Содержание к диссертации
Введение
Категория многообразий над алгеброй Вейля А, моделируемых А-модулями вида 15
1.1 Категория многообразий над алгебрами 15
1.2 Расслоение Вейля 22
1.3 А-гладкие отображения между А-модулями вида Апф Вт 30
1.4 Расслоение /г-скоростей 41
1.5 Категория (A, B)f~Man слоеных А"фВш-многообразий 49
2 Аналитические продолжения и лифты геометрических структур на расслоения 56
2.1 Аналитические продолжения морфизмов слоений 56
2.2 Действие функтора Т'1 на категории расслоенных векторных пространств 59
2.3 Естественная эквивалентность функторов Т''1 о TfL2 и 62
2.4 Лифты функций и векторных полей на расслоение TfLM 67
2.5 Лифт проектируемой линейной связности на TflM . . 71
3 Специальные классы многообразий, моделируемых А-модулями вида 78
3.1 Радиантные А"9 Вш-многообразия 78
3.2 В-многообразия, каноническое L-слоение которых порождается субмерсией , 87
4 Препятствия к существованию А-гладких связностей на многообразии ML 93
4.1 Экогомологии слоеного многообразия ML 93
4.2 А-гладкие связности и классы Атьи-Молино 97
- Категория многообразий над алгебрами
- Аналитические продолжения морфизмов слоений
- Радиантные А"9 Вш-многообразия
Введение к работе
Актуальность темы. Многообразия с интегрируемыми почти трансверсальными структурами принадлежат к классу гладких многообразий, моделируемых модулями над локальными алгебрами Вей-ля. Теория многообразий над ассоциативными коммутативными алгебрами тесно связана с геометрией расслоений струй и теорией дифференциально-геометрических объектов высших порядков на многообразиях, геометрией и топологией слоений.
Структуры гладких многообразий, моделируемых модулями над локальными алгебрами в смысле А. Вейля [20], [16] естественно возникают на различных расслоениях струй над вещественными гладкими многообразиями. В частности, структуры многообразий над алгебрами несут на себе касательные расслоения [10], расслоения го-лономных, неголономных и полуголономных (А, д)-скоростей Ш. Эрес-мана, расслоения реперов высших порядков [14], [6]. В.В.Вагнером [2] локальные алгебры применялись для описания строения касательных пространств и дифференциальных групп высших порядков. В.В. Вишневским [3] были построены полукасательные расслоения высших порядков, ассоциированные со ступенчато расслоенными многообразиями [8], являющиеся реализациями многообразий над алгебрами R(^r) плюральных чисел, моделируемых R(r)-Mony-лями общего вида.
Теории расслоений Вейля и функторов Вейля посвящено много исследований. Укажем, кроме упомянутых выше, работы А. Мори-мото, Л. Паттерсона, П. Юэна, А. П. Широкова, И. Коларжа, Э. Ока-ссы, А.Я. Султанова, В.В. Шурыгина, Г.Н. Бушуевой(см. [5],[6],[9-13], [16]). Детальное изложение различных подходов к определению функторов Вейля и их связи с функторами, сохраняющими произведение, содержится в монографии И. Коларжа, П. Михора и Я. Словака [16].
В. Микульским [17] была получена классификация расслоенных функторов, сохраняющих произведение, на категории расслоенных многообразий. Всякий такой функтор определяется гомоморфизмом /j, : А —У В локальных алгебр и относит расслоению р : М —) N расслоенное произведение Т^р : Т^М = TAN Xj-вдг ТВМ -+ TAN. И. Томашем изучались лифты проектируемых векторных полей с расслоенного многообразия р : М —У N на Т^М. В случае, когда /j, : А —У В — эпиморфизм, расслоение Т^М несет на себе структуру гладкого многообразия над алгеброй А, моделируемого А-моду-лем вида АпфВто. Расслоение Х^М, соответствующее эпиморфизму алгебр плюральных чисел, эквивалентно полукасательному расслоению второго порядка, изучавшемуся В.В. Вишневским и Т.А. Пантелеевой [4].
