Типичность, предельное поведение и спектральные свойства динамических систем Тихонов Сергей Викторович

Диссертация - 480 руб., доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Автореферат - бесплатно, доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Тихонов Сергей Викторович. Типичность, предельное поведение и спектральные свойства динамических систем: диссертация ... доктора физико-математических наук: 01.01.02 / Тихонов Сергей Викторович;[Место защиты: Институт проблем передачи информации им.А.А.Харкевича РАН].- Москва, 2014.- 217 с.

Введение к работе

Актуальность темы исследования. Работа относится к эргодиче-ской теории динамических систем и групп преобразований, сохраняющих меру к ее аппроксимационному направлению. С первых шагов эргодпческая теория рассматривала как индивидуальные, так и типичные свойства преобразований (к вопросам, связанным с типичностью относится, например, так называемая эргодическая гипотеза Биркгофа). Классические работы Дж. Окстоби и С.Улама¹) (для гомеоморфизмов), В.А.Рохлина²'' и П.Халмоша³'¹ (для абстрактных сохраняющих меру преобразований) показали, что в вопросах типичности свойств динамических систем с инвариантной мерой эффективны слабая и равномерная аппроксимация периодическими преобразованиями: фактически, с помощью периодической аппроксимации, В.А.Рохлин показал, что типичность многих свойств следует из существования одного апериодического преобразования, обадающего этим свойством. Впрочем, для некоторых свойств такое редукции нет: например, решения вопросов о существовании квадратного корня и нетривиального фактора а также вопроса о вложении преобразования в поток потребовали дополнительных топологических инструментов. Что касается индивидуальных свойств преобразований, то и в этом направлении аппроксимационный подход оказался достаточно эффективным. Пионерскими здесь были работы А. М. Степина⁴-¹ (в первой из работ решена проблема Колмогорова о групповом свойстве спектра) и А. М.Степина и А. Б. Катка⁵-¹: была показана, в частности, зависимость свойств преобразований от скорости, с которой их можно аппроксимировать периодическими, и решены многие имеющиеся к тому моменту вопросы. В дальнейшем аппроксимационный подход развивался в работах

¹^ Oxtoby J., Ulam S. Measure-preserving homeomorphisms and metrical transitivity // Ann. ol Math. 1941. Vol. 42, no. 2. Pp. 874-920 .

²> Рохлин В. А. Общие преобразования с инвариантной мерой не есть перемешивание // ДАН СССР. 1948. Т. 60, № 3. С. 349-351.

³> Halmos P. In general a measure preserving transformation is mixing // Trans. Amer. Math. Soc. 1944. Vol. 55, no. 1. Pp. 1-18 .

^A> Степин A. M. О свойствах спектров эргодических динамических систем с локально компактным временем // Докл. АН СССР. 1966. Т. 169, № 4. С. 773—776 ; Степин А. М. Спектр и аппроксимации метрических автоморфизмов периодическими преобразованиями // Функц. анализ и его прил. 1967. Т. 1, № 2. С. 77-80.

⁵> Каток А. Б., Степин А. М. Об аппроксимациях эргодических динамических систем периодическими преобразованиями // ДАН СССР. 1966. Т. 171, № 6. С. 1268-1271 ; Каток А. Б., Степин А. М. Аппроксимации в эргодической теории // УМН. 1967. Т. 22, N^a 5. С. 81—106.

А. Б. Катка ⁶⁾, А. М. Степина⁷⁾, Д. В. Аносова и А. Б. Катка⁸⁾, В. И. Оселедца⁹⁾, С. А. Юзвинского¹⁰'¹, О. Н. Агеева¹¹-¹ и многих других.

