Содержание к диссертации
Введение
1. Введение. 3
1.1. Быстро-медленные системы 3
1.2. Глобальные результаты 8
1.3. Локальные результаты 12
1.4. Благодарности 13
2. Глобальные теоремы о сохранении инвариантного многообразия 14
2.1. Базовые определения 14
2.2. Обобщение теоремы Феничеля в устойчивом случае 18
2.3. Глобальная теорема в устойчивом случае 29
2.4. Обобщение теоремы Феничеля в гиперболическом случае 39
2.5. Глобальная теорема в гиперболическом случае 47
3. Локальные теоремы о сохранении инвариантного многообразия . 53
3.1. Локальная теорема в устойчивом случае 53
3.2. Локальная теорема в гиперболическом случае 60
Литература
- Глобальные результаты
- Локальные результаты
- Обобщение теоремы Феничеля в устойчивом случае
- Локальная теорема в гиперболическом случае
Введение к работе
Актуальность темы. Возмущение — это общее название для такой ситуации, когда речь идет о каком-то изменении 'невозмущенной' системы дифференциальных уравнений, свойства решений которой подразумеваются известными, причем изменения все-таки не нарушают некоторой связи между решениями невозмущенной системы и решениями 'возмущенной' (т.е. измененной) системы. Такая неопределенная общая формулировка по-разному конкретизируется в различных задачах. Когда система изменяется незначительно (в классе гладкости Сг с подходящим г), говорят о регулярных возмущениях. Для сингулярных возмущений характерны значительные изменения системы в том или ином смысле, при которых все же остается какая-то связь между возмущенной и невозмущенной системами.
Настоящая диссертация относится к той части теории сингулярных возмущений, в которой рассматриваются быстро-медленные системы. Быстро-медленная система — это система дифференциальных уравнений вида
1 ' I y = ef2{x,y,e), єЄЖ,
где /і и /2 — Сг-гладкие функции (г > 1). Соответствующая невозмущенная, или быстрая, система отвечает значению є = О
f ж = /i(x,2/,0), х Є К», у Є»,
() Ь = о.
Формально переход от быстрой системы (2) к быстро-медленной (1) выглядит как регулярное возмущение. Но если рассмотреть быстрое время Т = et, то система (1) превращается в систему (І'), где малый параметр є стоит при одной из производных:
(і')
( dx
-jp = h(x,y,s), х GRk, у
Решению новой системы (1') на отрезке [0, т] отвечает решение старой системы (1) на большем отрезке [0, т/є]. При є = 0 система
(1') принимает вид
(2')
і df = /2(ж,2/'0)' ЄЕ-
Понятно, что системы (1') и (2') имеют фазовые пространства разных размерностей. Поэтому это как раз пример сингулярного возмущения. На фиксированном отрезке времени решения быстро-медленной системы (1) близки к решениям быстрой системы (2), однако мы будем рассматривать большие отрезки времени (порядка І/є), где близость решений утрачивается. 'Сингулярность' тогда проявляется не во внешнем виде системы, а в выходе за пределы обычных результатов о регулярных возмущениях, что обусловлено слишком большим отрезком времени. В данном случае задача о сингулярном возмущении равносильна задаче о регулярном возмущении, но на большом отрезке времени.
В 1940-60-е годы было обычным заниматься сингулярными возмущениями в более явном виде, рассматривая систему (1'). Но мы будем отталкиваться от системы (1). В диссертации исследуются быстро-медленные системы, у которых система быстрых движений при некоторых значениях медленной переменной у имеет экспоненциально устойчивое или нормально гиперболическое инвариантное многообразие М(у), которое может быть сложнее особой точки. Доказываются теоремы о существовании связанного с ним слабо инвариантного многообразия исходной системы — глобальные (когда М(у) существует для у из некоторого компактного множества) и локальные (когда М(у) существует только для одного у) в устойчивом и гиперболическом случаях. Многообразие с границей называется слабо инвариантным, если векторное поле касается этого многообразия во всех его точках.
В глобальном случае мы применяем гиперболическую теорию Н. Феничеля сохранения инвариантных многообразий1 к регулярной части объединения 9#о := Ц/(-^(2/) х {у}). Получается, что
Fenichel N. Persistence and smoothness of invariant manifolds for flows. Indiana Univ. Math. J. 1971. Vol. 21. N 3. P. 193-226.
