь(то,тх,С,а) такое, что для всех to, 0 to L(mo,mi,C, а) включение (6) имеет решение m(t), удовлетворяющее условиям т(0) — то, т(о) = т1 Во втором параграфе рассматривается случай, когда механическая система описывается дифференциальными включениями второго порядка (6) с полунепрерывной снизу правой частью. Полунепрерывность снизу возникает например в случае с управлением - при экстремальных значениях управляющей силы. Также, как в Теореме 2.4, задача сводится к включению годографа скорости, однако его исследование в данном случае потребовало существенно иной техники по сравнению со случаем верхних условий Каратеодори.
Основным результатом параграфа является Теорема 2.9, в которой показана разрешимость двухточечной краевой задачи при условиях, аналогичных условиям Теоремы 2.4 (точки не сопряжены вдоль хотя бы одной геодезической, правая часть равномерно ограничена и т.д.). Как следствие показана управляемость некоторых механических систем с управлением при экстремальных значениях управляющей силы.
В третьем параграфе техника, разработанная выше для диффе ренциального включения типа (6) с полунепрерывной снизу правой частью, модифицирована для случая, когда механическая система определена на ограниченной области К с гладкой границей и в точках границы дК траектории отражаются в соответствии с правилом "угол падения равен углу отражения. Исследуется вопрос о существовании решения двухточечной краевой задачи на этой области с отражением на границе.
Вводится понятие выживающей геодезической и точек, сопряженных вдоль нее, а также на случай кривых с отражением обобщен аппарат интегральных операторов с параллельным переносом и уравнений (включений) годографа скорости.
Рассмотрим произвольную граничную точку га Є дК, тогда любой вектор X в касательном пространстве в этой точке представим
— — в виде линейной комбинации векторов X — Х\6 + Х2П, где 6- единичный касательный вектор к дК в точке т, ft - направленный внутрь единичный вектор нормали, Х\,Х2 Є R. Определение 2.18. Касательным конусом Тк(т) в точке т к области К на М, мы будем называть все ТтМ, если т Є Int К, и полупространство касательного пространства ТтМ состоящее из всех векторов вида X = Х\6 + Хгтг, где Х2 0, если т Є дК.
Теорема 2.32. Пусть внутренняя точка ті Є. К не сопряжена с внутренней точкой чщ Є К вдоль некоторой выживающей геодезической a(t) (а(0) = то, а(1) = тп\) связности Леви-Чивита и пусть поле F(t, т, X) полунепрерывно снизу, равномерно ограничено некоторым к для всех t,m,X и удовлетворяет условию (11). Тогда существует число і(то,ті,а) такое, что для всех to, 0 t (то,ті,а) включение (6) имеет выживающее решение m[t), удовлетворяющее условиям т(0) = то,т(о) — т1 В четвертом параграфе второй главы показано, каким образом удается получить обобщение Теоремы 2.9. на случай механических систем со связями. В отличии от случая без связей здесь естественно ставить вопрос не о достижимости данной точки конфигурационного пространства системы, а о достижимости фиксированного подмногообразия, трансверсального подмногообразию, заполненного "прямейшими" неголономными геодезическими. Подобная задача для случая полунепрерывной сверху правой части включения рассматривалась в работах Ю.Е. Гликлиха. Мы рассматриваем случай полунепрерывной снизу силы.
В третьей главе вводятся и исследуется стохастические дифференциальные включения второго порядка на римановых многообразиях. Они могут быть интерпретированы, как законы движения для механических систем с римановым многообразием в качестве конфигурационного пространства, у которых силовое поле многозначно и имеет детерминированную и случайную составляющие. Примером подобной системы может служить описание движения физической броуновской частицы в сложных средах посредством многозначных силовых полей со случайными возмущениями.