Расслоение Х^М, соответствующее эпиморфизму локальных алгебр /j, : А —У В, можно определить и для слоеного многообразия (М, Т) произвольного вида. При этом расслоение Х^М, соответствующее эпиморфизму /j, : А —У R, эквивалентно расслоению трансвер-сальных А-скоростей Т^М на (М, J7). Для различных локальных алгебр А строение и геометрия расслоений трансверсальных А-скоростей изучались Т.В. Дуком, Р. Волаком, 3. Погодой, В.В. Шурыги-ным (см. [Ю],[12], [16]).
Многообразия над локальными алгебрами и, в частности, многообразия с интегрируемыми почти касательными и почти трансвер-сальными структурами, несут на себе канонические слоения. Вопросы эквивалентности таких структур стандартным структурам касательных и трансверсальных расслоений исследовались в работах Ф.Брикелла и Р.Кларка, М.Крэмпина и Дж.Томпсона, Дж.Томпсона и У.Швардмана, С.Де Филиппо, Дж.Ланди, Дж.Мармо, Дж.Ви-ласси, М. де Леона, И.Мендеса и М.Сальгадо, В.В.Шурыгина (см.
обзорные работы [10],[12]). Проблема эквивалентности симплекти-ческой структуры стандартной структуре кокасательного расслоения исследовалась М.К.Фамом. Геометрия многообразий с почти комплексными структурами, структурами почти произведения, /-структурами и другими полиаффинорными структурами изучалась многими авторами. В связи с этим отметим монографию К.Яно [21] и обзорную работу В.Ф.Кириченко [7], где можно найти ссылки на литературу по теории указанных структур.
Таким образом, изучение геометрии многообразий с интегрируемыми почти трансверсальными структурами высших порядков и, в частности, многообразий, моделируемых модулями над локальной алгеброй А вида Ап ф Вто, является актуальной задачей дифференциальной геометрии многообразий с интегрируемой структурой представления коммутативной ассоциативной алгебры.
Целью диссертационной работы является изучение геометрии многообразий с интегрируемыми почти трансверсальными структурами высших порядков, моделируемых модулями над локальной алгеброй А вида Ап ф Вто, где В = А/1 — факторалгебра алгебры А по некоторому идеалу I, и расслоений Т^М над слоеными многообразиями (М, JF), определяемых эпиморфизмами локальных алгебр /і: А-^ В.
Методы исследования. В исследованиях диссертации применяются методы изучения естественных расслоений и функторов, сохраняющих произведения ([16]), методы теории многообразий над алгебрами ([3],[5],[10],[12]), а также методы теории слоений и теории (X, С7)-мнообразий ([1], [19]). При исследовании вопросов, относящихся к геометрии расслоений Вейля, используются методы теории дифференциально-геометрических структур на многообразиях ([6],[18]).
Научная новизна. Все результаты работы, выносимые на защиту, являются новыми. На защиту выносятся следующие результаты.
Получены общие формулы для локального представления дифференцируемого над локальной алгеброй А отображения из области А-модуля А"фВтв А-модуль Кп' ф Вт'.
Построено расслоение Т^М /г-скоростей слоеного многообразия (М, Т) и исследована структура многообразия над алгеброй А, моделируемого А-модулем Ап ф Вто, возникающая на этом расслоении. Исследованы свойства функтора /г-продолжения Т^ на категории слоеных многообразий. В частности, доказано, что функторы Т^2 о Т^1 и Т^1 о Т^2 естественно эквивалентны. С использованием этого результата построены лифты функций, векторных полей и линейных связностей с многообразия (М, Т) на расслоение Т^М.
Построена категория слоеных А-гладких многообразий ML, моделируемых А-модулями вида L = АпфВто. Построены представления голономии слоев канонического слоения многообразия ML, обобщающие одновременно представления голономии слоев в смысле теории слоений и представления голономии слоев как (X, (^-многообразий.
