Содержание к диссертации
Введение
1. Сингулярно возмущенные включения параболического типа 17
1.1 Задача Коши для сингулярно возмущенных квазилинейных включений в банаховом пространстве 17
1.2 Задача о периодических по времени решениях сингулярно возмущенных квазилинейных включений в гильбертовом пространстве 39
2. Принцип усреднения для сингулярно возмущенных абстрактных параболических включений, содержащих гистерезисные нелинейности 53
2.1 Задача о периодических решениях сингулярно возмущенных абстрактных параболических уравнений с гистерезисными нелинейностями 53:
2.2 Задача о периодических решениях сингулярно возмущенных абстрактных параболических включений с гистерезисными нелинейностями 92
Выводы
Заключения
- Задача Коши для сингулярно возмущенных квазилинейных включений в банаховом пространстве
- Задача о периодических по времени решениях сингулярно возмущенных квазилинейных включений в гильбертовом пространстве
- Задача о периодических решениях сингулярно возмущенных абстрактных параболических уравнений с гистерезисными нелинейностями
- Задача о периодических решениях сингулярно возмущенных абстрактных параболических включений с гистерезисными нелинейностями
Введение к работе
В последнее время интенсивно развивается теория полулинейных систем дифференциальных уравнений и включений в банаховом пространстве. Дифференциальные уравнения и включения такого вида естественным образом возникают в общей теории управляемых систем (см. [25], [26], [27], [28], [30], [4], [43], [44], [18], [46], [47], [48], [24]), в задачах управления переносом тепла ([30], [4], [34], [46]), теории препятствий ([33]), при изучении гибридных систем с проскальзыванием ([31]), в теории управления передаточными линиями ([32]), в общей теории уравнений в частных производных ([49]) и других областях.
Поскольку решения различных задач для систем, описываемых дифференциальными уравнениями и включениями, зачастую полностью определяются неподвижными точками некоторого однозначного или многозначного отображения, вопрос о существовании решений таких задач эквивалентен вопросу о разрешимости нелинейных операторных уравнений или включений. В зависимости от свойств соответствующего отображения, для доказательства теорем существования могут быть применены различные принципы неподвижной точки. Так, для случая операторных уравнений, самыми известными і являются восходящий к С, Банаху принцип сжатых отображений, различные обобщения принципа Шаудера, А.Н. Тихонова и принцип ненулевого вращения, опирающийся на построенную Ж. Лере и Ю. Шаудером и развитую М.А. Красносельским (см.[21],[20]) теорию вращения (теорию топологической степени) . Эти методы могут быть использованы также для исследования зависимости решений операторных уравнений от параметра (см. [21],[20]).
Различные обобщения теории вращения на многозначный случай (теория вращения многозначных вполне непрерывных векторных полей с выпуклыми образами , теория относительной топологической степени многозначных векторных полей, теория вращения многозначных векторных полей с обобщенными Rs -образами ) были получены М.А. Красносельским [21], Ю.Г. Борисовичем, Б.Д. Гельманом, В.В. Обуховским, А.Д. Мышкисом [2](см. также [45]).
Топологические методы применялись при исследовании операторных
уравнений и включений с параметрами в работах М.А. Красносельского, В.В- Обуховского, М.И. Каменского, П. Нистри, P. Zecca. Так, М.А. Красносельским был сформулирован следующий общий принцип непрерывной зависимости решений операторных уравнений от параметра.
Пусть Е — банахово пространство, F : Е X [0,1] — Е — вполне непрерывный оператор. Предположим, что существует единственное решение х* уравнения
x = F(x,0), (1)
причем md(F(-,0),x*) ф CL Тогда при достаточно малых г > 0 множество решений: J уравнения х = F(x>) непусто, причем многозначное отображение є н-» Хє непрерывно при є = 0;
Данный принцип переносится на случай, когда решения уравнения (1) принадлежат некоторому открытому (или относительно открытому ) в Е ограниченному множеству /, такому что отображение Г — ^(',0) имеет на границе U отличное от нуля вращение (относительное вращение)(см, [2]), а также на случай, когда F — многозначное вполне непрерывное вы-пуклозначное отображение (см.[21]) и на случай, когда F — многозначный уплотняющий оператор с обобщенными R-образами (см. [45]). При этом имеет место полунепрерывность сверху отображения є (-> Хє. Аналогичные теоремы для слабо вполне непрерывных операторов были получены: Ю.Г. Борисовичем.
Естественной областью для приложений данного принципа являются различные интегральные и дифференциальные уравнения (или включения) с параметрами. Однако, в некоторых случаях вхождения параметра, после перехода к операторному уравнению (соответственно, включению), непрерывность (соответственно, полунепрерывность сверху) соответствующего оператора по параметру не имеет места и потому непустозначность и непрерывность ( соответственно, полунепрерывность сверху) отображения є н-> Х не может быть получена как следствие одной из таких теорем.
Основными примерами таких уравнений (включений) являются так называемые сингулярно возмущенные дифференциальные уравнения (диф-
ференциальные включения). В диссертации рассматриваются два вида систем дифференциальных уравнений (включений), в которые параметр є входит таким образом, что соответствующие интегральные операторы не будут непрерывными (полунепрерывными сверху) по этому параметру.
В первой главе диссертации рассматриваются вопросы существования и зависимости от малого параметра є решений начальной и периодической задач сингулярно возмущенных систем полулинейных абстрактных параболических включений с многозначными нелинейностями и однозначной линейной частью, порождающей аналитическую полугруппу. Предположение о подчиненности неограниченных однозначных и многозначных нелинейно-стей дробным степеням линейной части позволяет применить для построения соответствующих операторов метод дробных степеней, изложенный, например, в [22],[20].