Элементы стохастического анализа
В этом параграфе мы приведем сведения из стохастического анализа, которые будут использованы в дальнейшем в третьей главе. Наиболее полно данные факты изложены в [23], [18]. Рассмотрим случайные величины (измеримые отображения), которые заданы на некотором вероятностном пространстве (из, Т, V) и принимают значения в конечномерном векторном пространстве Rn с борелевской а- алгеброй. Определение 1.26.Говорят, что а- подалгебра Т в Т порождена случайной величиной : Q — Rn, еслиТ есть минимальная а- алгебра, содержащая прообразы всех борелевских множеств Rn при отображении или, эквивалентно, J- есть минимальная о -алгебра, относительно которой измеримо . Говорят, что случайный процесс n(t),t Є [0, со) имеет п.н. непрерывные траектории, если Р- п.н. для из Є П кривая r}(t} из) непрерывна по t. В этом случае пространство непрерывных кривых С([0, со), Rn) называется пространством выборочных траекторий. Зафиксируем конечное число точек i, ..., Є [0, со) и конечный набор борелевских множеств Ві,...,Віс С Rn. Определение 1.27.Цилиндрическим называется множество в C([0,oo),Rn) вида т.е. множество кривых , которые в точках ti принимают значения в подмножестве В{, а в остальных точках - произвольные значения. Случайный процесс с п.н. непрерывными траекториями можно рассматривать как случайную величину, принимающую значения в С([0, со), Rn) с а -алгеброй, порожденной цилиндрическими множествами. Рассмотрим гильбертово пространство L2(0,,T,V) случайных величин суммируемых с квадратом. Пусть Т -а- подалгебра и пусть L i{l,T,P) -гильбертово пространство суммируемых с квадратом случайных величин, измеримых относительно !FQ. Пусть - ортогональный проектор. Известно, что он продолжается до непрерывного проектора в пространстве L\. Определение 1.28.Для любого Є L T V) случайная величина Q Є L2(l,J-i,V) называется условным математическим ожиданием относительно TQ и обозначается E{\TQ). Определение 1.29. Случайный процесс i){t) называется мартингалом относительно неубывающего семейства а- алгебр Tt , t Є [0, со), если для каждого t r)(t) измерима относительно ТІ и для любых t s 0 выполняется равенство E(rj(t)\To) — r}(s). Пусть (0.,Т, V)- вероятностное пространство, Tt- неубывающее семейство а- подалгебр т- алгебры Т где t [0, со).
Определение 1.SO.Случайный процесс w(t) в Rn называется винеровским процессом, подчиненным Tt, если выполнены следующие условия: 1.) выборочные траектории w(t) почти наверно непрерывны по t. 2.) u)(t) является квадратично - интегрируемым мартингалом относительно Tt, причем ги(0) = 0 и E((w(t) — w(s))2\Tt) = t — s при t s. Теорема 1.31.Винеровский процесс w(t) имеет стационарные независимые гауссовские приращения и удовлетворяет равенствам E(w(t) - w(s)) = 0, E((w(t) w(s))2) = t nput s. Определим а- подалгебру Vf и- алгебры T как наименьшую а-алгебру (содержащую множества вероятности нуль), относительно которой измеримы все случайные величины w(s) при s t. Рассмотрим пространство Q — С0([0, оо), Rn) непрерывных кривых в Ка, определенных на промежутке [0, со). В О рассмотрим а-алгебру Т, порожденную цилиндрическими множествами. Любой винеровский процесс можно рассматривать как измеримое отображение пространства ($1,Т) в измеримое пространство (Cl,T). Тем самым Р порождает на (1,Т) меру і/, которая не зависит от конкретного винеровского процесса и определяется заданием скалярного произведения в Rn. Эта мера называется мерой Винера. По определению, она задает распределения винеровского процесса в Q — С([0,оо), 72"), т.е. совместные распределения случайных величин ги( і),..., () в Rn при любом наборе t\,...,. Рассмотрим совокупность (tl,T, v) как вероятностное пространство и определим на нем случайный процесс w(t) формулой w(t,to) = cj(t), где элементарное событие и? & С([0,оо), Rn) есть по определению непрерывная кривая ш : [0,оо) — Rn. Построенный процесс w(t) является винеровским подчиненным семейству Ти гДе Для каждого і [0, оо) а- алгебра Tt порождена цилиндрическими множествами с основаниями на [0,t]. Определение 1.32.