Понятие радиантного А-гладкого многообразия распространено на категорию многообразий, моделируемых А-модулем L = Ап ф Вто. Доказано, что всякое полное радиантное многообразие ML изоморфно расслоению Т^М некоторого вещественного слоеного многообразия (М, Т).
Доказано, что всякое полное слоеное многообразие ML, допускающее сюръективную слоеную субмерсию с односвязными слоями на (п + 7?г)-мерное многообразие М со слоением коразмерности п, изоморфно расслоению Т^М.
Построено обобщение конструкции П. Молино (Ір-КОГОМОЛОГИЙ
тензориальных форм на слоеном главном расслоении на случай тен-зориальных форм на расслоении В^М1, расслоенных А-линейных реперов на многообразии ML. В терминах построенных <і-когомоло-гий тензориальных форм построено препятствие (класс Атьи-Мо-лино многообразия ML) к существованию А-гладкой линейной связности на ML.
Теоретическая значимость. Диссертационная работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут найти применение при дальнейших исследованиях в трансверсальной геометрии слоений, геометрии и топологии многообразий, моделируемых модулями над алгебрами Вейля, теории дифференциально-геометрических структур высшего порядка.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на следующих конференциях и семинарах:
Международной летней школе-семинаре Волга—2001. Казань, 22 июня—3 июля 2001 года;
Научной конференции, посвященной 125-летию Казанского государственного педагогического университета. Казань, 22—24 октября 2001 года;
Международной молодежной научной школе-конференции "Лобачевские чтения". Казань, 28 ноября—1 декабря 2001 года;
Международной конференции по геометрии и анализу. Пенза, 9— 11 октября 2002 года;
Международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения А.Н.Колмогорова "Колмогоров и современная математика". Москва, 16—21 июня 2003 года;
Международной молодежной школе-конференции "Лобачевские чтения". Казань, 16—18 декабря 2005 года;
Геометрическом семинаре Пензенского государственного педаго-
гического университета, 5 октября 2006 года.
Результаты работы регулярно докладывались на заседаниях Казанского городского геометрического семинара и итоговых научных конференциях Казанского государственного университета.
Публикации. Основные результаты диссертации отражены в 11 работах, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем работы. Диссертация содержит 116 страниц и состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Список литературы насчитывает 114 названий. Нумерация предложений, теорем и формул в главах изолированная.
Категория многообразий над алгебрами
Настоящий параграф посвящен описанию категории многообразий над коммутативными ассоциативными алгебрами следуя работам [13], [50], [54].
Категорию ассоциативных коммутативных конечномерных алгебр над полем R вещественных чисел будем обозначать символом А. Модули над алгебрами из А, являющиеся конечномерными векторными пространствами над R, образуют категорию Д—Mod. Объектами категории Л—Mod являются тройки вида (A,L, ), где А — алгебра из категории A, L — конечномерное векторное пространство над полем R, а : А х L — L, (а,Х) = аХ, — билинейная операция умножения, задающая на векторном пространстве L структуру А-модуля. Для обозначения объекта (A,L, ) будем использовать также обозначения (A, L) и L. Морфизмами в категории A—Mod из модуля (A, L) в модуль (А , V) являются пары ( , i/ ), состоящие из морфизма алгебр ц : А — А и линейного отображения ф : L -» L , удовлетворяющего соотношению ф(аХ) (р(а)ф(Х). Композицией морфизмов ( р\ф ) и ( р,ф) в A—Mod является пара композиций ( р\ф ) о ( р,ф) = (ip о ф,ф о t/l).
Все многообразия, рассматриваемые в настоящей работе, предполагаются хаусдорфовьши и паракомпактными и имеющими, так же как и отображения многообразий, класс дифференцируемости С00. Такие многообразия и отображения будем называть гладкими. Категорию гладких многообразий будем обозначать символом Man.