быстро-медленная система (1) при достаточно малых є > О имеет слабо инвариантное многообразие 9ЯЄ, близкое к объединению 9#о = Uy(M(2/) х {у}). Это позволяет в ряде случаев исключить медленные и часть быстрых переменных, оставляя лишь те быстрые переменные, которые отвечают инвариантному многообразию. В ранних работах еще не было выводов о 9ЯЄ, а доказывалось, что рассматриваемые траектории расположены вблизи 9#о-
После работ Н. Феничеля2 и К. Алымкулова3 стало ясно, что эти траектории лежат на многообразии 9ЯЄ или стремятся к нему. В этих случаях, когда М$(у) является особой точкой или замкнутой орбитой, выводится еще следующий важный результат: можно получить приближенные дифференциальные уравнения более низкого порядка, описывающие эволюцию медленной переменной у. Тогда, используя инвариантные многообразия, можно свести задачу на сингулярные возмущения к задаче на регулярные возмущения или на усреднение, см., например, книгу В. А. Соболева, В. В. Стрыгина . Таким путем заново были получены две следующие теоремы.
1) Теорема о периодических решениях быстро-медленной си
стемы (1) с положением равновесия М$(у), ^/-компонента ко
торого близка к гиперболическому периодическому решению
быстрой системы (2). Эта теорема была впервые доказана в ра
боте Л. Флэтто и Н. Левинсона5, а затем еще другим методом
в работе Д. В. Аносова6, позднее более простое доказательство,
использующее многообразие 9ЯЄ, было указано Н. Феничелем.
2) Теорема об инвариантном торе в быстро-медленной системе (1)
с гиперболическим периодическим решением Mq(jj), медленные
координаты которого близки к гиперболическому периодическо
му решению системы медленных движений, усредненных вдоль
Fenichel N. Geometric singular perturbation theory for ordinary differential equations. J. Differential Equat. 1979. Vol. 31. N 1. P. 53-98.
Алымкулов К. О задаче сингулярного возмущения с предельным циклом в подсистеме с быстрым временем. Математические заметки. 1989. Т. 46, N 5. С. 89-91.
Соболев В. А., Стрыгин В. В. Разделение движений методом интегральных многообразий. М.: Наука, 1988.
Flatto L., Levinson N. Periodic Solutions of Singularly Perturbed Systems. J. Rational. Mech. Anal. 1955. Vol. 4. P. 943-950.
Аносов Д.В. О предельных циклах ситем дифференциальных уравнений с малым параметром при старших производных. Мат. сборник. 1960. Т. 50(92). N 3. С. 299-334.
Mq(jj). Теорема была впервые доказана Л. С. Понтрягиным, Л. В. Родыгиным , а простое доказательство, использующее многообразие 9#є, указано К. Алымкуловым. Подобные результаты получены Ю. Ильяшенко, М. Сапрыкиной8 и Е. Ф. Мищенко, Ю. С. Колесовым, А. Ю. Колесовым, Н. X. Розовым9
Другой подход — идти от быстрой системы (2) к более слож
ной быстро-медленной системе (1), что можно описать в терминах
динамических бифуркаций. Динамическая бифуркация — это би
фуркация в зависимости от параметра, где параметр в свою оче
редь изменяется со временем, т.е. 'находится в динамике'. Каждая
обыкнов бифуркация, задаваемая системой вида
(3) x = v{x,y), xeRk, уЄШ\
с малым многомерным параметром у, порождает динамическую бифуркацию вида
Гі = /і(я;,у,є), хЄШк,уЄШ1,
{ } \ y = ef2{x,y,e), ЄЄІ,
где є > О — малый параметр и при є = О выполнено равенство /і(ж,?/,0) = v(x,y). Задачи по систематической разработке теории динамических бифуркаций как развития теории обыкновенных бифуркаций были предложены Дж. Гукенхеймером10.
Локальные теоремы диссертации позволяют из существования экспоненциально устойчивого или гиперболического инвариантного многообразия при некотором значении медленной переменной у в обыкновенной бифуркации (3) получить существование
Понтрягин Л.С, Родыгин Л.В. Периодическое решение одной системы обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром. Доклады Академии Наук СССР. 1960. Т. 132, N 3. С. 537-540.
Ilyashenko Yu., Saprykina М. Embedding theorems for local families and oscilatory slow-fast systems. Progress in nonlinear science, Vol. 1 (Nizhny Novgorod, 2001). RAS, Inst. Appl. Phys., Nizhny Novgorod, 2002. P. 389-410.