Процесс w(t) называется стандартным винеровским процессом или броуновским движением. Теорема І.ЗЗ.Винеровский процесс w(t) обладает следующими свойствами: 1.) выборочные траектории процесса w(t,u;) п.н. недифферен-цируемы при всех t, на любом сколь угодно малом промежутке имеют неограниченную вариацию. 2.) координаты wl(t) процесса ui(t) являются одномерными вине-ровскими процессами, которые попарно независимы, ортогональная проекция w(t) на к- мерное подпространство в Rn является к- мерным винеровским процессом. Зафиксируем промежуток [0,1] С [0,оо). Пусть Л : [0,1] X Q —» L(Rn)- случайная операторная функция, т.е. при каждом t Є [О, і] A(t)- случайный линейный оператор в Rn. Зададим разбиение отрезка [0,1], q = (0 = io if- iq = О» и рассмотрим интегральные суммы вида Определение 1.34.Предел интегральных сумм (1) при уменьшении длинны отрезков разбиения называется интегралом Ито и обозначается JQ A(t)dw(t). Определение 1.36.Если A(t) измеримо относительно а алгебры J- t при каждом t, то говорят, что A(t) не упреждает относительно Tt Теорема 1.36. Процесс f$ A(t)dw(t) обладает следующими свойствами:
Интегральные операторы с параллельным переносом
В данном параграфе мы рассмотрим конструкцию интегральных операторов с параллельным переносом на римановом многообразии введенные Ю.Е. Гликлихом в [13]. Детальное описание данной конструкции можно найти в [15], [33]. Для простоты мы будем рассматривать случай связности Леви-Чивита некоторой полной римановои метрики на конечномерном многообразии. Пусть М полное риманово многообразие. Рассмотрим то Є М, 1=[0,/]сйи пусть v : I — ТтоМ непрерывная кривая. Теорема 1.48. Существует единственная С1 - кривая :1- М такая, что 7(0) = то и касательный вектор j(t) параллелен вектору v(t) Є ТтоМ для каждого t Є І. Действительно, кривая -f представима как y(t) 6 1(SQ v{T)dr), где 8 развертка Картана и 6 1 обратное отображение разворачивающее С1 - кривую из ТтаМ в М. (см. [2]) Далее кривую 7(-)» построенную таким образом по кривой и( ), мы будем обозначать Sv(-). Замечание 1.49. Нетрудно видеть, что в случае, если М - евклидово пространство, то Sv(t) — $QV{T) LT. Рассмотрим банахово пространство С(1,ТтоМ) непрерывных отображений / в ТтоМ и банахово многообразие С1(1,М) С1 -гладких отображений из /в М. По теореме 1.48 корректно определен оператор В [33], [15] показано, что 5 является гомеоморфизмом С(1,ТтоМ) на его образ C 0(I,M) в С1{1, М), где многообразие С о(/, М) состоит из С1 кривых 7, таких, что 7(0) = то Пусть m(), где і Є І и m(0) = mo, С1 - кривая на М и пусть а(і,їп,Х) однозначное силовое поле. Будем обозначать через ra(t,m(t),m(t)) кривую в ТтоМ, которая получена параллельным переносом векторов а(, m(t), m{t)) вдоль кривой т(-) в точку т(0). Замечание 1.50. Отметим, что в евклидовом пространстве оператор Г параллельного переноса является тождественным отображением, т.е., если М - евклидово пространство, то Va(t, m(),m(i)) = a(t,m(t),m(t)). Лемма 1.51. Пусть Є С С(1,ТМ) таково, что тгб С С1{1,М) (V : ТМ — М - естественная проекция). Если в относительно компактно в С(1,ТМ), то Г0 будет относительно компактно вС(1,ТМ). Эта лемма доказана, как лемма о компактности в [15], [33]. Рассмотрим уравнение Оно интерпретируется, как закон Ньютона для механической системы с силовым полем .Г(,т(),т()), конфигурационным пространством М и кинетической энергией К(Х) X, X . Определим вектор С в ТтоМ и рассмотрим интегральное уравнение на I — [О, I]. Это уравнение является интегральной формой второго закона Ньютона (см. например [35]) и его решения есть траектории механической системы с силой а имеющей начальные условия 7(0) = т0 и 7(0) = С. Пусть m(t), t Є I траектория механической системы, такая, что она является решением (4). Определение 1.52.
