Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Усреднение дифференциальных включений с измеримой правой частью .
1. Вспомогательные сведения 8
2. Принцип усреднения для дифференциальных включений с измеримой правой частью 11
3. Теорема о непрерывности решений дифференциальных включений по параметру и начальным данным 23
Глава 2. Усреднение многочастотных управляемых систем .
1. Кратные интегралы многозначного отображения и их свойства 35
2. Схемы усреднения управляемых систем с быстрыми фазами 47
Глава 3. Усреднение управляемых систем со скалярной фазой .
1. Усреднение уравнений управляемого движения 63
2. Усреднение в задачах с фиксированным временем 77
3. Усреднение в задачах с нефиксированным временем 87
Выводы
Заключение
- Принцип усреднения для дифференциальных включений с измеримой правой частью
- Теорема о непрерывности решений дифференциальных включений по параметру и начальным данным
- Кратные интегралы многозначного отображения и их свойства
- Усреднение в задачах с фиксированным временем
Введение к работе
І. Актуальность темы работы.
Теория оптимального управления является сегодня интенсивно развивающимся разделом современной математики,интерес к которому обусловлен его прикладным характером и потребностями современной техники.
На практике реальные управляемые процессы исследуются на основе идеализированных математических моделей,нередко описываемых системой обыкновенных дифференциальных уравнений с малыми параметрами. В частности,появление малых параметров может быть вызвано наличием в системе управления элементов,инерционные свойства которых отличаются на один или несколько порядков.
Для приближённого решения дифференциальных уравнений с малым параметром используются различные асимптотические методы [7,16,24,
,среди которых одним из самых распространённых и разработанных является метод усреднения.Этот метод широко применяется при исследовании систем обыкновенных дифференциальных уравнений с медленными и быстрыми переменнымиБ,6,7,17,19,20,22,30,32,49, 53,55; 1 ,часто встречающихся в приложениях:теория колебаний,вращение твёрдого тела,динамика космических полётов и т.д.
Актуальность исследований,выполненных в данной работе,определяется тем,что во многих задачах механики и техники,описываемых системами дифференциальных уравнений с медленными и быстрыми переменными, возникает необходимость в управлении процессом.При этом большой интерес представляет собой разработка различных схем ус -реднения управляемых систем с медленными и быстрыми переменными, так как применение этих схем позволяет свести решение исходной задачи оптимального управления к интегрированию усреднённой системы,
которая существенно проще /например,содержит меньшее число уравнений и переменных/.
Тема диссертации входит в комплексную тему "Асимптотические методы исследования задач оптимального управления" /номер гооударст -венной регистрации 01820068762/ разработкой которой занимается коллектив кафедры оптимального управления Одесского университета в соответствии с Республиканским планом важнейших работ в области естественных наук АН УССР на I98I-I985 гг.
2. Существующие подходы к усреднению управляемых систем с быстрыми фазами. Цель работы.
Впервые применение метода усреднения к исследованию управляемых систем с быстрыми фазами было рассмотрено в работе [_32j в предположении о медленном изменении функции управления.Для случая же,когда управление считается произвольным,наметились следующие две методики применения метода усреднения:
1. С помощью принципа максимума Л.С.Понтрягина исходная зацача уп
равления системой с медленными и быстрыми переменными сводится к
краевой задаче,для решения которой применяется метод усреднения.
В работах Гі, 22,55J с помощью этого подхода исследуются управляемые системы со скалярной фазой или системы,сводящиеся к такому типу.В данной работе подобная методика применяется в 2,3 главы З.При этом,как и в вышеперечисленных работах исследован случай системы со скалярной фазой,но по сравнению с [55] предложен алгоритм усреднения, позволяющий избежать неединственности решения краевой задачи принципа максимума для процессов с нефиксированным временем.
2. На основе аппарата дифференциальных включений усредняются непо
средственно уравнения управляемого движения,и решается задача опти
мального управления для более простой усреднённой системы. Этот
подход для систем стаццартного вида с медленными переменными
был впервые рассмотрен в работах [з4 - 37] .В данной работе предложен алгоритм усреднения уравнений управляемого движения для систем с быстрыми фазами,и дано его обоснование в случае скалярной фазы.
Таким образом,целью данной работы является: построение и обо -снование схем усреднения управляемых систем с медленными и быстрыми переменными,базирующихся на применении дифференциальных включений,а также получение некоторых результатов по теории ішогозначньк отображений, лежащих В ОСНОВе ЭТР1Х схем.
