Содержание к диссертации
Введение
1 Расслоения Вейля 15
1.1 Алгебры Вейля 15
1.2 Строение А-гладких отображений 16
1.3 Расслоения Вейля 17
1.4 Структурные группы расслоения Вейля 19
1,5 Обобщенные расслоения Вейля 22
2 Расслоенные функторы, сохраняющие произведение, на кате гории многообразий, зависящих от параметров 28
2.1 Категория Л4/т многообразий, зависящих от параметров . 29
2.2 Расслоенные функторы, сохраняющие произведение, на категории Mf х Мга 34
2.3 Функторы, сохраняющие произведение, на категории Mfm. 40
2.4 Категория Mf^ многообразий, зависящих от параметров 42
2.5 Расслоенные функторы, сохраняющие произведение, на категории (Mf х M.m)tr 45
2.6 Обобщенный функтор Вейля ТА 47
2.7 Функторы, сохраняющие произведение, на категории Mf 53
2.8 Эквивалентность функторов ТА 55
3 Геометрия высшего порядка расслоений Вейля на категории гладких многообразий 65
3.1 Расслоение Вг(к)ТАМп А-гладких r-реперов на ТкМп 65
3.2 Фундаментальные полувекторные поля на Вг(А)ТАМп 72
3.3 Структурная форма расслоения Вг(А)ТАМп 83
3.4 Структурные уравнения расслоения Вг(А)ТАМп 87
4 Геометрия высшего порядка многообразий, зависящих от параметров 89
4.1 Расслоения реперов высшего порядка многообразий из категории Mf 89
4.2 Структурная форма расслоения Br(Mn х U) 91
4.3 Структурные уравнения расслоения Br(Mn х U) 94
4.4 Связности в расслоении Вт{Мп х U) 96
4.5 Ассоциированные связности в Т^(Мп х U) 98
Литература 102
- Строение А-гладких отображений
- Расслоенные функторы, сохраняющие произведение, на категории Mf х Мга
- Фундаментальные полувекторные поля на Вг(А)ТАМп
- Структурные уравнения расслоения Br(Mn х U)
Введение к работе
Актуальность темы. Расслоения дифференциально-геометрических объектов над гладкими многообразиями являются одними из основных объектов изучения дифференциальной геометрии. Соответствие F, относящее многообразию М расслоение FM —» М дифференциально-геометрических объектов данного типа, как правило, представляет собой функтор из категорий многообразий, морфизмами которой являются локальные диффеоморфизмы /: Мп —> М!а, в категорию локально тривиальных расслоений. Особое место среди таких функторов занимают так называемые функторы, сохраняющие произведение, то есть функторы F, относящие произведению многообразий М х М' произведение соответствующих расслоений FM х FM1 —* М х М'. В работах Г. Кайнца и П Михора [51], Д. Эка [46], О Лучиаыо [65] было получено полное описание функторов, сохраняющих произведение, в терминах расслоений Вейля. Расслоение Вейля ТАМ, определяемое локальной алгеброй А в смысле А.Вейля было введено А. Вейлем в работе [83] как обобщение расслоения п^-скоростей Ш Эресмана [47]. Связь теории локальных алгебр и их групп автоморфизмов с теорией дифференциально-геометрических объектов была установлена также в работах В. В. Вагнера [4,5].
Геометрии расслоений Вейля посвящено много исследований. Укажем, кроме упомянутых выше, работы А. Моримото [72], Л Паттерсо-на [75], исследования П. Юэна [86, 87], А. П. Широкова [30, 31], И. Коларжа [53, 55], И. Коларжа и В Микульского [57, 59], Э Окассы [74], В. В Шурыгина [36—38], А. Я Султанова [23], Я- Дебекки [43] Касательные расслоения и расслоения тг^-скоростей Ш.Эресмана [47], представляющие собой частные случаи расслоений А. Вейля, исследовались в работах В. В. Вагнера [5], К-Яно и Ш Ишихары [84], Ш.Сасаки [78], А. Моримото [71], Н.В.Талаитовой и А.П.Широкова [24] и других авторов. Теории функторов, сохраняющих произведение, посвящены работы В. Микульского [66—68], Я. Ганкарзевича, В. Микульского и 3. Погоды [48],
Я. Ганкарзевича, Н Рахмани и М. Сальгадо [49], А. Сабрас и И Колар-жа [41,42].
Различным аспектам дифференциальной геометрии высшего порядка — теории связностей высших порядков, теории дифференциально-геометрических объектов — посвящены исследования Г. Ф Лаптева [18], В. В Вагнера [3], А. М. Васильева [7], Н.М.Остиану [21], Л. Е. Евту-шика [13, 14], Б. Н Шапукова [27, 28], М В.Лосика [20], А К.Рыбникова [22], И. Коларжа и М. Модуньо [60].
Более полную библиографию работ, посвященных касательным расслоениям, расслоениям струй Эресмана, расслоениям и функторам А Вейля, различным проблемам дифференциальной геометрии высшего порядка можно найти в обзорах А. П. Широкова [31], в монографиях Л. Е Евтушика, Ю. Г. Лумисте, Н. М. Остиану и А. П. Широкова [11], Б. Л Рейнхарта [77], П Молино [69], И Коларжа, П Михора и Я Словака [56].
А. П. Широковым [31] было установлено, что расслоение Вейля ТАМп обладает естественной структурой гладкого многообразия над алгеброй А, что позволило применять при изучении геометрии расслоений Вейля теорию многообразий над алгебрами. Общей теории пространств над алгебрами и ее применению посвящены работы А П. Широкова [29, 32], В. В. Вишневского[8,9], Г. И. Кручковича[16,17],В. В. Шурыгина[39], и других авторов (см. обзор А. П. Широкова [31], книгу В. В. Вишневского, А. П. Широкова, В. В. Шурыгина [10]).
Структуры гладких многообразий над бесконечномерными алгебрами, являющимися обратными пределами конечномерных, возникают на бесконечномерных многообразиях, рассматривавшихся И Н Бернштей-ном и Б. И. Розенфельдом [1]. Функторы А. Вейля на категории бесконечномерных многообразий, моделируемых локально выпуклыми векторными пространствами, изучались в работе А. Кригла и П. Михора [61]. Другое обобщение функтора А. Вейля на случай бесконечномерных многообразий построено И. Коларжем [52].
