Введение к работе
Актуальность темы. Понятие производных в среднем было введено Э.Нельсоном в 60-х годах XX века для нужд построенной им стохастической механики (вариант квантовой механики). Уравнение движения в этой теории (так называемое уравнение Ньютона-Нельсона) было первым примером уравнений с производными в среднем. Позже было показано, что в терминах уравнений с производными в среднем описываются и другие задачи математической физики, экономики и др. (см., например, работы Ф.Гуэрры, Л.М. Морато, Д. Дорн, Т. Заставняка, Ю.Е. Гликлиха, С .Фари-нелли, Ю.Хе и др.). В работах Ю.Е. Гликлиха уравнения с производными в среднем начали изучаться как отдельный класс стохастических дифференциальных уравнений.
Нужно отметить, что классические производные в среднем по Нельсону дают информацию только о сносе стохастического процесса. Решения таких уравнений предполагались процессами Ито диффузионного типа (или даже марковскими диффузионными процессами) с известным диффузионным членом. В работах С.В.Азариной и Ю.Е.Гликлиха была построена другая производная в среднем, связанная с коэффициентом диффузии и являющаяся модификацией классических производных по Нельсону. Это позволило корректно поставить задачу о нахождении процесса по его производным в среднем.
Начиная с работ Э.Д. Конвея, П. Кри, Ж.П. Обена и Дж. Да Прато и до настоящего времени во всем мире активно развивается теория стохастических дифференциальных включений (см., например, статьи М. Ки-селевича, М. Михты и Е. Мотыля и др.). Дифференциальные включения с производными в среднем, которые были описаны в работах С.В.Азариной и Ю.Е.Гликлиха, являются более широким классом включений. Они естественным образом возникают в приложениях и к ним могут быть сведены обычные стохастические дифференциальные включения.
В работах К.Д. Элворти, Я.И. Белопольской и Ю.Л. Далецкого, Ю.Е. Гликлиха и др. изучались стохастические дифференциальные уравнения на многообразиях. Стохастические дифференциальные уравнения и вклю-
чения в терминах производных в среднем на многообразиях исследовались в работах СВ. Азариной и Ю.Е. Гликлиха.
Вопросы оптимального стохастического управления рассматривались в основном в векторных пространствах (см., например, работы Н.В. Крылова, П.Е. Клоедена и Е. Платена). Оптимальное управление системами, заданными в терминах производных в среднем, а также заданными посредством дифференциальных включений с производными в среднем, ранее не рассматривалось ни в векторных пространствах, ни на многообразиях.
Отметим работы (см., например, работы С.З. Немета, К. Удриште, Ч.Ли, Ю. Лю, В.В. Обуховского, Дж.Яо, Д.Ванга, Б.Мордуховича и др.), в которых задачи нестохастической оптимизации рассматривались на гладких многообразиях, однако из-за наличия технических трудностей, только на так называемых адамаровых римановых многообразиях - некомпактных многообразиях постоянной отрицательной кривизны. Напомним, что из теорем Топоногова следует, что все такие многообразия гомеоморфны векторным пространствам. Это обстоятельство резко сужает общность построенных теорий. Таким образом, встал вопрос о расширении класса задач оптимального управления на многообразиях.
Цель работы. Целью данной работы является исследование задач нестохастической оптимизации на неадамаровых многообразиях, нахождение условий существования оптимальных решений включений с производными в среднем как в линейных пространствах, так и на многообразиях (в частности, с использованием построенного аппарата для нестохастической оптимизации на неадамаровых многообразиях), и изучение стохастических управляемых систем с обратной связью с использованием включений с производными в среднем.
Научная новизна. Все результаты, включенные в диссертацию, являются новыми. Наиболее значимые из них перечислены в следующем ниже списке.
1. Введена концепция допустимых множеств, с помощью которой удается исследовать некоторые задачи нестохастической оптимизации на неадамаровых многообразиях.
2. Введено понятие совершенного решения для дифференциальных
включений с производными в среднем. Доказана теорема существования
оптимального решения на линейных пространствах, т.е. решения, кото
рое минимизирует некоторый функционал качества. Получены обобщения
этих утверждений на случай дифференциальных включений с производ
ными в среднем справа на гладких конечномерных многообразиях.
-
В терминах производных в среднем справа описаны управляемые системы с обратной связью. Доказана теорема о существовании измеримого сечения управления, реализующего оптимальное решение включения как траекторию управляемой системы.
-
Описаны и исследованы дифференциальные включения типа геометрического броуновского движения с производными в среднем. Для данных включений получены теоремы существования решения, которое минимизирует некоторый функционал качества.
-
Получены утверждения о существовании оптимальных решений для включений с производными в среднем на допустимых множествах в многообразиях.
Методы исследования. В работе использованы методы функционального анализа, теории многозначных отображений и дифференциальных включений, современного глобального анализа, стохастического анализа.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Разработанные в ней методы и полученные результаты важны для исследования задач оптимизации.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на V Международной конференции "Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования" (Воронеж, 2012 г.), в Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения - XXIV": "Современные методы теории краевых задач" (2013 г.), на Крымской международной математической конференции КММК-2013, на семинарах и научных сессиях ВГУ.
Публикации по теме диссертации. Результаты диссертации опубликованы в 10 работах [1] - [10]. Работы [4] - [6] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ. Из совместных работ [1], [4] - [6] в диссертацию включены результаты, принадлежащие лично автору.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, разбитых на 11 параграфов (некоторые из них разбиты на под-параграфы), и списка литературы, содержащего 61 наименование. Общий объём работы составляет 106 страниц текста.