В п. 1.1 рассматривается задача Коши для сингулярно возмущенной системы полулинейных дифференциальных включений в банаховом пространстве
x'{t) +Ax{t) Єфі(і,х(і)) + Ь12(х{і))у{і) ey'(t) + By(t) Є ф2(^хф) + b2l(x(t))y{t) + b22y{t) , і [0,d] ,
x(Q)=x0, S/()=2/o, (3)
где є — малый положительный параметр, —А и —В — производящие операторы аналитических полугрупп е~м и е~т, действующих в сепарабель-ных банаховых пространствах Е\ и Е2, пространство Е% удовлетворяет свойству Радона-Никодима (см. [35]). Операторы А-1 и В~г предполагаются вполне непрерывными. Такие условия на операторы Л и В позволяют установить компактность (при каждом фиксированном ) соответствующих интегральных операторов.
В системе (2)-(3) Xq Є D(A), уо Є D(B), -фі,і = 1,2, — многозначные отображения, &i2, &2i, b22— однозначные операторы. Операторы 6у действуют из Е\ в L(E2,Ei)} ij = 1,2, і ф j, b22 Є. L(E2yE2). Через Ь{Е2,Е{) обозначено пространство линейных ограниченных операторов, действующих из Е2 в Еі-
Предполагается, что многозначные отображения фіуІ= 1,2, подчинены дробным степеням оператора Л, т.е. при некотором а (0,1) отображения ^(i, А~а-) полунепрерывны сверху при почти всех і Є [0, d].
При є = 0 рассматривается включение смешанного типа
x\t) + Ax{t) Є фі(г, x(t)) + b12(x(t))y(t)
By{t) &(*, x(t)) + б2і(г(«))і/(<) + W*),
(4)
z(0) = a0 . (5)
Под решением задачи (2)-(3) на отрезке [0, d\, следуя [29], понимаются обобщенные решения {хє,у), которые являются непрерывными функциями, заданными на [0, d\ со значениями, соответственно в Е\ и Е^ удовлетворяющими включениям
a:e(*){ffi(i) : gi{t) = e~AtxQ + f е"^"^/^) + йи(*еМЫ*)]<Ф. (6)
%(*). { яа(*).: я(*) = е-*№и>+7 /V**<*-'>[/2(e)+
є Jo
+ Mx(s))s/(s) + &22J/e(s)]
где /, Є L№) /i(t) Пє"^(*,хє(*)), t Є [0,d].
Под решением вырожденной задачи (4)-(5) на отрезке [0, d], понимаются обобщенные решения (а:0,у0), которые являются непрерывными функциями, заданными на [0, d] со значениями, соответственно в i и ^) удовлетворяющими включениям
*(0 Є Ы«) : ЗіW =е"^0+ /'^^[/1(8) + 612(0^))^)] d5 ,
/і Є L(Si), /1(5) Є ^i(s,x(s)) для п.в. з [0,d]} , (8)
y(t) Є Ы0 : 9o(t) = B'l[f0(t) + b21(x%t))y(t) + ^(t)] , /о Є Ь{Е2), Ш Є ifc(*.*(*)) для . п.в. t Є [0,d]} , t [0,d] . (9)
Обозначим через Z(є), є > 0, множество решений системы (6)-(7), а через Z(0) — множество решений системы (8)-(9).
В работе указаны условия, при которых для системы (2)-(3) мы можем получить аналог классической теоремы А.Н.Тихонова о предельном переходе (см., например, [7]). А.Ш Тихоновым было установлено существование и единственность при малых є решения сингулярно возмущенной системы дифференциальных уравнений вида.
Tt = f{x>y>t]>
є% = ^.у»*). *є[о,4- (ю)
х(0) = жо, ї/(0)-г/0 (11)
Кроме того, было показано, что для любого 8 Є {0,d\ решение (хЄіує) системы (10)-(11) равномерно на [0,rf] х [5,d\ сходится при є —> 0 к решению вырожденной системы.
Проблема получения аналогичных теорем для сингулярно возмущенных систем дифференциальных включений исследовалась в целом ряде работ (см. [10], [29], [40], [36], [37], [38]). В [38] для сингулярно возмущенных линейных управляемых систем с правой частью вида F(z,t) — A(t)z + B(t)Zft. где A(t) и В (і) — матрицы, a U — компактное множество, был получен следующий интересный результат. При каждом фиксированном t Є (0, Щ существует множество Vt7 такое что хаусдорфово расстояние между множествами {у = z{t),z Є Z(e)} и Vt стремится к нулю при є —> О, причем множество Vty как правило, шире множества {у = z(i),z Є Z(0)}. Данный результат показывает, что отображение є і-ї- Z{e), вообще говоря, не является полунепрерывным сверху при є — 0 в метрике C[0,tf] х C[8t d\: даже в линейном и конечномерном случае, т.е. полный аналог теоремы Тихонова для включений не может быть получен. Эта трудность может быть, однако, преодолена за счет удачного выбора топологии. В [37] была рассмотрена сходимость в С([0, d], Rn) по переменной х и слабая сходимость в 2([0, d\, Rm) по переменной у. В [29] для случая бесконечномерных банаховых пространств рассматривалась равномерная сходимость по переменной х и слабая сходимость в Ll([0,d]) по переменной у.