3. Научная новизна и практическая ценность работы. Основные научные результаты работы состоят в следующем:
I/ получено обоснование метода усреднения на конечном промежутке для дифференциальных включений с измеримой правой частью;
2/ доказана теорема о непрерывной зависимости по параметру и начальным данным решений дифференциального включения,правая часть которого удовлетворяет условиям Каратеодори;
3/ на основе теории кратного интеграла многозначного отображения предложена схема усреднения управляемых систем с быстрыми фазами;
4/ обоснована схема частичного усреднения в системах со скалярной фазой;
5/ предложена и обоснована схема усреднения уравнений управляемого движения,описываемого системой со скалярной фазой;
б/ доказана близость решений исходной и усреднённой краевых задач принципа максимума Л.С.Понтрягина для управляемых квазилинейных систем со скалярной фазой в задачах как с фиксированной,так и с нефиксированной продолжительностью процесса.
Практическая ценность работы состоит в том, что предложенные
- б -
и обоснованные в ней схемы усреднения управляемых систем с медленными и быстрыми переменными позволяют значительно упростить решение задач оптимального управления для таких систем.
4.Объём и структура работы.
Работа объёмом НО страниц состоит из трёх глав. В первой главе помещены теоремы об усреднении на конечном промежутке и о непрерывной зависимости по параметру и начальным данным для дифференциальных включений с измеримой правой частью, а также некоторые вспомогательные сведения. Результаты этой главы служат теоретическим фундаментом для последующих глав.
Во второй главе вводится понятие кратного интеграла многозначного отображения и строится его теория. На базе этой теории предлагаются схемы усреднения управляемых систем с несколькими быстрыми фазами, которые иллюстрируются на модельных примерах.
Третья глава посвящена усреднению управляемых систем со скалярной фазой. Обосновьшаются схемы усреднения как непосредственно, уравнений управляемого движения/предложенные во второй главе^ так и краевых задач принципа максимума Л.С. Понтрягина. Рассматриваются случаи фиксированной и нефиксированной продолжительности процесса. С помощью предложенных схем решаются конкретные задачи из теории колебаний.
Внутри глав параграфы имеют самостоятельную нумерацию. Теоремы и формулы в пределах параграфа имеют одинарную нумерацию. При ссылках на результаты другого параграфа данной главы применяется двойная нумерация с указанием номера параграфа и теоремы /формулы/. Если ссылка делается на результаты другой главы, то используется тройная нумерация: номер главы, номер параграфа, номер теоремы /формулы/.
5.Общая методика исследования.
Основным аппаратом исследования в данной работе является
- 7 -метод усреднения ^6,7,17,19,20,25,30 - 32,34 - 40,49, 53, 55*] в сочетании с некоторыми результатами теории многозначных отображений [2 - 5,8,23,26,28,29,41,48,50 - 52,54,60,63 - 86*] . Кроме того, в третьей главе существенно используется методика усреднения краевых задач принципа максимума Л.С. Понтрягина, изложенная в работах Г34,55] .
6.Апробация работы.
Основные результаты диссертации докладывались на: Третьем республиканском симпозиуме по дифференциальным и интегральным уравнениям /Одесса, 1982/, Третьей республиканской конференции "Вычислительная математика в современном научно - техническом прогрессе" /Канев, 1982/, Всесоюзной школе - семинаре "Методы малого параметра и их применение" /Минск, 1982/, Четвёртой Всесоюзной конференции по оптимальному управлению в механических системах /Москва, 1982/, республиканском семинаре по обыкновенным дифференциальным уравнениям при Киевском государственном университете.
7. Публикации.
По теме диссертации опубликовано 8 работ l0 - 15, 38,39]. В опубликованных в соавторстве работах ҐІ4,15,38,39| лично автору диссертации принадлежат следующие результаты:
Исследование схем усреднения нелинейных управляемых систем с медленными и быстрыми переменными.
Исследование многочастотной управляемой системы специального вида с помощью метода усреднения.
Обоснование метода усреднения на конечном промежутке для дифференциальных включений с измеримой правой частью.
Введение понятия кратного интеграла многозначного отображения и изучение его свойств,рассмотрение схем усреднения управляемых систем с быстрыми фазами на модельных примерах.
Принцип усреднения для дифференциальных включений с измеримой правой частью
Теория оптимального управления является сегодня интенсивно развивающимся разделом современной математики,интерес к которому обусловлен его прикладным характером и потребностями современной техники.
