Введение к работе
Актуальность темы. Понятие производных в среднем было введено Э.Нельсоном в работах 1966, 1967 и 1985 годов для нужд построенной им стохастической механики (вариант квантовой механики). Уравнение движения в этой теории (так называемое уравнение Ньютона-Нельсона) было первым примером уравнений с производными в среднем. Затем, например, в работах Ю.Е. Гликлиха было показано, что в терминах уравнений с производными в среднем также описываются движение вязкой несжимаемой жидкости, а также вихри в ней (например, в работе Хе 2001г.). В работах Ю.Е. Гликлиха также было начато изучение уравнений с производными в среднем как отдельного класса стохастических дифференциальных уравнений.
Во всех указанных выше случаях решения уравнений предполагались процессами Ито диффузионного типа (или даже марковскими диффузионными процессами) с известным диффузионным членом, так как классические производные в среднем по Нельсону описывают только снос диффузионного процесса. Поэтому возникает задача построения иной производной в среднем, связанной с коэффициентом диффузии, что позволило бы корректно поставить задачу о нахождении процесса по его производным в среднем.
К настоящему времени, начиная с работ Э.Д. Конвея, Ж.П. Обе-на и Дж. Да Прато во всем мире активно развивается теория стохастических дифференциальных включений (см., например, статьи М. Киселевича, М. Михты и Е. Мотыля и литературу в них в специальном выпуске журнала Dynamic Systems and Applications 2007 г.). Однако ранее не рассматривались дифференциальные включения с производными в среднем несмотря на то, что они естественным образом возникают в приложениях и к ним могут быть сведены обычные стохастические дифференциальные включения.
В связи с заданием сложных физических процессов уравнениями и включениями с производными в среднем отметим уравнение и вклю-
чение Ланжевена на римановых многообразиях, которые описывают движение механической системы на нелинейном конфигурационном пространстве в случае, когда силовое поле системы подвержено случайным возмущениям (в случае включений - сила существенно разрывна или содержит управляющий параметр). В работах Ю.Е. Гликлиха и И.В. Федоренко, а также Ю.Е. Гликлиха и А.В. Обуховского эти уравнения и включения были описаны в интегральной форме, поскольку не был известен дифференциальный вариант этих уравнений и включений, основанный на производных в среднем. Во многом по этой причине в работе Ю.Е. Гликлиха и А.В. Обуховского 2001г. была доказана теорема существования слабого решения включения Ланжевена только в предположении, что диффузионный член этого включения однозначен и непрерывен. Так что возникла задача об описании этого включения в терминах производных в среднем и о разрешимости указанного включения в случае многозначной диффузии.
Укажем также, что в современных струнных теориях квантовой физики активно используются бесконечномерные многообразия петель. Поэтому важной задачей является исследование уравнений с производными в среднем на указанных многообразиях, что дало бы возможность применения в струнных теориях аппарата стохастической механики Нельсона.
Цель работы. Модификация теории производных в среднем таким образом, чтобы по заданным производным можно было бы найти соответствующий случайный процесс. Описание уравнений и включений с производными в среднем справа, слева и с текущими скоростями (симметрическими производными в среднем) как в линейных пространствах, так и на многообразиях, в том числе на бесконечном многообразии петель Соболевского класса Н1, и доказательство существования их решений; применении описанных методов исследования к задачам математической физики, в частности, исследование дифференциальных включений Ланжевена с многозначной диффузией на
римановом многообразии.
Методика исследований состоит в использовании идей и методов функционального анализа, современного глобального анализа, стохастического анализа.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Наиболее важными из них являются следующие:
На основе модификации одной идеи Э. Нельсона построена новая производная в среднем (названная квадратичной), которая для диффузионного процесса описывает его коэффициент диффузии. С использованием этой производной и классических производных в среднем по Нельсону описаны и исследованы дифференциальные уравнения и включения с производными в среднем справа, слева и с текущими скоростями (симметрическими производными в среднем).
Доказаны теоремы существования решений для дифференциальных уравнений и включений с производными в среднем справа, слева и с текущими скоростями в конечномерных линейных пространствах (для включений - с различными типами непрерывности правых частей, имеющих замкнутые выпуклые значения). Получены обобщения этих утверждений на случай дифференциальных уравнений и включений с производными в среднем справа на гладких конечномерных многообразиях.
В терминах ковариантных производным в среднем описаны дифференциальные включения второго порядка типа Ланжевена на рима-новых многообразиях и получена терема существования слабых решений для таких включений с многозначными сносом и диффузией.
Описаны и исследованы дифференциальные уравнения с производными в среднем на бесконечномерном многообразии петель и доказаны теоремы существования их решений.
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Разработанные в работе методы и полученные результаты важны для исследования задач математической физики.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на международных школах-семинарах по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, 2004, 2006); международной научной конференции "Топологические и вариационные методы нелинейного анализа и их приложения" (Воронеж, 2005); Воронежской зимней математической школе С.Г.Крейна 2006; на семинаре "Modelling Cellular Systems with Applications to Tumour Growth" (Бедлево, Польша, 2006); на международной школе IX Diffiety School (Санто Стефано дел Соле, Италия, 2006); на международном семинаре "Stochastic Analysis, Stochastic Differential Geometry and Applications" (Свонзи, Уэльс, 2007) и на научных сессиях Воронежского государственного университета 2004-2007 годов.
Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [1-13]. Из совместных работ [1, 6, 9, 11, 12] в диссертацию вошли только результаты, полученные лично диссертантом.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, разбитых на 14 параграфов и списка литературы. Общий объем работы 114 страниц. Библиография содержит 54 наименования.