Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Алгебры Грассмана
1. Поливекторы 14
2. Мультипликативные грассмановы модули 27
3. Поливекторные метрики 36
Глава 2. Алгебры Грассмана на гладком многообразии
1. Грассмановы расслоения 46
2. Грассмановы связности 57
3. Кривизна 70
Глава 3. Аффинные пространства с пол и векторным и метриками
1. Поливекторная длина дуги 77
2. Формулы Френе для пространств с поливекторными метриками 88
Глава 4. Поливекторные метрики на гладких многообразиях
1. Тензоры высших порядков 101
2. Грассмановы метрики, присоединенные к поверхности в n-мерпом евклидовом пространстве 110
Заключение 116
Литература
- Мультипликативные грассмановы модули
- Грассмановы связности
- Формулы Френе для пространств с поливекторными метриками
- Грассмановы метрики, присоединенные к поверхности в n-мерпом евклидовом пространстве
Введение к работе
В диссертации рассматриваются некоторые дифференциально-геометрические структуры, связанные с внешними алгебрами Грассмапа. Актуальность темы:
Внешние алгебры Грассмана и связанные с ним алгебраические и дифференциально-геометрические структуры являются важным объектом изучения, как в самой геометрии, так и в ее многочисленных приложениях. Здесь, прежде всего, можно отметить внешнюю алгебру дифференциальных форм, естественно возникающую на гладких многообразиях и ставшую одним из инструментов исследования практически во всех разделах геометрии и топологии [1], [2], [3], [4]. С другой стороны, алгебры Грассмапа векторных полей стали основным аппаратом в тех разделах геометрии и ее приложений к математической физики, в которых исследуются некоммутативные структуры [5], [6], [7] и т. д.
Особую актуальность внешние алгебры Грассмана приобретают в связи с исследованиями симметрии между коммутативными и некоммутативными переменными в квантовой теории поля. Такие симметрии в физике высоких энергий и в космологии получили название "суперсимметрий" [8], [9], [10] и т.д.
Проблемы, возникающие при изучении симметрии между коммутативными и некоммутативными переменными, как правило, связаны с мероопределением в некоммутативных алгебрах, а также с совместимостью некоммутативных структур с локальной (и глобальной) геометрией на гладких многообразиях. Эти проблемы в частных случаях пространственно-временных многообразий решаются путем присоединения дополнительных алгебраических структур к алгебре Грассмана внешних дифференциальных форм и гюливекторных полей [11], [12], [13], [14], [15]. Однако, использование спинорных, твисторных и Клиффордовых алгебр для описания различных антикоммутативных структур на гладких многообразиях не обладает той общностью, которая присуще внешним алгебрам Грассмана, естественно реализующихся на расслоениях внешних форм и поливекторных полей на гладких многообразиях. Поэтому задача описания и исследования грассмановых структур на гладких многообразиях является актуальной как для самой геометрии, так и для ее многочисленных приложений в теоретической и математической физике. Исторический обзор:
Антикоммутативные алгебры впервые возникают в работах Грассмана [16] и Гамильтона [17] в середине 19-го века, их появление было связано с решением ряда геометрических задач, актуальных для того времени. Работа Грассмана [16] отличалась большой абстракцией и тяжелым стилем изложения и не сразу получила признание математиков. Однако, уже в конце 19-го века Куммер использовал идеи Грассмана для изучения некоторых вопросов интегрирования линейных дифференциальных форм [18]. Ему же (Куммеру) принадлежит понятие внешней дифференциальной формы и внешнего произведения дифференциальных форм.
Но настоящий триумф идеи Грассмана получают после целой серии работ Картана [1], который применил понятие внешнего произведения дифференциальных форм для исследования большого количества различных проблем дифференциальной геометрии. И после работ Картана внешние алгебры Грассмана прочно входят в арсенал геометрических исследований.