Мищенко E. Ф., Колесов Ю. С, Колесов А. Ю., Розов Н. X. Периодические движения и бифуркационные процессы в сингулярно возмущенных системах. М.: Физматлит, 1995.
Guckenheimer J. Towards a global theory of singularly perturbed systems. Nonlinear Differential Equat. and Chaos (Groningen 1995) (H. W. Broer et al.,eds.), Birkhauser, Basel, 1996. P. 213-225.
слабо инвариантного многообразия при близких значениях у в динамической бифуркации (1). Благодаря ослабленным предположениям локальные теоремы могут быть более применимыми в практических задачах. Например, локальная гиперболическая теорема дает подход к исследованию динамических бифуркаций гомоклинических траекторий седлоузла и гомоклинических поверхностей седлоузового цикла.
Обыкновенные бифуркации гомоклинических траекторий седло-узла и некритического гомоклинического тора, т.е. бифуркации при є = О, исследованы Ю. С. Ильяшенко, Л. Вейгу11, гомокли-нической бутылки Клейна — А. Борисюком12. Локальная теорема дает подход к исследованию этих бифуркаций при є ф 0.
Цель работы. Цель настоящей диссертации — развить теорию быстро-медленных систем в случае, когда система быстрых движений имеет экспоненциально устойчивое или гиперболическое инвариантное многообразие.
Центральными результатами диссертации являются доказательства следующих глобальных и локальных теорем.
Глобальная теорема 1.1 требует наличия инвариантных многообразий в быстрой системе (2) при всех значениях медленных переменных из некоторого компакта и устанавливает существование слабо инвариантного многообразия в быстро-медленной системе (1) при достаточно малом параметре, а также гладкость этого многообразия и его гладкую зависимость от параметра.
Локальная теорема 1.2 требует наличия инвариантного многообразия в быстрой системе (2) при одном значении у медленной переменной у и устанавливает существование слабо инвариантного многообразия в быстро-медленной системе (1), расположенного в области, отвечающей значениям медленной переменной у, близким к значению ?/о-
Ильяшенко Ю.С., Вейгу Л. Нелокальные бифуркации. М.: МЦНМО: ЧеРо, 1999. (Новые
мат. дисциплины.)
Борисюк А. Глобальные бифуркации на бутылке Клейна. Унимодальный случай. Математические заметки. 2002. Т. 71, Вып. 3, С. 348-363.
Методы исследования. В диссертации применяются методы теории экспоненциально устойчивых и гиперболических инвариантных многообразий, а также методы теории характеристических показателей.
Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем.
Доказаны глобальная и локальная теоремы о сохранении экспоненциально устойчивого инвариантного многообразия.
Доказаны глобальная и локальная теоремы о сохранении гиперболического инвариантного многообразия.
Результаты диссертации обобщают теоремы Н. Феничеля и К. Алымкулова, в которых инвариантные многообразия быстрой системы являются положениями равновесия или предельными циклами.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы в исследованиях по сингулярно возмущенным системам и динамическим бифуркациям. Такие исследования проводятся в том числе в Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова, Математическом институте РАН имени В. А. Стеклова, Санкт-Петербургском государственном университете и Владимирском государственном университете.
Апробация. Результаты диссертации докладывались на следующих семинарах и конференциях:
Семинар по динамическим системам на механико-математическом факультете МГУ под руководством профессора Ю. С. Ильяшен-ко, 2000-2005 (неоднократно).
Международная конференция 'Дифференциальные уравнения и динамические системы', г. Суздаль, 2000.
Международная конференция 'Combinatorics, Dynamics and Probability', г. Стокгольм (Швеция), 2000.
Семинар по дифференциальным уравнениям университета г. Страсбург (Франция), 2001.
5) Семинар по дифференциальным уравнениям университета
г. Ульм (Германия), 2001.
6) Международная конференция 'Прогресс в нелинейной динами
ке', г. Нижний Новгород, 2001.
7) Семинар по дифференциальным уравнениям университета
г. Дижон (Франция), 2004.
Семинар отдела дифференциальных уравнений математического института РАН имени В. А. Стеклова, 2005.
Международная конференция 'Lyapunov exponents and related topics in dynamics and geometry', г. Москва, 2005.
Публикации. Содержание диссертации опубликовано в трех статьях, список которых приведен в конце автореферата. Все три статьи опубликованы в изданиях, входящих в перечень ВАК.