Категория Л-Мап гладких многообразий над алгебрами из категории Л определяется следующим образом. Пусть М — гладкое многообразие, a (A, L) — А-модуль из категории A—Mod. L-кар-той на М называется пара (U,h), состоящая из открытого множества U С М и диффеоморфизма h : U — U С L. L-атласом на М называется набор L-карт {(/«, /г„)}лел такой, что {Un}a A — покрытие М, а пара, состоящая из тождественного отображения ісід : А — А и касательного отображения является изоморфизмом А-модулей при всех х Є М, а,/3 А. Объектами категории И —Man являются четверки вида (A, L, М, Ф), где Ф — максимальный L-атлас на М. Объект (A, L, М, Ф) называется А-гладким многообразием, моделируемым А-модулем L, или L-много-образием. Для обозначения многообразия (A, L, М, Ф) будем также, когда это не вызывает недоразумений, использовать только часть определяющих его объектов: (A, L, М), (Ь,М) или ML.
Изоморфизм (1.1) позволяет определить структуру А-модуля изоморфного L на касательном пространстве TXML L- много о б раз и я ML в произвольной точке х М, перенося ее с TXU отображением Txh l : TJJ4a = L -» ТТМ. Поскольку при этом — гладкое отображение, то возникает гладкое действие определяющее на многообразии ML полиаффинорную структуру [22], [107], представляющую элементы алгебры А гладкими полями аффиноров (тензоров типа (1,1)).
Морфизмами в категории А-Мап из (A,L, М) в (A , L ,M ) являются пары ( ,/), состоящие из морфизма алгебр р : А — А и гладкого отображения / : М -} М такого, что (ip, Txf) — морфизм из A—Mod при всяком ібМ.
Аналитические продолжения морфизмов слоений
Предложение 2.1.1. Пусть (М,Т) и {М ,Р) — слоеные многообразия и ip : М - Т(1М — морфизм слоений. Тогда:
1) Существует единственное слоеное А-гладкое отображение р 1: TftM - Т 1М , ограничение которого на многообразие М (отождествляемое с образом нулевого сечения (1.58)) совпадает с (р.
2) В частности, сечение s : М — Т,1М, являющееся морфиз-мом слоений, единственным образом продолжается до изоморфизма s1 : Т1 М - Т 1М в категории (A,B)f Man.
3) Если образ (р(М) многообразия М содержится в М С Т 1М , mo(pll=TIL{7r(lo p),
Доказательство. 1) Пусть сначала М U — простое открытое подмножество в Rn+m, а М = R"1+mi, где Rn+In и R» + »i рассматриваются как многообразия со стандартными слоениями (1.49). Поскольку 74(R"+m отождествляется с А"фВш (см. замечание на с. 48), то в этом случае отображение принимает вид и задается уравнениями где г = 1,... ,п, а = 1,.. .т, г і = 1,... ,ni, cq = 1,... ті. В соответствии с теоремой 1.3.3 (формулы (1.35) и (1.36)), имеется только одно слоеное А-гладкое отображение где символом 7fy обозначена проекция А" Вт на Rf(+m, а именно: отображение, имеющее уравнения
Из единственности продолжения отображения (2.1) до слоеного А-гладкого отображения (2.2) вытекает следующее свойство продолжений:
Используя свойство (2.5), докажем утверждение 1) предложения 2.1.1 в общем виде.
Рассмотрим расслоенные карты h : U — U С R"+m на [М,Т) и Ai : Ui - t/f С R" "11 на (М ,Я) такие, что p(U) С (яу,)"1 ), и определим tpfi на (тг/1) 1(С/) С Т(1М формулой локальных координатах отображение (/ задается уравнениями (2.3) и (2.4) и является единственным А-гладким отображением, продолжающим отображение tp\U. Необходимо теперь убедиться, что отображение ір \и не зависит от выбора локальных координат на U и U\. Рассмотрим другие расслоенные карты к : U -» О С R"+m на (М,Т) и Ai : Ui - U[ С Rni+mi на По доказанному выше, отображения в левой и правой частях соотношения (2.8) совпадают тогда и только тогда, когда совпадают их ограничения на U С R7l+m. Ограничение левой части на U имеет вид Aj о оЛ""1, а ограничение правой части имеет вид k { о (h i) l о к { о(ро А-1 И после сокращения взаимно обратных отображений совпадает с А / о ір о /г-1.
