Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Структуры почти произведения и почти эрмитовы структуры. Метрика Тамма 16
1. Структуры почти произведения; римаповы структуры почти произведения, почти эрмитовы структуры 16
2. Классификация СЕ. Степанова структур почти произведения на многообразии с линейной связностью 20
3. Классы Навейра римановых структур почти произведения и их геометрические характеристики 28
4. Почти эрмитовы структуры Грея-Хервсллы 46
5. Пространства с метрикой Тамма 51
Глава 2. Инвариантные характеристики некоторых классов римановых структур почти произведения и почти эрмитовых структур на касательном расслоении гладкого многообразия 56
6. Римановы структуры почти произведения и почти эрмитовы структуры на касательном расслоении гладкого многообразия 56
7. Инвариантные характеристики классов СЕ. Степанова структур почти произведения па касательном расслоении гладкого многообразия 59
8. Условия принадлежности классам Навейра римановых структур
почти произведения, заданных на касательном расслоении 64
9. Тензорные признаки классов Грся-Хервеллы почти эрмитовых структур на касательном расслоении почти симплектического многообразия 75
Глава 3. Исследование кривизн касательного расслоения со специальной римановой метрикой структуры почти произведения 91
10. Специальная римапова метрика д на ТМ. Связность Леви- Чивита метрики д 91
11. Тензор кривизны пространства (ТМ) 100
12. Тензор Риччи пространства [ТМ, д) 120
13. Секционные кривизны касательного расслоения с метрикой и их свойства 129
14. Скалярная кривизна касательного расслоения с метрикой д 136 15. Промежутки зпакопостоянства скалярной
кривизны касательного расслоения с метрикой д 139
Литература
- Классификация СЕ. Степанова структур почти произведения на многообразии с линейной связностью
- Почти эрмитовы структуры Грея-Хервсллы
- Инвариантные характеристики классов СЕ. Степанова структур почти произведения па касательном расслоении гладкого многообразия
- Тензор кривизны пространства (ТМ)
Введение к работе
Актуальность темы. Систематическое исследование структур почти произведения (7Г - структур), в том числе и римановых структур почти произведения, было начато в середине 50-х годов прошлого столетия. К числу первых работ в этом направлении следует видимо отнести работы Легранда [42] - [47]. В работе [46] Леграпд исследовал естественную тг-структуру на главном расслоенном многообразии, горизонтальное распределение которой задавалось ипфшштезнмалыюй связностью. Большое число работ посвящено построению различных связностей. согласованных с 7г-структурой [43], [44], [29]. В работах Б.Н. Шапукова [17] - [18] изучались естественные тг-структуры п связности па расслоенных пространствах и их автоморфизмы.
Имеется большое число различных классов (римановых) структур почти произведения. Например, в работе [51] Навсйра получил 64 класса римановых структур почти произведения аналогично тому, как это было сделано Греем и Хервелла в [35] для почти эрмитовых структур. В работе [14] СЕ. Степанов выделил восемь основных классов структур почти произведения, заданных на гладком многообразии с линейной связностью без кручения. Указанным классам дана геометрическая характеристика и получены инвариантные признаки принадлежности тому или иному классу.
Изучение специальных римановых метрик па касательном расслоении ТМ гладкого многообразия Ы начинается с известных работ Сасакп [56]. [57], в которых вводится и исследуется естественный класс метрик, являющихся эрмитовыми относительно почти комплексной структуры, порожденной связностью Леви-Чивита римановой метрики д базисного многообразия М. Однако, как было замечено некоторыми авторами, [40], [53], класс метрик Сасакп является достаточно узким. Например, метрика Сасакп является келеровой лишь в случае, когда базисное многообразие является локально евклидовым; среди указанных метрик нет метрик ненулевой секционной кривизны.