Таким образом, изучение геометрии гладких многообразий над ло-
кальными алгебрами и геометрии расслоений Вейля как многообразий над алгебрами является направлением исследований, взаимодействующим со многими интенсивно развивающимися областями современной геометрии
В теории дифференциальных уравнений, при построении различных геометрических моделей лагранжевой и гамильтоновой механики возникает необходимость в рассмотрении расслоений вида Y —> R (или в более общем случае У —» Ш"1), гдеМ— время. Такие расслоения тривиализуемы, то есть Y ~ М х Ш. При этом возникают геометрические структуры, зависящие от параметров (времени). В этой связи отметим работы А. Вон-дра [82], М. Ранады [76], М. де Леона и К. Маррето [64] Поэтому актуальным становится подход к изучению дифференциально-геометрических структур на многообразиях вида М х М.т с точки зрения теории функторов Вейля.
Целью диссертационной работы является обобщение теории функторов Вейля на случай естественных категорий многообразий, зависящих от параметров, установление взаимосвязи обобщенных функторов Вейля с функторами, сохраняющими произведение, и изучение геометрии обобщенных расслоений Вейля.
Методы исследования. При изучении функторов Вейля и функторов, сохраняющих произведение, на категориях многообразий, зависящих от параметров, применяются методы изучения естественных расслоений и функторов, сохраняющих произведение (см. монографию И. Коларжа, П. Михора и Я Словака [56]), а также методы теории многообразий над алгебрами (см книгу В В Вишневского, А. П. Широкова, В В. Шу-рыгина [10], обзорные работы А П. Широкова [31, 32], В. В. Шурыги-на [39]) При исследовании вопросов, относящихся к геометрии расслоений Вейля, используются методы теории дифференциально-геометрических структур на многообразиях (П. Молино [69], Л. Е Евтушик, Ю Г Лу-мисте, Н. М. Остиану, А П. Широков [11]).
Научная новизна результатов, полученных в диссертации и выносимых на защиту, заключается в следующем'
1 Построено обобщенное расслоение Вейля многообразия Мп х Rm,
зависящего отт параметров, структурной группой которого является А-аффинная дифференциальная группа Dn(A)
2. Выяснена структура расслоенных функторов, сохраняющих произ
ведение, на категории многообразий М х Wn, зависящих от т пара
метров, морфизмами которой являются расслоенные отображения,
проектирующиеся в тождественные отображения пространства па
раметров Жт. Доказано, что все такие функторы определяются т-
параметрическим семейством А(), t Є Mm, алгебр Вейля и набо-
о о
ром из т гладких функций t \-> А(), где А — максимальный идеал алгебры А, состоящий из всех ее нильпотентных элементов. Аналогичная задача решена для категории многообразий, зависящих от т параметров, морфизмами которой являются расслоенные отображения, проектирующиеся в трансляции пространства параметров Жт В этом случае всякий расслоенный функтор, сохраняющий произведение, эквивалентен некоторому обобщенному функтору Вейля, определяемому постоянной алгеброй Вейля А и набором из т эле-ментов идеала А.
3. Получены условия эквивалентности обобщенных функторов Вейля
в терминах изоморфизмов пар локальных алгебр (А, В), где В — по
далгебра в А.
4 Изучено строение структурной группы Grn{A) расслоения Вг(А)ТАМп А-гладких реперов порядка г расслоения Вейля ТАМп гладкого многообразия Мп Определена структурная форма расслоения Вг(А)ТАМп и получены структурные уравнения этого расслоения. Доказано, что локальные диффеоморфизмы расслоения Вг(А)ТАМп, сохраняющие структурную форму, являются продолжениями локальных А-диффеоморфизмов расслоения Вейля ТкМп.
5. Построено главное расслоение Вг(Мп х Rm) реперов порядка г многообразия, зависящего от m параметров, ассоциированое с обобщенным расслоением Вейля. Определена структурная форма рас-
слоения В1* (Мп х Ш.ш) и получены структурные уравнения Выяснено строение локальных диффеоморфизмов расслоения Br{Mn х IRm), сохраняющих структурную форму.
6. Построен объект связности в расслоении Br(Mn х Жт) и получены уравнения горизонтального распределения индуцируемых связ-ностей в ассоциированных обобщенных расслоениях Вейля.
Теоретическая значимость. Диссертационная работа носит теоретический характер Полученные в ней результаты могут найти применение в исследованиях естественных расслоений и дифференциально-геометрических структур высшего порядка, а также в геометрии многообразий, несущих на себе структуру представления коммутативной ассоциативной унитальной алгебры.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на следующих конференциях и семинарах'
Международная конференция по геометрии и анализу, Пенза, 9—11 октября 2002 г;
Международный семинар имени Н. И. Лобачевского «Современная геометрия и теория физических полей», Казань, 28 ноября — 1 декабря 2002 г;
Международная конференция, посвященная 100-летию со дня рождения А. Н. Колмогорова «Колмогоров и современная математика», Москва, 16-21 июня 2003 г,
9-ая Международная конференция по дифференциальной геометрии и ее приложениям, Прага, 30 августа — 3 сентября, 2004 г;
Международная молодежная научная школа-конференция «Лобачевские чтения», Казань, 28 ноября — 1 декабря 2001, 2002 гг.
Результаты работы регулярно докладывались на заседаниях Казанского городского геометрического семинара и итоговых научных конференциях Казанского университета
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 7 работах [88-94]
Краткое содержание диссертации.
Введение содержит обзор литературы по теме диссертации, обоснование актуальности выбранной темы и краткое содержание работы.