Структура и объём работы. Диссертация состоит из трех глав, включая введение. Все утверждения в диссертации имеют двойную нумерацию. Первое число (1, 2 или 3) обозначает номер главы, а второе — номер соответствующего утверждения внутри главы. Главные результаты диссертации — это теоремы 1.1 и 1.2. К основным выводам также относятся теоремы 2.13, 2.31, 2.37 и 3.6. Список литературы содержит 22 наименования, общий объем текста 70 страниц.
Поддержка. Работа была осуществлена при частичной финансовой поддержке грантов РФФИ и CRDF RMI.
Глобальные результаты
В 1940-60-е годы было обычным заниматься сингулярными возмущениями в более явном виде, рассматривая систему (1.1/). Но мы будем отталкиваться от системы (1.1). В диссертации исследуются быстро-медленные системы, у которых система быстрых движений при некоторых значениях медленной переменной у имеет экспоненциально устойчивое или нормально гиперболическое инвариантное многообразие М(у), которое может быть сложнее особой точки. Доказываются теоремы о существовании связанного с ним слабо инвариантного многообразия исходной системы — глобальные (когда М(у) существует для у из некоторого компактного множества) и локальные (когда М(у) существует только для одного у) в устойчивом и гиперболическом случаях. Многообразие с границей называется слабо инвариантным, если векторное поле касается этого многообразия во всех его точках.
В глобальном случае мы применяем гиперболическую теорию Н. Феничеля сохранения инвариантных многообразий [8, 9] к регулярной части объединения 9Dto := Uy(M(y) х {у}). Получается, что быстро-медленная система (1.1) при достаточно малых є О имеет инвариантное многообразие ЯЛ, близкое к объединению 9#о = Uy(M(?/) х {у}). Это позволяет в ряде случаев исключить медленные и часть быстрых переменных, оставляя лишь те быстрые переменные, которые отвечают инвариантному многообразию. В ранних работах не было выводов о 9Jte, а доказывалось, что рассматриваемые траектории расположены вблизи 9RQ.
После работ Н. Феничеля [9] и К. Алымкулова [1] стало ясно, что эти траектории лежат на многообразии ЯЛЕ или стремятся к нему. В этих случаях, когда М${у) является особой точкой или за . мкнутои орбитой, выводится еще следующий важный результат (см. [9], [1]): можно получить приближенные дифференциальные уравнения более низкого порядка, описывающие эволюцию медленной переменной у. Тогда, используя инвариантные многообразия, можно свести задачу на сингулярные возмущения к задаче на регулярные возмущения или на усреднение, см., например, книгу В. А. Соболева, В. В. Стрыгина [21]. Таким путем заново были получены две следующие теоремы. 1) Теорема о периодических решениях быстро-медленной систе мы (1.1) с положением равновесия Мо(у), -компонента которо го близка к гиперболическому периодическому решению быстрой системы (1.2). Эта теорема была впервые доказана в работе Н. Ле винсона и Л. Флэтто [10], а затем другим методом в работе Д. В. Ано сова [2], позднее простое доказательство, использующее многооб разие 0ТЄ, было указано Н. Феничелем. 2) Теорема об инвариантном торе в быстро-медленной системе (1.1) с гиперболическим периодическим решением Мо(у), медленные координаты которого близки к гиперболическому периодическо му решению системы медленных движений, усредненных вдоль Мо(у). Эта теорема была впервые доказана Л. С. Понтрягиным, Л. В. Родыгиным [18], а простое доказательство, использующее многообразие ЯЛЄ, указано К. Алымкуловым [1]. Подобные резуль таты получены Ю. Ильяшенко, М. Сапрыкиной [14] и Е. Ф. Ми щенко, Ю. С. Колесовым, А. Ю. Колесовым, Н. X. Розовым [17]. Другой подход — идти от быстрой системы (1.2) к более сложной быстро-медленной (1.1), что можно описать в терминах динамических бифуркаций. Динамическая бифуркация — это бифуркация в зависимости от параметра, где параметр в свою оче 1.1 Быстро-медленные системы 7 редь изменяется со временем, т.е. находится в динамике . Каждая обыкнов бифуркация, задаваемая системой вида x = v(x,y), хШ\ г/el1, (1.3) с малым многомерным параметром у, порождает динамическую бифуркацию вида x = fi(x,y,s), xRk, У = є/2(х,у,є), уЄШ1, где І — малый параметр и при є = 0 выполнено равенство /і(ж,т/,0) = v{x,y). Задачи по систематической разработке теории динамических бифуркаций как развития теории обыкновенных бифуркаций были предложены Дж. Гукенхеймером [11].