Более общие метрики главной диагонали типа Сасакп исследовались многими авторами [39], [38], [9]. [11]. В указанных работах предполагалось,
что базисное многообразие наделено более общей метрикой, чем (псевдо) римапова, например, финслсровой или лагранжевой (обобщенной финсле-ровой, обобщенной лагранжевой). Изучались также метрики на ТМ, у которых по главной диагонали стоят разные блоки. Такие метрики уже не являются эрмитовыми, а принадлежат классу римановых метрик естественной структуры почти произведения. Примером такой метрики является известная метрика Чигера-Громола [36], [58]. В указанных работах получены некоторые оценки различных кривизн касательного расслоения в зависимости от кривизны базы.
Автоморфизмы касательных расслоений со специальными римановыми метриками исследованы в работах [3], [4], [28].
Следует отметить, что геометрия касательных расслоений как фазовых пространств конфигурационных многообразий широко используется в аналитической механике, например, при исследовании динамических (гамиль-тоновых) систем . [1], [2].
Целью диссертационной работы является изучение римановых структур почти произведения, заданных па касательном расслоении гладкого многообразия, в частности, получение инвариантных характеристик к*лас-,~.. сов Навейра и СЕ. Степанова, а также исследование кривизн касательного расслоения риманова многообразия, наделенного специальной римановой метрикой структуры почти произведения.
Методы исследования. Основным методом исследования, применяемым в работе, является аппарат тензорного анализа. Большая часть вычислений проводится в бескоординатной форме с использованием исчисления Кошуля. Исследования носят локальный характер и ведутся в классе достаточно гладких функций.
Научная новизна результатов, полученных в диссертации и выносимых па защиту, заключается в следующем:
1. Исследованы обобщенные лаграижевы пространства с метрикой Там-ма, [15], [16], [63],
9ij = P(z)fJij + Ф(г)УіУі, гле из и ib - произвольные гЬутткпии апгуметгта, z = hn~ciip,us. та/кие. что
ф О, (р + 2гф ф 0, a gij(x) - компоненты (псевдо) риманова метрического тензора, iji — діРур. Выяснено, что метрика Тамма принадлежит классу обощенпых фппелеровых метрик тогда и только тогда, когда она является локально конической, [8]. Установлено, что среди метрик Тамма нет финелсровых метрик. Доказано, что экстремали ассоциированного лаграпжева пространства с метрикой Тамма совпадают с геодезическими риманова пространства с метррікой д, а усеченная связность Картаиа пространства с метрикой Тамма совпадает со связностью Лсви-Чивита метрики д.
2. На касательном расслоении риманова многообразия изучен специаль
ный класс рнмановых метрик структуры почти произведения
д = gij{x)dxl
где gij - компоненты риманова метрического тензора базисного многообразия, g~ij - компоненты метрики Тамма. причем (р > 0, ф > 0. Данный класс содержит как частный случай метрику Сасаки, метрику Чигера-Громола. Вычислена связность Лсви-Чивита метрики ір, ф и объектов базисного многообразия. В случае, когда базисное многообразие является пространством постоянной секционной кривизны, найдены условия па метрику д и размерность базы, при которых скалярная кривизна касательного расслоения является постоянной величиной. Для некоторых частных случаев римаиовых метрик д установлена зависимость промежутков знакопостоянства скалярной кривизны касательного расслоения от размерности и кривизны базы.
3. Установлены условия принадлежности классам Навсйра римаиовых
структур почти произведения, заданных па касательном расслоении
гладкого многообразия с помощью ршфинитезимальной связности, pi
метрики
о = ыа(х. іі\(і,хг (5 dxj 4- ОіАх. v)ftvl (5 8iP.
где д,3 = дзп д13 = gJU det\\g,j\\ ф 0, det\g4\ -ф О.
Получены инвариантные характеристики классов СЕ. Степанова структур почти произведения в случае, когда в качестве исходного многообразия выступает касательное расслоение, структура почти произведения определена ипфшштезпмалыгоп связностью, а в качестве линейной связности выбрана связность Лсви-Чивита рпмановой метрики структуры почти произведения д.
Получены тензорные признаки классов Грея-Хервеллы почти эрмитовых структур, естественным образом возникающих на касательном расслоении почти симплсктичсского многообразия.
Теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы при дальнейшем изучении структур почти произведения, рпмановых метрик структуры почти произведения, геометрии касательного расслоения, в аналитической меха-пике.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались па геометрическом семинаре физико-математического факультета Пензенского гос. пед. университета (2004-2008гг.), на Четвертой молодежной научной школе конференции (Казань, декабрь 2005г.), на Пятой молодежной научной школе конференции (Казань, декабрь 2006г.), на Международной конференіщи "Лаптевскпс чтения"(Пенза, декабрь 2006г.), на Шестой молодежной научной школе конференции (Казань, декабрь 2007г.), на XIX международной летней школе - семинаре "Волга-2007"по проблемам теоретической и математической физики (Казань, июнь 2007г.), на геометрическом семинаре им. Г.Ф. Лаптева при МГУ им. М.В. Ломоносова (Москва, октябрь 2008г.), на геометрическом семинаре КГУ (Казань, октябрь 2008г.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 7 работах [63]-[69].
Краткое содержание диссертации.
Введение содержит обзор литературы по теме диссертации, обоснование актуальности темы и краткое содержание работы.
Классификация СЕ. Степанова структур почти произведения на многообразии с линейной связностью
Систематическое исследование структур почти произведения (7Г - структур), в том числе и римановых структур почти произведения, было начато в середине 50-х годов прошлого столетия. К числу первых работ в этом направлении следует видимо отнести работы Легранда [42] - [47]. В работе [46] Леграпд исследовал естественную тг-структуру на главном расслоенном многообразии, горизонтальное распределение которой задавалось ипфшштезнмалыюй связностью. Большое число работ посвящено построению различных связностей. согласованных с 7г-структурой [43], [44], [29]. В работах Б.Н. Шапукова [17] - [18] изучались естественные тг-структуры п связности па расслоенных пространствах и их автоморфизмы.
Имеется большое число различных классов (римановых) структур почти произведения. Например, в работе [51] Навсйра получил 64 класса римановых структур почти произведения аналогично тому, как это было сделано Греем и Хервелла в [35] для почти эрмитовых структур. В работе [14] СЕ. Степанов выделил восемь основных классов структур почти произведения, заданных на гладком многообразии с линейной связностью без кручения. Указанным классам дана геометрическая характеристика и получены инвариантные признаки принадлежности тому или иному классу.
Изучение специальных римановых метрик па касательном расслоении ТМ гладкого многообразия Ы начинается с известных работ Сасакп [56]. [57], в которых вводится и исследуется естественный класс метрик, являющихся эрмитовыми относительно почти комплексной структуры, порожденной связностью Леви-Чивита римановой метрики д базисного многообразия М. Однако, как было замечено некоторыми авторами, [40], [53], класс метрик Сасакп является достаточно узким. Например, метрика Сасакп является келеровой лишь в случае, когда базисное многообразие является локально евклидовым; среди указанных метрик нет метрик ненулевой секционной кривизны.
Более общие метрики главной диагонали типа Сасакп исследовались многими авторами [39], [38], [9]. [11]. В указанных работах предполагалось, что базисное многообразие наделено более общей метрикой, чем (псевдо) римапова, например, финслсровой или лагранжевой (обобщенной финсле-ровой, обобщенной лагранжевой). Изучались также метрики на ТМ, у которых по главной диагонали стоят разные блоки. Такие метрики уже не являются эрмитовыми, а принадлежат классу римановых метрик естественной структуры почти произведения. Примером такой метрики является известная метрика Чигера-Громола [36], [58]. В указанных работах получены некоторые оценки различных кривизн касательного расслоения в зависимости от кривизны базы.
Автоморфизмы касательных расслоений со специальными римановыми метриками исследованы в работах [3], [4], [28]. Следует отметить, что геометрия касательных расслоений как фазовых пространств конфигурационных многообразий широко используется в аналитической механике, например, при исследовании динамических (гамиль-тоновых) систем . [1], [2].
Целью диссертационной работы является изучение римановых структур почти произведения, заданных па касательном расслоении гладкого многообразия, в частности, получение инвариантных характеристик к лас-, .. сов Навейра и СЕ. Степанова, а также исследование кривизн касательного расслоения риманова многообразия, наделенного специальной римановой метрикой структуры почти произведения.