Вопросы существования преобразований с теми или иными свойствами, возникающие в эргодической теории, естественно рассматривать для нескольких основных классов: эргодических, слабо перемешивающих и перемешивающих. Кроме того, в последнее время также рассматриваются "категорные" и групповые формулировки. Первая формулировка означает "типичны ли преобразования с выбранным свойством?", вторая — "обладают ли этим свойством групповые действия?". Если преобразования с выбраным свойством типичны, то существуют эргодические и слабо перемешивающие преобразования им обладающие. Совсем иначе обстоит дело с перемешивающими преобразованиями: типичное среди всех преобразований свойство может не выполняться ни для одного перемешивающего преобразования. Всвязи с этим, перемешивания лишены такого важного способа изучения их свойств, как ка-тегорный подход. Один из общих рассматриваемых в этой работе вопросов звучит так:

Какими свойствами может обладать перемешивающее преобразование?

Конечно, такая формулировка вопроса слишком общая; мы будем рассматривать более специальные вопросы, например, "перемешивающий" вари-

⁶) Katok А. В. The special representation theorem for multi-dimensional group actions // Dynamical
Systems I, Warsaw, Asterisque. 1977. Vol. 49. Pp. 117-140 ; Каток А. Б. Энтропия и аппроксимации
динамических систем периодическими преобразованиями // Функц. анализ и его прил. 1967. Т. 1, N^a 1.
С. 75-85.

⁷) Степин А. М. О квадратных корнях из метрических автоморфизмов // ДАН. Москва, 1967.
Т. 176, N^a 5. С. 1023—1026 ; Stepin A. Les spectres des systemes dynamiques // Actes du Congr. Inter,
des Math.(Nice, 1970), Tome. 1970. Vol. 2. Pp. 941-946 ; Степин A. M. О связи аппроксимативных и
спектральных свойств метрических автоморфизмов // Матем. заметки. Москва, 1973. Т. 13, N^a 3. С. 403—
409 ; Степин А. М. Аппроксимируемость групп и групповых действий // УМН. 1983. Т. 38, 6(234). С. 123—
124 ; Stepin А. М. New versions of the approximstions method // International conference "Modern Theory of
Dynamical Systems and Applications to Theoretical Celestial Mechanics" dedicated to the memory and the 70th
birthday of V. M. Alekseyev (1932 - 1980), Moscow State University, Steklov Institute of Mathematics, Center
for Dynamical Systems at PENN State, Moscow, December 23-28. M. : MSU, 2002. Pp. 30-31 ; Степин
A. M. Новый прогресс в эргодической теории аппроксимаций // Колмогоров и современная математика.
Тезисы докладов. М. : МГУ, 2003. С. 802.

⁸) Аносов Д. В., Каток А. Б. Новые примеры эргодических диффеоморфизмов гладких многообра
зий // УМН. 1970. Т. 25, 4(154). С. 173-174.

⁹> Оселедец В. И. Автоморфизм с простым и непрерывным спектром без группового свойства // Матем. заметки. 1969. Т. 5, N^a 3. С. 323—326 ; Оселедец В. И. Пример двух неизоморфных систем с одинаковым простым сингулярным спектром // Функц. анализ и его прил. 1971. Т. 5, N^a 3. С. 75—79.

¹⁰) Юзвинский С. А. О метрических автоморфизмах с простым спектром // ДАН СССР. 1967. Т. 172, № 5. С. 1036-1038.

¹¹> Агеев О. Н. О сопряженности группового действия своему обратному // Матем. заметки. 1989. Т. 45, N^a 3. С. 3—11 ; Агеев О. Н. Типичный автоморфизм пространства Лебега сопряжен с G-расширением для любой конечной абелевой группы G // ДАН. 2000. Т. 374, N^a 4. С. 439—442 ; Агеев О. Н. Динамические системы с произвольной функцией кратности спектра // УМН. 1998. Т. 53, N^a 5. С. 223—224 ; Агеев О. Н. Динамические системы с четнократной лебеговской компонентой в спектре // Матем.сборник. 1988. Т. 136, № 3. С. 307-319.

ант вопроса Рохлина об однородном непрерывном спектре:

Существуют ли перемешивающие преобразования с однородным спектром кратности п Є N?