Годографом скорости траектории m(t) на зывается кривая v : I — ТтоМ такал, что v(t) параллелен ih(t) вдоль т( ). Несложно видеть, что решения годографа скорости (4) удовле творяют уравнению Если v удовлетворяет (5), то очевидно, что Sv удовлетворяет (4). Лемма 1.53. Пусть точка т\ не сопряжена с точкой т-о вдоль некоторой геодезической связности Леви-Чивита на М. Для лю бой геодезической а(-), а(0) = т0, а(1) = ті, вдоль которой а0? а і не сопряжены, и любого числа С 0 существует такое число L(mo,mi,C,a) 0, что при 0 t\ L(mo,rrii,C,a) для любой кривой и(-) Uji С C([0,ti],TmaM) в некоторой ограниченной окрестности вектора if1 - а(0) Є ТтоМ найдется единственный вектор Си Є ТтоМ, непрерывно зависящий от и, и такой что S(u + Cu)(ti) = ті. Это утверждение доказано как теорема 3.3 в [15], [35] и теорема В данной главе изучается вопрос о существовании траектории механической системы, соединяющей две заданные точки то и ті конфигурационного пространства. Хорошо известно (см. например [22]), что в евклидовом пространстве для дифференциального уравнения второго порядка с непрерывной ограниченной правой частью для любых двух то и mi и любого отрезка времени [а, Ь] существует решение m(t), такое, что т(а) = то, т(Ь) — піі. В случае нелинейных конфигурационных пространств ситуация более сложная, что иллюстрируется в 9 работы [35] тремя примерами механических систем на двумерной сфере. В первом из них силовое поле гладко, автономно и не зависит от скорости и при этом ни одна траектория системы, выходящая из южного полюса сферы, никогда не достигнет северного. Во втором и третьем примерах для любой пары диаметрально противоположных точек нет соединяющей их траектории системы.
При этом во втором примере силовое поле зависит от скорости, но-по прежнему гладко, автономно, ограничено, а в третьем - линейно зависит от скорости. Это отличие от случая плоского конфигурационного пространства имеет геометрические причины, которые сохраняются и для дифференциальных включений. Опишем понятия и конструкции которые используются далее в этой главе. Определение 2.1. Будем говорить, что на М задано многозначное векторное поле В, если в каждом касательном пространстве ТтМ, т Є М, задано множество Н(т). В дальнейшем многозначные векторные поля будут удовлетво рять дополнительным свойствам типа непрерывности, замкнутости образов Н(т), зависеть от различных параметров и.т.д. Пусть I С R - отрезок числовой прямой, М - конечномерное полное риманово многообразие, ТМ - его касательное расслоение, ТтМ - касательное пространство в точке m Є М. Пусть для каждого т М
Двухточечная краевая задача для дифференциальных включений с полунепрерывной снизу правой частью
В данном параграфе рассматривается случай, когда механическая система описывается дифференциальными включениями второго порядка (6) с полунепрерывной снизу правой частью F(t,m(t),m(t)). Подобные включения возникают, например, в системах с управлением при экстремальных значениях управляющей силы. Рассмотрение полунепрерывной снизу правой части требует совершенно иной техники в отличие от случая, когда правая часть удовлетворяет верхним условиям Каратеодори. Теорема 2.9. Пусть точка ті Є М не сопряжена с точкой то Є М вдоль некоторой геодезической a(t) метрики , и пусть многозначное векторное поле F(t,m,X) с замкнутыми образами будет полунепрерывным снизу и равномерно ограниченным, т.