А. Дончевым, Ц. Дончевым и И. Славовым [36] был предложен другой вариант теорем о предельном переходе для сингулярно возмущенных систем дифференциальных включений. В работе [36] было приведено подмножество Zl{c:) множества Z(e), такое что отображение є —ї Zi(e) непустозначно и полунепрерывно сверху при є = 0+ в метрике теорем А.Н. Тихонова.
В диссертационной работе найдено подмножество Zl(s) для случая бесконечномерных банаховых пространств. Это множество определяется следующим образом: при е > О
Zl(s) — {(#,/) Є Z{e) : х,у удовлетворяют условию Гельдера на [0,d]
и [$(г), d\, соответственно, с показателем 6(1 — а) и константой L} , где 5(є) — некоторая функция, удовлетворяющая условиям:
ед--> о при є -> о и д(е)>е^1пУ^,
а — степень оператора Л, которой подчинены нелинейности, в — произвольное число из интервала (0,1), а С — некоторая константа, определяемая свойствами правой части системы (2)-(3); при є = О
Zl{0) = {(х,у) Є Z(Q) : ж, у удовлетворяет условию Гельдера на [0, d\
с показателем 9(1 — а) и константой L} .
Сформулированы условия, при которых для достаточно больших L отображение є —У Zi(e) непустозначно и полунепрерывно сверху при є — О в C([0,d\,Ei) х C([S,d\,E2), где 5 — любое число из интервала (0,d\.
В п. 1.2 диссертации рассматривается задача о периодических по времени решениях для сингулярно возмущенной системы полулинейных дифференциальных включений в гильбертовом пространстве
x'(t) + AlX(t) Є фі{і, x(t)) + b12{x(t))y(t)
где — At и — А2 - производящие операторы аналитических полугрупп е Alt и e~Aii, действующих в гильбертовых пространствах Е\ а Е2, А\— самосопряженный оператор, е— малый положительный параметр. Операторы А^1 и Aj1 предполагаются вполне непрерывными, многозначные отображения фі (г = 1,2) являются Т-периодическими по времени, 612,621^22-однозначные операторы. Предполагается, что операторы b{j действуют из Ягв Ь{Е2,Е{), i,j= 1,2, їфі, b22eL{E2,E2).
Предполагается, что при некотором /З Є (0,1/2) многозначные отображения фі , і = 1,2, подчинены дробным степеням А^.
При є = 0 рассматривается включение смешанного типа
x'(t) + Aix{t) Є фх{і,x{t)) + b12{x{t))y{t)
A2y{t) Є ф2{і, x(t)) 4- b21{x{t))y{t) + b22y{t) .
Под Т-периодическими решениями системы (12), следуя [41], понимаются обобщенные решения [хв, ує), которые являются непрерывными периодическими функциями, заданными на [0, со) со значениями соответственно в Еі и Е2, удовлетворяющими включениям
xs Є {(7і :: 9l(t) = f e'^-^UM + h2(x(s))y(s)]ds, t > 0,
J—00
/1 Є ЩЕ!), Ms) Є Фі(з,хє{з)) для п.в. а [0,Т]}, (14)
Уе Є і д2: 92(t) = - J е-М»(*-«)[/2(в) + b2l(x(s))ye(s) +
+ b22y(s)]ds, t > 0,/а є LlT(E2), f2(s) Є ф2(з,x{s))
для п.в. se [О, Г]}. (15)
Под Т- периодическими решениями системы (13) понимаются обобщенные решения (х,у), которые являются непрерывными периодическими функциями, заданными на [0, со) со значениями соответственно в Е\ и Е2, удовлетворяющими включениям
e{gi : gi(t) = f е-*<'->[/!М + bl2(x0(s))y0(s)]ds, t > 0,
Л Є ІЇТ{ЕХ), Ms) Є М*, x(s)) для п.в. з [0,Г]}, (16)
У Є {go : flu(t) = A^[f0(t) + &21(х0(і))у0(<) + W<*)]. * > 0,
для п.в. s Є [0,Т]}. (17)
Обозначим через ^(є) множество Т-периодических решений системы (12), а через Z(Q) — множество Т-периодических решений системы (13),
В диссертации для полулинейных дифференциальных включений в бесконечномерных пространствах получен аналог теоремы о сходимости периодических по времени решений сингулярно возмущенной системы обыкновенных дифференциальных уравнений, установленной в классической работе Л.Флэтто и Н, Левинсона ([39]). В этой работе были сформулированы условия, при которых периодическое решение системы вида
е^ = F(x>y,t),t>0 (18)
существует, единственно и равномерно на [0, Т] х [0, Т\ сходится к решению вырожденной задачи ( конечномерный случай). Аналогичный результат для бесконечномерных банаховых пространств был получен Ю.Г. Борисовичем (см. [1]). В [41] для сингулярно возмущенных систем полулинейных дифференциальных включений в банаховых пространствах была доказана полунепрерывность сверху отображения є i->- Z[e) в метрике Ст{Е\) У- Lrp{E2). В настоящей работе прием, предложенный Ц. Дончевым для исследования зависимости решений начальной задачи от параметра, используется для установления сходимости решений периодической задачи в равномерной топологии. А именно, выделяется подмножество .(є) множества Z(s), такое что при достаточно больших L отображение є н-э- Zi(e) полунепрерывно сверху в Ст(Еі) хСт{Е^. Множество Zl(є) определяется следующим образом: при є > 0
%і{є) = {(х>у) Є ^() : х> У удовлетворяют условию Гельдера на [0Г Г]
с показателем (3 и константой L}; 10
При Є = О
Zl{Q) = {(#, у) Є 2"(0) : х,у удовлетворяют условию Гельдера на [О,Г]
с показателем /3 и константой L}, где —/3 — степень оператора A\t которой подчинены нелинейности.
