Введение к работе
І. Общая характеристика работы.
Актуальность темы, 1)дним неперспективных направлений :атематики, в котором происходит синтез алгебраических и «ометрических идей., является изучение пространств над ал-ебрами и их вещественных реализаций,- Работы В.Гамильтона, ..П.Котельникова, Э.Штуди, Д.Н.Зейлигера положили начало :зученив пространств над алгебрами, которые в самом начале X века возникли в линейчатой геометрии и её" приложениях-- к [вханике. Теория пространств над алгебрами была далее разви-а в работах П.А.Широкова, А.П.Нордена, Б.А.Розенфельда, ..П.Широкова,. В.В.Вишневского, их учеников, а также другій івторов. В'частности, било установлено, что дифференциально-еометрические структуры на многообразиях, определяемые юсоциативными и коммутативными алгебрами, возникают в слу-іае существования на них некоторой системы аффинорных труктур, изоморфно представляющих эти алгебры.
G другой стороны, наряду с исследованиями в области ространств над алгебрами в 50-е - 60-е годы появились рабо-'ы японских математиков Исихары С, Сасаки С, Тасиро Я., !но К., в^которых было положено начало изучению касательных «сслоений, являющихся важным случаем расслоенных многооб-йзий. Касательные расслоения первого порядка обладают тем івойством, что несут на себе нильпотентную интегрируемую .ффинорную структуру половинного ранга, с точки зрения кото-юй они является вещественными реализациями многообразий ид алгеброй дуальных чисел. Соответственно, касательные )асс.лоения высших порядков реализуют многообразия над алгеб-
- і» -
рой плюральных чисел.
В последние годы появилось много работ, в которых строились лифты различных дифференциально-геометрических объектов в касательные расслоения высших порядков. В работах Тасиро Я., Яна К. появились так называемые голоморфно-геодезические кривые, являощиеся обобщением геодезических кривых, причём определены они были на почти комплексных многообразиях. В дальнейшем эти понятия обобщались на случай более общих структур на многообразиях и применялись к .голоморфно-геодезическим преобразованиям связностей, сохра нявщим класс голоморфно-геодезических линий [Г}.
Как обобщение касательных расслоений в работе 2]вводятся " полу касательные расслоения первого и высших порядкам Для случая полукасательного расслоения первого порядка построена теория голоморфных продолжений (лифтов) тензорных полей и связностей [3~\ и получены некоторые приложения ЭЮЙ теории. Такие лифты тензорных полей и связностей на полукасательном расслоении 2-го порядка построены в \W\.
Обобщение этих результатов для случая полукасательногс расслоения -высшего порядка является, несомненно, важной и
актуальной "задачей, так как позволит осуществить подход к построении теории лифтов тензорных полей и связностей в полукасательное расслоение более общего вида. С другой стороны, представляет интерес и определение места полукасательных расслоений в общей теории дифференцируемых многообразий с интегрируемыми аффинерными структурами.
Целью работы является выделение тех классов тензорных полей и связностей, которые допускают лифты (голоморфные
_ 5 -продолжения) в полукасательное расслоение произвольного порядка, фактическое построение этих лифтов и применение теории лифтов к исследованию инвариантных объектов относительно голоморфно-геодезических преобразований связносгей в полукасательном расслоении произвольного посадка.
Мег^вдкой_исследования в настоящей работе являются тензорные методы в сочетании с применяемым в ней аппаратам теории пространств над алгебрами. Исследование носит локальный характер в классе достаточно гладких функций.
Теоретическое и практическое значение. Полукасательные расслоения высших порядков, рассмотренные в диссертации, являются интересным примером и достаточно общим классом многообразий с интегрируемыми нильпотентными аффинерными структурами. Проектируемая связность в этих многообразиях порождает полный лифт, представляющий собой связность, сохраняющую ффинорную структуру. Преобразования этих связностей и их полных лифтов и, в частности, голоморфно-геодезические преобразования, изучаемые в диссертации, являются интересными примерами преобразований этих многообразий. Применение построенное еории к частному случаю субмереш ЗС :ТМ~*п приводит к воз-шкновению на полукасательном расслоении структуры полиаффи-юрной нефробениусовой алгебры.
-
Вилневский 3.3. К вопросу о тензоре проективной кривизны //Труды' геом.сем.Казань.-1933.-вып.15.- С. 1^-23.
-
Зилневский В.З. U геометрической модели полукасательных структур //Лзв.вузов,Матем.-1933.-S 3.- G.73-75.
.-6-
Научная новизна и основные задачи, решенные в диссертации и выносимые на защиту.
1. Выяснены свойства полукасатеявной структуры выслего
порядка, её место среди обобщенных касательных структур
высшего порядка и её плюральная интерпретация.
-
Построена теория лифтов проектируемых векторных,, тензорных полей и связностеи в полукасательное расслоение выслего порядка и их плюральная интерпретация.
-
Изучены свойства производной Ли лифтов проектируемых векторных полей и связностеи на полукасательном расслоении 1-го и 2-го порядка и, в частности, горизонтальных лифтов.
-
Выделен специальный вид полукасательного расслоения, которое является обобщенной суммой Уитни ТЧ^І Х \\ t
-
Исследованы голоморфно-геодезические преобразования связности полного лиірта; выделены обобщенный- объект Томаса
и обобщенный тензор Вейля, инвариантные относительно этих преобразований.
6. Найден класс годоморфно-геодезически-^плоских много
образий с полукасательными структурами второго порядка и
установлен их признак.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:
1) На Итоговых'научных конференциях преподавателей
3 Кирсанова Т.В. Подукасательные структуры 1-го порядка //Груды геом.сем.Казаньг-1934.- вып.16,- С.41-46.
и сотрудников Казанского университета ( январь, 1990, январь 1991, январь 1992).
-
На научном семинаре кафедры геометрии Казанского университета (рук. профессор А.П.Широков - декабрь 199и, январь 1991, сентябрь 1992).
-
На Международной научной конференции "Лобачевский и современная геометрия" (г.Казань, август 1992).
-
На семинаре Московского государственного педагогического университета (рук. профессор Л.Ь.Евтушик - сентябрь 1992).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 4 работы.
Структура и объем работы._ Диссертация состоит из введения, трех глав, вкдвчаищих восемнадцать параграфов, списка отечественной и зарубежной литературы. Общий объем работы 132 стр. машинописи.