е., \\F(t 7n,X)\\ к для некоторого к 0 и для всех 1 т,Х. Тогда существует число (гпо,Ші,а) такое, что при любом to, 0 to L(mo,mi,a) включение (6) имеет решение m[t) такое, чтот(0) — то и m(to) = mi. Доказательство. Пусть / = [0,]. Рассмотрим многозначное векторное поле F(t,m(t),m(t)) определенное вдоль ( -кривой m(t) = S(v(t)), v С(7, TmoM), и параллельно перенесем все множества F(t,m[t),m(t)) вдоль кривой т(-) в точку то = т(0). Тогда для некоторого данного v мы получаем многозначное отображение VF(t, S(v[-)), S(v( ))) из отрезка / в ТтоМ. Лемма 2.10. Многозначное отображение полунепрерывно снизу. Доказательство. Поскольку F(t, m, і пол-унеіірерьівно снизу то отображение F(, 5(г ()), 5( (2))) с образами в ТМ полунепрерывно снизу по 1 в силу того, что оператор S : С(1, ТтаМ) — С о(/, М) является гомеоморфизмом. Теперь применим оператор Г, получим, что VF(t,S(v(t)), S(v(t))) тоже будет полунепрерывным снизу, поскольку оператор Г непрерывен. Для некоторого v определим множество всех измеримых сечений многозначного отображения как Поскольку поле F ограничено константой к и параллельный перенос сохраняет норму вектора, то для всех v кривые принадлежащие PTF(t, S(v(t)), $S(v(t))) будут также ограничены к, т.е., интегрируемы. Таким образом отображение переводящее v Є С(І,ТТПаМ) в PrF(t,S(v(t)),-jfaS(v(t))) будет являться многозначным из С(1, ТГЩМ) в Ьг((1,А, ц), ХтоМ), Л борелевская «т-алгебра и /г нормализованная мера Лебега. Несложно видеть, что это многозначное отображение полунепрерывно снизу и имеет разложимые образы. Тогда из Теоремы 1.20 следует, что оно имеет непрерывное сечение, которое мы обозначим, как pI\F(, 5( (-)), S(v(-))). Ясно, что достаточно малые t\ 0 удовлетворяют неравенству t\ L(mo,rai, fci,a), где i(mo,mi,fci,a) число из теоремы ?. Мы определим L(mo,mi,a) как супремум таких i, что j Z-(mo, m1} kti,a). Пусть to jL(mo,mi,a). Без ограничения общности мы можем предположить, что i" = [0,to]. Рассмотрим однозначное отображе ниє определенное формулой где С вектор из Леммы 1.53. Лемма 2.11. Отображение
В : С(1,ТтоМ) - С(1,ТтоМ) вполне непрерывно. Доказam ельство. Множества VF{t,S(v{-) + Cv),t$(v(-) + Cv)) для всех v и t по построению ограничены в ТтоМ константой к. Следовательно, все сечения PTF(t, S(v(t) + Cv), S(v(t) + Cv)) ив частности pTF(t,S(v(-) + Cv),- S(v( ) + Cw)) ограничены той же самой константой. Это означает, что все кривые pTF(s,S{v(-) + С,), s(«(.) + Cv))ds Є С(/ ГтоМ) равномерно ограничены. Следовательно В(С(1, ТтоМ)) компакт вС(1,ТтоМ). По построению В : С(/,ГтоМ) -» LL((i",.A, ),TmoAf) непрерывно. Поскольку Cv непрерывно зависит от v, это означает, что для каждого є 0 существует S = 6(e) 0 такое, что при выполняется Это означает непрерывность В : С(/,ТтоМ) — С(/, ТтоМ). Определим, как Ukt0 шар радиуса &0 с центром в нуле в пространстве С([0,о],ТтоМ). Поскольку параллельный перенос сохраняет норму вектора, несложно видеть, что В отображает 11щ в себя и следовательно имеет неподвижную точку VQ(-) В Ukt0, т.