Во второй главе диссертации исследуется задача о периодических по времени решениях сингулярно возмущенных систем абстрактных параболических включений с быстро осциллирующей по времени нелинейностью и обратной связью, реализуемой с помощью гистерезисного оператора. Для таких систем проводится обоснование принципа усреднения, аналогичного второй теореме Н.Н. Боголюбова - Н.М. Крылова. Для случая конечномерного пространства принцип усреднения был установлен М.А Красносельским и А.В. Покровским в [24] при исследовании поведения решений начальной задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений с быстро осциллирующими по времени правыми частями и гистерезисными нелиней-ностями. Обоснование принципа усреднения в задаче о периодических по времени решениях сингулярно возмущенных систем абстрактных параболических включений с быстро осциллирующей по времени нелинейностью в банаховых пространствах было проведено в [42]. Все результаты настоящей работы устанавливаются для случая бесконечномерных банаховых пространств.
Рассматриваемая в п.2.1 главы 2 сингулярно возмущенная система полулинейных дифференциальных уравнений после замены переменных принимает вид
a/{t) + eAiz(t) = fi(t,x(t)*v(t)Mt)) »
w(t) = Г[*о, А(Рі(*о),ш(*оШ(я(*о),»(*о),я:)(*) , ()
y'{t) + A2y{t) = /2(і,ж(*), j/{*), w{t)) ,
где є— малый положительный параметр, —Лі и — Ач — производящие операторы аналитических полугрупп e~Alt и e~Allt} действующих в банаховых пространствах Е\ и 7 соответственно, /і и /г - Т-периодические по времени отображения, Р : Е\ —> Ео - линейный оператор, Г - гистерезисная
нелинейность, A{Px(to)yw(to)) — состояние гистерона в момент времени t = ^0) принадлежащее декартовому произведению банаховых пространств Eq и Е%. Предполагается также, что операторы А^1 и AJ1 вполне непрерывны.
Оператор Красносельского- Покровского Г (см.[23]) описывает взаимодействие физической системы, математическая модель которой представляет собой сингулярно возмущенную систему дифференциальных уравнений, и внешнего устройства, управляющее воздействие которого на систему зависит от изменения "медленной"переменой X.
Следуя [45], под Т-периодическим решением системы (Si) понимается обобщенное Т-периодическое решение (xiwe,ys), компоненты которого являются непрерывными Т-периодическими функциями, заданными на полуинтервале [0, со), со значениями, соответственно в Е\, Е$ и ?2, такими что fi(s,xe(s),y(s)iwe(s)) Є Ьт(Еі) и удовлетворяющими уравнениям
x(t) = е-єЛі%(0) + f e-^('->e/i(e, xs(s),y(s),w(s))ds, (19)
w(t) = Г[0уА(Рх(О),є(0))]д(х(0),тє(0),хє)(і), (20)
y{t) = е-л>%(0) + f e-A^f2(s,x{s),y(s),w{s))ds,t> 0., (21)
Jo В диссертации указаны условия, обеспечивающие при малых є > 0 существование Т-периодических решений системы (tSi). Проведено исследование сходимости этих решений при є —> 0. Построенный в [23] операторный: подход описания входо-выходных соответствий гистерезисных нели-нейностей позволил применить в задаче о периодических решениях предложенные в [21], [20] топологические методы исследования, связанные с понятием вращения вполне непрерывных векторных полей. Предположения о свойствах правой части системы позволяют при каждом,е > 0 опреде-лить операторы квазисдвига по траекториям системы (Si) за время Т Щ, неподвижные точки которых задают начальное условие Т- периодических решений системы (Si). Применение теории дробных степеней операторов (см. [22]) позволяет доказать полную непрерывность этих операторов. При є — 0 вводится вполне непрерывный усредняющий оператор Ф. Предположение о существовании некоторого открытого множества G, такого что
вращение поля J — Ф: на границе G отлично от нуля, позволяет, используя гомотопическую инвариантность вращения и принцип сужения отображения, при малых є > О доказать отличие от нуля вращения поля /.— Щ, а, следовательно, и существование неподвижных точек оператора E/f....
Результаты, полученные в п.2.1 обобщаются в п.2.2 главы 2 диссертационной работы на случай сингулярно возмущенных систем полулинейных дифференциальных включений. После замены переменных рассматриваемая система принимает вид
x'(t)+eA!x{t) eefi(t,x{t)ty(t)tw{t)) »
і; w(t) = Г[*0, PxQ) w0]Px(t) , (S{)
.i/(t) + A2y(t) /2(*;x(*),y(t),ti;(<) ,.
В п.2.2 указаны условия, обеспечивающие при малых є > 0 существование обобщенных Т-периодических решений системы (S[). Доказана полунепрерывность сверху в равномерной топологии отображения є н-> Z[e\ ставящего в соответствие каждому малому параметру возмущения є > О множество обобщенных Т-периодических решений системы (Si). (Под Z(0) понимается множество обобщенных решений усредненной системы.)