В кратком историческом обзоре невозможно описать все многообразие приложений внешних алгебр Грассмана к различным областям математики и математической физики, поэтому мы остановимся только на тех аспектах, которые относятся к тематике диссертации. Здесь, прежде всего, следует отметить общее мероопределение для площадей, объемов и гиперобъемов различных фигур, как в евклидовых, так и на римановых, и на псевдоримановых многообразиях. Из множества работ, относящихся к этому предмету, мы отметим основополагающие работы Пуанкаре [19] и его последователей [20], [21]. Среди отечественных математиков можно отметить классические работы Рашевского [22], Финикова [23], Ефимова [24] и многих других.
С другой стороны, мероопределение, основанное на использовании внешнего произведения векторов и поливекторов (форм), легло в основу многочисленных работ по аффинной дифференциальной геометрии. Среди этих работ, прежде всего, отметим капитальный труд Широкова П.А. и Широкова А.П. [25], а также работы [24], [26] и т.д.
С другой стороны, широким обобщением мероопределений, связанных с инвариантами аффинной дифференциальной геометрии, являются исследования по дифференциально-геометрическим структурам высших дифференциальных порядков. Здесь, среди отечественных математиков, следует, прежде всего, назвать работы Л. Е. Евтушика [36], [37], а также его многочисленных учеников [38], [39], [40] и т.д.
Следует также отметить, что в последнее время интерес к дифференциально-геометрическим структурам с некоммутативными координатами возрастает в связи с изучением нелокальных объектов в физике высоких энергий и в космологии [41], [42] и т.д. Целью данной работы является:
1. Обобщение тензорных конструкций на некоммутативный случай внешних грассмановых алгебр - мультипликативные грассмановы модули; 2. Определение билинейной меры на произвольных алгебрах Грасемана при помощи поливекторных метрик;
3. Построение общей теории расслоений со структурой алгебры Грасемана на дифференцируемых многообразиях;
4. Обобщение аффинной связности и ковариантного дифференцирования па случай грассмановых расслоений - грассмановы связности;
5. Изучение кривизны грассмановых расслоений;
6. Обобщение эквиаффинных метрик на случай пространств произвольной размерности: поливекторная длина дуги и теория кривых в пространствах с поливекторной метрикой;
7. Исследование поливекторных метрик на гладких многообразиях и их связи со структурами высших порядков.
Методика исследований:
В работе используются общие методы теории расслоений, аппарат векторных полей и внешних форм, тензорный анализ и его модификации. Существенную роль играет теория алгебр Грасемана и некоммутативных модулей. Краткое изложение:
Диссертация состоит из четырех глав. Первая глава содержит три параграфа и посвящена общим алгебраическим вопросам с учетом некоммутативности внешнего произведения.
В первом параграфе приводятся основные сведения о поливекторах, алгебрах Грасемана и их структуре. Этот параграф носит вводный характер и изложение, представленных в нем сведений, построено так, чтобы в дальнейшем классические линейные конструкции можно было обобщить на некоммутативный случай.
Элементами мультипликативного фассманого модуля являются грассмановы тензоры, компоненты которых содержат антикоммутирующие переменные. Конструкция мультипликативного модуля позволяет распространить классические тензорные конструкции на некоммутативный случай.
Научная новизна полученных в диссертации результатов состоит в том, что ряд понятий теории пространств с аффинной связностью обобщен на случай грассмановых алгебр. С помощью аппарата грассмановых расслоений исследованы билинейные метрики на гладких многообразиях, с одной стороны, обобщающие структуры римановых и псевдоримаиовых метрик, с другой, классические метрики эквиаффинной дифференциальной геометрии. Следует также отметить, что развитый в диссертации аппарат грассмановых структур на гладких многообразиях позволяет обобщать различные алгебраические и дифференциально-геометрические конструкции на случай антикоммутативных переменных.
Практическое значение результатов диссертационного исследования заключается в том, что они могут быть использованы для исследования дифференциально-геометрических структур с антикоммутативными переменными. А также, результаты диссертации примыкают к исследованиям суперсимметрических теорий в квантовой гравитации и физике высоких энергий.
Материалы диссертации могут быть использованы при чтении специальных курсов по дифференциальной геометрии некоммутативных структур и анализу с антикоммутативными переменными для студентов математических и физических специальностей. Апробация работы.