На практике реальные управляемые процессы исследуются на основе идеализированных математических моделей,нередко описываемых системой обыкновенных дифференциальных уравнений с малыми параметрами. В частности,появление малых параметров может быть вызвано наличием в системе управления элементов,инерционные свойства которых отличаются на один или несколько порядков.
Для приближённого решения дифференциальных уравнений с малым параметром используются различные асимптотические методы [7,16,24,
,среди которых одним из самых распространённых и разработанных является метод усреднения.Этот метод широко применяется при исследовании систем обыкновенных дифференциальных уравнений с медленными и быстрыми переменнымиБ,6,7,17,19,20,22,30,32,49, 53,55; 1 ,часто встречающихся в приложениях:теория колебаний,вращение твёрдого тела,динамика космических полётов и т.д.
Актуальность исследований,выполненных в данной работе,определяется тем,что во многих задачах механики и техники,описываемых системами дифференциальных уравнений с медленными и быстрыми переменными, возникает необходимость в управлении процессом.При этом большой интерес представляет собой разработка различных схем ус -реднения управляемых систем с медленными и быстрыми переменными, так как применение этих схем позволяет свести решение исходной задачи оптимального управления к интегрированию усреднённой системы, которая существенно проще /например,содержит меньшее число уравнений и переменных/.
Тема диссертации входит в комплексную тему "Асимптотические методы исследования задач оптимального управления" /номер гооударст -венной регистрации 01820068762/ разработкой которой занимается коллектив кафедры оптимального управления Одесского университета в соответствии с Республиканским планом важнейших работ в области естественных наук АН УССР на I98I-I985 гг.
Впервые применение метода усреднения к исследованию управляемых систем с быстрыми фазами было рассмотрено в работе [_32j в предположении о медленном изменении функции управления.Для случая же,когда управление считается произвольным,наметились следующие две методики применения метода усреднения: 1. С помощью принципа максимума Л.С.Понтрягина исходная зацача уп равления системой с медленными и быстрыми переменными сводится к краевой задаче,для решения которой применяется метод усреднения. В работах Гі, 22,55J с помощью этого подхода исследуются управляемые системы со скалярной фазой или системы,сводящиеся к такому типу.В данной работе подобная методика применяется в 2,3 главы З.При этом,как и в вышеперечисленных работах исследован случай системы со скалярной фазой,но по сравнению с [55] предложен алгоритм усреднения, позволяющий избежать неединственности решения краевой задачи принципа максимума для процессов с нефиксированным временем. 2. На основе аппарата дифференциальных включений усредняются непо средственно уравнения управляемого движения,и решается задача опти мального управления для более простой усреднённой системы. Этот подход для систем стаццартного вида с медленными переменными был впервые рассмотрен в работах [з4 - 37] .В данной работе предложен алгоритм усреднения уравнений управляемого движения для систем с быстрыми фазами,и дано его обоснование в случае скалярной фазы. Таким образом,целью данной работы является: построение и обо -снование схем усреднения управляемых систем с медленными и быстрыми переменными,базирующихся на применении дифференциальных включений,а также получение некоторых результатов по теории ішогозначньк отображений, лежащих В ОСНОВе ЭТР1Х схем. 3. Научная новизна и практическая ценность работы. Основные научные результаты работы состоят в следующем: I/ получено обоснование метода усреднения на конечном промежутке для дифференциальных включений с измеримой правой частью; 2/ доказана теорема о непрерывной зависимости по параметру и начальным данным решений дифференциального включения,правая часть которого удовлетворяет условиям Каратеодори; 3/ на основе теории кратного интеграла многозначного отображения предложена схема усреднения управляемых систем с быстрыми фазами; 4/ обоснована схема частичного усреднения в системах со скалярной фазой; 5/ предложена и обоснована схема усреднения уравнений управляемого движения,описываемого системой со скалярной фазой; б/ доказана близость решений исходной и усреднённой краевых задач принципа максимума Л.С.Понтрягина для управляемых квазилинейных систем со скалярной фазой в задачах как с фиксированной,так и с нефиксированной продолжительностью процесса. Практическая ценность работы состоит в том, что предложенные и обоснованные в ней схемы усреднения управляемых систем с медленными и быстрыми переменными позволяют значительно упростить решение задач оптимального управления для таких систем. 4.Объём и структура работы. Работа объёмом НО страниц состоит из трёх глав. В первой главе помещены теоремы об усреднении на конечном промежутке и о непрерывной зависимости по параметру и начальным данным для дифференциальных включений с измеримой правой частью, а также некоторые вспомогательные сведения. Результаты этой главы служат теоретическим фундаментом для последующих глав.