е., и0(.) = BVQ(-). Принимая во внимание (9) можно видеть, что уравнение VQ(-) = Bvo(-) является некоторым аналогом уравнения годографа скорости (5). Таким образом теперь мы должны показать, что m(t) S{vo{t) + Сщ) есть решение для (6). По построению тп(0) — то, т( о) = їтц} m{t) есть С1-кривая и m(t) абсолютно непрерывная. Поскольку VQ(-) неподвижная точка Л, из определения pTF(t,S(v0(t) + CVo), j$S(vo(t) + CV())), следует, что п.в. Принимая во внимание свойство ковариантной производной и определение оператора Г, после параллельного переноса Vo(t) ж TF(t, S(vQ(t) + Сщ, j%S(vo(t) + CVo)) вдоль т(-) в точку m(t) мы получаем соответственно fa"rh{t) и F(t,m(t),m(t)). Таким образом . Что и доказывает теорему. Рассмотрим многозначное, ограниченное и непрерывное по Хаусдорфу силовое поле Л(і, т, X) с выпуклыми, замкнутыми образами. Определение 2.12. Точка а выпуклого, замкнутого множества А называется экстремальной, если не существует открытого интервала числовой прямой в А содержащего а. Обозначим, как Ext A(t, m,X) многозначное отображение, длл которого образ (t}m,X) состоит из экстремальных точек А(,т,X). Лемма 2.13. Для многозначной силы A(t,m,X) определенное выше многозначное отображение Ext A{t) m, X) полунепрерывно снизу. Лемма 2.13 является хорошо известным фактом многозначного анализа. Например, Лемма 2.1.1 в [20] или Утверждение 6.2 в [30]. Заметим, что Ext A(t, т, X) ограничено и может не иметь выпуклые образы. Рассмотрим ограниченное и непрерывное по Хаусдорфу силовое поле A(t, тп,Х) с замкнутыми образами на М. Мы скажем, что траектория механической системы m(t) с силой A(t,m,X) подчинена экстремальным значениям управляющей силы, если п.в. m(t) принадлежат Ext A(t,m(t),rn(t)) (смотри определение 2.12).
Стохастические дифференциальные включения Лан-жевена
В этом параграфе вводится понятие включения типа Ланжевена и исследуется вопрос о существовании его слабых и сильных решений. Рассмотрим конечномерное многообразие М как конфигурационное пространство механической системы. Будем предполагать, что риманово многообразие М полно. Механический смысл этого предположения заключается в том, что частица не уходит в бесконечность за конечное время. Пусть F(t,m,X) силовое векторное поле и А(,т,Х) (1,1) - тензорное поле на М (оба могут быть многозначны). Другими словами, для каждого t [0,1], т Є М, и X Є ТтМ, мы имеем (многозначный) вектор F(t,m,X) є ТтМ и (многозначный) линейный оператор A(t,т,Х):ТтМ — ТтМ. Будем использовать конструкцию рассмотренную в главе 15 из [33]. Зафиксируем винеровский процесс w в Rn и реализуем его в касательных пространствах к М. Определим через w соответствующий белый шум в касательных пространствах. Тогда уравнение (включение) Ланжевена описывает поведение системы под действием силового поля: В первую очередь дадим корректное математическое описание и смысл включению Ланжевена по аналогии с работами [11], [33], в которых эта процедура описана для уравнения Ланжевена. Мы будем использовать интегральную форму включений Ланжевена (более естественную для стохастических дифференциальных уравнений) включающую в себя интегральные операторы с римановым параллельным переносом. Подставляя силу (17) в (4) для однозначных F и А мы получим уравнение Ланжевена в следующем виде и его годограф скорости имеет форму (см. [33] - [35] ). Заметим, что по построению процесс () имеет п.