Результаты диссертации докладывались на семинарах кафедры геометрии МПГУ, на Международном геометрическом семинаре имени Г.Ф. Лаптева в г. Пенза, на Международной научной конференции "Математика. Образование. Культура" в г. Тольятти. Тезисы докладов по тематике диссертации были представлены на Международном семинаре "Геометрия в Одессе - 2005. Дифференциальная геометрия и ее применение".
Основные результаты диссертации освещены в 5 публикациях [56], [57], [58], [59], [60].
Мультипликативные грассмановы модули
В первом параграфе мы уже упоминали, что для определения меры в пространстве поливекторов необходимо ввести в рассмотрение полилинейные функции, которые сами по себе образуют некоторые линейные пространства. Такие пространства, построенные над произвольным линейным пространством, в совокупности образуют тензорную алгебру над этим линейным пространством. Однако, в нашем случае мы имеем непроизвольные линейные пространства, а линейные пространства, уже наделенные алгебраической структурой внешнего произведения. Поэтому тензорные конструкции над линейным пространством Л„ обладают определенной спецификой, учитывающей его алгебраическую структуру. В этом параграфе мы рассмотрим тензорные конструкции над внешними алгебрами Грассмана.
1. Как известно, основой тензорных конструкций являются законы преобразования различных объектов в линейном пространстве при переходе от одного базиса в этом пространстве к другому. Поэтому для формирования тензорных конструкций над линейным пространством внешней алгебры Грассмана, мы должны изучить линейные преобразования в этом пространстве.
Отметим еще, что в силу обратимости А) матрицы, А У"/ будут также обратимы (что легко усматривается из жордаиовой формы обратимой матрицы). Таким образом, (1.2.2) действительно представляет собой преобразование линейного базиса пространства Л,(.
Следует отметить, что линейные преобразования (1.2.2), действующие в пространствах Л";,, Л3,(,...,Л", не исчерпывают всевозможных линейных преобразований в этих пространствах. В общем случае линейное преобразование в пространстве Л , можно записать в том же виде (1.2.2) с той лишь разницей, что коэффициенты этого преобразования 4" / пе выражаются через коэффициенты некоторого исходного линейного преобразования в подстилающем пространстве Е р. Однако, в силу алгебраического строения базисных элементов в пространстве Аря, коэффициенты 4 "/ обладают некоторым набором симметрии, которые выражают полную антисимметричность (альтернативность) по верхнему и нижнему набору индексов. Если воспользоваться сокращенным обозначением базисных поливекторов при помощи мультииндексов v = (/,/2-./ ), т.е. положить то произвольное линейное преобразование Арп можно записать в компактном виде [24], [44] «V =A /ev , (1.2.3) формально не отличающимся от линейного преобразования в произвольном линейном пространстве.
Следует только отметить, что преобразование (1.2.3), определенное на всем линейном пространстве внешней алгебры Грассмана Лн, представляет собой прямую сумму линейных преобразований, действующих в каждом подпространстве Крп по отдельности.
2. В первом параграфе мы внешнюю алгебру Грассмана строили над некоторым фиксированным линейным пространством Е„. Однако, алгебру Грассмана можно построить и над сопряженным пространством линейных форм Elt; эту алгебру мы будем обозначать Л„. Если е;- базис пространства Еп, е} - сопряженный ему базис пространства Еп (такой что eJ (ei) = (ej ,es) -8/), то базисом Л„ будут формы [24] Скалярное произведение форм и векторов или свертку ковекторов и векторов можно продолжить на алгебры Л„ и Л„. В частности, действие т базисной формы е на базисный v- вектор определяется по формуле [30]: C}{eh A...A?J= (-і) Є; Л...ЛЄ; АС,.., А...АС; .ЄСЛИ / = /,.; 0, если ./(/,/2..-0 V зо и распространяется на произвольные линейные формы со - a?Jei є E It и на произвольные элементы В, = f ,, є Лд по линейности. Действие базисных внешних форм ev =еА A...ACJV на базисные поливектора е =et л...доопределяется по ассоциативности: (ej . ( л...ло-J...)- (1.2.5) Эта формула по линейности позволяет определить скалярное произведение произвольных форм со є А,, с элементами єЛ„. При этом для базисных форм и поливекторов одного порядка Ч "(0= .-„ (-1) 2 ,если v = //; (1 26) О, если v //; где равенство мультииндсксов i = {j\---jv) и // = (/,.../) понимается каких совпадение. Поэтому, для формы СО- У СО ; ; Ch Л . . . Л eiv )\ - Jv и поливектора і. ... /„ мы будем иметь: ! - , . (1-2-7)
Эта формула практически повторяет формулу для свертки ковектора и вектора. Конечно, в случае, когда форма и поливектор имеют разный ранг, их скалярное произведение или свертка уже не выглядит так просто и, вообще говоря, зависит от вложения мультииндексов.