Во второй главе вводится понятие кратного интеграла многозначного отображения и строится его теория. На базе этой теории предлагаются схемы усреднения управляемых систем с несколькими быстрыми фазами, которые иллюстрируются на модельных примерах.
Третья глава посвящена усреднению управляемых систем со скалярной фазой. Обосновьшаются схемы усреднения как непосредственно, уравнений управляемого движения/предложенные во второй главе так и краевых задач принципа максимума Л.С. Понтрягина. Рассматриваются случаи фиксированной и нефиксированной продолжительности процесса. С помощью предложенных схем решаются конкретные задачи из теории колебаний.
Теорема о непрерывности решений дифференциальных включений по параметру и начальным данным
Данный параграф посвящен вопросам усреднения управляемых одночастотных систем на нефиксированном промежутке времени. Для квазилинейных систем обосновьшается методика усреднения на базе сведения исходной задачи управления к краевой задаче принципа максшлума Понтрягина. При этом,по сравнению с работой в случае задачи быстродействия вводится другая,более естественная нормировка.А именно,вместо предположения о том, что гамильтониан системы Н в конечный момент времени 1 пропорционален L U / \р\ ,стр.97 /,вводится нормировка I? % 0=1, где рСх ) , - -" - -решение сопряжённой сис темна .За счёт отбрасывания весьма рас пространённого в литературе,но,вообще говоря,некорректного / [59] стр.389 / предположения Ц " U удалось из бежать эффекта осцилляции,возникавшего при решении краевых задач / Q55J ,стр.101/.Кроме того,для произвольных нелинейных управляемых систем со скалярной фазой на нефиксированном промежутке предлагается схема усреднения уравнений движения /рассмотренная в 2/,которая иллюстрируется на конкретном примере. Рассмотрим задачу оптимального управления квазилинейной системой с быстровращающейся фазой типа 2.I.: где ее є R , и є R , u. t L/ LompIK J, U U -1, функции і (тг, ос, u., LQ , w Cc, x, U, u.) _2 5Г-периодичны no U-В отличие от постановки задачи 2 будем считать,что момент окончания процесса не задан,а выбирается из условия достижения фазовой точкой конечного состояния X . (і) Пусть,например,задача оптимального управления состоит в на хождении измеримого управления ЬС С пере водящего систему (lJ из начального состояния Х в конеч ное состояние ЭС- за минимальное время, т.е. критерий качества имеет следующий вид: Таким образом,задача ( 0 , () - задача оптимального бъ ыстродеиствия, Предположим,что решение поставленной задачи оптимального быстродействия (4.) , (S ) существует и единственно.Выпишем соответствующую краевую задачу принципа максимума Понтрягина,аналогичную 2.8: i= Сс\х, , , , хсО) = х, х(Х) = ос , Так же как в 2 после переобозначений запишем краевую задачу в виде: Поставим в соответствие краевой задаче (4)—(Ь) - усреднённую по и задачу: ( - 90 Если решение усреднённой краевой задачи (/И - (10) существует; то оно принимается в качестве асимптотического решения исходной задачи.Введём определения асимптотического решения. Определение I. Будем говорить,что 4Сс,), - 1:.,01.,1 -oOV есть О. -решение задачи быстродействия,если при подстановке его в необходимые условия (4) - (о ) получим погрешность порядка и(ь ) . Определение 2. Будем говорить,что kci,c) d,o)Jc4cTb асимптотически экстремальное решение задачи быстродействия,если справедливы следующие оценки: -решение краевой задачи (4)-(б)- Определение 3. Будем говорить,что есть асимптотически оптимальное решение задачи быстродействия,если: -решение задачи быстродействия (К)?(2), Имеет место следующая теорема. Теорема I. Пусть в областиTHCfc R ifcQ.cR ip R выполнены следующие условия: I/ функции - (гЛі-киЛ и pCt,X,LJ,u.) системы (1) удовлетворяют условиям принципа максимума Понтрягина; 2/ функции гсг, .").»л Оь-Л системы (4) непрерывны, 1Г-периодичны по переменной U- и удовлетворяют по ней условию Липшица с некоторой константой,функция \)С) -непрерывна HVCC) V 0 ; 3/ существует решение J ТІ ft, ") ,4 (Л-, ),T CH усреднённой краевой задачи () - {D) » 4/ функция R( ;-),задающая краевые условия,непрерывно дифференцируема в окрестности точки является Q. -решением задачи быстродействия,и существуют такие С и иои ,что управление UC LcCf.xd C ), /;) гарантирует для U - С Со приведения объекта в С С -окрестность точки X за время,не превосходящее Доказательство. Поскольку решение усреднённой краевой задачи () -(40) существует по условию 3/ теоремы,то найдутся Т о , удовлетворяющие краевому условию (5) . Рассмотрим вспомоготельные задачи Коши с найденным начальным условием Ч? :