В п.2.1 второй главы диссертации показано, что теоремы о существовании и зависимости от параметра периодических решений системы (S[) могут быть получены путем исследования многозначных операторов квазисдвига. Поскольку, в условиях п.2.1 операторы квазисдвига оказываются компактными, полунепрерывными сверху, но не выпуклозначными, такой подход требует применения теории вращения вполне непрерывных многозначных векторных полей с обобщенными і?5-образами(см.[45]). Кроме того, для корректной определенности операторов квазисдвига требуется выполнение технического условия об априорной оценке, которое обычно реализуется в виде подлинейной оценки на нелинейность. В п.2.2 теоремы о существовании и зависимости от параметра периодических решений системы (S[) получены путем исследования многозначного интегрального оператора, для доказательства существования неподвижных точек которого применяется теория относительного вращения вполне непрерывных многозначных векторных полей с выпуклыми образами. Такой подход, в отличие
от приведенного в п.2.1, позволяет рассматривать системы дифференциальных включений с правой частью, удовлетворяющей более слабым условиям. В частности, удается опустить требование о наличии подлинейной оценки на многозначную нелинейность правой части системы (S[).
Приведем теперь некоторые примеры уравнений и включений, о которых речь шла выше.
В качестве первого примера рассмотрим сингулярно возмущенную систему квазилинейных параболических включений вида:
dz д z
ft=d&+a(y-z)> *Є[М, [0,(1, (22).
z(,0) ^ z(t,l) -щ7 (23)
6y'(t)=v(t)-y(t), (24)
г»(і)Є-5(г(*,0)), (25)
*(o,0 = *>()> (26)
!/(0) = !A>, (27)
где є — малый параметр, а — постоянная, «о Є R1, Уо Є Л1, функции г.и у определены на [0,
Многозначное отображение S : Я1 —> R1 задано следующим образом (см. Рис.1)
0 При Z > 52 ,
[0,1] при ze[sus2], 1 при Z < Si , si, S2 — некоторые параметры.
Доказанная в п. 1.1 первой главы диссертации теорема 1.1 позволяет установить существование решений задачи (22)-(27), удовлетворяющих условию Гельдера по переменной t и исследовать поведение этих решений при стремлении параметра є к нулю. (Данный пример подробно рассмотрен в п.1.1 главы 1.)
В качестве второго примера рассмотрим сингулярно возмущенную си-
стему квазилинейных параболических уравнений следующего вида: -~ = -щ± - zf - ztzj + bsm-, *>0, 6 [О, і],
9z2 d2Z2 з 2 . . - *
с граничными условиями
||(і)0) = 0, г = 1,2,
dzt ^{tj) + z1{tj)^y(t)1
1/^(t,l) + z2(tj)=0,
где у определено следующим образом
(28) (29)
(30) (31) (32)
«(<) = r[0,A1(«1(0,0);tf(0))(A2(«i(0)0),tf(0))](*i(-,0)-z1(0,0) +
+A1(«1(0,0),«(0)))(t), (34)
v > 0,/3 > 0, Ь — некоторые константы. В этом примере Г — гистерезис-ная нелинейность, отвечающая гистерону W с областью Г2(И^) возможных состояний, изображенной на рис. 2
Q(W) = A U /i U /2, где Л = {(и,и) [-р, р] х [—р + h,р];и < v < и + h},
h.= {{u,v) iv = р,и> р— h}, І2 = {{щу) :v = —p + h,u <.—/? + h}.
S(z)[
Sl.
Рис. 1.
Отображение Л : R X R —> Л определено следующим образом:
A(u,v) = і
Рур)
щр)
v,v) и, v)
v — h,v) -p,-p+h) и, —p + h)
при v > p, u> p,
при v > p, p — h < и < p,
при v > p, и < p~ h,
при — p + h
при — p+ h < v < p, и
при — p+ h
при v < —p + h, и < —p,
при v < — p + h, —p < и < —p+ h,
—p + h, ~p + /i) при v < —p + h, u> —p + h.
Рис. 2. 16
Доказанная в п.2.1 второй главы диссертации теорема 2.1 позволяет установить существование периодических решений системы (28)-(34) и исследовать поведение этих решений при стремлении параметра є к нулю. (Данный пример подробно рассмотрен в п.2.1 главы 2.)
Задача Коши для сингулярно возмущенных квазилинейных включений в банаховом пространстве
В последнее время интенсивно развивается теория полулинейных систем дифференциальных уравнений и включений в банаховом пространстве. Дифференциальные уравнения и включения такого вида естественным образом возникают в общей теории управляемых систем (см. [25], [26], [27], [28], [30], [4], [43], [44], [18], [46], [47], [48], [24]), в задачах управления переносом тепла ([30], [4], [34], [46]), теории препятствий ([33]), при изучении гибридных систем с проскальзыванием ([31]), в теории управления передаточными линиями ([32]), в общей теории уравнений в частных производных ([49]) и других областях.
Поскольку решения различных задач для систем, описываемых дифференциальными уравнениями и включениями, зачастую полностью определяются неподвижными точками некоторого однозначного или многозначного отображения, вопрос о существовании решений таких задач эквивалентен вопросу о разрешимости нелинейных операторных уравнений или включений. В зависимости от свойств соответствующего отображения, для доказательства теорем существования могут быть применены различные принципы неподвижной точки. Так, для случая операторных уравнений, самыми известными і являются восходящий к С, Банаху принцип сжатых отображений, различные обобщения принципа Шаудера, А.Н. Тихонова и принцип ненулевого вращения, опирающийся на построенную Ж. Лере и Ю. Шаудером и развитую М.А. Красносельским (см.[21],[20]) теорию вращения (теорию топологической степени) . Эти методы могут быть использованы также для исследования зависимости решений операторных уравнений от параметра (см. [21],[20]).