Локальные теоремы диссертации позволяют из существования экспоненциально устойчивого или гиперболического инвариантного многообразия при некотором значении медленной переменной у в обыкновенной бифуркации (1.3) получить существование слабо инвариантного многообразия при близких значениях у в динамической бифуркации (1.1). Благодаря ослабленным предположениям локальные теоремы могут быть более применимыми в практических задачах. Например, локальная гиперболическая теорема дает подход к исследованию динамических бифуркаций го-моклинических траекторий седлоузла и гомоклинических поверхностей седлоузового цикла.
Обыкновенные бифуркации гомоклинических траекторий седлоузла и некритического гомоклинического тора, т.е. бифуркации при є = 0, исследованы Ю. С. Ильяшенко, Л. Вейгу [15, с. 112, 124, 158], гомоклинической бутылки Клейна — А. Борисюком [7]. Локальная теорема диссертации дает подход к исследованию этих бифуркаций при є ф 0.
Локальные результаты
Следовательно, в линейном приближении близкие траектории притягиваются к MQ С равномерным гиперболическим показателем, пока их проекции на MQ не покидают MQ. (Если MQ не имеет границы и является инвариантным многообразием, то это означает устойчивость в обычном смысле.) Поэтому в неформальном описании можно говорить об устойчивости , не упоминаемой явно в формулировке точных утверждений. Аналогично, для произвольного с XT(MQ) И всех достаточно больших t 0 верно для любых а Є М0, Є ТаМо, если только д г{а) Є MQ. Таким образом, экспоненты AJV(MO) и XT{MQ) играют для нас различные роли. Первое неравенство обеспечивает (в линейном приближении) оценку сверху расстояния от близкой траектории до MQ, второе дает (также в линейном приближении) оценку сверху расстояния между двумя близкими точками д {а) и д г(а-\-6а), движущимися по MQ (грубо говоря, расстояния между двумя близкими траекториями на MQ).
Приводимая ниже теорема 2.13 является обобщением теоремы 2.9 и будет использоваться в доказательствах дальнейших теорем. Она утверждает, что в условиях теоремы 2.9 инвариантные
Обобщение теоремы Февичеля в устойчивом случае 23 многообразия деформированной системы образуют семейство, гладкое по параметру деформации.
Предположим, что ve = v(x,e) — векторное поле, СТ -гладкое по (яг, є), где г 1, х пробегает некоторую область в Жп, є Є Km — малый многомерный параметр. Пусть поле VQ имеет компактное Сг-гладкое многообразие MQ С Ш1, a) либо замкнутое инвариантное, b) либо растекающееся для векторного поля vo. Пусть для этого г Є N в каждой точке а Є Mo показатели ляпуновского типа А#(Мо, а), Ат(Мо,а) для векторного поля vo удовлетворяют неравенству \N(MQ, а) max(0, r\T(MQ, о)). (1.7) Тогда существует такое число а О, что если є Є [0, а)т С Ж"1, то векторное поле ve имеет СТ-гладкое a) замкнутое инвариантное или, соответственно, b) растекающееся многообразие Мє, СІ -близкое к MQ, где ет := max ЄІ, т і—\,...,т причем множество М:= (J Мєх {є} cRn хШт єє[0,а]га является Сг-гладким многообразием. Доказательство. Хотелось бы прямо применить теорему 2.9 к многообразию Мо := М0 х [0, а]т С 1" х W1 и системе х = v(x,0), є = О, однако этого сделать нельзя, поскольку многообразие MQ С границей (и, возможно, с углами) не является ни замкнутым инвариантным, ни растекающимся (так как отсутствует движение на 2 Глобальные теоремы о сохранении инвариантного многообразия компонентах MQ П {ЄІ = 0} и MQ П {єг- = о;}, г = 1,..., т, границы 5MQ). Поэтому на шаге 1 мы применим теорему 2.9 к вспомогательной системе, некоторой частью которой будет являться исходная система, а на шаге 2 вернемся от вспомогательной системе к исходной. 