Сам вопрос был поставлен Рохлиным устно для эргодических преобразований. В печатном виде он присутствует в обзоре А. Б. Катка, Я. Г. Синая и А. М. Степина¹²). "Перемешивающая" формулировка (при п > 2) имеется в работах А. И. Даниленко¹³'¹ и В. В. Рыжикова¹⁴). А. Б. Каток¹⁵) показал, что в типичном случае спектральные кратности декартового квадрата преобразования содержатся во множестве {2,4} и высказал гипотезу, что число 4 не реализуется, то есть такие квадраты имеют однородный спектр кратности 2. Эта гипотеза подтверждена (независимо) О.Н.Агеевым¹⁶'' и В. В. Рыжиковым¹⁷-'. Позднее, В. В. Рыжиков, отвечая на вопрос Ж.-П.Тувено, получил тот же результат для перемешивающих преобразований¹⁸''. Для случая п > 2 в эрго-дическои постановке вопроса положительный ответ получен О.Н.Агеевым¹⁹). Доказательство этого факта существенно отличается от случая п = 2 применением соображений типичности групп преобразований, а его адаптация на перемешивающий случай требует разработки соответствующего математического аппарата. Эта разработка проведена диссертантом²⁰'' и будет изложена в настоящей работе. Следует упомянуть также результат А. И. Даниленко и А. В. Соломко²¹-' о существовании эргодических действий некоторых абелевых групп с однородным спектром любой кратности.

Важным применением аппроксимационных методов является спектральная теория эргодических (перемешивающих) преобразований. Мы остановимся на одном вопросе Колмогорова, сыгравшем существенную роль в возникновении и развитии теории аппроксимаций, — вопросе о групповом свой-

¹²> Каток А. Б., Синай Я. Г., Степин А. М. Теория динамических систем и общих групп преобразований с инвариантной мерой // Итоги науки и техн. Сер. Мат. анал. 1975. Т. 13. С. 129—262. стр. 203.

¹³) Danilenko А. (С, F)-Actions in Ergodic Theory // Geom.&Dynamics of Groups & Spaces, Progress in Mathematics. 2008. Vol. 265. Pp. 325-351 .

^ы> Рыжиков В. В. Слабые пределы степеней, простой спектр симметрических произведений и перемешивающие конструкции ранга 1 // Матем. сб. 2007. Т. 198, N^a 5. С. 137—159.

¹⁵) Katok А. В. Combinatorial constructions in ergodic theory and dynamics, RI : Amer. Math. Soc,
Providence, 2003. (University Lecture Series ; 30) .

¹⁶) Ageev O. N. On ergodic transformations with homogeneous spectrum // JDCS. 1999. Vol. 5.
Pp.149-152 .

¹⁷) Ryzhikov V. V. Transformations having homogeneous spectra // JDCS. 1999. T. 5, N^a 1. C. 145—148.

¹⁸) Ryzhikov V. V. Homogeneous spectrum, disjointness of convolutions, and mixing properties of di-
namical sytems // Selected Russian Math. 1999. Vol. 1, no. 1. Pp. 13-24 .

¹⁹) Ageev O. N. The homogeneous spectrum problem in ergodic theory // Invent. Math. 2005. Vol. 160.
Pp. 417-446 .

²⁰) Тихонов С. В. Перемешиващие преобразования с однородным спектром // Матем. сб. 2011. Т.
202, № 8. С. 139-160.

²¹) Danilenko A. I., Solomko А. V. Ergodic Abelian actions with homogeneous spectrum // Contemp.
Math. 2010. Vol. 532. Pp. 137-149 .

стве спектра сохраняющего меру преобразования. Он эквивалентен тому, что свертка максимального спектрального типа преобразования подчинена этому спектральному типу. А. Н. Колмогоров (по аналогии с дискретным случаем) полагал, что это так, см. работу Я. Г. Синая²²). В. А. Рохлин и С. В. Фомин²³) исследовали все известные на тот момент динамические системы и выяснили, что групповое свойство для них выполняется. Я. Г. Синай²⁴) получил условие, гарантирующее групповое свойство спектра, и доказал его выполнение для широких классов преобразований вероятностного происхождения. Напротив, развивая теорию аппроксимаций, А. М. Степин²⁵) показал, что спектральный тип преобразования в типичном случае не подчиняет свой сверточный квадрат, более того, взаимно сингулярен с ним. Заметим также, что вопрос Колмогорова имел и другую (несколько более слабую) трактовку; в этой трактовке контрпример получил В. И. Оселедец²⁶). Он также построил первый пример преобразования без группового свойства с непрерывным спектром²⁷). Для перемешивающих преобразований отсутствие группового свойства доказал В. В. Рыжиков²⁸).