Методы исследования. Основным методом исследования, применяемым в работе, является аппарат тензорного анализа. Большая часть вычислений проводится в бескоординатной форме с использованием исчисления Кошуля. Исследования носят локальный характер и ведутся в классе достаточно гладких функций.
Почти эрмитовы структуры Грея-Хервсллы
Научная новизна результатов, полученных в диссертации и выносимых па защиту, заключается в следующем: 1. Исследованы обобщенные лаграижевы пространства с метрикой Там-ма, [15], [16], [63], 9ij = P(z)fJij + Ф(г)УіУі, гле из и ib - произвольные ГЬУТТКПИИ апгуметгта, z = hn ciip,us. та/кие. что p ф О, (р + 2гф ф 0, a gij(x) - компоненты (псевдо) риманова метрического тензора, iji — діРур. Выяснено, что метрика Тамма принадлежит классу обощенпых фппелеровых метрик тогда и только тогда, когда она является локально конической, [8]. Установлено, что среди метрик Тамма нет финелсровых метрик. Доказано, что экстремали ассоциированного лаграпжева пространства с метрикой Тамма совпадают с геодезическими риманова пространства с метррікой д, а усеченная связность Картаиа пространства с метрикой Тамма совпадает со связностью Лсви-Чивита метрики д. 2. На касательном расслоении риманова многообразия изучен специаль ный класс рнмановых метрик структуры почти произведения д = gij{x)dxl g dxJ + gij(x, y)5y7 g Sy3, где gij - компоненты риманова метрического тензора базисного многообразия, g ij - компоненты метрики Тамма. причем (р 0, ф 0. Данный класс содержит как частный случай метрику Сасаки, метрику Чигера-Громола. Вычислена связность Лсви-Чивита метрики ?, получены выражения для тензора кривизны, тензора Риччи, секционных кривизн касательного расслоения, наделенного метрикой, принадлежащей рассматриваемому классу. Установлена зависимость скалярной кривизны касательного расслоения от функций ір, ф и объектов базисного многообразия. В случае, когда базисное многообразие является пространством постоянной секционной кривизны, найдены условия па метрику д и размерность базы, при которых скалярная кривизна касательного расслоения является постоянной величиной. Для некоторых частных случаев римаиовых метрик д установлена зависимость промежутков знакопостоянства скалярной кривизны касательного расслоения от размерности и кривизны базы.
Установлены условия принадлежности классам Навсйра римаиовых структур почти произведения, заданных па касательном расслоении гладкого многообразия с помощью ршфинитезимальной связности, PI метрики о = ЫА(Х. іі\(і,хг (5 dxj 4- ОІАХ. v)ftvl (5 8iP. где д,3 = дзп д13 = gJU det\\g,j\\ ф 0, det\g4\ -ф О.
Получены инвариантные характеристики классов СЕ. Степанова структур почти произведения в случае, когда в качестве исходного многообразия выступает касательное расслоение, структура почти произведения определена ипфшштезпмалыгоп связностью, а в качестве линейной связности выбрана связность Лсви-Чивита рпмановой метрики структуры почти произведения д.
Получены тензорные признаки классов Грея-Хервеллы почти эрмитовых структур, естественным образом возникающих на касательном расслоении почти симплсктичсского многообразия.
Теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы при дальнейшем изучении структур почти произведения, рпмановых метрик структуры почти произведения, геометрии касательного расслоения, в аналитической меха-пике.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались па геометрическом семинаре физико-математического факультета Пензенского гос. пед. университета (2004-2008гг.), на Четвертой молодежной научной школе конференции (Казань, декабрь 2005г.), на Пятой молодежной научной школе конференции (Казань, декабрь 2006г.), на Международной конференіщи "Лаптевскпс чтения"(Пенза, декабрь 2006г.), на Шестой молодежной научной школе конференции (Казань, декабрь 2007г.), на XIX международной летней школе - семинаре "Волга-2007"по проблемам теоретической и математической физики (Казань, июнь 2007г.), на геометрическом семинаре им. Г.Ф. Лаптева при МГУ им. М.В. Ломоносова (Москва, октябрь 2008г.), на геометрическом семинаре КГУ (Казань, октябрь 2008г.). Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 7 работах [63]-[69]. Краткое содержание диссертации. Введение содержит обзор литературы по теме диссертации, обоснование актуальности темы и краткое содержание работы. В 1 вводятся понятия структуры почти произведения, фундаментального тензорного поля структуры почти произведения, рассматриваются операторы проектирования и их свойства. Дается определение римаповой структуры почти произведения, приводятся эквивалентные условия, накладываемые па римаиову метрику структуры почти произведения. Вводится понятие почти эрмитовой структуры. В 2 приводится классификация СЕ. Степанова структур почти произведения па многообразии с линейной связностью. Даются определения и геометрическая интерпретация для каждого их восьми основных классов: интегрируемых и полуинтегрируемых, плоских и нолуплоских, чебы-шевских и получебышевских, геодезических и полугсодсзичсских структур почти произведения.
Инвариантные характеристики классов СЕ. Степанова структур почти произведения па касательном расслоении гладкого многообразия
Навсйра римановых многообразий почти произведения. Рассматриваются алгебраические основы построения данной классификации, а также геометрические свойства некоторых классов. [31]. Перечислены инвариантные характеристики всех классов Навсйра в виде условий, накладываемых на горизонтальное и вертикальное распределения римановой структуры почти произведения (Таблица 1). В 4 приводятся основные идеи классификации Грея-Хервеллы почти эрмитовых структур, указаны признаки классов (Таблица 2). В 5 главы 1 исследуется пространство с метрикой Тамма. Гладкое n-мерное многообразие М называется пространством Тальма, если в каждом касательном пространстве ТХМ задана (нсевдо) римаиова метрика, инвариантная относительно всех вращений и зависящая гладким образом от ж Є М. Компоненты метрического тензора пространства Тамма имеют вид 9ij = 4 (z)9ij + ip(z)yiyj, (1) где (/? и ф - произвольные функции аргумента z = lgpsypys, такие, что if Ф О, (р + 2 zip ф 0, a gijix) - компоненты (псевдо) римапова метрического тензора, у і — дірур. Получены условия, при которых метрика Тамма является метрикой обобщенного фипелерова пространства (Лемма 5.1). Установлено, что среди метрик Тамма нет фиислеровых метрик (Лемма 5.2), но есть лагранжевы метрики (Лемма 5.4). Доказано, что а) экстремали ассоциированного лаграпжева пространства с метрикой Тамма совпадают с геодезическими риманова пространства с метрикой д (Лемма 5.5); б) усеченная связность Картатта регулярного обобщенного лаграпжева пространства с мстррікой Тамма совпадает со связностью Леви-Чивита ри мапова пространства (М,д) (Лемма 5.6). Глава 2 (6-9) посвящена классификациям структур почти произведения, римановых структур почти произведешь и почти эрмитовых структур, естественным образом возникающих на касательном расслоении гладкого многообразия с заданной ипфипитезималыюй связностью. В 6 на касательном расслоении ТМ гладкого многообразия М вводятся структура почти произведения Р и почти комплексная структура J, определяемые заданной инфинитезимальной связностью. В 8 получены инвариантные характеристики классов Навейра рима-иовых структур почти произведения в случае, когда в качестве исходного многообразия выступает касательное расслоение ТМ, структура почти произведения определяется инфинитезимальной связностью V, а метрика (2) рассматривается как римапова метрика почти произведения. Каждый класс рпмаиовой структуры почти произведения (ТМ, g, Р) определен парой условий, первое из которых соответствует горизонтальному распределению, второе - вертикальному распределению, и выбираются среди условий F, AF, Di, D i,TGF, F\, Fi- Сами условия сформулированы как требования, накладываемые па компоненты метрического