1) Докажем, что в каждой точке (ж, р, р) Є No векторное поле, задаваемое системой (2.2), касается многообразия No- Напомним, что NQ = MQXT71. Следовательно, если точка (ж, ip, р) Є No, то точка ж лежит на замкнутом инвариантном (либо, соответственно, растекающемся) относительно системы ж — v(x,0) многообразии MQ И тогда и (ж,0) Є TXMQ С T No, где TXMQ — касательное пространство к многообразию MQ В пространстве М.га, a TJ No — касательное пространство к многообразию No в пространстве R" х Е2т. Вектор в точке (х,ір,р) Є No, задаваемый системой (2.2), выглядит как w(x, p,p) = (г (ж,0),0,0). Следовательно, вектор w(x, ip, р) Є T(a.i,]/0)No, что и требовалось. 2) Если многообразие MQ замкнутое, то многообразие No = Mo х Т"1 также замкнуто, то есть часть а) леммы 2.14 доказана. 3) Докажем, что если MQ растекающееся многообразие, то N0 также является растекающимся, то есть что в каждой регулярной граничной точке (ж, ір, р) Є дЩ = (DMQ) Х Т71 векторное поле системы (2.2) направлено наружу. Точка (ж, (р, р) лежит на границе &NQ многообразия No = MQ Х VТІ тогда и только тогда, когда ж Є дМ$. Тогда вектор в про извольной граничной точке (х,ір,р), задаваемый системой (2.2), имеет вид ад(ж, у, р) = (г (ж, 0), 0, 0), что в проекции на нормаль к границе 8MQ дает г;(ж, 0). Поскольку MQ — растекающееся много образие, вектор v(x, 0) направлен наружу. Следовательно, вектор в произвольной граничной точке многообразия No направлен на ружу. Пункт 6) леммы 2.14 доказан.
Обобщение теоремы Феничеля в устойчивом случае
Лемма 2.38. Многообразие 9Ло является нормально гиперболическим для невозмущенной системы (2.19). Доказательство леммы. 1) Докажем сначала, что замкнутое многообразие 9#о является инвариантным относительно системы (2.19), то есть что в каждой точке а = (ж, ,/?) Є 9Ло векторное поле этой системы касается SD?o- Действительно, по построению точка х принадлежит нормально гиперболическому относительно системы х = /і(ж, sin /?, 0) многообразию Mo(sin ) и тогда /і(ж,8іп ,0) Є ТхМ0(зіаір) С Т{Х: р)дЯ0, где TxM0(sm(p) — касательное пространство к Mo(sin ) в пространстве К , а T{XJP,P)3RQ — касательное пространство к 9#о в Mfc х R2/. Вектор в точке а, задаваемый полем системы (2.19), выглядит как v(x, p:p) — (fi(x,sm(p,0),0) Є Т ЯЯо, что и требовалось доказать. 2) Теперь докажем, что инвариантное многообразие дЛо являет ся нормально гиперболическим. Рассмотрим произвольную точку а = (х,(р,р) Є ЯЯо- Второе уравнение системы (2.19) задает дви жение в касательном пространстве к Шо, и не портит гипербо личности. Траектории третьего уравнения системы, р = 2А(1 — р), притягиваются к многообразию fXfto в нормальном простран стве к ШТо и вносят вклад в Ess. То есть в произвольной точ ке а — (x,ip,p) Є ЯЯо существует гиперболическое разложение TaRk+21 \Шо = ТаШо Е Esas, причем ТаШо = TxM0(sm ip) К Еии _ Еии и Ess _ щв$$ где ц _ пространство, соответствую щее переменной р, &М!р — пространство переменной р. Лемма 2.38 доказана. Лемма 2.39. Во всех точках а Є ЗЛо выполнены неравенства на 2.5 Глобальная теорема в гиперболическом случае 51 показатели относительно системы (2.19), то есть (2.20) А$(9Йо;а) тах(0,гА }(9Яо;а)), Х (Щ]а) тах(0,гА 9Йо;а)). Доказательство леммы. Рассмотрим произвольную точку а Є 97fo, тогда она имеет вид а = (ж, р, р), где х Є Mo(sin ), р= 1.
Третье уравнение системы (2.19) задает движение в нормальном пространстве к 9Лд, а первые два — в касательном. Второе уравнение, ф = О, не задает никакого движения, поэтому показатели на многообразии Ау (ЯЛо; о) = max (0, X (Mo(sm(p);x)) и \Р{Ш0;а) = max(0, Х$\Мо(вш р);х)).
В окрестности тора р = 1 последнее уравнение системы (2.19) имеет вид р = 2А(1 — р) и задает притяжение к тору. Поэто му в пространстве Е скорость приближения траекторий боль ше числа А = sup Xx(Mo(sui(p);x) +оо, то есть показатель (х,г/)єаЛо A#(Wb;a) = min(A$(M0(sin ?);a;), А) = A$(M0(siny ); z). Пространство Еи не изменилось, следовательно Х \Ш0;а) = \%\Мо(ашір);х). Таким образом, для системы (2.19) требуемые неравенства сле дуют из аналогичных неравенств для исходной быстрой систе мы (1.2). Лемма 2.39 доказана. Итак, у системы (2.19) есть растекающееся многообразие 9Ло? на котором выполнены условия на показатели. Тогда по теореме 2.31 существует такое а 0, что при каждом є Є [0, а] у деформированной возмущенной системы (2.17) существует нормально гиперболическое многообразие 9Л ctfx Ж2 , Сг-гладкое и С-близкое к многообразию ЯЛо, причем многообразие N := (J ШЕ х {є} cRk хШ21 xR 0 є а 2 Глобальные теоремы о сохранении инвариантного многообразия является Сг-гладким многообразием. Многообразие N состоит из нормально гиперболических многообразий, но является лишь слабо инвариантным из-за наличия границы.
При р = 1 и р{ Є [—, ],г — 1,..., I, заменой у = sin система (2.17) переводится в систему (1.1) с у [—1,1] . Поэтому при каждом є Є [0, єо] У системы (1.1) существует СГ-гладкое многообразие ШЕ = ШЕ П {р = 1, РІ Є [-, ], г = 1,..., /}, которое CjT-близко к многообразию 90Zo- Многообразия с границей дЯе не являются замкнутыми и, следовательно, не являются нормально гиперболическими. Однако поскольку каждое из многообразий 9ЛБ,є Є [0,а], было замкнутым инвариантным, то его часть 9ЯЄ будет слабо инвариантным, ведь траектории смогут покинуть 9ЯЄ только через границу дШє. Многообразие М := J Ж х {є} С Rk х Ж1 х R 0 є є0 также является Сг-гладким слабо инвариантным многообразием расширенной системы (1.4) как часть Сг-гладкого слабо инвари антного многообразия N. Теорема 2.37 доказана.
Локальная теорема в гиперболическом случае
Теперь докажем, что инвариантное многообразие ОТ о являет ся нормально гиперболическим. Рассмотрим произвольную точку a = (х,ір,р) Є 9То,(Ь тогда по построению х Є М0,р = 1. Второе уравнение системы (3.7) не задает никакого движения и не пор тит гиперболичности. Траектории третьего уравнения системы, р = 2L{1 — р), притягиваются к многообразию 9То,о в нормальном пространстве к 9То,о и вносят вклад в Ess. То есть в произвольной точке о = (х,ір,р) Є 9То,о существует гиперболическое разложе ние raEfc+2/ oo = ГД0,0 Ф Ки ЗГ, причем Га о,о = ТХМ0 ф!?, fiuu _ м« и ;ss __ щвф- і где ц — пространство, соответству ющее переменной (р,аШ! — пространство переменной р. Лемма 3.7 доказана. DD Лемма 3.8. Во всех точках а Є ЭДо,о выполнены неравенства на показатели относительно системы (3.7), то есть тах(0,г4в)(Йь,о;а)), А №,о;а) тах(0,гА?)(5ІЬІо;о)). Доказательство леммы. Рассмотрим произвольную точку а = (ж, (р, р) Є 9То,о, где, по построению, ж Є Мо,р = 1.
Третье уравнение системы (3.7) задает движение в нормальном пространстве к ЭДо.сь а первые два — в касательном. Напомним, что 9То,о состоит из свернутых в тор копий многообразия Мо, для которых выполнены соответствующие неравенства относительно первого уравнения системы (3.7), а второе уравнение не задает никакого движения. Поэтому Ау (9То,о; 0е Уз р)) — тах { Т \MQ] Х), 0) и А рТод; (ж, tp,р)) = max (А5?(М0; ж), 0).
В окрестности тора р = 1 последнее уравнение системы (3.7) имеет вид р = 2L(1 — р) и задает притяжение к этому тору.