В Главе 1 приведены необходимые определения из теории локальных алгебр Вейля и расслоений Вейля. В 1.5 введена категория Mfm многообразий, зависящих от т параметров, и построен (обобщенный) функтор Вейля ТА Mfm -и- Mfm, определяемый локальной алгеброй Вейля ширины т, действующий на многообразиях этой категории. Многообразием, зависящим от m параметров, называется тривиальное расслоение р: Мп х Ет —>- Rm с преобразованиями координат вида х1' — (рг {х1Ла), ta> — ta Морфизмами в категории Mfm являются расслоенные отображения Мп х Жт —> Ml х Rm проектирующиеся в тождественные отображения id Rm^Mm
Обобщенное расслоение Вейля -к- ТА(М„ х Rm) —^ Мп х Жт многообразия р: Мп х М —> Rm определяется как множество А-струй (А-скоростей) ростков сечений s: (Rm,i) —> (Мп х Mm, (x,t)) расслоения р. Функтор Вейля ТА Mfm —* Mfm является функтором, сохраняющим произведение
В этом же параграфе построено главное расслоение В(А)Мп х Rm, присоединенное к расслоению ТА(Мп х Жт) Расслоение В(А)Мп х Жт называется расслоением А-аффинных реперов многообразия Мп х Жт. Показано, что структурной группой расслоения В(А)Мп х Rm является А-аффинная дифференциальная группа Dn(A)
Строение А-гладких отображений
Пусть U С Ап — открытое подмножество Гладкое отображение F: U С ATL — Ак называется А-гладким, если касательное отображение TxF TXU — 7 (x)Afc = Ak является А-линейным при любом X Є U Пусть {еа}, а = 0,1, ,fc, ео = Ц = 1 Є М, — базис в алгебре А, 7ьйс — структурные константы алгебры А в базисе {еа}, а Xі — хшеа, F%! = /г ьєь, г — 1, .,п, г1 = 1, . 5 fc, — разложения соответствующих элементов алгебры А по этому базису, записанные в соответствии с общепринятым соглашении о суммировании. Отображение U Э {X1} 1-н- F {Xі) — р ь(хш)еь Є А является А-гладким тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет условиям Шефферса ([39](2.6), [79], 10)) Для А-гладкой функции F{X%) определены частные производные dF/dX1 по отношению к переменным Xі и (см. [39,79]) Произвольное А-гладкое отображение F- U С Ап — Ак имеет вид [39,79] где р = (pi . ,р.п) — мультииндекс длины п, а Хр = (.Х1) 1 . (Хп)Рп, X Є А — компонента элемента X є А, соответствующая разложению A = R Ф А, /. Ї7 Э {х } {уг Г {хъ)} Є Ак — гладкое отображение, проектируемое относительно канонического А -слоения на U, порождаемого проекцией 7г- Ап —s- W1. Если 7 — простое открытое множество [70] для канонического Ап-слоения, то есть прообразы точек из U при проекции 7Г: А" — М.п связны, то А-гладкое отображение F: U — Ак однозначно продолжается до А-гладкого отображения Отсюда, в частности, следует, что всякий А-гладкий росток F (Ап. 0) Ак определен вдоль всего слоя А", то есть является классом эквивалентности А-гладких отображений, определенных на окрестностях вида 7г-1()7), где U — окрестность нуля в!п. При этом для любых двух ростков А-диффеоморфизмов F\_, (Аи,0) — {An,X),F2 (Аи,0) — (А", У), где X, У Є А", определена их композиция 17 i i. (А71,0) —» А" Отображение F. U С Ап — А \ определенное формулами (1.3), называется А-продолжением (аналитическим продолжением [39]) отображения / U — Ак. Аналогичные соотношения имеют место и для А-гладких ростков вида Каждый такой росток определен вдоль всего слоя ТАМп, где х = тг{Х) и является А-продолжением некоторого гладкого ростка /. (Мп,х) — (ТАіЦ ,У ). В локальных координатах эти ростки / и F имеют, соответственно, вид у1 = рХх1) И (1.3) Пусть Мп — гладкое (дифференцируемое класса С) многообразие и /. (М ,0) —» (Мп.х) — гладкий росток. Струе.;00/ ростка / в локальной карте {U, К) на Мп, где h: U Э х ь- \хг = hl(x)} Є U С Rn, г = 1,. .,їг, соответствует струя j(A о /), представляющая собой набор из п струй (h1 о f) или формальных рядов Тейлора ростков kl о f Струя j(h о /), таким образом, может рассматриваться как элемент модуля Щ,оо)п Струи jf и jg ростков f,g- (Ее, 0) —{Мп,х) называются А-эквивалентными, если (p(j(h о /)) = (p(j(h о д)) или (p{](h о f - hoд)) = 0. А-эквивалентность струй jf и.700 независит от выбора карты (/, /г) и является отношением эквивалентности на множестве JQ(M МП) струй бесконечного порядка ростков из W- в М„ в нуле (см. [35,56]). Класс эквивалентности струи jw/ называется А-струей или А скоростью на Мп и обозначается jAf. На множестве ТАМп А-скоростей на Мп индуцируется естественная структура дифференцируе- мого многообразия.
Естественная проекция тг- ТАМп — Мп, относящая А-скорости ростка / (Ш?, 0) — (Мп,х) точку х Є Мп, превращает многообразие ТАМп в расслоение над Мп, называемое расслоением Вейля Гладкое отображение д- Мп — Ml индуцирует отображение расслоений ВейляТАд ТАМп — TAM jAf w- jA(gof) СоответствиеТА, относящее многообразию Мп расслоение ТАМп, а гладкому отображению д отображение ТАд, является функтором из категории гладких многообразий в категорию расслоенных многообразий Функтор ТА называется функтором Вейля. Функтор Вейля ТА зависит от выбора псевдобазиса в А (или эпиморфизма ф). Выбор другого псевдобазиса приводит к эквивалентному функтору. Карта (Е7, К) на многообразии Мп индуцирует отображение hA. ir l(U) — An, jAf \— (p{j(h о /)), представляющее собой Ап-значную карту (7г_1(ї7),/гА) на расслоении ТАМп. При этом С — атлас {(Ua;ha)}aeA на Мп, задающий на многообразии Мп его гладкую структуру, индуцирует С — атлас {(тг-1 ), hA)}aA на ТАМп, задающий на ТАМп структуру А-гладкого многообразия, моделируемого А-модул ем Ап [39]. В случае многообразий 1 и М" это приводит к естественным отождествлениям [39,79] дальнейшем, как правило, использовать обозначение А, а символом Ап будем обозначать подмодуль в Ап, состоящий из элементов, все компонен-ты которых принадледат идеалу А. При отождествлениях (1 5) слои TAR и ТАЖп расслоений ТАШ и ТАЖп отождествляются с идеалом А и подмо-дулем А" соответственно. Отображение hA отображает область 7г"1 (ІЇ) на U х Ап с А". Слои расслоения ТАМп при этом отображаются взаим- но однозначно на подмодуль Ап Таким образом, подмодуль Ап является стандартным слоем локально тривиального расслоения ТАМп. Расслоение ТАМп естественно ассоциировано с расслоением реперов BqMn порядка q [11, 39, 56] на многообразии Мп, образованного q-струями ростков диффеоморфизмов (М" ,0) — Мп.