Для примера мы рассмотрим свертку линейных форм с бивекторами при /7=3. Пусть со = со\СХ + ще2 + со$е3, 4 = %\ег Л 3 + &«3 л е\ + Й«1 Л 2 тогда ()= (3& - 2 3 1 +(1#3 - iK + ( 6 - 1 2 3 Рассмотрим теперь, как преобразуются внешние формы при линейном преобразовании. Если мы от базиса et в пространстве Еп перейдем к новому базису сг при помощи преобразования (1.2.1), то переход от взаимного базиса е} к новому базису форм е} , взаимному с базисом еҐ, осуществляется преобразованием
Грассмановы связности
1. Грассмановы структуры, естественно возникающие на гладких многообразиях, как сечения соответствующих расслоений, позволяют нам обобщить классическую процедуру параллельного переноса. Это общение должно учитывать "вложение" векторных полей в грассмановы поля, представляющие собой формальную сумму поливекторпых полей различного порядка. При это, аффинные связности мы заменим более общими объектами, которые назовем грассмановыми связностями. Рассмотрим снова основное грассманово расслоение (Л+Мн,;г,Мн) и бесконечно-мерное пространство сечений Л4(М/(), которое, как было указано выше, имеет структуру внешней алгебры с поточечным умножением поливскторных полей. Где любой элемент этой алгебры сечений Л+(М„) в некоторой координатной области U а Мп записывается в виде ?W=Z І?4"Л( М )Л...ЛЄ;І(ЛГ), к=і)І] ... Ік где е{(х), е2{х\...,еп(х) - базис векторных полей в -функции точки многообразия хєі/ zMH. Как отмечалось выше, в общем случае базис Cj{x) может быть неголономным.
Используя эту локальную запись сечений расслоения (Л+М„,л",Мн), исследуем вопросы ковариантного дифференцирования. Как сказано выше, мы хотим обобщить классический случай ковариантного дифференцирования векторных полей на гладких многообразиях с аффинной связностью. Вариант, который рассмотрен в этой работе, отличается от классического тем, что пространство Л(М() имеет дополнительную структуру внешней алгебры Грассмаиа, в отличие от модуля векторных полей на гладком многообразии. Более того, модуль векторных полей Л (М„) вложен в бесконечномерную алгебру Л(МЯ) как подпространство и это вложение Л (Ми)с Л(МН) определяет "направление" излагаемого ниже обобщения классического ковариантного дифференцирования в пространствах аффинной связности.
При этом, мы выберем "аксиоматический метод" определения ковариантного дифференцирования, как независящий от системы координат. Напомним, что при таком подходе ковариантное дифференцирование определяется как некоторый линейный оператор, обладающий дополнительным набором свойств [7], [47]. Дадим следующее определение [60] Определение 2.2.1. Линейный оператор D: А]{Мп)хА+{Мп) А+(Мп) называется грае с мано вой ковариантной производной от д(х)є А (Мп) вдоль векторного поля V(J)G Л (Мл), если выполняются следующие свойства (аксиомы ковариантного дифференцирования): l)D + )=Dvfci)+Dvfe2) 2)0,. )=0 )+0 ) 3) 1)Лд) = j\ v(g), [ Де f: Мп - R - функция на многообразии Мн 4) A (f) = v(f), где v(f) результат действия векторного поля V(.Y) Є Л1 [мп) на функцию /: Мп -» R 5) Dv(g} лд2)= Оу(д1)лд2+д1 лВу(д2).