Локальная теорема в гиперболическом случае Поэтому в пространстве Esas скорость приближения траекторий больше числа L = sup \$(М0;х) +оо. То есть в каждой точке о Е ЭТо,о показатель AJy (ЭДо,о; о) = тИ1 (А (MO; X)-,L) = А (Mo; ж). Пространство Euu не изменилось, следовательно Л (9?o,o;a) = ЛУ(М0;Ж). Таким образом, для системы (3.7) требуемые неравенства сле дуют из аналогичных неравенств для исходной системы х = /і (ж, 0,0).
Итак, у невозмущенной деформированной системы (3.7) есть растекающееся многообразие ОТо,о на котором выполнены условия на показатели. Тогда по теореме 2.31 существуют такие числа До 0 и fiQ 0, что при всех А Е [0, Ао], уь Е [0, /хо] у возмущенной деформированной системы (3.5) существует нормально гиперболическое многообразие ОТд С Шк х М2г, Сг-гладкое и С /д у близкое к многообразию ЭДЬ,о, причем многообразие N := (J 9tA Ai х {А} х {ц} сШк х R21 х R2 является Сг-гладким. Лемма 3.9. Дри всех А Е [0, Ао], /х Е [0, //о] возмущенная система (3.1) гшеет С7 -гладкое слабо инвариантное многообразие У1\і/Л С Шк xDi, С д/д у близкое к многообразию ЯТ о := Mo х D\} причем многообразие N := (J тА/х х {А} х {/ } С Шк х i х Е2 АЄ[0Л,] ІЄ[0 /ИО] является Сг-гладким. Доказательство леммы. Утверждение леммы следует из того факта, что при р = 1 и г Е [—, ], г = 1,..., I, заменой z = sinip 3 Локальные теоремы о сохранении инвариантного многообразия. система (3.5) переводится в систему (3.1) с z Є D\. Многообразия с границей 9Тд не являются замкнутыми и, следовательно, не являются нормально гиперболическими. Однако поскольку каждое из многообразий УХ\,ц было замкнутым инвариантным, то его часть 9Тл,/г будет слабо инвариантным, ведь траектории смогут покинуть 9T jjU только через границу дУ1\,ц.
Многообразие N из условия леммы также является Сг-гладким слабо инвариантным многообразием расширенной системы как часть Сг-гладкого слабо инвариантного многообразия N. Лем ма 3.9 доказана. Шаг 3. На этом шаге перейдем от вспомогательной системы с двумя параметрами Л, //, введенной на шаге 1, к исходной системе с одним параметром є и медленной переменной у. Фиксируем произвольное Лі Є (0, Ло) и рассмотрим сечение (Rk х Ж1 х {Л Є [0, Ло]} х {fj, Є [0, #,]}) П {Л = Лі}. Вэтом сечении система (3.1) выглядит так: Г х = /і(ж,Ліг,ЛіАО і = /л/г(я:,Аі2г,Аі/і). Заменой у = Aiz, є = \\fi система (3.9) приводится к виду х = fi{x,y,e) у = ef2{x,y1s), то есть к исходной системе (1.1). Обозначим /3 := Лі, Согласно лемме 3.9, система (1.1) имеет Сг-гладкое слабо инвариантное многообразие 9ЯЄ := 9?дьд, где є — Xifi АіДо = Локальная теорема в гиперболическом случае При этом многообразие ЯЯЄ является CJ-близким к многообразию ЯЯо = ЭДдьО, а многообразие ЭТАЬО — С -близким к многообразию 9to,o = Mo х Di = М0 х Яр. Следовательно, многообразие 971є является С -близким к многообразию MQ х JB . Таким образом, часть 1) теоремы доказана. Рассмотрим многообразие М:= (J ШЕх{е}. єє[0,а] При у є Вр верно равенство М = N П {Аі}, где многообразие N определяется в лемме 3.9 и, по этой лемме, является Сг-гладким многообразием. Следовательно, многообразие М также является Сг-гладким. Многообразия ЗЯЄ при є Є [0, а] являются слабо инвариантными многообразиями системы (1.1). Расширенная система (1.4) отличается от системы (1.1) лишь добавлением уравнения є = О, не задающим никакого движения, поэтому многообразие М тоже будет слабо инвариантным для системы (1.4). Пересечение МП {є = 0} П {у = 0} = 9tAl,o П {Z = 0} является многообразием, инвариантным относительно системы х = /і (х, 0,0) и CJ-близким к многообразию MQ. Следовательно, по утверждению 2.35 из доказательства теоремы 2.31, это пересече ние совпадает с MQ. Часть 2) теоремы 3.6 доказана