Структурной группой расслоения BqMn является дифференциальная группа G4ny состоящая из д струй ростков диффеоморфизмов ц - (Kn,0) — (1 ,0) Действие группы G?n слева на А" = Т Жп осуществляется следующим образом, если ростки ip и / определяют, соответственно, элементы Jqlf є G\ и JA/ Є T0AR \ где f: (1& ,0)- (М",0)то Расслоения реперов высших порядков над Мп образуют обратный спектр главных расслоений где ВМп — расслоение реперов бесконечного порядка, предел проективной системві Мп — В1Мп — В2Мп — .. , снабженный структурой бесконечномерного гладкого многообразия в смысле Бернштейна— Розенфельда [1]. Расслоение ВМп образовано струями бесконечного порядка ростков диффеоморфизмов (Жп,0) — Мп. На ВМп действует справа естественным образом дифференциальная группа G, состоящая из струй бесконечного порядка ростков диффеоморфизмов (R", 0) — (Мп,0). Аналитическое выражение для действия (1 6) можно получить, используя А-продолжение Ф: (Ага} 0) — (А", 0) ростка ip. Росток Ф опреде-лен вдоль всего слоя Ап Є Ап [39] и задается формулой Действие (1.6) получается при ограничении ростка Ф иа Ап. Полагая в (1 8) ж1 = 0: получаем следующие уравнения, связывающие X = {X1} Р!=1 где обозначено tplp = {Ijpi dPtp1/дхр)\п Є R. Если в уравнениях (1.8) не ограничиваться рассмотрением только А-продолжений ростков вида (Ж",0) — (ЖТІ,0), а брать произвольные ростки А-диффеоморфизмов где р = {1/р1){др(рг/дхр)\о є А удовлетворяют соотношениям (/ = Уд є A, det( /? ) ф 0 Уравнениями (1.12) задается действие на Аи так называемой А-аффинной дифференциальной группы Dn(A) [33]. Координаты в группе задаются элементами ргр + Апп(А) , \р\ — 0, ,q и принимают значения в алгебре А(тг, q) Локальная алгебра A(n}q) определяется как факторалгебра A(n, g) = А E(n, ) = А @ Щп, )/m(A R(n, g))3+\ а элементы группы можно характеризовать координатами из модуля строк А(га, )" Если в выражениии (1 11) У0 - //0, где /0: (М, 0) - (Мп;0), то росток (111) можно представить как А-струю некоторого ростка такого что - (0, ta) = fo{ta) и ф( ,) — локальный диффеоморфизм для любых фиксированных 0 Ше Тогда элементы группы Dn(A) можно представлять как А(п, (/)-струи ростков (1.13) Таким образом можно ввести эквивалентное определение группы Dn(A) как множества A(n,g)-струй ростков с естественным образом определенной композицией. Дифференциальная группа G-?,, рассматриваемая как множество диффеоморфизмов вида (1 9) с рг Є Ш, является подгруппой в Dn(A). А-гладкий росток Ф вида (1 10) является А-продолжением ростка ip = Ф(Ж", 0). Кроме этого дифференциальная группа Gcl является также факторгруппой группы Dn(A) Этот эпиморфизм групп Ли Dn(A) —э- G% определяется соответствием Dn(A) э д — jq p і-» д jqTp є G, где росток Тр = 7TQ О ip- (Ж71,0) — (Жп, 0).
Расслоенные функторы, сохраняющие произведение, на категории Mf х Мга
В дальнейшем под гладким m-параметрическим семейством алгебр будем понимать векторное расслоение V х Жт —э- М.т с заданной гладкой послойной билинейной операцией умножения -VxVxRm— Vx Rm, являющейся морфизмом в категории Mfm Если операция умножения превращает каждый слой Vt = V в локальную алгебру Вейля А(), единица If которой гладко зависит от t, а расслоение V х Шт — Шт при этом представляется в виде прямой суммы (суммы Уитни) где х Rm — множество нильпотентных элементов в слоях, а М х Rm — расслоение на подалгебры, являющиеся линейными оболочками еди- ниц lt, то будем называть это семейство семейством алгебр Вейля и будем использовать для него обозначение А() х Шт Аналогичным образом определяется семейство А()-модулей A(t)n В этом параграфе каждому m-параметрическому семейству алгебр Вейля А{) х Жт будет поставлен в соответствие ковариантный функтор ТА(). JAf х Mm — ТА1т, называемый m-параметрическим семейством функторов Вейля. Функтор Вейля допускает различные способы описания, точнее, известно несколько естественно эквивалентных функторов, называемых функторами Вейля [56] В рамках нашей задачи удобно использовать конструкцию функтора Вейля, использующую локальные карты, аналогичную конструкции, приведенной в [56]. Определим действие ТА на объектах Ж х Жт следующим образом: ТА (ШхШт) = A(t)xRm.ДляХ/хМт-морфизма/хісі. txlm lx Шт морфизм fm{f х id). A(i) xЖт - A(t) x Rm, (x + X ,t) {y + Y ,t) определяется уравнениями где координаты (ж + X , t) соответствуют разложению (2.8), а суммирование при каждом t є Шт осуществляется по конечному числу слагаемых в зависимости от высоты алгебры А() Далее полагаем ТА (Жп х Mm) = A{t)n х Rm, a fA( (/ х id) A(t)n х Шт —» A(t)k х М7, определим уравнениями: Для открытого подмножества І/СІ" полагаем ГА (У х Mm) = (7r {t))-x(f/x]Rm), гдеяАф . A(t) xR - RxK"1 — послойный эпиморфизм алгебр, а на морфизмах / х id. U х Мш - Ух Rm соответствие ТА определяется той же формулой (2.9). Рассмотрим теперь произвольное n-мерное гладкое многообразие Ml с атласом, состоящим из набора карт {(Ua, ha) a G 1} с функциями склейки hap = ha о hp1 hp{Uap) — ha{Uap). Тогда набор {(Ua х №.m,ha х id), а є 1} является атласом на Мп х Ш.т Набор ТМт-морфизмов {TA(t\ha х id)} позволяет склеить между собой набор областей {TAW(Ua х Rm) = Ua х mk х Rm} При этом получаем тотальное пространство расслоения fA(t\M х Rm) - МхГ. Если / Мп -» Щ — гладкое отображение многообразия Мп в многообразие М, то, предполагая, что TA(f\f х id) — морфизм из категории FM, задаем его локально уравнениями (2.9). При этом очевидно выполняются соотношения fA(f о д) = fA {f) о ТА (д) и fA (id) = id. Поэтому ТА — ковари-антный функтор из категории Mf х Жт в категорию FMm.
Определение. Построенный выше функтор ГА : Mf х Шт —» FMm будем называть m-параметрическим семейством функторов Вейля. В случае, когда алгебра А() не зависит от t, а т = 1, расслоение ТА (М х Ш.) оказывается зависящим от времени расслоением Вейля ТАМ хЕв смысле работы [44]. Пусть F Mfm —» ТМШ — произвольный расслоенный функтор, сохраняющий произведение. В этом случае ({pt} х W1) = {pt} х Жт [56] . Обозначим символом F ограничение функтора F на подкатегорию Mf х Rm. Функтор F также сохраняет произведение Рассмотрим композицию функторов i — RtoFoRpt. Mf —» FM. Поскольку все функторы, входящие в эту композицию, сохраняют произведения в соответствующих категориях, и при этом обладают соответствующими свойствами локализации, то функтор Ft сохраняет произведение и является расслоенным функтором. Тогда по известной теореме Кайнца-Михора-Эка-Лучиано [56] функтор Ft естественно эквивалентен функтору Вейля Tt для некоторой алгебры Вейля A(t), Далее, УИ/т-объект R х Жт — Rm обладает тривиальной структурой расслоения на алгебры, которая задается атласом векторного расслоения, состоящим из одной тождественной карты Кроме того, имеется операция где то: К х R - R — умножение вещественных чисел, и определены нулевое и единичное сечения Действие функтора F задает Ач./т-объект FQ(M) Х Шт — Ш.т и Л4т-морфизмы Слои расслоения F(M. x Mm) надМш диффеоморфны многообразию f0(l) и обладают структурой локальной алгебры Вейля A(i) и, следовательно, векторного пространства, изоморфного некоторому Шт. Покажем, что это расслоение представляет собой расслоение на алгебры А() х Мт Действительно, как объект категории Mfm, расслоение F(R х Жгп) — R изоморфно произведению Ет х Жт Пусть у»: Rm х Мт -» P(R х Шт) — некоторый такой изоморфизм Касательное отображение Tip отображает вертикальные касательные пространства к Жт х М.ш, взятые вдоль нулевого сечения, на касательные пространства к слоям А() в точках x(t) образа нулевого сечения р(0 х Rm). В результате получаем гладко зависящий оті изоморфизм векторных пространств Жт и Tx A{t), который задает гладко зависящий от t изоморфизм Жт и A(t). Таким образом, отображение JF(R х Жт) A(t) х Rm — Шт представляет собой векторное расслоение, а вместе с гладкими отображениями (2 10) это векторное расслоение превращается в семейство локальных алгебр Вейля A(i) х R m В итоге получаем следующую теорему.
Теорема 2.1. Для всякого расслоенного функтора F. Mfm — FM, сохраняющего произведение, функтор F Mf х Жт — ТМт естественно эквивалентен некоторому т параметрическиму семейству функторов Вейля ТА \ Примеры однопараметрических семейств локальных алгебр. 1) Трехмерная алгебра A(f) = ,0 {1, Єї, є } с таблицей умножения при всех і el является локальной алгеброй Вейля. При і 0 получаем алгебры высоты q = 2 и ширины = 1, изоморфные алгебре триальных чисел №(є2) При нулевом значении параметра получаем алгебру Щєі, є2) высоты q = 1 и ширины = 2 2) Рассмотрим пример семейства А() х М четырехмерных алгебр. Пользуясь тем, что каждая локальная алгебра является факторалгеб- рой некоторой алгебры срезанных многочленов, будем рассматривать че тырехмерные факторалгебры алгебры срезанных многочленов Ж(2. 2) — Ж R(2,2) высоты q — 2 и ширины = 2. Выберем в R(2,2) стандартный базис (1,,OJ. є2,єш,ш2), где є, со — элементы псевдобазиса. Таблица умножения в этом базисе выглядит следующим образом Множество одномерных подпространств в линейной оболочке старших степеней {e2,:w,cj2} образует двумерное проективное пространство Р2, Каждая проективная прямая на этой проективной плоскости является идеалом в алгебре ]R(2, 2). Рассмотрим семейство идеалов, вращающихся вокруг точки {есо} Є F2 по закону I(t) = -С {aj, ff2 + tcu2} Факторизация по этому семейству идеалов дает четырехмерные локальные алгебры А (і) с таблицей умножения При і Є (—00,0) идеалы I(t) не пересекаются с квадрикой в Р2, кото- рая порождается полными квадратами а2 є Ж(2, 2)2 элементов из идеа- ла Ж.(2,2), и все эти алгебры изоморфны алгебре А(—1) = К(2,2)/1(-1) с таблицей умножения у При і = 0 идеал 1(0) касается квадрики и алгебра А(0) = М(2, 2)/1(0) имеет таблицу умножения вида При і е (0, со) идеалы I(t) имеют две общие точки с вышеупомянутой квадрикой, а все алгебры A(t) изоморфны алгебре А(1) — М(2,2)/1(1) с таблицей умножения которая изоморфна тензорному произведению Ж(є) Ж(и)) двух копий алгебры дуальных чисел. Ширина и высота всех трех типов алгебр равны q = — 2, хотя они неизоморфны друг другу. Обозначим символом Ф функтор из категории Mfm в категорию Mf xKm, относящий расслоению Мп х Rm —» Жт расслоение (Мп х Шт) х Rm _ Р] а морфизму /: М„ х Rm - Л X Rm, (x,t) - (/(ж, і), і) мор-физмФ(/) (МпхШт)хШт (4 хГ)хГ,((ж,5) ) F-+ ((f(x,s),s)t) СечениеиМп- MnxRm -S- (Л4пхМт)хКт1(Тді-п(а;, ) - ((ж,fc),і) определяет естественное преобразование функторов а: Мм/т —» Ф. Действительно, имеем коммутативную диаграмму;
Фундаментальные полувекторные поля на Вг(А)ТАМп
Алгебры Ли ростков и струй А-гладких векторных полей. Введем следующие обозначения: Vecto(R") — алгебра Ли ростков векторных полей на W1 в нуле, а Vect0(Mn, 0) — алгебра Ли ростков векторных полей на W1 в нуле, принимающих в нуле нулевое значение. Предложение 3 1 позволяет рассматривать также следующие алгебры Ли ростков А-гладких векторных полей. Vect0(An) — алгебра Ли ростков А-гладких векторных полей на А7г в нуле, Vect0(A"-, 0) — алгебра Ли ростков А-гладких векторных полей на Ап в нуле, принимающих в нуле нулевое значение, Vect0(A ", АТІ) — алгебра Ли ростков А-гладких векторных полей на Ап в нуле, принимающих в нуле значение из подмодуля А"- VectofA",!") — алгебра Ли ростков А-гладких векторных полей на А" в нуле, принимающих в нуле значение из подмодуля І" Є А.п, состоящего из n-строк с элементами из некоторого идеала I алгебры А. Предложение 3.2. Имеют место следующие изоморфизмы алгебр Ли: Доказательство. Изоморфизмы (3.22) и (3.23) следуют из того, что ростки А-гладких векторных полей U, V и [J7, У] на А" в нуле полно стью определяются своими ограничениями на W1 (см. (3 21)) Ограниче ние и = U\M" ростка А-гладкого векторного поля U представляет со бой росток Ап-значного векторного поля на Ш.п в нуле. Росток и имеет вид и3(Xі) = и-?ь(хг)еь и, поскольку алгебра А конечномерна, может рас сматриваться как элемент е& изЬ(х1) алгебры Ли А Vecto(Rn). Ро сток А-гладкого векторного поля U восстанавливается по ростку и как А-продолжение (см. (1.3)) W = и х1) + Т \=г {Dvul/Dx h. Таким образом, изоморфизм алгебр Ли А Vecto(M") —» VectofA77-) осуществля ется посредством А-продолжений А -значных векторных полей Отметим, что изоморфизм (3.22) позволяет также считать алгебры Ли Vect0(An, А71) и Vect0(A", Г) подалгебрами Ли в А О Vect0(Mn). Переход в алгебрах Ли Vecto(M") и Vecto(M",0) от ростков векторных полей в нуле к оо-струям дает следующие алгебры Ли [1,26]: Vect QR71) = Wn — алгебра Ли формальных векторных полей в R71, элемент У Є Wn представляет собой набор из п формальных степенных рядов Уг = Е5=о Р є ВД7 - . "]]. г = 1 скобка Ли W-,V\ двух формальных векторных полей вычисляется по формуле (3.20), где дг = д/dt1 — оператор формального дифференцирования степенного ряда по переменной t\ поэтому элемент V є Wn записывают также в виде линейной комбинации Vldl; Vecto(M71,0) = Lo{Wn) — подалгебра Ли в Wn, образованная формальными векторными полями У с У7 принадлежащими максимальному идеалу т(Ж[[ , . , tn}}) алгебры Effi1, .., tn]}, состоящему из рядов с нулевым свободным членом, то есть такими, что Vі — J2M=ivpbp\ Lr(Wn), г 0 — подалгебра Ли в Wn, образованная формальными векторными полями V с Vі принадлежащими (г + 1)-ой степени идеала mQRQi1,. , tn]]), то есть такими, что Vі — [Lr(Wn),Ls(Wn)] С Lr+s(Wn), поэтому при г s LT(Wn) является идеалом в Ls(Wn). В частности, Lr(Wn), т О, является идеалом в LQ(Wn)
Переходя в алгебрах Ли Vect0(A"), Vect0(An,0): Vect0(Ari,А"), Vecto(An,In) от ростков А-гладких векторных полей в нуле к оо-струям этих ростков, получим алгебры Ли Vect(An), Обозначим символом А[[іг, . ,tn]] = A(n, со) алгебру формальных степенных рядов а — Х Ы=о ар Р скр Є А, с коэффициентами из алгебры Вейля А Поскольку алгебра А конечномерна, алгебра A[[i\ . ,tn]] изоморфна тензорному произведению A Mffi1,. . ,tn}]. Алгебра АЦі1, ,tn}] обладает единственным максимальным идеалом m(A[[i1,. , tn]]), состоящим из рядов, у которых свободный член ад принадлежит максимальному идеалу А алгебры А. Алгеброй Ли формальных векторных полей в Ап будем называть алгебру Ли ТУ , образованную формальными векторными полями V = угдг, где Vі Є А[[\. . ,Г]], % = 1,... ,п, а скобка Ли [U, V] вычисляется по формуле (3.20), где, как и в случае алгебры Wn, дг = djdt — оператор формального дифференцирования степенного ряда по переменной t В алгебре Ли ТУ имеются следующие подалгебры Ли. Lr(W ), г — 0,1,.. — подалгебра Ли, образованная формальными векторными полями V — V d% такими, что у каждого формального ряда Vя = Х]ы=о Р г = 1,..., п, отрезок Yl\p\=ovptP является нулевым; в частности, Lo(W. ) — подалгебра Ли, образованная формальными векторными полями V, у которых ряды Vі имеют нулевые свободные члены; Lo(Wn) — подалгебра Ли, образованная формальными векторными полями V с Vі принадлежащими максимальному идеалу m(A[[i1! .. ,in]]). Из формулы (3.20) следует, что алгебра Ли L.,.{WA), г — 1, ., является идеалом в LQ(WA). Следующие предложения являются следствиями предложений 3.1 и 3.2. Предложение 3.3. Имеют место следующие изоморфизмы алгебр Ли: Предложение 3.4. Векторное пространство Vecto(An,0) т-струй ростков А-гладких векторных полей из Vecto(An,0) с операцией скобки \jTVi,f V2} 3r[Vi,V2] образует алгебру Ли, изоморфную фак-торалгебре Ли Лифты векторных полей на расслоение Вг(А)ТАМп. Векторное поле v Мп — ТМп на гладком многообразии Мп порождает локальный поток (pt. Мп —» Мп. Функтор Вейля ТА, примененный к потоку щ дает поток TAcpt: ТАМп - ТАМп на расслоении Вейля ГАЛ4 — А-продолжение потока.
Поток TA pt, в свою очередь, порождает векторное поле vG: ТАМп —» ТТАМп на расслоении Вейля ТАМп, называемое полным лифтом векторного поля v. Это же векторное поле vA представляет собой композицию А-продолжения vA ТАМп —» ТАТМп отображения v: Мп - ТЛ4 с диффеоморфизмом ТАТМп — ТТАМп, представляющим эквивалентность функторов ТАоТш& = у оТ В дальнейшем не будем различать отображения г с и г А Локальные А-координаты FJ(XJ) векторного поля t A на ТАМп по отношению к А-карте /Д порождаемой картой h на многообразии Мш являются А-продолжениями координат vt(xJ) векторного поля v. В соответствии с (1.3), Формулой, аналогичной (3.24), будет определяться и полный лифт V А-гладкого векторного поля V, заданного на расслоении ТАМп, на расслоение ТЩп г)ТАМп = тАт(-п Мп Если v = V\Mn: Мп - ТТАМП — ограничение А-гладкого векторного поля V на Мп с ТАМп (многообразие Мп отождествляется с нулевым сечением расслоения ТАМп), то полный лифт у = у&Щп.г) векторного поля V на расслоение тАш(п Мп в локальных координатах {Хг} на тА п Мп, порождаемых локальными координатами {х1} на Мп, имеет следующий вид где f/(a;J) — А-значные гладкие функции, являющиеся ограничениями на W- А-гладких функций Vі {X3), Хг Є m(A JR(n,r)), a F J) — А М(гг, г)—гладкие функции, являющиеся продолжениями функций /(а:-7) и Уг{Х3) Главное расслоение Вг(А)ТАМп является открытым подмногообразием в тАж(п г)МП7 поэтому формулами (3.25) задается одновременно и полный лифт А-гладкого векторного поля V с ТАМп на Вг(А)ТАМп Предложение 3.5. Полный лифт V А-гладкого векторного поля V с ТАМп на Вг(А)ТАМп инвариантен относительно правого действия группы Ли G;(A) на Вг{А)ТАМп. Доказательство. В локальных координатах правое действие (3.6) При правом действии (3.26) полный лифт V перейдет в векторное поле W, координаты W1 которого в точке Y — X о Z получаются при подстановке Z% вместо є% в разложение Vі(X3) из (3 27) по степеням єр: Vі (XJ) — АрЄр. Но для осуществления этого нужно в разложении каждого Хг, входящего в правую часть (3.27), заменить єр на Zv, а это эквивалентно замене в (3.27) Efpi-i V}X? на Eb-i YJYP, rmY = XoZ, что приводит к V47 ) Предложение 3.6. Алгебра Ли праеоинвариантных векторных полей на группе Ли GTn{A) изоморфна алгебре Ли Vect A77 . 0). Доказательство. Пусть V Є Vecto(An, 0) — росток в 0 А71 А-гладкого векторного поля такой, что V(0) = 0 В координатах Хг на Ап росток V задается функциями Vі[X3). А R(n, г)-лифт V ростка V в точке Z Є G (A) с Вг(А)Ап в координатах имеет вид (3.27): По предложению 3.5 ограничение ростка V на группу Ли G (A) представ ляет собой правоинвариантное векторное поле V на этой группе. Из (3.28) следует, что векторное поле V однозначно определяется г-струей ростка V.
Структурные уравнения расслоения Br(Mn х U)
Обозначим символом fJ(n+m,r)(Mfe х U) расслоение f?(n+m r)(Mn х U), соответствующее сечению т, определяемому ростком а — pr. (Mn х Rm;0) - (Mm,0) (см. (2.30)), то есть уравнениями т = va, где {И}, а — 1, , m — стандартный псевдобазис в Щт,т ). Обозначим че рез Вг(Мп х У) множество всех r-струй обратимых ростков морфизмов (/,trj (Rn х Шт, (0,0)) - (М„ х ЕГ, (я, )), «tffl) н (жг( Да),/а a + g), из категории Mf . Множество Br(Mn х Е7) является открытым подмножеством в расслоении Tw-m,r\Mn х U) и тем самым наследует с Трг +т (Мп х С/) структуру гладкого многообразия. Кроме этого Вт(Мп х 17) является локально-тривиальным расслоением над Мп х [7, которое является объектом категории ТЛЛ. Стандартный слой расслое-ния Br(MnxU) — группа Ли Dr(n,m), образованная всеми r-струями обратимых ростков морфизмов (/, id): (Шп х Жт} (О, 0)) - {W1 х R (0,0)). Группа Ли 17" (n) m) действует справа на B r(Mn х U) по закону композиции струй Следовательно, ВТ(Мп х U) — главное расслоение. Алгебра Вейля Ж(п + m,r), рассматриваемая как алгебра г-струй ростков (Rn х Mm,0) — R, (u3 ta) i- ж = f(u3,ia), содержит подалгебры Вейля, образованные г-струями ростков, которые не зависят от -uJ и ta, соответственно. Эти подалгебры изоморфны, соответственно, алгебрам Щп,г) и Ж(га,7-) В дальнейшем подМ(п,г) и Щтп,г) мы будем понимать вышеупомянутые подалгебры в алгебре Ш.(п 4- тп,т). Подалгебры Щп,г) and E(m,г) порождают алгебру Щп + т, Обозначим {єг}, г — 1,..., п, стандартный псевдобазис в M(n, г), а {і/ }, а = 1, , m — стандартный псевдобазис в R(m, г) Полный набор {ег, Vй}, г — 1,..., п, а = 1,..., т образует псевдобазис в Ж{п + m,r) = R(n, г) R(m, г) Используя этот псевдобазис локальные координаты на Вг(Мп х U), индуцированные координатами на Мп х U, можно записать в виде В локальных координатах (4 1) композиция Y = X о Z в группе Ли Dr{n,rn) и правое действие У = X о Z группы Dr(n}m) на В7 (Мп х Г/) имеют, соответственно, вид Главное расслоение (Br(Mn х U),Dr{n,m),Mn х U) будем называть расслоением г-реперов многообразия Мп х U.
Таким образом, с каждым многообразием Мп х XJ естественным образом ассоциирована последовательность главных расслоений реперов высшего порядка где В(Мп х /) — расслоение реперов бесконечного порядка на Мп х U, предел проективной системы Мп х U — В1(Мп х U) — В2{Мп х Ї7) — . , снабженный структурой бесконечномерного гладкого многообразия в смысле Бернштейна—Розенфельда [1]. Расслоение В(Мп х U) образовано струями бесконечного порядка ростков морфизмов (jf, tr ) (Шп х Шт, (0,0)) —г- (Мп х Ет,,(ж,і)). Группа D(n,m), образованная струями бесконечного порядка ростков обратимых морфизмов (/, id) (Rn х Жт, (0,0)) —5- (W1 хЖт, (0, 0)), естественное действует справа на В(Мп х Теорема 4.1. І) Группа Ли Dr(n,m) изоморфна группе Ли Щт,г)-линейных автоморфизмов алгебры Щп, г) Щт г). Іі) Алгебра Ли VT(n,m) группы Ли W (п,т) изоморфна алгебре Ли Ж(т,г)-линейных дифференцирований алгебры R(n, г) @М(т, г) со скобкой [Di, D2] = D2 о Di - Di о D2. Доказательство. Доказательство этой теоремы аналогично доказательству Теоремы 3.1 (см. также [35] для случая алгебры A(n.q) — Щп, q) А). Алгебру Ж(п, г) R(m, г) можно рассматривать как алгебру Ш(п + т,г)-струй морфизмов (f\id): (Rn х Rm,(0,0)) - (Ш х Жт, (х, 0)). Тогда правое действие Ш(п, г) Е(т, г)-струи ростка морфиз-Ma(g,id): (R"xRm, (0, 0)) -» (М"хМ"\ (0,0)) на Щп, г) R(m, г) по закону композиции струй является автоморфизмом. Если росток (/, id): (Жп х Шт, (0,0)) -» (їх Жт, (х, 0)) не зависит от и Є W1 (т е. имеет вид х = f{ta)), тогда (/,id.) о (g,id) = (/,id) и, следовательно, элемент уШ(п,г)щ-т,г)д из jy jn} действует на подалгебре R(m,r) тождественным образом Отождествлением касательного пространства к алгебре М(тг,г) ( Ш(т,г) с этой алгеброй фундаментальные векторные поля дей ствия группы Г г(п, т) на R(n, г) R(m} г) сводятся к R(m, г)-линейным дифференцированиям алгебры Щщг) ffi(m, г). П Росток обратимого морфизма ( /?, trtj: (W1 х Жт, (0,0)) — (Мп х Rm, (x,to)) индуцирует изоморфизм касательных пространств где X = jry? — r-репер, определяемый ростком (ср, trto). При этом, если задан только г-репер X = ftp, то определяется только изоморфизм Tr-i (n,r)R(m,r) Tr-ir(Rn х R7n) -» Т ВГ Мп X І7), (4.3) где Тг 1Вг(Мп х U) — обратный образ касательного расслоения ТВг(Мп х U) при проекции тг х -Br(Mu х [/) - Я7""1 х У). Элемент из Т В7 можно рассматривать как касательный вектор к Br(Mn х U), взятый с точностью до слагаемого, принадлежащего ядру проекции Т -тг или, в терминах алгебры М(тг, г) М(т, г), с ТОЧНОСТЬЮ ДО слагаемого, принадлежащего подмодулю вертикального касательногоM(n, г) g IKL(m, г)-модуля VxBr{Mn х С") (ка-сательного пространства к слою t = to проекции Br(Mn х U) на U), порождаемому г-ой степенью максимального идеала Таким образом, слой Т _\Br(Mn х С/) расслоения Tr lBr{Mn х [/) может рассматриваться как факторпространство Расслоение Tr Br(Mn х /) при этом представляет собой факторрасслое-ние векторного расслоенияTBr(MnxU) — Br{Mn х U) по подрасслоению m(R(n,r) Щт}г)уУВт{Мп х Ї7) вертикального касательного расслоения VBr(Mn х U). Каждый элемент Уе -1 из Т 1Вт(Жп х Жгп) посредством отобра-жений (4.3) определяет сечение расслоения Тт В7 (Мп х U) — фундаментальное полувекторное поле У - рС). Обратные отображения к (4.3) определяют 1-форму (9Г на Вг(Мп х 17) со значениями в Форму 9Г будем называть структурной формой расслоения Br(Mn х U) Замечание 6. В качестве области значений формы 9Г можно также взять пространство (г — 1)-струй ростков в нуле векторных полей на (Rn х Шт), проектируемых в постоянные векторные поля на Жт.
Под локальным изоморфизмом ((p,ti\)- Мп х U — М п х Vі будем понимать морфизм категории A4f, который является локальным диффеоморфизмом. Теорема 4.2. Пусть Ф- Вг(Мп х І7) -» ВТ{М п х U ) — локальный диффеоморфизм, при котором структурная форма 6J расслоения Br{Mri х U) переходит в структурную форму в 1 расслоения Вг[М п х U1). Тогда в окрестности всякой точки X є Br{Mn х U) отображение Ф совпадает с Ш(п, г) Щт,г)-продолжением изоморфизма {tp,tij MnxU M xU . Доказательство. Отображение Ф переводит фундаментальное полу-векторное поле иа расслоении Br(Mn х U), соответствующее элементу Ve Є Ц 1Вг(Жп х Rm) в фундаментальное полувекторное поле на рас ело-ении ВТ(М п х U!), соответствующее этому же элементу Ve. Если проекция элемента Ve на касательное пространство 7o}o(Mn х Rm) является нулевым вектором, то и проекции соответствующих фундаментальных полувекторных полей также являются нулевыми векторными полями иа Мп х U и М п х U . Отсюда следует, что локальный диффеоморфизм Ф проектируется в локальный диффеоморфизм ц Мп х U — М!п х U По этим же причинам Ф и р проектируются в локальный диффеоморфизм ф- U — V, то есть if имеет в локальных координатах следующий вид: хп = (pl{x \ ta), t!a — ф{Ьь) Кроме этого, из (4.4) и (4.3) следует, что проекция фундаментального полувекторного поля на Кт является постоянным векторным полем. Следовательно, постоянные векторные поля на Rm инвариантны относительно отображения ф Но тогда Ц = 5% и t a = ta -f Щ, то есть ф — сдвигМт. Таким образом, ip Мп х U — М п х V — морфизм в категории Mfg. Далее, следуя схеме рассуждений из [69], параграф 1.3.1 (см. также доказательство Теоремы 3 2), рассматриваем композицию Локальный диффеоморфизм Фг сохраняет структурную форму и проектируется в тождественный диффеоморфизм многообразия Мп х U. Поэтому Фг состоит из правых сдвигов Rz{x,t), % Dr(n,m), слоев (,л"о) 1(ж,і) расслоения В1 [Мп х U). Нужно показать, что W — тождественное отображение. При г = 1 правый сдвиг Rz: X - У в локальных координатах имеют следующий вид: у = %kzr УІ = x\za + х1- Приравнивая координаты (vl,va) значений фундаментального полувекторного поля, соответствующего произвольному элементу ve є Т(?51(Ж.И xMm), имеющему координаты (vl, vf) в точках X и Y: получаем zk = Ьк, zh0 = 0, то есть Z(x, t) = є Є Dl(n, m). Предполагая, что утверждение теоремы справедливо при г = 1, .. ,г — 1, приходим к тому, что отображение (4.5) расслаивается над тождественным отображением Вг 1(Мп х У) — БГ 1(МП х /) Затем, как в случае г = 1, записывая соотношения аналогичные (3 35), получим" Z{Xr-1)=eDT{n,m).