н. Са-гладкие траектории, и поэтому производные {t) корректно определены. Пусть теперь F и А будут многозначные. Введем включение Ланжевена, как формальное выражение вида Дадим определения его слабого и сильного решений. Определение 3.1. Мы будем говорить, что (20) имеет слабые решения на [0,1] С R с начальными условиями (0) = mo, (0) = С если существует вероятностное пространство (П, J-, Р), п.н. С1 стохастический процесс () определенный на (12, JF, Р) и со значениями в М с начальными условиями (0) = то и(0) С, Винеров-ский процесс w(t) в Rn, определенный на (О, ", Р) и подчиненный (), однозначное векторное поле /( , т,Л") на М и однозначное (1,1)-тенэорное поле a(t,m,X) такие что (і) для всех t случайный вектор /(,(), (t)) принадлежит F(t,(t),(t)) Р-почти наверное (п.н.); (ii) для всех t случайный тензор а(, (),()) принадлежит A{t,(t),{t)) Р-п.н.; определены для (р), w(t), f ua и для ecext [0, l] Р-п.н. выполнено
Определение 3.2. Мы будем говорить, что (20) имеет сильное решение на [О,/] С R с начальными условиями (0) = TUQ, (0) С если на любом вероятностном пространстве допускающем ви-неровский процесс (Q, 7, Р), и для любого винеровского процесса w(t) в Rn, определенного на (fi,.F, Р), существуют: п.н. С1 стохастический процесс (i) определенный на (Гі, Т% Р), неупреждаю-щий относительно w(t) и со значениями в М с начальными условиями (0) = то и (0) = С, однозначное векторное поле /(, m, X) на М и однозначное (1,1)-тензорное поле a(t,m,X) такие что (і) для всех t случайный вектор /(,(),()) принадлежит (и,) для всех t случайный тензор а(, (t),()) принадлежит 4( ,( Н( )) Р-п-н.; (mj интегралы /0( Г/(г,(т), (r))dr и /0 Га(т,(т), (т))гіш(т) определены для (), ги(), f и а и Р-п.н. (21) выполнено для всех te [0, г]. Замечание 3,3. Условие, что /(,(),( )) Є F(t,(t),(t)) Р-почти наверное более слабое чем условие, что / есть сечение F. Легко можно показать, что ( ) удовлетворяет (21) тогда и только тогда, когда его годограф скорости v(t) (т.е., () = Sv(i)) удовлетворяет уравнению годографа скорости в форме Которое является уравнением диффузионного типа в касательном (т.е., линейном) пространстве в точке то и поэтому более удобно для исследования. Далее, мы будем искать / и а из определений 3.1 , 3.2 и соответственно v(t), являющееся решением (22) в слабом или строгом смысле, и затем получим () = Sv(t) удовлетворяющее (21). Если F и А имеют непрерывные сечения удовлетворяющие условию Ито (см. (23) выше), существование слабого решения естественно следует из существования слабого решения для уравнения Ланжевена, которое описано в работах [11], [33] (см. также [34] и [35]). (например, по теореме Майкла такие сечения существуют, если F л А полунепрерывны снизу и имеют выпуклые образы). В ином случае проблема существования решения для включения Ланжевена требует создания специальных конструкций, в зависимости от типа рассмотренных силовых полей и введения определения е-аппроксимации, которое имеет следующую форму и является естественным обобщение на случай многообразий определения 1.21. Для исследования существования слабых решений мы рассмотрим класс силовых полей, у которых F имеет є-аппроксимацию для любого є, а А - однозначно и непрерывно. Для случая сильного решения вводятся другие требования которые будут описаны ниже. Далее все нормы векторов порожденные римановой метрикой мы как обычно будем обозначать формулой \\Y\\ = л/ Y Y . Норму множества F(t,m,X) определим как