Различные обобщения теории вращения на многозначный случай (теория вращения многозначных вполне непрерывных векторных полей с выпуклыми образами , теория относительной топологической степени многозначных векторных полей, теория вращения многозначных векторных полей с обобщенными Rs -образами ) были получены М.А. Красносельским [21], Ю.Г. Борисовичем, Б.Д. Гельманом, В.В. Обуховским, А.Д. Мышкисом [2](см. также [45]). Топологические методы применялись при исследовании операторных уравнений и включений с параметрами в работах М.А. Красносельского, В.В- Обуховского, М.И. Каменского, П. Нистри, P. Zecca. Так, М.А. Красносельским был сформулирован следующий общий принцип непрерывной зависимости решений операторных уравнений от параметра.
Пусть Е — банахово пространство, F : Е X [0,1] — Е — вполне непрерывный оператор. Предположим, что существует единственное решение х уравнения причем md(F(-,0),x ) ф CL Тогда при достаточно малых г 0 множество решений: J уравнения х = F(x ) непусто, причем многозначное отображение є н-» Хє непрерывно при є = 0;
Данный принцип переносится на случай, когда решения уравнения (1) принадлежат некоторому открытому (или относительно открытому ) в Е ограниченному множеству /, такому что отображение Г — ( ,0) имеет на границе U отличное от нуля вращение (относительное вращение)(см, [2]), а также на случай, когда F — многозначное вполне непрерывное вы-пуклозначное отображение (см.[21]) и на случай, когда F — многозначный уплотняющий оператор с обобщенными R-образами (см. [45]). При этом имеет место полунепрерывность сверху отображения є (- Хє. Аналогичные теоремы для слабо вполне непрерывных операторов были получены: Ю.Г. Борисовичем.
Естественной областью для приложений данного принципа являются различные интегральные и дифференциальные уравнения (или включения) с параметрами. Однако, в некоторых случаях вхождения параметра, после перехода к операторному уравнению (соответственно, включению), непрерывность (соответственно, полунепрерывность сверху) соответствующего оператора по параметру не имеет места и потому непустозначность и непрерывность ( соответственно, полунепрерывность сверху) отображения є н- Х не может быть получена как следствие одной из таких теорем.
Основными примерами таких уравнений (включений) являются так называемые сингулярно возмущенные дифференциальные уравнения (диф ференциальные включения). В диссертации рассматриваются два вида систем дифференциальных уравнений (включений), в которые параметр є входит таким образом, что соответствующие интегральные операторы не будут непрерывными (полунепрерывными сверху) по этому параметру.
В первой главе диссертации рассматриваются вопросы существования и зависимости от малого параметра є решений начальной и периодической задач сингулярно возмущенных систем полулинейных абстрактных параболических включений с многозначными нелинейностями и однозначной линейной частью, порождающей аналитическую полугруппу. Предположение о подчиненности неограниченных однозначных и многозначных нелинейно-стей дробным степеням линейной части позволяет применить для построения соответствующих операторов метод дробных степеней, изложенный, например, в [22],[20].
Задача о периодических по времени решениях сингулярно возмущенных квазилинейных включений в гильбертовом пространстве
Во второй главе диссертации исследуется задача о периодических по времени решениях сингулярно возмущенных систем абстрактных параболических включений с быстро осциллирующей по времени нелинейностью и обратной связью, реализуемой с помощью гистерезисного оператора. Для таких систем проводится обоснование принципа усреднения, аналогичного второй теореме Н.Н. Боголюбова - Н.М. Крылова. Для случая конечномерного пространства принцип усреднения был установлен М.А Красносельским и А.В. Покровским в [24] при исследовании поведения решений начальной задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений с быстро осциллирующими по времени правыми частями и гистерезисными нелиней-ностями. Обоснование принципа усреднения в задаче о периодических по времени решениях сингулярно возмущенных систем абстрактных параболических включений с быстро осциллирующей по времени нелинейностью в банаховых пространствах было проведено в [42]. Все результаты настоящей работы устанавливаются для случая бесконечномерных банаховых пространств.
Рассматриваемая в п.2.1 главы 2 сингулярно возмущенная система полулинейных дифференциальных уравнений после замены переменных принимает вид где є— малый положительный параметр, —Лі и — Ач — производящие операторы аналитических полугрупп e Alt и e Allt} действующих в банаховых пространствах Е\ и 7 соответственно, /і и /г - Т-периодические по времени отображения, Р : Е\ — Ео - линейный оператор, Г - гистерезисная нелинейность, A{Px(to)yw(to)) — состояние гистерона в момент времени t = 0) принадлежащее декартовому произведению банаховых пространств EQ И Е%. Предполагается также, что операторы А 1 и AJ1 вполне непрерывны.
Оператор Красносельского- Покровского Г (см.[23]) описывает взаимодействие физической системы, математическая модель которой представляет собой сингулярно возмущенную систему дифференциальных уравнений, и внешнего устройства, управляющее воздействие которого на систему зависит от изменения "медленной"переменой X.
Следуя [45], под Т-периодическим решением системы (Si) понимается обобщенное Т-периодическое решение (xiwe,ys), компоненты которого являются непрерывными Т-периодическими функциями, заданными на полуинтервале [0, со), со значениями, соответственно в Е\, Е$ и ?2, такими что fi(s,xe(s),y(s)iwe(s)) Є ЬТ(ЕІ) и удовлетворяющими уравнениям
В диссертации указаны условия, обеспечивающие при малых є 0 существование Т-периодических решений системы (tSi). Проведено исследование сходимости этих решений при є — 0. Построенный в [23] операторный: подход описания входо-выходных соответствий гистерезисных нели-нейностей позволил применить в задаче о периодических решениях предложенные в [21], [20] топологические методы исследования, связанные с понятием вращения вполне непрерывных векторных полей. Предположения о свойствах правой части системы позволяют при каждом,е 0 опреде-лить операторы квазисдвига по траекториям системы (Si) за время Т Щ, неподвижные точки которых задают начальное условие Т- периодических решений системы (Si). Применение теории дробных степеней операторов (см. [22]) позволяет доказать полную непрерывность этих операторов. При є — 0 вводится вполне непрерывный усредняющий оператор Ф. Предположение о существовании некоторого открытого множества G, такого что вращение поля J — Ф: на границе G отлично от нуля, позволяет, используя гомотопическую инвариантность вращения и принцип сужения отображения, при малых є О доказать отличие от нуля вращения поля /.— Щ, а, следовательно, и существование неподвижных точек оператора E/f....
Результаты, полученные в п.2.1 обобщаются в п.2.2 главы 2 диссертационной работы на случай сингулярно возмущенных систем полулинейных дифференциальных включений. После замены переменных рассматриваемая система принимает вид
В п.2.2 указаны условия, обеспечивающие при малых є 0 существование обобщенных Т-периодических решений системы (S[). Доказана полунепрерывность сверху в равномерной топологии отображения є н- Z[e\ ставящего в соответствие каждому малому параметру возмущения є О множество обобщенных Т-периодических решений системы (Si). (Под Z(0) понимается множество обобщенных решений усредненной системы.)
В п.2.1 второй главы диссертации показано, что теоремы о существовании и зависимости от параметра периодических решений системы (S[) могут быть получены путем исследования многозначных операторов квазисдвига. Поскольку, в условиях п.2.1 операторы квазисдвига оказываются компактными, полунепрерывными сверху, но не выпуклозначными, такой подход требует применения теории вращения вполне непрерывных многозначных векторных полей с обобщенными і?5-образами(см.[45]). Кроме того, для корректной определенности операторов квазисдвига требуется выполнение технического условия об априорной оценке, которое обычно реализуется в виде подлинейной оценки на нелинейность. В п.2.2 теоремы о существовании и зависимости от параметра периодических решений системы (S[) получены путем исследования многозначного интегрального оператора, для доказательства существования неподвижных точек которого применяется теория относительного вращения вполне непрерывных многозначных векторных полей с выпуклыми образами.
Задача о периодических решениях сингулярно возмущенных абстрактных параболических уравнений с гистерезисными нелинейностями
В этой главе рассматриваются вопросы существования и зависимости от малого параметра є решений периодической задачи для сингулярно возмущенных систем абстрактных параболических уравнений и включений с быстро осциллирующей по времени нелинейностью и обратной связью, реализуемой с помощью гистерезисного оператора. Построенный в [23] операторный подход описания входо-выходных соответствий гистерезисных нелинейностей позволил применить в задаче о периодических решениях предложенные в [2], [45] топологические методы исследования, связанные с понятием вращения вполне непрерывных векторных полей.
Рассматривается система где є— малый положительный параметр, —Лі и — А% - производящие операторы аналитических полугрупп e Alt и е А2І, действующих в банаховых пространствах Е\ и.І?2 соответственно, /і и /г - Т-периодические по времени отображения, Р : Е\ — EQ - линейный оператор, Г - гистерезисная нелинейность, A(Px(to),w(to)) состояние гистерона в момент времени t — to, принадлежащее декартовому произведению банаховых пространств Д) и Щ. Предполагается также, что операторы А [1 и А 1 вполне непрерывны.
В системе (і) є является одновременно параметром сингулярного возмущения и параметром, задающим частоту колебаний нелинейностей /$ . Оператор Красносельского- Покровского Г (см.[23]) описывает взаимодействие физической системы, математическая модель которой представляет собой сингулярно возмущенную систему дифференциальных включений, и внешнего устройства, управляющее воздействие которого на систему зависит от изменения "медленной"переменной X.
На аналитические полугруппы e Alt и е 2 накладывается следующее условие А) Существуют положительные константы i, з?2) такие что Поскольку аналитические полугруппы e Ait удовлетворяют условию экспоненциального убывания, операторы АІ являются сильно позитивными ( см. [22]). Поэтому для операторов А( определены дробные степени, причем,из полной непрерывности Ajl следует полная непрерывность Ага, а 0. Зависимость между дробными степенями оператора А» и полугруппой e Ait выражается с помощью оценки Операторы /І, г= 1,2 предполагаются подчиненными дробным степеням операторов Лій Лг в следующем смысле F{) Операторы (t,x,yyw) \-+ fi(ttАїаху Л а2/,ги), действуют из R+ х Е\ х Е% х і?з в ", , непрерывны и удовлетворяют условию Липшица по переменным (x,y,w), т.е. F2) Для любого R О существует положительная константа рд, такая что для всех t Є [О, Т] выполнено неравенство Пусть W - гистерон с областью ГЇ(И ) С EQ Х Е$ возможных состояний (о структуре области fi(W) см.[23]) и определяющей его гистерезис-ной нелинейностью Г. Следуя [23], при каждом фиксированном значении параметра О, при всех t to будем считать оператор Г[іо, , ] определенным на множестве Так как ТУ - гистерон, гистерезисная нелинейность Г обладает следующими свойствами (см.[23]): Сі) При всех о [0, +оо) оператор Г[ о, , ] действует из 1 х Ег х С([іо, ],Д)) в С([ о, ],- ), о, причем если, ж () = яг , то r[to,x ,wa]x (t) = w0. С2) При всех Q 6 [0,+оо), (х , IUQ, ж ) Є 0(Г) выполнено Сз) Оператор Г удовлетворяет полугрупповому тождеству Г[ о,а? ,шо1х ( )=Г[ ья; ( і),Г[іо,яг ,№оК( і)]яї ( )- (к h t). Свойства С\)-С) вытекают непосредственно из определения гистерона. С4) Пусть t0 Є [0,+оо), (ат„ш0,х ) Є А0(Г), v{t) - x (t + t0i) при t t\. Тогда (xttivo,v) Є Dtl(T), причем Г[ о, , w0]x (t) = T[ti, я„ w0]v(t - tQ + ) (i t0). Условие С4) отражает автономность гистерона W в том смысле, что свойства W не меняются во времени. Условие С$) отражает статичность гистерона W в том смысле, что свойства . W" не зависят от масштаба времени. На отображение Г накладываются также следующие условия: Се) При всех tо Є [0,+оо) оператор Г удовлетворяет условию Липшица, т.е. C7) Существует непустое множество А С f2(W), такое что ргЕ3А — выпуклое компактное множество и если (X ,WQ) Л, о Є R+ то Г[о,ж , W# ( ) РГЕ3 4 ПРИ всех о» при всех ж Є C([to,t], EQ), таких ЧТО X (Q) = х . Через ргЕзЛ обозначена проекция множества Л на пространство Е.
Задача о периодических решениях сингулярно возмущенных абстрактных параболических включений с гистерезисными нелинейностями
Рассматривается система сингулярно возмущенных дифференциальных включений где є— малый положительный параметр, —Лі и А2 - производящие операторы аналитических полугрупп e Alt и е_А2 , действующих в банаховых пространствах Е\ и Е2 соответственно, /і и /2 - Т-периодические по времени многозначные отображения, Г - гистерезисная нелинейность, (PXQ,WQ)— состояние гистерона в момент времени t = to, принадлежащее декартовому произведению банаховых пространств Ец и 7. Предполагается также, что операторы А 1 и Л 1 вполне непрерывны, и, кроме того,
Таким образом, множество єТ-периодических решений системы (5) после замены t = совпадает со множеством Т-периодических решений системы (5 ), поэтому от задачи о єТ-периодических решениях системы (S) мы можем перейти к задаче о Т-периодических решениях системы (»5 ).
Далее вместо (х,у, w) будем писать (х, у1 w). В новых обозначениях имеем Под T-периодическим решением системы (2.78) понимается обобщенное решение (xs, w, уе), компоненты которого являются непрерывными Т-периодическими функциями, заданными на интервале [0,+оо), со значениями, соответственно, в Е\, Е$ и 2, удовлетворяющими включениям где i : R+ — E{, измерима и Т-пєриодична, Vi(s) Є fi(s,A];Qxe(s),A2ay(s),ws{s)) для п.в. s [0,71). Аналитические полугруппы e Alt и е Л2І предполагаются сжимающими, т.е. удовлетворяющими условию А) из раздела 2.1. Предположим, что многозначные операторы /г, і — 1,2, удовлетворяют условиям Fj), F$) раздела 2.1 (см. стр. 77), а также условию F{ ) Операторы (, ж, у, w) - /i(t,Afax,Ajay, го) действуют из R+ х Е%х Е2х Ез в Kv(Ei) и ограничены на ограниченных множествах, т.е. Ш , Аїх, A ay,w)\\ M(R) оо {t є [0,Г], (z,t/,) Д). Пусть, как в разделе 2.1, Р \ Е\ —ї EQ — линейный оператор, W гистерон с областью Q(W) С EQ Х Е$ возможных состояний (о структуре области Г2(1У) см.[23]) и определяющей его гистерезисной нелинейностью Г с областью определения, описанной в разделе 2.1. На оператор Г накладываются условия Сі) — Се), С7), Сю) из раздела 21, Требуется также, чтобы были выполнены условия ) ), D 2) раздела 2.1. Для упрощения обозначений положим в (2.78) to = 0. Обозначим Очевидно, С{К) замкнутое выпуклое множество, a C(QK) — относительно открытое в С([0,Т], i) X С {К) множество. Рассмотрим многозначные операторы Используя полугрупповое тождество, легко показать справедливость следующего утверждения Утверждение 1. Неподвижные точки отображения Пє совпадают с сужениями на [О, X] Т-периодических решений системы (2.78). Заметим, что речь идет о Т-периодических решениях (хЄ)гиє,ує) системы (2.78), принадлежащих множеству Ст( 3#) х С([0,Т],І?2). Отметим, что оператор Р% : СЩк) х С([0,Т], 2) - С(АГ), 0 не является компактным, поэтому применить теорию вращения вполне непрерывных многозначных векторных полей для доказательства существования неподвижных точек оператора НЄ1 є 0 мы не можем. Однако, применение этой теории становится возможным, если сузить область определения оператора П, принимая во внимание следующее свойство Т- периодических решений системы (2.78): Утверждение 2.Пусть при некотором с Є (0,1) выполнены уело-вия Л), F{f), FQr F$)t. Сг)-С&), ОД, С10). Пусть в Є (0,1 -о), U С C{QK) х С([0,Т],Дг) - некоторое ограниченное множество. Тогда существует положительная константа С = C(U), такая что любое Т- периодическое решение (хе, w, ує) системы (2.78), принадлежащее U, удовлетворяет условию Гелъдера с константой С и показателем в. Доказательство. Пусть (хє, w1 ує) — Т-периодическое решение (2.78), такое что (хє, we,ys) Є U. Так как множество U ограничено, из F") следует существование такой константы М = M(U), что для любой измеримой функции Vi(s) Є fi(siAiax(s)JA ay{s)iwe(s)) выполнено неравенство ]ut(s)j М при п.в. s [0,Т].