тензора ди, подобъ-ект объекта иеголопомпости R и компоненты тензора В , определяемые равенством (5). В 9 получены признаки классов Грея-Хервеллы почти эрмитовой структуры, заданной на касательном расслоении гладкого многообразия с эрмитовой метрикой (4), в случае, когда инфииитезимальпая связность порождается связностью V, согласованной с почти симплсктичсской структурой и (Таблица 4). Доказано, что: а) почти эрмитова структура (ТМ,д, J) является келеровой тогда и толь ко тогда, когда форма и является симплсктичсской, связность V не имеет кручения и является плоской (Теорема 9.1); б) почти эрмитова структура (ТМ, д. J) является почти келеровой тогда и только тогда, когда базисное многообразие (М, UJ) является симплектичс ским пространством с пулевым тензором кривизны (Теорема 9.3). Также установлено, что для почти эрмитовых структур (ТМ, д, J) классы приближенно келеровых, локально конформно келеровых, эрмитовых и эрмитовых ссми-кслеровых структур сводятся к классу келеровых (Теорема 9.2); класс квази келеровых структур сводится к классу почти келеровых (Теорема 9.4). В главе 3 (10-15) па касательном расслоении римаиова многообразия (М, д) рассматривается структура почти произведения, горизонтальное распределение которой определяется связностью Леви-Чивита метрики д. Изучается класс римановых метрик структуры почти произведения, матрицы которых в адаптированных к структуре почти произведения координатах имеют следующий блочно-диагональный вид: (20) = ( 9ij 0 \ 0 (p(z)gij + ф{г)уіуі где (р,ф - некоторые функции аргумента z — \gvsypys, такие что ср 0 и Ф 0, yj = gipyp. Для метрик данного класса, содержащего как частные случаи метрику Сасакп, метрику Чигсра-Громола, метрику типа Чигсра /3 Громола [20]. исследуются различные кривизны касательного расслоения (ТМ,д). В 10 для метрик рассматриваемого класса получены выражения, определяющие связность Леви-Чивита. В 11 вычислен тензор кривизны касательного расслоения с метрикой (20). В 12 построен специальный орто-иормироваппый репер касательного расслоения с метрикой (20), состоящий из лифтированных векторов ортонормированного репера базисного многообразия. Получены равенства, определяющие тензор Риччи пространства (ТМ,д).
Тензор кривизны пространства (ТМ)
Дается определение римаповой структуры почти произведения, приводятся эквивалентные условия, накладываемые па римаиову метрику структуры почти произведения. Вводится понятие почти эрмитовой структуры. В 2 приводится классификация СЕ. Степанова структур почти произведения па многообразии с линейной связностью. Даются определения и геометрическая интерпретация для каждого их восьми основных классов: интегрируемых и полуинтегрируемых, плоских и нолуплоских, чебы-шевских и получебышевских, геодезических и полугсодсзичсских структур почти произведения. Прослеживаются принципы построения данной классификации. 3 посвящен классификации Навсйра римановых многообразий почти произведения. Рассматриваются алгебраические основы построения данной классификации, а также геометрические свойства некоторых классов. [31]. Перечислены инвариантные характеристики всех классов Навсйра в виде условий, накладываемых на горизонтальное и вертикальное распределения римановой структуры почти произведения (Таблица 1). В 4 приводятся основные идеи классификации Грея-Хервеллы почти эрмитовых структур, указаны признаки классов (Таблица 2). В 5 главы 1 исследуется пространство с метрикой Тамма. Гладкое n-мерное многообразие М называется пространством Тальма, если в каждом касательном пространстве ТХМ задана (нсевдо) римаиова метрика, инвариантная относительно всех вращений и зависящая гладким образом от ж Є М. Компоненты метрического тензора пространства Тамма имеют вид 9ij = 4 (z)9ij + ip(z)yiyj, (1) где (/? и ф - произвольные функции аргумента z = lgpsypys, такие, что if Ф О, (р + 2 zip ф 0, a gijix) - компоненты (псевдо) римапова метрического тензора, у і — дірур. Получены условия, при которых метрика Тамма является метрикой обобщенного фипелерова пространства (Лемма 5.1). Установлено, что среди метрик Тамма нет фиислеровых метрик (Лемма 5.2), но есть лагранжевы метрики (Лемма 5.4). Доказано, что а) экстремали ассоциированного лаграпжева пространства с метрикой Тамма совпадают с геодезическими риманова пространства с метрикой д (Лемма 5.5); б) усеченная связность Картатта регулярного обобщенного лаграпжева пространства с мстррікой Тамма совпадает со связностью Леви-Чивита ри мапова пространства (М,д) (Лемма 5.6). Глава 2 (6-9) посвящена классификациям структур почти произведения, римановых структур почти произведешь и почти эрмитовых структур, естественным образом возникающих на касательном расслоении гладкого многообразия с заданной ипфипитезималыюй связностью.