Сингулярность спектрального типа преобразования со своим сверточ-ным квадратом оказалась связана с следующим вопросом Рохлина (о кратном перемешивании):

Какие перемешивающие преобразования обладают перемешиванием всех кратностей?

Одним из самых заметных результатов в этом направлении, получил Б. Ост²⁹), доказавший, что взаимная сингулярность максимального спектрального типа и его сверточного квадрата гарантирует перемешивание любой кратности.

Вопрос о кратном перемешивании и его различные вариации исследовались многими авторами. Этот инвариант ввел В.А.Рохлин, установив кратное перемешивание для эргодических эндоморфизмов компактных групп³⁰),

²²> Синай Я. Г. Несколько замечаний о спектральных свойствах эргодических динамических систем // УМН. 1963. Т. 18, № 5. С. 41-54.

²³) Рохлин В. А., Фомин С. В. Спектральная теория динамических систем 3. Т. 3. М.: АН СССР, 1956. С. 284-292.

^2А> Синай Я. Г. О свойствах спектров эргодических динамических систем // Докл. АН СССР. 1963. Т. 150, № 6. С. 1235-1237.

²⁵) Stepin A. Les spectres des systemes dynamiques // Actes du Congr. Inter, des Math. (Nice, 1970), Tome. 1970. Vol. 2. Pp. 941-946 ; Степин A. M. Спектральные свойства типичных динамических систем // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1986. Т. 50, № 4. С. 801-834.

²⁶> Оселедец В. О спектре эргодических автоморфизмов // ДАН СССР. 1966. Т. 168. С. 1009-1011.

²⁷' Оселедец В. И. Автоморфизм с простым и непрерывным спектром без группового свойства // Матем. заметки. 1969. Т. 5, № 3. С. 323-326.

²⁸) Ryzhikov V. V. Homogeneous spectrum, disjointness of convolutions, and mixing properties of di-
namical sytems .

²⁹) Host B. Mixing of all orders and pairwise independent joinings of systems with singular spectrum //
Isr. J. Math. 1991. Vol. 76. Pp. 289-298 .

³⁰) Рохлин В. А. Об эндоморфизмах компактных коммутативных групп // Изв. АН СССР. Сер.

С. А. Каликов³¹) рассматривал преобразования ранга 1. Ф. Ледрапье³²) построил перемешивающее действие группы Z² не перемешивающее кратно. В.П.Леонов³³'' показал, что перемешивающие гауссовские системы обладают перемешиванием всех кратностей, Б.Маркус³⁴'' доказал, что свойством кратного перемешивания обладают унипотентные потоки. А. Н. Старков³⁵-' установил аналогичный факт для однородных перемешивающих потоков, Ш. Мозес³⁶) для широкого класса групп Ли. В серии работ В.В.Рыжикова доказано кратное перемешивание для перемешивающих преобразований конечного ранга³⁷-¹, К^п-действий положительного /3-ранга³⁸), w-простых систем³⁹), перемешивающих К^п-действий все элементы которых сопряжены⁴⁰^. Р. А. Яссави⁴¹) обобщала результаты Рыжикова для действий с положительным /3-рангом на коммутативные группы.

С некоторого момента в изучении динамических систем все заметнее становится роль групповых вопросов. Тому имеется несколько причин — в первую очередь, успешное применение групповых действий для решения классических задач теории сохраняющих меру преобразований⁴²). Имеется много примеров такого рода — ответ на вопрос А. Н. Колмогорова о групповом свойстве спектра был вначале получен А. М. Степиным⁴³) для групп преобразований, О.Н.Агеев доказал типичность преобразований, являющих-

матем. 1949. Т. 13, № 4. С. 329-340.