Следует заметить, что бесконечномерное пространство Л+(МН), которое участвует в этом определении, вообще говоря, является подпространством пространства сечений грассмаиова расслоения (Л+М/,л ,М1). Это подпространство выделяется классом гладкости поливекторных полей для того, чтобы обеспечить возможность дифференцирования компонент этих полей в каждой координатной области. Однако, в дальнейшем изложении мы, допуская определенную вольность, не будем делать различия между обозначениями пространства гладких поливекторных полей, фиксированного класса гладкости, и общего пространства поливекторных полей, каждый раз понимая под Л+(МЯ) пространство поливекторных полей того класса гладкости, который необходим в нашем исследовании.
Отметим, что первые четыре аксиомы совпадают с аксиомами ковариант-ной производной в пространствах аффинной связности и лишь аксиома 5) отличает ковариантную производную сечений грассманова расслоения от аффинной ковариантной производной. Это отличие учитывает разницу между модулем Л (М,Г) векторных полей на гладком многообразии Мп и бесконечномерным пространством Л+(МЯ), наделенным, помимо структуры линейного пространства или модуля, еще и структурой внешней алгебры Грассмана. Именно структура алгебры (т.е. наличие в Л+(М„) операции внешнего произведения) диктует необходимость добавления к первым четырем аксиомам - классическим аксиомам ковариантного дифференцирования в пространствах аффинной связности - пятой аксиомы, определяющей свойство ковариантного дифференцирования относительно операции внешнего дифференцирования. Линейный оператор Dv мы будем называть грассмановои ковариантной производной вдоль векторного поля v [58].
Рассмотрим теперь координатное представление ковариантной производной. Пусть U -Mn - координатная область и t ,(x), е2(х\...,е11(х) - базис векторных полей в этой области, тогда в силу определения 1. мы будем иметь е&)=1 iFt" л...л А єЛ+(М„). (2.2.1) Набор коэффициентов Рк определяет грасеманову связность, а сами эти коэффициенты называются компонентами грассмановои связности в выбранной координатной области.
Формулы Френе для пространств с поливекторными метриками
Группа преобразований, сохраняющих р-векторную длину дуги в «-мерном пространстве, вообще говоря, не совпадает ни с одной из подгрупп аффинных преобразований пространства Ап. Мы поясним это на примере преобразований трехмерного пространства, при которых сохраняется фундаментальная форма, образованная при помощи бивекторной метрики. Пусть в пространстве Аъ задана бивекторная метрика своими компонентами G-- в некоторой аффинной системе координат. Тогда для любого бивектора и и е] л е2 + и ех ле3+ и е2 л еу скалярный квадрат его модуля вычисляется по формуле Н = W y»w (3.2.1) Для простоты будем считать, что бивекторная метрика положительно-определена.
Рассмотрим вопрос, какие преобразования сохраняют модуль бивектора, вычисленного в заданной бивекторной метрике. Для этого, прежде всего, заметим, что любой бивектор в трехмерном пространстве является простым, т.е. его можно представить в виде внешнего произведения двух векторов 7, и
Вектора н, и и2 определяют некоторую плоскость в трехмерном аффинном пространстве, которую мы обозначим р(/7,,н2)- Если в Аъ выбрать систему координат так, чтобы два базисных вектора et и е2 є р{их,и2), то среди компонент бивекторной метрики, отличной от нуля, будет только компонента G]2]2 а среди компонент бивектора, отличной от нуля, будет только компонента и ив этом случае формулу (3.2.1) можно переписать так: н = JGl212 и . (3.2.2)
Рассмотрим теперь эквиаффинные преобразования в плоскости, натянутой на вектора и, и и2. Очевидно, что такие преобразования сохраняют модуль бивектора.