Утверждения 2) и 3) являются прямыми следствиями рассуждений, проведенных при доказательстве утверждения 1).
Определение. Отображение (pft будем называть /г-продол жен и ем отображения р.
Специальные классы многообразий, моделируемых А-модулями вида 78
Радиантные многообразия
Подмодуль L=A" Bm А-модуля L = А" Вт инвариантен относительно группы GZ//(L, А) — группы расслоенных автоморфизмов А-модуля L. Этому подмодулю на слоеном А-гладком многообразии ML, моделируемом А-модулем L, соответствует каноническое L-слоение J7, определяемое вполне интегрируемым распределением подмодулей касательных А-модулей к М1 , которые отображаются всякой L-картой на М изоморфно на подмодуль Lc L. В локальной L-карте слои слоения J- задаются уравнениями х1 = #[, = const, уа = у% = const. Локально (в некоторой простой окрестности всякой точки) преобразования координат на М1 имеют вид где функции рг и (рп принимают значения в А и В соответственно. Диффеоморфизмы между областями А-модуля L, имеющие локально вид (3.1), (3.2), образуют псевдогруппу, которую будем обозначать символом Г/(Ь). Диффеоморфизмы между областями подмодуля L, локально являющиеся ограничениями диффеоморфизмов из Г/(Ь), образуют псевдогруппу Г/(Ь). На связных областях диффеоморфиз-мы из Г/(Ь) имеют следующий вид: где агц еА, а Є A, 6f„ ЄВ и b ,]v В. Поскольку уравнения вида (3.3) задают глобальный диффеоморфизм L- L, то псевдогруппа Г/(Ь) порождается группой Ли G /(L), состоящей из всех (глобальных) диффеоморфизмов L— L вида (3.3). Группа Ли G/(L) транзитив-но действует на L. Преобразования координат на М индуцируют преобразования L-координат {Х\ Y"} на слоях слоения , которые принадлежат псевдогруппе Г/(Ь). Отсюда следует, что каждый слой слоения Т на слоеном многообразии М несет на себе индуцированную структуру (X, (З)-многообразия в смысле У.Терстона [105] (см. также [1]) при X =Ь и G = Gf(L). В дальнейшем для краткости
-многообразия будем называть L-многообразиями. L-MHO-гообразия при п,пг = 0,1,... образуют категорию (А,В)0—Man, морфизмами которой являются отображения, локально (в картах со-ответствующих L-атласов) имеющие уравнения вида (3.3).
Если X — вещественно аналитическое многообразие, а группа Ли G действует на X вещественно аналитическими диффеоморфизмами, то распространение Х-карты h : М Э U -$ U С X вдоль путей на {X, -многообразии М [105], [1] задает так называемое развертывающее отображение D : М — X, где М — универсальное накрывающее пространство многообразия М. (X, ?)-многообразие называется полным, если развертывающее отображение D : М -» X является накрытием [105], [1].
Пусть М — L-многообразие и h : М Э U - U CL — некоторая L-карта ка М. Распространение L-карты h вдоль путей на М задает развертывающее отображение D : М н-L, где М — универсальное накрывающее пространство многообразия М. В соответствии с общей теорией (Л",6 )-многообразий дадим следующее определение.
Определение. L-мпогообразиє М называется полным, если раввертывающее отображение D : М — L является накрытием.
Поскольку L является односвязным многообразием, для полного L-многообразия М развертывающее отображение D : М - L является диффеоморфизмом и изоморфизмом в категории (А, В)0—Man.