³¹) Kalikow S. Twofold mixing implies threefold mixing for rank one transformations // Ergod. Th.
Dynam. Sys. 1984. Vol. 4. Pp. 237-259 .

³²) Ledrappier F. Un champ markovien peut etre d'entropie nulle et melangeant // C. R. Acad. Sci.
Paris Ser. A-B. 1978. Vol. 287, no. 7. A561-A563 .

³³) Леонов В. П. Применения характеристических функционалов и семиинвариантов в эргодиче-
ской теории стационарных процессов // ДАН СССР. 1960. Т. 133, № 3. С. 523—526.

³⁴) Marcus В. The horocycle flow is mixing ol all degrees // Inv. Math. 1978. Vol. 46. Pp. 201-209 .

³⁵) Старков A. H. О кратном перемешивании однородных потоков. // ДАН СССР. 1993. Т. 333,
№ 1. С. 28-31.

³⁶) Mozes S. Mixing ol all orders ol Lie group actions // Invent. Math. 1992. Vol. 107. Pp. 235-241 .
³⁷ > Рыжиков В. В. Джойнинги и кратное перемешивание действий конечного ранга // Функц. ана
лиз и его прил. 1993. Т. 27, № 2. С. 63-78.

³⁸) Рыжиков В. В. Проблема Рохлина о кратном перемешивании в классе действий положительного локального ранга // Функц. анализ и его прил. 2000. Т. 34, № 1. С. 90—93.

³⁹> Рыжиков В. В. Сплетения тензорных произведений и стохастический централизатор динамических систем // Матем. сб. 1997. Т. 188, № 2. С. 67-94.

⁴⁰' Рыжиков В. В. Связь перемешивающих свойств потока с изоморфизмом входящих в него преобразований // Матем. заметки. 1991. Т. 49, № 6. С. 98—106.

⁴¹) Yassawi R. A. Multiple Mixing ol Local Rank Group Actions. McGill University, 1998 .

⁴²> Степин A. M. О свойствах спектров эргодических динамических систем с локально компактным временем // Докл. АН СССР. 1966. Т. 169, N^a 4. С. 773—776 ; Степин А. М. Об энтропийном инварианте убывающих последовательностей измеримых разбиений // Функц. анализ и его прил. 1971. Т. 5, № 3. С. 80—84 ; Stepin A. Amenability and ergodic property ol transformations group // Operator algebras and group representations: proceedings ol the international conference held in Neptun (Romania) September 1-13, 1980. Vol. 2. Boston : Pitman Advanced Pub. Program, 1984. Pp. 151-162. (Monographs and studies in mathematics, 17-18.)

^A3> Степин A. M. О свойствах спектров эргодических динамических систем с локально компактным временем // Докл. АН СССР. 1966. Т. 169, № 4. С. 773-776.

ся Ж2-расширениями⁴⁴'⁾, существование преобразований ранга 1, изоморфных своему квадрату⁴⁵-¹ и преобразований, имеющих однородный спектр произвольной кратности⁴⁶-', В. В. Рыжиков⁴⁷-¹ и А. И. Даниленко⁴⁸) использовали групповые действия для получения эргодических преобразований с нетривиальными наборами спектральных кратностей.

Многие свойства преобразований (например, слабое перемешивание, неизоморфность обратному, существование корней) имеют естественные аналоги для групповых действий. Однако, в силу исторических причин и более важной роли преобразований в приложениях, типичность таких свойств лучше изучена именно для преобразований. Естественным образом возникает вопрос о возможности "переноса" утверждений о типичности на группы преобразований и обратно. Более общо, нас будет интересовать ответ на следующий вопрос:

Как связаны между собой типичные свойства элементов в различных метрических пространствах?