Вместе с тем, если в Аъ задана фундаментальная форма компонентами бивекторной метрики Gi}, , то мы можем рассматривать и преобразования в пространстве бивекторов Л2(Я3), при котором заданная фундаментальная форма сохраняет свое значение. По сути дела, это будут ортогональные преобразования в пространстве бивекторов с базисом ек ле2» сх л 3, е2 ле3, сохраняющие фундаментальную форму е(«)=Х иЛ РЯ
В общем случае для пространств произвольной размерности Ап мы имеем аналогичную ситуацию. Пусть е{ ле2 =еи, ех леъ = е3,..., ?„_, леп =с1г_и -базис в пространстве бивекторов А2{Еп) аффинного пространства Ап, в котором фундаментальная форма в бивекторной метрике записывается в виде
Преобразования, сохраняющие эту фундаментальную форму можно разделить на два класса. С одной стороны - это преобразования вида ЛН.е при которых замена одного базиса бивекторов (с не штрихованными индексами) на другой (со штрихованными индексами) оставляет инвариантной форму (3.2.3). Очевидно, это ортогональные преобразования в пространстве бивекторов А2{Еп). Вместе с тем, существует еще один класс преобразований, сохраняющих фундаментальную форму (3.2.3). Эти преобразования относятся к базису пространства Еп векторов аффинного пространства. В частности, в число таких преобразований входят эквиаффинныс преобразования в плоскостях, натянутых на пары векторов et и е-. Очевидно, при эквиаффинных преобразованиях в этих плоскостях ( базисные бивектора сохраняются, а, значит, сохраняется фундаментальная форма (3.2.3). Таким образом, группа преобразований, сохраняющих фундаментальную форму (3.2.3), вообще говоря, шире, чем ортогональная группа в пространстве А2{Е11) И включает в себя ортогональную группу этого пространства как подгруппу.
Используя ортогональную группу в пространстве А2{Еп), мы можем привести метрический тензор Gjj к диагональному виду, при котором, в случае положительно-определенной метрики G}J , скалярный квадрат бивектора будет представлен суммой квадратов его координат. Базис в пространстве бивекторов, в котором скалярный квадрат бивектора выражается суммой квадратов его координат, называется ортопормированным базисом. В частности, если бивекторная метрика индуцирована некоторой евклидовой метрикой, заданной на пространстве векторов аффинного пространства Ап и е{ - ортонормированный векторный базис, то базис бивекторов с(. /\е-} - будет ортопормированным относительно индуцированной бивекторной метрики.
Грассмановы метрики, присоединенные к поверхности в n-мерпом евклидовом пространстве
Конструкции, описанные в предыдущем параграфе можно реализовать локально на любом гладком многообразии. В качестве примера этих конструкций мы в этом заключительном параграфе опишем грассмановы метрики, естественно возникающие на гладких m-мерных поверхностях Р,н в n-мерном евклидовом пространстве /?" [53], [54]. Зададим т-мерную поверхность векторной функцией V„:r=r{u)=r(u\...,um) от локальных координат куска поверхности. Вектора дг(п) I) — ди 0) образуют в каждой точке нєРт базис касательного пространства Т(/ =Т„. Любой другой базис в Тн получается из базиса 7{ обратимым линейным преобразованием ) Є;(іі)= A/(u)rj.
Для определенности мы выберем базис ортонормированным относительно евклидовой метрики в R", а его вектора будем обозначать е„ . Рассмотрим теперь вектора - _ д2К") hj ди ди и линейную оболочку Цг Гу). Это линейное пространство представляет (2) собой касательную плоскость второго порядка Т«, присоединенную к ь (2) заданной m-мерной поверхности в точке и є Рш. Базис в Т» выберем следующим образом: возьмем вектора е{ и дополним их векторами еа до ) ортонормированного базиса во всем пространстве Т„ относительно евклидовой метрики в R". При этом следует отметить, что, не смотря на то, 1 і \ (2) что количество векторов Гц равно — т\т + \), размерность пространства Ти, (2) т[т + \). размерность пространства вообще говоря, необязательно будет равной — ш(ш + 3). В общем случае мы можем лишь утверждать, что (2} 1 / Л m dimT„ —яцш + 3), т.к. число ш2 базисных векторов еа удовлетворяет (в общем случае) неравенствам 0 ш2 —m(m + l). Например, если Р„; является т-плоскостью в /?", то /и2=0. (2) Любой другой базис пространства Тн получается из базиса еа , еа (ортогональным) преобразованием вида %= V,+ V (4-2-2 (где а,, Д = 1,2,...,ш, =ш, а2,/32 = 1, 2,...,/я2) сохраняющими структуру (2) полупрямой суммы пространстваТ,,. Далее рассмотрим вектора дъг{и) Г;:,, = iJk ди ди]дик и линейную оболочку Цгп Гу,?ик). Это линейное пространство представляет (з) (з) собой касательное пространство второго порядка Тн. Базис в Т» мы (2) построим исходя из уже построенного базиса в пространстве Т„, дополнив набор векторов еа , еи векторами еи , ортогональными между собой и к векторам базиса в Тн и, само собой, нормированными на единицу в евклидовой метрике R".