Рассматривается римапова метрика д структуры почти произведения па ТМ..В адаптированных координатах матрица компонент метрического тензора этой структуры имеет вид (9и) = _ , , , (2) V 0 9iM,y) J где gij =- gji, g ij = g deipy Ф 0, det\\gij\\ Ф 0. Вычислены коэффициенты связности Леви-Чивита данной метрики. Установлен также вид матрицы произвольной эрмитовой метрики на ТМ: I- N ( 9ij(x,y) Uij{x,y) \ (9IJ) = , (-3) \ -Vij{x,y) gij{x,y) J где gij = gji, uJij = —cuji, det\\gij\\ ф 0, deu;fj ф 0. Выделен естествен J ный частный случай \ -oJij{x) 0 у когда базисное многообразие М наделено почти симплсктической структурой и — tOijdx1 A сЫ. В 7 исследуются инвариантные характеристики классов СЕ. Степанова структур почти произведения, заданных па касательном расслоение гладкого многообразия, распределение площадок которых определяется инфинитезимальноп связностью 17с коэффициентами Njc(x, у), а в качестве линейной связности выступает связность Леви-Чивита метрики (2). Инвариантные признаки классов получены в виде условий, накладываемых на компоненты метрического тензора ди. тензора Щ = 4 - Г = д - дк%6С9зз + 5fgls - 6ади), (5) и подобъект объекта пеголопомпости Rfj — djN- — SiN , где {5І} -.локальный базис горизонтального распределения инфинитезимальной связности. Доказаны следующие утверждения: а) структура почти произведения на ТМ является интегрируемой тогда и только тогда, когда 4 = 0. (6) Если Rfj ф 0, то структура полуинтегрируема (Теорема 7.1); б) для того, чтобы структура почти произведения па ТМ была плоской необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия: 9ij-m - 9гпрЩ:і = 0, gPjBvmi + gipB j = 0. (7) В случае, когда справедливо только одно из данных равенств, структура является полуплоской (Теорема 7.2); в) для того чтобы структура почти произведения на ТМ была чебышев ской необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия 9ц-т + 9тРЩ5 = 0, gvjB mi + gwBfnj = 0. (8) Если выполняется только одно из данных равенств, то структура является получвбытттевской ГТеопема 7.3). г) Для того, чтобы структура почти произведения па ТМ была полу-гсодсзичсской необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из следующих условий(Теорема 7.4): дт9г3 = О, Я- = 0, (9) 9РА + 9гРВртз = О- (Ю) В случае одновременного выполнения условий (9).(10) структура является геодезической и полудекартовой. В 8 получены инвариантные характеристики классов Навейра рима-иовых структур почти произведения в случае, когда в качестве исходного многообразия выступает касательное расслоение ТМ, структура почти произведения определяется инфинитезимальной связностью V, а метрика (2) рассматривается как римапова метрика почти произведения. Каждый класс рпмаиовой структуры почти произведения (ТМ, g, Р) определен парой условий, первое из которых соответствует горизонтальному распределению, второе - вертикальному распределению, и выбираются среди условий F, AF, Di, D i,TGF, F\, Fi- Сами условия сформулированы как требования, накладываемые па компоненты метрического тензора ди, подобъ-ект объекта иеголопомпости R и компоненты тензора В , определяемые равенством (5).