Этот вопрос перекликается с категорной формулировкой ряда известных проблем эргодпческой теории ("категорная формулировка" вопроса о каком-нибудь свойстве действий означает вопрос о типичности действий с этим свойством). Вот некоторые из них:

вопрос Халмоша о существовании квадратного корня⁴⁹);

вопрос Рохлина о вложении преобразования в поток и о количестве этих потоков⁵⁰);

вопросы де ла Рю и де Сэм Лазаро⁵¹) о вложении Ж^п-действия в инъек-тивное К^п-действие и о вложении Ж²-действия в поток;

уже упомянутый вопрос Рохлина о существовании перемешивающих преобразований разной кратности⁵²).

Заметим также, что построенная диссертантом для ответа на рассматриваемый вопрос теория сохраняющих типичность отображений впослед-

^АА> Агеев О. Н. Типичный автоморфизм пространства Лебега сопряжен с G-расширением для любой конечной абелевой группы G // ДАН. 2000. Т. 374, № 4. С. 439-442.

⁴⁵) Ageev О. N. Spectral Rigidity of Group Actions: Applications to the Case gr < t,s;ts = st² > //
Proc. Amer. Math. Soc. 2006. Vol. 134. Pp. 1331-1338 .

⁴⁶) Ageev O. N. The homogeneous spectrum problem in ergodic theory .

⁴⁷' Рыжиков В. В. Спектральные кратности и асимптотические операторные свойства действий с инвариантной мерой // Матем. сб. 2009. Т. 200, № 12. С. 107-120.

⁴⁸) Danilenko A. I. Explicit solution of Rokhlin's problem on homogeneous spectrum and applications //
Ergodic Theory and Dynamical Systems. 2006. Vol. 26, no. 5. Pp. 1467-1490 .

⁴⁹) Халмош П. P. Лекции по эргодической теории. Москва : Изд. Иностр.Литературы, 1959.

⁵⁰) Рохлин В. А. Избранные вопросы метрической теории динамических систем // УМН. 1949. Т.
30, № 2. С. 57—128 ; Степин А. М., Еременко А. Неединственность включения в поток и обширность
централизатора для типичного сохраняющего меру преобразования // Матем.сборник. Москва, 2004. Т.
195, № 12. С. 95-108.

⁵¹) Rue Т. D. L., Lazaro J. D. S. Une transformation generique peut etre inseree dans un not // Annalles
de 1'IHP. 2003. Vol. 39, no. 1. Pp. 121-134 .

⁵²> Рохлин В. А. Об эндоморфизмах компактных коммутативных групп.

ствии развивалась в работах Ж. Миллерея и Т. Цанкова⁵³), Ж. Миллерея⁵⁴) и О.Н.Агеева⁵⁵).

Одно из главных направлений работы — исследование типичных групп перемешивающих преобразований.

Направление представляется важным в двух аспектах.

Во-первых, типичность является хорошим средством для доказательства теорем существования. Например, типичность любых двух свойств сохраняющих меру преобразований гарантирует существование слабо перемешивающего преобразования с обоими этими свойствами. Последние исследования⁵⁶'¹ показывают, что преобразования с нетипичными свойствами можно получать, извлекая их из типичных групп преобразований. Общую теорию аппроксимаций групп преобразований развивал А. М. Степин⁵⁷). В его работах также изучаются связи между аппроксимациями групп и их действий⁵⁸).

Во-вторых, исследование перемешивающих групп преобразований сдерживает отсутствие некоторых методов, применимых к общим преобразованиям. В первую очередь это отсутствие предельного перехода, сохраняющего перемешивание (фактически, для этого нужна метрика, превращающая множество перемешивающих преобразований в полное пространство, и метрика слабой топологии для этого не подходит). Другим важным методом является использование нетривиальных предельных операторов у степеней преобразования. Этот метод применяется во многих работах⁵⁹), но напрямую не применим к перемешивающим преобразованиям, у которых только один предельный оператор. В этой связи уместно заметить, что решение проблемы Колмогорова о групповом свойстве спектра для эргодических преобразований опиралось на наличие у типичного преобразования предельного оператора особенного вида. Отсутствие такого предела у перемешивающих преобразо-

⁵³) Melleray J., Tsankov Т. Generic representations of abelian groups and extreme amenability // arXiv
preprint arXiv:1107.1698. 2011 .

⁵⁴) Melleray J. Extensions of generic measure-preserving actions // arXiv preprint arXiv:1201.4447. 2012.

⁵⁵) Ageev O. N. On extensions of typical group actions // arXiv preprint arXiv: 1212.2660. 2012 .

⁵⁶) Ageev O. N. The homogeneous spectrum problem in ergodic theory ; Danilenko A. I. Explicit
solution of Rokhlin's problem on homogeneous spectrum and applications ; Рыжиков В. В. Спектральные
кратности и асимптотические операторные свойства действий с инвариантной мерой.

^5Г> Степин А. М. Применение метода периодических аппроксимаций в спектральной теории динамических систем: дис. ... канд. физ.-мат. наук : 01.01.01 / Степин А. М. М. : МГУ им. М. В. Ломоносова, 1968.

⁵⁸) Степин А. М. Аппроксимируемость групп и групповых действий // УМН. 1983. Т. 38, 6(234). С. 123—124 ; Степин А. М. Замечания об аппроксимациях групп // Вести. Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика. 1984. № 4. С. 201-204.

⁵⁹> Степин А. М. Спектральные свойства типичных динамических систем // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1986. Т. 50, N^a 4. С. 801—834 ; Lemanczyk М., Junco A. D. Generic spectral properties of measure-preserving maps, and applications // Proc. of AMS. 1992. Vol. 115, no. 3. Pp. 725-736 ; Рыжиков В. В. Слабые пределы степеней, простой спектр симметрических произведений и перемешивающие конструкции ранга 1 ; Рыжиков В. В. Спектральные кратности и асимптотические операторные свойства действий с инвариантной мерой ; Рыжиков В. В. Простой спектр тензорного произведения степеней перемешивающего автоморфизма // Тр. ММО. 2012. Т. 73, № 2. С. 229-239.

ваний отодвинуло решение перемешивающего варианта вопроса Колмогорова на три десятка лет. Для того, чтобы обойти эту проблему, В. В. Рыжиков⁶⁰-' рассматривал преобразования с более сильными, чем отсутствие группового свойства, ограничениями, причем это ограничения продолжали выполняться при подходящей аппроксимации перемешивающего преобразования слабо перемешивающими конструкциями ранга 1. Мы будем использовать несколько иной подход, связанный с типичностью и не ограниченный рамками ранговых конструкций.

Резюмируя выше сказанное, нас интересуют следующие вопросы:

Какие метрики можно ввести на множестве перемешивающих преобразований? Какие перемешивающие преобразования типичны?

Заметим, что для изучения типичности требуется, чтобы метрика была полной.

Цели и задачи. Основной целью работы является создание категор-ных и аппроксимационных методов исследования перемешивающих преобразований, а также перемешивающих и неперемешивающих групп.

К целям работы также относятся:

исследование типичных свойств Ж^п-действий;

исследование типичных свойств перемешивающих преобразований и перемешивающих Ж^п-действий;

исследование спектральных свойств индивидуальных перемешивающих преобразований.

Рассматриваются следующие вопросы:

I. Какие метрики можно ввести на множестве перемешиваю
щих преобразований? Какие перемешивающие преобразования ти
пичны?

II. Как связаны типичные свойства в различных метрических
пространствах?

Какие перемешивающие преобразования обладают перемешиванием всех кратностей?
Какие наборы спектральных кратностей могут быть у перемешивающего преобразования?

В рамках поставленных вопросов изучаются следующие проблемы и задачи:

⁶⁰) Ryzhikov V. V. Homogeneous spectrum, disjointness of convolutions, and mixing properties of di-namical sytems .

Задача построения полной метрики на множестве перемешивающих преобразований. Желательным свойством этой метрики является сепарабельность получившегося пространства и связь с метрикой на пространстве всех преобразований.
Проблема Т. де ла Рю и Х.де Сэм Лазаро о вложении типичного Z²-действия в поток.
Задача о плотности классов сопряженности прямого произведения перемешивающих действий группы Q в пространстве перемешивающих Содействий.
Проблема Рохлина о кратном перемешивании в категорной формулировке.
Проблема Рохлина о существовании преобразований с однородным спектром кратности п > 2 в классе перемешивающих преобразований.

Научная новизна. Результаты работы являются новыми и получены автором лично. Основные из них следующие:

Введена метрика, относительно которой множество перемешивающих преобразований становится полным сепарабельным метрическим пространством. Аналогичная метрика введена для перемешивающих действий широкого класса локально-компактных групп.

Введено понятие сохраняющих типичность отображений, получены достаточные условия сохранения типичности. Как следствие, получен ответ на вопрос Т. де ла Рю и X. де Сэм Лазаро о вложении типичного Z²-действия в поток и доказано сохранение типичности для отображений ограничения ^"-действий на группу Ъ^п.

В классе перемешивающих преобразований получен положительный ответ на вопрос В. А. Рохлина о реализуемости однородного спектра кратности п Є N.

Изучены свойства типичных перемешивающих преобразований. Доказано, что типичное перемешивающее преобразование имеет нулевую энтропию, дизъюнктно своему обратному, имеет простой спектр. Получен ответ на вопрос Рохлина о кратном перемешивании в категорной формулировке: установлено, что типичное перемешивающее преобразование обладает перемешиванием любой кратности.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Представленные методы могут быть применены для исследования перемешивающих и сохраняющих меру преобразований в эрго-дической теории и теории динамических систем. Результаты работы могут быть использованы при чтении спецкурсов по динамическим системам и эр-годической теории, а также в научно-исследовательской работе математиков, работающих в этих направлениях.

Методология и методы исследования. В работе используются ка-тегорные и аппроксимационные методы исследования.

Положения, выносимые на защиту:

На множестве перемешивающих преобразований введена структура полного сепарабельного метрического пространства.

Типичное Ж²-действие не может быть вложено в поток.

Типичное перемешивающее преобразование перемешивает кратно.

Для любого натурального числа п, существуют перемешивающие преобразования с однородным спектром кратности п.

Степень достоверности и апробация результатов. С материалами диссертации автор выступал на следующих научных семинарах:

МГУ, механико-математический факультет: семинар под руководством академика Д. В. Аносова, профессора Р. И. Григорчука, профессора А. М. Степина;

МГУ, механико-математический факультет: семинар под руководством профессора Б. М. Гуревича, профессора В. И. Оселедца и доктора физико-математических наук С. А. Пирогова;

МГУ, механико-математический факультет: семинар под руководством профессора А. М. Степина;

ИАТЭ: семинар под руководством профессора Р. В.Плыкина и профессора Е. А. Сатаева;

ИППИ РАН: Семинар Добрушинской математической лабратории под руководством профессора Р. А. Минлоса и гл.н.с. М. Л. Бланка.

Диссертационные результаты были представлены на следующих научных конференциях:

российско-французская конференция "Lyapunov Exponents and Related Topics in Dynamics and Geometry" в Независимом Московском Университете (2005г.);

конференция "Современные проблемы математики, механики и приложений посвященной 110-летию со дня рождения И.Г.Петровского" (МГУ, 2011г.);

международная конференция по математической теории управления и механике (Суздаль, 2011г.);

международная конференция анализ и особенности, посвященная 75-летию со дня рождения В. И. Арнольда ( Математический институт им. В. А.Стеклова РАН, 2012г.);

Научная конференция "Ломоносовские чтения" в МГУ (2013г.).

Публикации. Основное содержание диссертации представлено в 10 личных и одной совместной работе, опубликованных в журналах, входящих в официальный перечень ВАК.

Полный список работ приведен в конце автореферата. Основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Все представленные в диссертации результаты получены лично автором.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из 215 страниц текста, из которых 12 отведено на библиографию. Структура диссертации включает введение, четыре главы, разбитые на 14 параграфов, заключение, предметный указатель и список литературы, включающий 118 наименований.

Типичность, предельное поведение и спектральные свойства динамических систем Тихонов Сергей Викторович

Похожие диссертации на Типичность, предельное поведение и спектральные свойства динамических систем