Так же, как и в случае касательной плоскости второго порядка, мы можем утверждать, что число тъ базисных векторов еа удовлетворяет неравенствам О тъ —т(т + \\т + 2) 6 (з) и размерность пространства Т» равна сумме m]t т2, ш3,т.е. (з) dimT,, = пц + т2 + т3. (з) Любой другой базис пространства Т„ получается из базиса еа , еа , еа (ортогональным) преобразованием вида (где а,,/?, =1,2,.„,/«,, а2, /72 = 1,2,...,м2 а3,/?3 = U2,...,m3) и (з) следовательно, сохраняет структуру полупрямой суммы Т„. Ы В общем случае касательное пространство Тн строится аналогичным образом, исходя из уже построенного пространства Т «. В качестве этого пространства берется линейная оболочка векторов г дрг(и) ди 1диІ2...диіг (/-1) Б пространстве Т и уже построен базис еп , tff/ , ..., еа . Этот базис мы дополним векторами еа , ортогональным векторам еа , еа , ..., ев и 113 взаимно ортогональными между собой. Число т базисных векторов еа удовлетворяет неравенствам О т — т(т +1)...(т + р-1) Г." р\ (Р) и размерность пространства Т„ равна сумме ш,, т2, ..., ш;,,т.е. (р) dim Т„ = т{Л-т2 +... + тр. Ы Любой другой базис пространства Т1( получается из базиса еа , еа , ..., еа (ортогональным) преобразованием вида (4.2.3) Up ltr Р\ р 1 1 иг Рр ы Таким образом, в пространстве Т« сохраняется структура полупрямой ) суммы, которая позволяет рассматривать тензорные конструкции, предъявленные в 1 настоящей главы. Структура полупрямой суммы и основанной на этой структуре тензорные конструкции распространяются на всю поверхность Pm с R" стандартным образом:объединение (0/ Ч і ,(,) T(PJ= ит« аєР„, "V Ч. представляет собой тотальное пространство первого порядка (T(P„J,;z\Pm) к У ., поверхности Рт с Я". И в общем случае T(PJ= UT» иеР„, 114 дает нам тотальное пространство касательного расслоения порядка р {{ ). . (Т(Р„(),л-,РИ() над поверхностью Р„, с R". 0) (2) (р)
Используя расслоения (Т(Р„г),яг,Рт), (Т(Рт),л",Рш), ..., (Т(Р„,),;г,Ри,), мы if можем рассматривать поливекторные поля различного порядка над поверхностью Рш с R" как сечения расслоений (Л {Рт),к,Рт). Р-векторная метрика на поверхности Р,„ с R" определяется как симметричная билинейная функция на пространстве сечений расслоения (Лр (Рт ), л\ Рт), заданная скалярным произведением р-векторов, индуцированным евклидовой метрикой в R". В частности, при р=1 мы получаем риманову метрику поверхности Р„( с: R" [43]. В случае р-2 получается бивекторная метрика, которая в 0) касательном пространстве Т\, определяет площадь параллелограмма, натянутого на два бесконечномерных касательных вектора. А в пространстве (2) Т« позволяет определить бивекторную длину кривой на поверхности I Pw с R". Аналогичная ситуация имеет место и для произвольного показателя V [55].