Кратные интегралы многозначного отображения и их свойства
Таким образом,целью данной работы является: построение и обо -снование схем усреднения управляемых систем с медленными и быстрыми переменными,базирующихся на применении дифференциальных включений,а также получение некоторых результатов по теории ішогозначньк отображений, лежащих В ОСНОВе ЭТР1Х схем. 3. Научная новизна и практическая ценность работы. Основные научные результаты работы состоят в следующем: I/ получено обоснование метода усреднения на конечном промежутке для дифференциальных включений с измеримой правой частью; 2/ доказана теорема о непрерывной зависимости по параметру и начальным данным решений дифференциального включения,правая часть которого удовлетворяет условиям Каратеодори; 3/ на основе теории кратного интеграла многозначного отображения предложена схема усреднения управляемых систем с быстрыми фазами; 4/ обоснована схема частичного усреднения в системах со скалярной фазой; 5/ предложена и обоснована схема усреднения уравнений управляемого движения,описываемого системой со скалярной фазой; б/ доказана близость решений исходной и усреднённой краевых задач принципа максимума Л.С.Понтрягина для управляемых квазилинейных систем со скалярной фазой в задачах как с фиксированной,так и с нефиксированной продолжительностью процесса. Практическая ценность работы состоит в том, что предложенные - б и обоснованные в ней схемы усреднения управляемых систем с медленными и быстрыми переменными позволяют значительно упростить решение задач оптимального управления для таких систем. Работа объёмом НО страниц состоит из трёх глав. В первой главе помещены теоремы об усреднении на конечном промежутке и о непрерывной зависимости по параметру и начальным данным для дифференциальных включений с измеримой правой частью, а также некоторые вспомогательные сведения. Результаты этой главы служат теоретическим фундаментом для последующих глав. Во второй главе вводится понятие кратного интеграла многозначного отображения и строится его теория. На базе этой теории предлагаются схемы усреднения управляемых систем с несколькими быстрыми фазами, которые иллюстрируются на модельных примерах. Третья глава посвящена усреднению управляемых систем со скалярной фазой. Обосновьшаются схемы усреднения как непосредственно, уравнений управляемого движения/предложенные во второй главе так и краевых задач принципа максимума Л.С. Понтрягина. Рассматриваются случаи фиксированной и нефиксированной продолжительности процесса. С помощью предложенных схем решаются конкретные задачи из теории колебаний. Внутри глав параграфы имеют самостоятельную нумерацию. Теоремы и формулы в пределах параграфа имеют одинарную нумерацию. При ссылках на результаты другого параграфа данной главы применяется двойная нумерация с указанием номера параграфа и теоремы /формулы/. Если ссылка делается на результаты другой главы, то используется тройная нумерация: номер главы, номер параграфа, номер теоремы /формулы/. -метод усреднения 6,7,17,19,20,25,30 - 32,34 - 40,49, 53, 55 ] в сочетании с некоторыми результатами теории многозначных отображений [2 - 5,8,23,26,28,29,41,48,50 - 52,54,60,63 - 86 ] . Кроме того, в третьей главе существенно используется методика усреднения краевых задач принципа максимума Л.С. Понтрягина, изложенная в работах Г34,55] . 6.Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на: Третьем республиканском симпозиуме по дифференциальным и интегральным уравнениям /Одесса, 1982/, Третьей республиканской конференции "Вычислительная математика в современном научно - техническом прогрессе" /Канев, 1982/, Всесоюзной школе - семинаре "Методы малого параметра и их применение" /Минск, 1982/, Четвёртой Всесоюзной конференции по оптимальному управлению в механических системах /Москва, 1982/, республиканском семинаре по обыкновенным дифференциальным уравнениям при Киевском государственном университете. По теме диссертации опубликовано 8 работ l0 - 15, 38,39]. В опубликованных в соавторстве работах ҐІ4,15,38,39 лично автору диссертации принадлежат следующие результаты: 14. Исследование схем усреднения нелинейных управляемых систем с медленными и быстрыми переменными. 15. Исследование многочастотной управляемой системы специального вида с помощью метода усреднения. 38. Обоснование метода усреднения на конечном промежутке для дифференциальных включений с измеримой правой частью. 39. Введение понятия кратного интеграла многозначного отображения и изучение его свойств,рассмотрение схем усреднения управляемых систем с быстрыми фазами на модельных примерах.
Усреднение в задачах с фиксированным временем
В доказательстве теоремы I оценки (/oj ,и6; не зависят от переменной C{_l/,LJ , поскольку семейство t
М - отображений j\ ("t ,х) равномерно ограничено и равностепенно непрерывно на i o WJ , и, таким образом, из него можно выделить подпоследовательность, сходящуюся по "С равномерно. Действительно, из условия 2/ теоремы согласно свойству (1Ц) леммы 1.4 имеем: Тогда к семейству v\ - отображений \ Тд Сх, х) V применима теорема Асколи-Арцела (J75 J Замечание 2. В работе [65] доказана теорема, сходная теореме I, но при дополнительном предположении /которое су -щественно используется в доказательстве/, что включение (Ц ) имеет единственное решение 0CoC"b, o,t o) . Для дифференциальных включений требование единственности решения представляется неестественным и слишком ограничительным. По существу оно озна -чает, что дифференциальное включение при X=3lQ и b = b0 должно вырождаться в систему обыкновенных дифференциальных уравнений. Как следствие доказаной теоремы I получаем обоснование принципа усреднения на конечном промежутке для дифференциаль -ных включений с измеримой по С правой частью. А, именно, имеет место следующая теорема, обобщающая первую основную теорему принципа усреднения Н.Н.Боголюбова [_7j , удовлетворяют следующим требованиям в области /О={СсэзО I/ и- отображение 6? : [0?+ ) 0- Com (К J измери мо по при любом фиксированном х & Ы. и непрерывно:., по х tb[ при любом фиксированном b (J ; 2/ при всех С,х) , : j G Сх,х)[ - ccm t; 3/ при любых х х fc где К C oU к Ко С - О на любом [ti,tt"\c.[0,+ co); 4/ равномерно по Xfe существует предел: т где среднее 5/ решения усреднённого включения (2т) при L- U лежат в области Ц_ вместе с некоторой своей р - окрестностью. Тогда для любого сколь-угодно большого и сколь-угод но малого Т ь найдется , такое, что при и & Ь на отрезке \_U, I J = \y? L/О] спра ведливы утверждения: I/ для любого решения осС"с,) включения (/о 5/ существует такое решение 7) (ъ9&) усреднённого включения \2т) , что 2/ для любого решения "П ("с,6) усреднённого включения (4) найдётся такое решение Xi tfy включения (сЗ) » что выполняется неравенство \Cj) Доказательство. Покажем, что теорема 2 является следствием теоремы I. Действительно, положим представим включения (23) » ( 2т) в виДе: - 32 -Очевидно, если ЪС ь) и 2о С,Ц) - решения включений (26) и (Z1) соответственно на , то X опре деленное как , является решением включения () а 7)C-Lt6 )=z Zott k jU) - решением включения к4) на отрезке [и,L/OJ , и обратно. Осталось показать, что, если М - отображение (у СІ, 0 удовлетворяет всем условиям теоремы 2, то отображение удовлетворяет соответствующим условиям теоремы I при -А-- Сэ , Ih.0-U . Очевидно, если отображение удовлетворяет условию 1/теоремы 2, то отображение г в соотношении (Z6) удовлетворяет условию I/ теоремы I при С L/. Если же С =0, то отображение Г в соотношении (2) по переменной X является постоянным и, следовательно, также измеримым по этой переменной. Непрерьшность по другой переменной очевидно сохраняется; Нетрудно показать, что при выполнении условий 2/ и 4/ теоремы 2 для отображения I}1 выполняется условие 2/ теоремы I для отображения г , определённого в (26] ,((??/ Случай C U очевиден. Если же 6 =11 , то воспользуемся свойствами (1) и (_Ц) леммы 1.4. и условием 4/ теоремы 2: