Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Обобщенное отслеживание 12
1. Основные определения 12
2. Постановка задачи 13
3. Случай диффеоморфизма 17
4. Случай Н{М) = Z(M ) 18
Глава 2. Свойства нечувствительности и предельной нечувствительности 31
1. Постановка задачи, основные определения и формулировки результатов 31
2. Доказательство теоремы 2.1.1 32
3. Доказательство теоремы 2.1.2 40
Глава 3. Слабое свойство отслеживания в О,-устойчивых динамических системах 43
1. Основные определения и начальные сведения 43
2. Вспомогательные результаты 48
3. Доказательство теоремы 3.1.4 56
Литература 67
Рисунки 1,2 70
Введение к работе
Нелинейные дифференциальные уравнения (обыкновенные и в частных производных) являются основными моделями динамических процессов в естествознании. Поэтому изучение поведения решений дифференциальных уравнений - это одна из фундаментальных задач современной математики.
Для многих приложений теории дифференциальных уравнений наиболее важным является исследование поведения решений на бесконечных промежутках. Основными примерами являются классическая теория устойчивости движения, а также интенсивно развивающаяся в последнее время теория систем со сложным (квазистохастическим) поведением решений и теория аттракторов.
Хорошо известно, что построение решений нелинейных дифференциальных уравнений в явном виде возможно лишь в исключительных случаях. Кроме того, даже наличие явных представлений решений совсем не всегда позволяет эффективно описать их предельное поведение при стремлении времени к бесконечности.
Поэтому современные методы исследования динамики, порождаемой нелинейными дифференциальными уравнениями, основаны на взаимодействии двух подходов. Первый из них использует результаты качественной теории дифференциальных уравнений, базирующиеся на аналитических и топологических методах.
Второй подход использует результаты численного интегрирования исследуемых уравнений. Значение этого подхода неизмеримо возросло с появлением современных компьютеров, обладающих огромными памятью и быстродействием.
Следует отметить, что при отсутствии надежного контроля использо- вание результатов компьютерного моделирования может привести исследователя к ошибочным выводам. По многим причинам (основными из которых являются неустранимые погрешности численных методов и ошибки округления) результат компьютерного моделирования дифференциального уравнения всегда является приближенным. Конечно, точность вычислений можно повышать, но при этом принципиально невозможно получать достоверную информацию о поведении решений на бесконечных промежутках времени, не прибегая к помощи качественной теории дифференциальных уравнений.
Вопрос о том, при каких условиях приближенные и точные решения могут быть равномерно близки на неограниченных временных промежутках, изучается теорией отслеживания (основным методам и результатам этой теории посвящены монографии [19] и [20]).
Удобнее всего формулировать основные определения и результаты этой теории в терминах динамических систем.
Пусть Ы - гладкое замкнутое многообразие с римановой метрикой р. Мы будем рассматривать два основных метрических пространства динамических систем: пространство гомеоморфизмов Z(M) с метрикой ро'. ро(ф,ф) = тах{тЫр(ф(х),ф(х)),тЫр{ф~1(х),ф^1(х))))); х$.М хЄт пространство диффеоморфизмов DifT1(M) с метрикой р\\ рі(ф,ф) = Ро{Ф,Ф) + тж{\Оф{х) - Щ{х)\)).
Фиксируем динамическую систему /. Фиксируем 5 > 0. Последовательность {xk} Є М, к Є Z, называется 5-псевдотраекторией, если р(/(жд.), Xk+i) < 8.
Пусть {х/с} - 5-псевдотраектория. Говорят, что она е-отслеживается точкой х М, если p(fk(x)i Xk) < є для любого к Є Z.
Говорят, что / обладает свойством отслеживания, если для любого є > О существует такое 5 > 0, что любая й-псевдотраектория б-отслеживается некоторой точкой х Є М.
Свойство отслеживания играет большую роль в численном моделировании, так как ясно, что если система / обладает свойством отслеживания, то приближенные траектории /, полученные численным путем (и, значит, являющиеся псевдотраекториями), отражают поведение точных траекторий системы на неограниченном промежутке времени.
Кроме того, свойство отслеживания играет также важную роль в теории динамических систем: ясно, что если две системы / и д близки в метрике ро, то точные траектории системы д будут приближенными траекториями системы /, следовательно, свойство отслеживания является слабым аналогом структурной устойчивости [20]. Также ясно, что если система / обладает свойством отслеживания, то множество неблуждающих точек Q(f) и множество цепно-рекуррентных точек CR(f) [21] совпадают.
Д.В. Аносов показал [7], что в окрестности гиперболического множества диффеоморфизма выполняется свойство отслеживания. Одним из важнейших результатов в теории отслеживания, следующим из работ В.А. Плисса [5] и [6] является следующая теорема (формулировку для диффеоморфизмов см. в [20, теорема 2.2.6]): если диффеоморфизм / структурно устойчив, то / обладает свойством отслеживания.
В первой главе диссертации изучается обобщенное свойство отслеживания, определяемое следующим образом.
Определение 1.2.1. Будем говорить, что для системы ф и некоторой ее окрестности U выполняется обобщенное свойство отслеживания, если для любого е > 0 существует такое 8 > 0, что для любых х^ Є М, фк G U, к Є Z, удовлетворяющих неравенству р(фк(хк), #&+і) < $ для любого к Є Z , существует такое р Є М, что р{ФкФк-і--Фо{р), xk+i) < є, h > 0; p№V*±i...Ci(p)iSa) < e,* < 0; p{p,x0) < .
Будем также говорить, что система ф обладает обобщенным свойством отслеживания, если существует такая ее окрестность U., что для (, U) выполняется обобщенное свойство отслеживания.
Изучение этого свойства важно для теории управления. Пусть U - некоторое множество в Diff1(JM). Фиксируем точку х Є М. Рассмотрим два множества в М ([12], [15]).
Определение 1.2.3. Множество достижимости 7(ж, U) С М - множество, состоящее из всех таких точек у 6 М, что существуют такие К > 0, фк Є U, 0 < к < К, что выполняется равенство
Фк-1—Фо{х) =У-
Определение 1.2.4. Множество цепной достижимости %с{х, U) С М - множество, состоящее из всех точек у 6 М7 таких, что для любого 5 > 0 существуют такие К > 0, Xk Є М, фь Є U, 0 < к < К, что выполняются неравенства xq = х; фк~\{хК-\) = У, р{фк{хк)>хы) < 5.
Определим множество *R,{x, U) как пролонгацию множества 7^(rc, U) по начальному данному (по аналогии с [21], стр.32): K(XlU) = f)Cl( (J Щу,и)). г>0 (э(у,аг)<г
Легко показать, что верно следующее утверждение.
Утверждение 1.2.1. Пусть ф Є DifF1(M). Пусть U С К0(ф) при некотором 6q > 0 и для {ф>УЄо(ф)) выполняется обобщенное свойство отслеживания. Тогда для любой точки х М верно равенство
Из результатов В.А. Плисса [5] и [6] следует следующая теорема.
Теорема 1.3.1. Пусть диффеоморфизм ф структурно устойчив. Тогда ф обладает обобщенным свойством отслеживания.
В [22] было доказано, что типичный гомеоморфизм обладает свойством отслеживания. В главе 1 также изучается обобщенное свойство отслеживания для гомеоморфизмов. Показано, что, в отличие от диффеоморфизмов, ни один гомеоморфизм не обладает обобщенным свойством отслеживания, но типичный гомеоморфизм обладает некоторым более слабым аналогом обобщенного свойства отслеживания (теорема 1.4,1). Результаты первой главы опубликованы в работе автора [1].
Хотя свойство отслеживания гарантирует, что в окрестности приближенной траектории существует точная траектория системы, но начальные данные этой траектории, вообще говоря, неизвестны. В некоторых случаях требуется гарантировать, что приближенная траектория с некоторыми начальными данными будет равномерно близка к точной траектории с теми же начальными данными. Поэтому в [8] определяется следующее свойство нечувствительности.
Определение 2.1.1. Пусть ф - гомеоморфизм. Определим множество NS(fi) С М как множество всех таких точек а М, для которых выполнено следующее утверждение: для любого е > 0 существует такое д > О, что для любой последовательности точек {a^}jt>o из того, что р(х0,а) < 5 p(tp(xk), Xk+i) < S при к > О, следует, что р((р (a), Xk) < є при к > О.
Если точка а 6 NS((f)), то говорится, что гомеоморфизм ф нечувствителен в точке а. В [8] было доказано, что для типичного гомеоморфизма ф существует множество второй категории В{ф) С NS( В теории численных методов в последнее время изучаются методы, которые "подстраивают" себя на каждом шаге итераций, уменьшая погрешность приближенной траектории. В связи с этим, вводится предельное свойство отслеживания [20, определение 1.17]. Говорят, что система / обладает предельным свойством отслеживания, если для любой последовательности точек {х*}, к Є Z, удовлетворяющей условию р(/(х*), ajjt+i) -+ 0 при \к\ -» со, существует такая точка а Є М, что p(fk(a),xk) -) 0 при \к\ -* оо. Предельное свойство отслеживания в настоящее время является одним из самых слабо изученных свойств отслеживания. Известно [20], что диффеоморфизм обладает предельным свойством отслеживания в достаточно малой окрестности его гиперболического множества ([20], теорема 1.4.1); известно также, что для многообразия размерности 1, это свойство является С-типичным и эквивалентно свойству отслеживания (см. [20], гл. 3.1). Однако для многообразий большей размерности до сих пор неизвестна связь предельного и обычного свойств отслеживания; неизвестно даже, является ли предельное свойство отслеживания С-типичным. В главе 2 диссертации вводится и изучается предельный аналог свойства нечувствительности. Определение 2.1.2. Определим множество LNS{ip) С М как множество всех таких точек а Є М, для которых выполнено следующее утверэюдеиие: для любого є > 0 существует такое 6 > 07 что для любой последовательности точек {3?fc}jfc>o из того, что p(xQ, а) < 6, p(ip(xk),Xk+i) < S при & > О, р{<р{хк),хк+і) -у 0 при к - оо, следует, что р(<рк(а), хь) < е при к > О, p(ip (a), Xk) —> 0 при к —> оо. Если точка а Є LNS(4>), то говорится, что гомеоморфизм ф предельно нечувствителен в точке а. Основными результатами главы 2 являются следующие теоремы, опубликованные в работе автора [2]. Теорема 2.1.1. Если dimM > 2, то для типичного ф Є Z(M) существует множество второй категории D(ip) С NS{(p)\LNS{ip). Теорема 2.1.2. Если dimM = 1, то для типичного <р Є Z(M) существует множество второй категории D( Известно [10], что свойство отслеживания не является С^-типичным свойством диффеоморфизмов. Поэтому возникает необходимость в определении более слабых свойств отслеживания. Говорят, что система / обладает слабым свойством отслеживания [13], если для любого є > 0 существует такое 5 > 0, что любая й-псевдотраекто-рия лежит в б-окрестности точной траектории некоторой точки ібМ. Недавно было доказано, что С^-типичный диффеоморфизм обладает слабым свойством отслеживания [14]. Однако, как оказалось, для диффеоморфизмов слабое свойство отслеживания является более сложным для изучения, чем обычное. Так, для Q-устойчивых систем на многообразии размерности 2 было получено необходимое и достаточное условие наличия свойства отслеживания, связанное с так называемым условием С-трансверсалыюсти [27]. На двумерном многообразии Гї-устойчивьій диффеоморфизм / обладает свойством отслеживания тогда и только тогда, когда для / выполняется условие С-трансверсальности. Однако для слабого свойства отслеживания такое условие до сих пор не найдено; более того, в [4] показано, что наличие или отсутствие слабого свойства отслеживания может быть связано с арифметическими свойствами собственных чисел гиперболических точек. В главе 3 дается достаточное условие, при котором Q-устойчивый диффеоморфизм обладает слабым свойством отслеживания. Известно, что если диффеоморфизм / П-устойчив, то / удовлетворяет Аксиоме А и условию отсутствия циклов. В этом случае неблуждающее множество / представляется в виде дизъюнктного конечного объединения гиперболических базисных множеств [2]: Будем писать Qi —> Qj для различных индексов і и j, если где Wu(Cli) и Ws(Qj) - соответственно, неустойчивое и устойчивое многообразия базисных множеств fij И Uj. Определение 3.1.12. Будем говорить, что фазовая диаграмма диффеоморфизма f содержит путь длины п, если существует п различных 11 базисных множеств П^,..., l\i; таких, что Основным результатом главы 3 является следующая теорема, опубликованная в работе автора [3]. Теорема 3.1.4. Пусть диффеоморфизм f удовлетворяет Аксиоме А и условию отсутствия циклов. Пусть в фазовой диаграмме / нет путей длины т > 3. Тогда f обладает слабым свойством отслеживания. Эта теорема используется для изучения С^-внутренности диффеоморфизмов, обладающих свойством слабого отслеживания [IntlWSP). В статье [25] было доказано, что если диффеоморфизм / Є IntlWSP удовлетворяет Аксиоме А и условию отсутствия циклов, и при этом его аттракторы и репеллеры тривиальны (то есть являются периодическими орбитами), то / удовлетворяет условию строгой трансверсальности. С помощью последней теоремы показывается, что если условие тривиальности аттракторов и репеллеров не выполняется, то / может обладать различными типами нетрансверсальности. Следствие 3.3.1. Существует такое открытое множество W С IntlWSP, что ни один диффеоморфизм /из\Уне удовлетворяет условию С0-трансверсальности. Следствие 3.3.2. Существует диффеоморфизм / Є IntlWSP, имеющий сепаратрису, ведущую из седла в седло. Рассмотрим пространство Н(М) динамических систем (Н = Z{M) или Н = Diff1(M)); фиксируем динамическую систему ф є Н(М) и некоторую ее окрестность U в Н(М). Фиксируем S 0. Будем называть последовательность х Є М, к Є Z, обобщенной -псевдотраекторией, если существуют такие системы фк Є U, что выполнено неравенство р{Фк(Хк),Хк+і) & для любого к 0. Определение 1.2.1. Будем говорить, что для системы ф и некоторой ее окрестности U выполняется обобщенное свойство отслеживания, если для любого е 0 существует такое 6 0, что для любых Xk Є М, ф є 7, к Є Z, удовлетворяющих неравенству рІф х Хк+і) 8 для любого к Є Z , существует такое р Є М, что р{ФкФк-\ Фо(р), xk+i) б, к 0; РІФҐФк-і Ф-1(р),Хк) t,k 0; р{р,хо) е 14 Будем также говорить, что сама система ф обладает обобщенным свойством отслеживания, если существует такая ее окрестность /, что для (ф} U) выполняется обобщенное свойство отслеживания. Определение 1.2.2. Будем говорить, что для системы ф и некоторой ее окрестности U выполняется обобщенное свойство липшицева отслеживания, если существуют такие , tfo 0, что для любого положительного d dQ и для любых Хк Є М,фь Є U, к Є Ъ, удовлетворяющих неравенству р(фк(%к),Хк+і) d для любого к Є Z , существует такое р Є М, что р(фкфк- Фо(р),хк+і) Ld,k 0; Р(Фк1Фк-і - Ф-\(р)і хк) Ld,k 0; РІРі хо) Ld. Будем также говорить, что сама система ф обладает обобщенным свойством липшицева отслеживания, если существует такая ее окрестность U, что для (ф, U) выполняется обобщенное свойство липшицева отслеживания. Рассмотрим два свойства динамической системы ф Н(М). Свойство 1.2.1. Существует такая окрестность U С Н(М) системы, ф, что для (ф, U) выполняется обобщенное свойство отслеживания. Свойство 1.2.2. Существует такая окрестность U С Н(М) системы ф, что для [ф, U) выполняется обобщенное свойство липшицева отслеживания. Вопрос, рассматриваемый в этой главе, формулируется следующим образом: для каких ф Н(М) выполняются свойства 1.2.1 и 1.2.2? Замечание 1.2.1. В классической теории отслеживания [20] рассматриваются следующие свойства системы ф Є Н(М). Свойство 1.2.3 (свойство отслеживания). Система ф Н(М) обладает свойством отслеживания, если для любого є 0 существует такое 8 0; что для любых х Є М, к Є Z; удовлетворяющих неравенству р(ф(хк), Xk+i) 8, существует такое р Є A/, nmo р(фк{р),х ) є. Свойство 1.2.4 (свойство липшицева отслеживания). Система ф Є Н(М) обладает свойством липшицева отслеживания, если существуют такие L,d,Q 0, что для любых х Є Му к Є Z, удозлетеоряюгцгіо; неравенству р(ф(х ), Xk+i) d d$, существует такое р Є М, что р(фк{р),хк) Ьд. ЕСЛИ ф обладает свойством 1.2.1 (соответственно, свойством 1.2.2), то взяв фк = ф для всех к Є Z, получим, что 0 обладает свойством 1.2.3 (соответственно, свойством 1.2.4). Замечание 1.2.2. Фиксируем точку х Є М. Рассмотрим два множества в М ([12]; аналоги для потоков см. [15], определения 7.7.1 и 7.7.4). Определение 1.2.3. Множество достижимости lZ(x, U) С М - множество, состоящее из всех таких точек у Є М, что существуют такие К 0,фкЄи,0 к К! что выполняется равенство Фк-1—Фъ{х) = у. Определение 1.2.4. Множество цепной достижимости %с{х,и) С М - множество, состоящее из всех точек у є М, таких, что для любого 5 0 существуют такие К 0,ж Є М,фк Є /,0 к К, что выполняются неравенства х0 = х\ ФК-І{ХК-\) = у; Определим множество 72.(rc, U) как пролонгацию множества 7Z(x, U) по начальному данному (по аналогии с [21], стр.32): Щх,и) = С]С\( U K{y,U)). г 0 р{у,х) г Докажем, что верно следующее утверждение. Утверждение 1.2.1. Пусть ф Є Dit$l(M). Пусть U С У 0(Ф) при некотором Q О и для ( , Уео(ф)) выполняется обобщенное свойство отслеживания. Тогда для любой точки х М верно равенство il(x,U) = llc(x,U). Доказательство. Прямое включение К(х} U) С Пс{х, U) очевидно. Докажем обратное включение. Пусть у Є 7с(ж, С). Фиксируем є 0 и выберем S из условия свойства обобщенного отслеживания. Для этого 6 0 существуют такие точка р и последовательность диффеоморфизмов {Фк}о к К С U для некоторого целого К 0, что для точки р и точки выполняются неравенства р(р,ж) е; Так как число е было выбрано произвольно, то выполняется включение у єЩх,ІІ). В этой части мы рассмотрим случай ф Diff M). Из результатов В.А. Плисса [5] и [6] следует следующая теорема (для общего случая гладкого многообразия можно применить методы [20]). Теорема 1.3.1. Структурно устойчивый диффеоморфизм ф Є Diff1(M) обладает свойством 1,2.2 (обобщенным свойством липшицева отслеживания). Замечание 1.3.1. Аналогично определению 1.2.2, будем говорить, что для (фу U) выполняется обобщенное свойство предельного липшицева отслеживания, если в определении 1.2.2 в каждом неравенстве вместо d стоит е , причем dk —У 0 при fc — со. Можно показать, что верен следующий аналог теоремы 1.3.1. Теорема 1.3.1 . Структурно устойчивый диффеоморфизм ф Є Diff1(M) обладает такой окрестностью U, что для (ф, U) выполняется обобщенное свойство предельного липшицева отслеживания. Замечание 1.3.2. К. Сакай в [26] доказал следующее утверждение. Утверждение 1.3.1. Пусть для некоторого диффеоморфизма f существует его С1-окрестность V, такая, что любой диффеоморфизм g Є V обладает свойством отслеживания. Тогда f структурно устойчив. Так как условие утверждения 1.3.3 следует из обобщенного свойства отслеживания, верна следующая теорема. В [22] было доказано, что типичный гомеоморфизм ф Є Z(M) обладает свойством отслеживания. Пользуясь методами [22], установим для типичного ф наличие более слабого свойства, чем свойство 1.2.1. Свойство 1.4.1. Для любого є 0 существует такое 6 0, что если для Xk Є М,фк Є Уб(ф), к Є Z, выполнены неравенства р{фк{$к),к+і) 5 то для любых фк Є Уб(Ф)і к Є Z, существует такое р Af, что Р Мь-і- оСїО.Жк+і) е Алл fc 0; р(фкфк+і.,.ф-і(р),хк) е дляк 0; р{р,х0) є. Основное отличие свойства 1.4.1 от свойства 1.2.1 состоит в том, что в свойстве 1.2.1 окрестность U не зависит от выбора числа є; в свойстве 1.4.1 окрестность U выбирается зависящей от е и, вообще говоря, уменьшается при уменьшении е. Теорема 1.4.1. Типичный гомеоморфизм ф Є Z(M) обладает свойством 1.4-1 Для доказательства теоремы 1.4.1 приведем конструкции (определения 1.4.1-1.4.4) и результаты (утверждения 1.4.1-1.4.3) из [22], которыми мы будем пользоваться. Обозначим через Dm шар в Rm единичного радиуса, пусть Sm l - граница Dm и пусть J = Dl. В Rn будем рассматривать норму \(хи...,хп)\ — max ; 1 1 ТП в этой норме Dn = [—1,1]п. Обозначим через D(a) замкнутый шар в Rm радиуса г с центром в точке а. Будем также писать Dm(a) = Dff(a) иВгт = Ц"(0). Определение 1.4.1. Пусть М - n-мерное многообразие. Разбиением на ручки многообразия М называется такая последовательность п-мерных подмногообразий с краем и без края М : 0 = М-1 С М0 С ... С Мп = М, что для любого целого т Є [0, ...,п] множество Cl(Mm\Mm-.i) является дизъюнктным объединением множеств, гомеоморфных Dm х Оп т (эти множества будем называть т-ручками), и любая т-ручка пересекается с границей Мт-\ по образу Sm l х Dn m dDm х Dn m. Диаметром разбиения па ручки будем называть число \ЛЛ\ — max{diamtf : Н- ручка}. Будем говорить, что гомеоморфизм ф сохраняет разбиение на ручки, если ф{Мт) С IntMm, 0 т п. Замечание. Ясно, что если гомеоморфизм ф сохраняет разбиение на ручки, то для любых m-ручки Н и fc-ручки G из неравенства ф{Н)Г\Є ф 0 следует, что т к. Определение 1.4.2. Фиксируем г\, ...,гп Є (0,1);оі, ...,ап Є J. Подмножество V ручки Н — i{Dm х Dn m) вида V=i(D}1(a1) х ... х Dln(an))=i(D _rJau...,an)) будем называть кубом в Н. Ниже будем отождествлять множество D? і(аі,-.-,ап) с его об-разом при отображении г. Пусть V = DV v(oi,...,on) - куб, лежащий в т-ручке Н и пусть Ф{У) С G; где G - к-ручка с к т. Обозначим diV = d[D _rJau ..., )] х D l_rJam+1, ...,an); d2V = d[Dk{ri_rk){au ...,)] x 7 ... ,( +1, ..., o„). Определение 1.4.3. Пусть H и G - соответственно т-ручка и к— ручка с т к. Фиксируем г (0,1) и ф Є 2(М). Будем говорить, что куб (г, ф)-регулярен для (Я, G), если ф{У) С G и существует такое г Є (г, 1), что для кубов V и выполняются следующие условия: (R1) Vі С lnt{D х Dn m]; (R2) существуют такие р Є Dn k,pf 0? что ф(У) П [Di х Dn k) с [Dk х Dnprk{p)} с С Ыф(У) П [ ? х "" ] С (V) С Int[ х ?- ]; ҐВД 0( ) П [I rfc х Dn-fc] = 0; ( существует такое q Є Z? J r \{a), что ф{{ц} x D?, m) С Int[Drfc x "- ]. Определение 1.4.4. Фиксируем є 0. Определим множество At С Z{M) следующим образом. Гомеоморфизм ф Є А) если существуют такие разбиение на ручки М. с \Л4\ є и число г (0,1), что (At) ф сохраняет Л4; (A2) для любых ручек H,G из М. либо ф{Н) Г) G = 0, либо существует кубУ С Н, который (г, ф) -регулярен для (Я, G). Утверждение 1.4.1. Для любого є 0 множество Af открыто и плотно в Z(M). Утверждение 1.4.2. Пусть т к. Рассмотрим т-ручку Н, куб V С Н и множества дхУ дъУ из определения 4-2. Тогда если для множества К С V множество д является ретрактом V\K, то множество d\V является ретрактом множества [V\K] U dxV. Утверждение 1.4.3. Пусть ф сохраняет разбиение на ручки АІ и пусть HQ} ...J HI+I - такие ручки в ]\А, что существуют кубы V{ С Щ, г = 1,..., /, (г, ф)-регулярные для {Н{, ff +i). Тогда выполняются следующие три утверждения: (г) ф(Уі) П dVM = ф{Уі) П diVi+1; (гіг) множество d Vi является ретрактом, множества -1№ +i)u[vrA0-1(intv +1)]. Докажем следующее вспомогательное утверждение. Лемма 1.4.1. Пусть ф, H{,Vi - из условия утверждения 1.4-3. Тогда существует такая окрестность U гомеоморфизма фг что для любых фі U1 і = 1, ,.,1, существуют ретракции п:№г = ц\ П Фг1-.ф-}і(іпЩ) д2ц, = o,...,f-i. Замечание. Из леммы 1.4.1 сразу следует, что множество V0n(f] ф К. ЪЩ)) Q j l непусто, так как не существует ретракции из VQ В (VQ. Доказательство леммы 1.4-1. Возьмем такую окрестность U, что любой гомеоморфизм ф Є U сохраняет М. и кубы Vi, (г,ф )-регулярные для (НіуНі+i). Фиксируем фі Є U. Будем проводить индукцию по убывающему і. Из свойств (іі) и (ііі) для фі следует существование ретракции r;_j. Предположим, что уже построены ретракции r;„i, ...,Гі+і. По утверждению 1.4.2 существует ретракция Так как фгіУ і) П V +i С Wj+ъ то корректно определено отображение в(х) = Ф ЯІ+ІФІІХ), xWiC\ Фі1(Ц+1), 0(х) = х,хе W \Vi ). Это отображение непрерывно, так как &(Wi П фТ\дЪ+х)) = k(Wi) П aVi+i С фі(Щ Л W+1 С diVM по свойству (і) и Ri+\\diVi+! — Id\ поэтому Ri+i{y) = У при Ясно, что Лі+1 отображает Wj на [V№ l(Vi+i] U іК+і- По свойству (ііі) существует ретракция г этого множества на ( . Так как в(х) — х при х Є &2Уі, то отображение П = г в : Wi - d2Vi является искомой ретракцией. Доказательство теоремы 1.4-1. Возьмем гомеоморфизм ф Є Ае и соответствующее разбиение М. на ручки. Найдем такое d О, что для любых ручек Я, G из Лч, обладающих свойством ф{Н) Л G = 0, выполнено неравенство рМ#), 7) 2« , где расстояние понимается как расстояние между двумя непересекающимися замкнутыми множествами. Из определения множества At следует, что если для ручек Я, G выполнено соотношение Ф{Н) Л G ф 0, то существует куб V С Я, (г, )-регулярный для (H,G). Так как ручек конечное число, то мы можем найти такую окрестность U гомеоморфизма ф, что для любого ф Є U выбранные кубы V С. Н также (г, ф )-регулярны для соответствующих ручек. В случае необходимости уменьшим окрестность U так, чтобы для любого гомеоморфизма ф Є U и для ручек (Я, G) соотношение Ф(Н) Л С? = 0 выполнялось тогда и только тогда, когда ф (Н) Г) G = 0, и если последнее равенство верно, то р(0 (Я),С) . Возьмем теперь такие Х{ Є М, фі Є U, что р(фі(хі),фі+і) d. Пусть Я (г) - ручка, содержащая х». По выбору d, (Я(г))ПЯ(г-Ы) 0. Сначала докажем лемму. Лемма 2.2.1. Фиксируем гомеоморфизм ір Є Z(M) и точку х Є М. Тогда для любого є 0 найдется гомеоморфизм f Є N(E, P) СО следующими свойствами: х Per{f)\ существует такая точка z Є w(/, ж), что z ф х. Доказательство. Рассмотрим множества Ак = {/ є Z(M) : / (а;) # х] С Z(M). Ясно, что А открыты; если /?А(х) = ж, то сколь угодно малым шевелением / можно добиться, чтобы новый гомеоморфизм / принадлежал множеству А . Это значит, что множества А открыты и всюду плотны, поэтому множество A = f]k 0Ak - второй категории. Так как пространство Ъ[Ы) - полное, то, по теореме Бэра, множество А всюду плотно, что и доказывает первое утверждение леммы. Пусть х . Per(f). Вследствие компактности М существует точка z Є w(f,x). Если z = х, то вместо z можно взять точку f(z) Є w(/, х); тогда f(z) — f(x) ф х, иначе бы выполнялось включение х є Per(f), это доказывает второе утверждение леммы. Фиксируем плотное множество {zk}kez С М. Для целого к и положительного п введем множества Anjk С Z(M) следующим образом. Гомеоморфизм р Anrk, если существуют числа q l,m 1 и замкнутые шары W С М, V С М со следующими свойствами: (а) Zk ІггіУ; (б) (V) С IntW; (с) pm(W) С IntW; (d) множества 4 l(y))4?{W) дизъюнктны при 0 i q j q + m; (є) &їахтрг(У), diam J (W) 1/тг при 0 i q j q + m. Ясно, что Ап открыты при всех пик. Утверждение 2.2.1. При любых п,к множество ЛП]й всюду плотно. Доказательство. Фиксируем числа п, к, гомеоморфизм (р Є Z(M) и число є 0. Надо найти / Є N(s, p), q 1, m 1, V С M, W С М, удовлетворяющие условиям (а) - (е). В силу леммы 2.2.1 можно считать, что zk $. Рег{ф) и существует такая точка х 2 , что х Є w(y , -). Фиксируем 0 єі ішп(є,р(гк1х ),А((р 1)є)). Обозначим WQ — CI N{e\,x ). Так как траектория 0[zk, p) состоит из счетного числа точек, можно выбрать е\ так, чтобы o+(zk, p)ndW0 = J). Так как траектория 0{zk1 p) пересекает WQ бесконечное число раз, то существуют такие числа q 1 и т 1, что выполняются следующие условия: (1) р (zh) И о при 0 г q; (2) () IntWb; (3) pj(zk) W0 при q j q + m, если m 1; (4) p +m(z ) Є IntWb Обозначим = if4(zk). Так как m() Є IntH o, то существует такое є 2 і, что для W — СІ N( 2,0 верно включение "(Ж) С IntWb. Кроме того, так как точка z непериодическая, можно выбрать є 2 таким, чтобы 4Z ) (W) ПРИ 0 г д, 0 j ттг, множества if {W) были дизъюнктны при 0 j т. Кроме того, при необходимости уменьшим Є2, так чтобы выполнялись неравенства diam (iy) 1/п при 0 j т. Возьмем 7 О с0 следующими свойствами: Єї + 7 min(f, /э(гь ж ), Д(р \ є)); для И7! = СІ N(si +7) ) условия (1) — (4) остаются верными при замене Wo на W\. Рассмотрим гомеоморфизм h Z(M) со следующими свойствами: h\M\Wi — Id; h(W0) С IntW. Рассмотрим гомеоморфизм / = hip. По выбору Е\ имеем оценку Проверим, что для (/, W) выполняется условие (с). Действительно, так как при 0 j т множества ір?(Х) не пересекаются с W\, то f3{W) = {W). Верны соотношения fm(W) = h( p{fm \W))) = h( pm(W)) С h(W0) С ЫЖ Аналогично, Р(%к) VV при 0 г q, и ГЫ - % ( )) = А() Є IntW. Заметим, что Zk Per(f), так как при г q верно включение ГЫе U fj(w). 0 j m Далее, выберем г$ t i и определим множество V = 017 ( 3,) так, чтобы выполнялись следующие условия: diam/ (V) 1/п при 0 і q\ f{V) П fj{W) = 0 при 0 і q\ 0 j m; fq(V) С ІпіЖ Ясно, что для выбранных таким образом /, W, V (и для чисел д, т) выполняются все условия из определения множества Лп . В силу произвольности выбора є мы получаем требуемое утверждение. Замечание. Множества W, V из определения АПгк будем также обозначать Wnjki Vntk, когда будет важно указать, к какому Лп эти множества относятся. Так как они зависят также от гомеоморфизма у?, то будем их также обозначать W fc( ),14 ( ). Следствие. Для типичного ip Z(M) существует множество второй категории D((p) С NS((p). Доказательство. Возьмем pef]AnJt n,k И D&) = П U ыу n OkeZ Возьмем точку а Є D( p) и фиксируем є 0. Надо найти такое 6 0; что выполняется свойство из определения 2.1.1. По свойству множества D[ p), мы можем найти такие n, fc, что є - и а Є V . По непрерывности гомеоморфизма tp и по свойству множества Лп 37 существуют число S 0 и такие множества V \W \ определенные при 0 g 0 j m, что выполняются следующие включения: JV( 5, Ущк) С ЫУ; p{N(S, Kw)) С IntV(m) при 0 г q; N($:V )clntWnX, N{6,WnJt)CbAWW; p{N(8,W(j})) С IntW"+1) при 0 j m; Возьмем теперь последовательность { }А О, удовлетворяющую свойствам из определения 2.1.1. Из свойств этой последовательности и из свойств множеств V и W следует, что выполняются включения: хк Є V{k) при 0 к q\ хк Є W{ik-q)mod{m)) при q к. Так как те же самые включения выполняются для точек / (а) (напомним, что а Є Ущк С V ) и 1/п є, мы получаем требуемое условие из определения 2.1.1. Замечание. Эта конструкция приведена и последнее следствие доказано в статье [8], за единственным исключением: в определении множеств Ап требовалось, чтобы число q было неотрицательным. У нас наложено более сильное условие положительности числа q (на самом деле, лемма 2.2.1 и дает нам возможность взять q 1); это условие нам понадобится в дальнейшем. Определим теперь множества Вп$ С Ап следующим образом. Гомеоморфизм if є An,k лежит в ВПгк, если существуют замкнутые шары V\V2,W\W2CM со свойствами: (a) Vі С IntV , W С IntWn)Jfc, і = 1, 2; (b) zfcelntV1; (c) У1 П У2 = 0, Ж1 П W2 = 0; (/) (pf (Vі) Clntr, i = 1,2; (e) ipm(Wi) clnW, i = 1,2, где числа q и m те же, что и в определении множества Ai,fc- Ясно, что множество Вщк открыто. Утверждение 2.2.2. Пусть dimM 2. Тогда множество Вп всюду плотно. Доказательство. Фиксируем гомеоморфизм ір Ап є 0. Возьмем 6 тїп{є/2,А{ір-\є/2)}. Из утверждения 2.2.1 следует, что можно взять такой гомеоморфизм р\ Є Ро( лЫ /2 и max(diamVrre,fc( 1))diamtyn;Jt(((oi)) 5 (для этого достаточно взять pi из множества Ап для некоторого п V). Поэтому можно считать, что maxfdiamV diamWn y))) 8. Для краткости обозначим W — Wn,k иУ = Vn,k Фиксируем точку v Є V, v ф z%. Как уже было замечено, точки г о непериодические. Поэтому можно определить следующие четыре различные точки pi,2) wi,W2, принадлежащие множеству W: W! = tpg(v), W2 = ipm{w\). Эти точки действительно различны, так как, например, если бы pi = w2, то из этого бы следовало, что , = pm(v), что противоречит условию [d) определения множества Ап . Остальные случаи разбираются аналогично. Поэтому можно выбрать такое d 6, что множества N(d,pi)iN(diWi) при і = 1,2 лежат в IntW и дизъюнктны. Так как dimM 2, то по лемме о С-замыкании [21] существует гомеоморфизм h со следующими свойствами: (1) Po(h,Id) 26; (2) h\M\w = -fd; (3) h(p2) =ръ h(w2) = wi; (4) h{pi) Є IntJV(d,pi), h(wi) Є IntiV(d,tui). Далее, существует гомеоморфизм h2 со следующими свойствами: (5) p0(h2, Id) d 6; (6) h2(h(N(d,Pl))) С Int/V(d,pi), h2(h{N(d,w1))) С Int/V(d,u/i); (7) ft2( (v mWd.Pi))) С IntJV(dlPl), h2(h{ {N{d, «л)))) С ЬйЛГ( ,Ші). Обозначим И 1 = ЛГЦрі), И 2 = N{d,wi). По непрерывности выбранных гомеоморфизмов можно взять такое rfi 0, что множества Pi = N{di,p2) и Р2 = N{d\,w2) обладают следующими свойствами: h2{h{Pi)) С IntW1; (I) h2{h{P2)) С IntW2. Также по свойству (6) гомеоморфизмов h и h2 имеем /i2(/i(W )) С IntW1; (II) /i2(ft( 2)) С InW2. Возьмем теперь гомеоморфизм / = h,2hip. Покажем, что / Є Вп,к- Дей-ствительно, из (I), (II) следует, что fq(zk) = h2(h(Pl)) Є IntW1 /«(„) = hsiKwi)) Є IntW2; riW1) = Ь к{ірт{УГ))) С IntVj. В силу непрерывности / существуют такие замкнутые окрестности Vі, V2 ТОЧеК Zk, и, что fq{Vl) С IntW1; f{V2) С IntW2, что и доказывает утверждение. Следствие. Для типичного р Є Ъ{М) существует такое множество второй категории D(tp), что D( p) Л LNS{ p) = 0. Доказательство. Возьмем n,fe И ад = П U Возьмем а Є D((f). Тогда для любого п 0 существует такое А; = А;(л), что а Є V fe. Возьмем точку Ь = Ь{п) Є Vk Из нашего построения следует, что траектории точки Ь(п) (рассматриваемые как псевдотраектории) удовлетворяют свойству LNS((p) с 6 = р(а,Ь(п)) 1/п, но не стремятся к траектории точки а, что и доказывает следствие. Теорема 2.1.1 является прямым следствием утверждений 2.2,1 и 2.2.2. Фиксируем диффеоморфизм / Є DifF1(Af). Множество Q(/) будем обозначать просто через Q. Следующие три леммы являются известными (см., напр., [9], [1], [17]). Лемма 3.2.1 . ДЛЯ любой окрестности U множества Q, существует такое целое N 0, что для любой точки х є М card{k : fk{x) U} N, где cardA- мощность множества А. Лемма 3.2.2 . Пусть f удовлетворяет Аксиоме А и условию отсутствия циклов. Пусть Qi - базисное множество. Для любой его окрестности U существует такая его окрестность V, что если х Є V и fm(x) XI для некоторого т 0; то fm+k{x) U при к 0. Лемма 3.2.3 . Пусть f удовлетворяет Аксиоме А и условию отсутствия циклов. Существуют такие окрестности Ui всех базисных мно-ofcecme П;, что если fm(Ui) ( \Uj ф 0 для некоторого т 0, то существуют такие базисные множества as ,..., нп что Нам понадобятся аналоги этих лемм для псевдотраекторий. Пусть диффеоморфизм / Є Diff M). Лемма 3.2.1. Для любой окрестности U множества Q существуют такие d 0 и целое N 0, что для любой d-псевдотраектории = {х }, такой, что m,n Г) U = 0 для некоторых целых т п, выполнено неравенство п — т N. Лемма 3.2.2. Пусть f удовлетворяет Аксиоме А и условию отсутствия циклов. Пусть НІ - базисное множество. Для любой его окрестности U существуют такие его окрестность V и число d 0; что для любой d-псевдотраектории = {xk}, такой, что XQ Є V и хт $ U для некоторого т 0, выполнено соотношение П / = 0. Лемма 3.2.3. Пусть f удовлетворяет Аксиоме А и условию отсутствия циклов. Существуют такие окрестности Ui всех базисных множеств Qj и число d 0, что если для некоторой d-псевдотраектории = {xj-} выполнены включения XQ Є Ui и хт Є Uj для некоторого числа т 0 и индексов i,j, то существуют такие базисные множества Qh,...,Qin, что ПІ -+fiix - Qin - Qj. Доказательство леммы 3.2.1. Возьмем число N из леммы 3.2.1 . Допустим, что не существует требуемого d. Тогда существуют последовательности чисел dj —У 0 и dj-псевдотраекторий j = {x3k}, такие, что - + C\U 0. Так как множество M\U компактно, то, переходя к подпоследовательности, можно считать, что точки х сходятся к точке XQ, И, следовательно, рассматривая пределы точек xJk, 0 к N -\-1, при j —) со, получим, что последовательность XQ, /(#О) fN+l(xo) не пересекается с окрестностью U, что противоречит лемме 3.2.1 . Заметим, что так как в каждом базисном множестве Q{ есть плотная траектория, a F непрерывна, то Fn. - константа, которую будем просто обозначать F(fij). Известно также [23], что функцию F можно "подправить" таким образом, чтобы все значения F(Qi) были различными. Будем считать, что F уже удовлетворяет этому условию. Фиксируем базисное множество Qi и его окрестность U. В силу непрерывности F и / можно выбрать такие d 0, а О, что если хт Є U, хт+і U для некоторых хт,хт+\ М и р(/(ягт),жт+і) d, то ( m) - F(xm+1) а. Для каждого базисного множества Qj выберем такие окрестности Wj, что если F(Qj) F(QI),TO max F min F. Qj a, Кроме того, окрестность Wi фиксированного базисного множества 1 будем считать настолько маленькой, что maxF — minF а. ПІ ПІ Обозначим V = Wi. Выберем такое d\ d, что если хт $ Wj или хт+\ 0 Wj, для некоторых точек хт,хт+і є М, таких, что p(f{xm), хт+±) d\t то F(xm+\) F(xm). Докажем, что окрестность V и число d\ - искомые. Пусть 4 = {хк} - такая d -псевдотраектория, что XQ Є V; xi,..., хт \ Є U\V; xm . U. Тогда верна цепочка неравенств F(xm) F(xm-i) - а F(ocm_2) - а F(x0) - а minF. Значение F на точках псевдотраектории, находящихся вне объединения множеств Wj, уменьшается, следовательно, если для некоторого к\ 0 выполняется ВКЛЮЧеНИе Xm+ki Є Wj, TO F{xm+kl) F(xm) mini 1; следовательно, j ф і. Поэтому, пока псевдотраектория + - + остается в Wj, мы имеем неравенства F(xm+k) max F min F при к\ к Ь Wj V Если затем псевдотраектория снова выйдет из Wj, то значение функции F на ней будет опять уменьшаться, пока она снова не войдет в какое-либо из множеств Wj, значение функции Ляпунова на котором всегда меньше, чем минимум функции F на множестве V. Это значит, что псевдотраектория никогда снова не попадет в окрестность V. Доказательство леммы 3.2.3 аналогично доказательству леммы 3.2.1. Для дальнейшего нам понадобится еще одно определение. Определение 3.2.1. Пусть А С М. Будем говорить, что f Є Diff Af) обладает свойством отслеживания на множестве А С М, если для любого е 0 существует такое d 0, что для любой d-псевдотраектории С {хк} выполняются следующие утверждения: (1) если для некоторых I т выполнено включение 1,тп С А, то существует такая точка х М, что P($fa fk(x)) е пРи I к т; (2.1) если для некоторого І Є Z выполнено включение 1+ С А, то суще ствует такая точка х М, что p(xk, fk(x)) е при І k; (2.2) если для некоторого т Z выполнено включение С А, то суще ствует такая точка х Є М, что p{xk, fk(oo)) є при k m; (В) если выполнено включение С А, то существует такая точка х Є М} что p(xk, fk{x)) е при к є Z. Множество всех диффеоморфизмов f , обладающих свойством отслеживания на множестве А, будем обозначать через SP(A). Следующее утверждение является одним из важнейших в теории отслеживания [7]. Лемма 3.2.4. Пусть Л - гиперболическое множество диффеоморфизма f. Тогда существует такая его окрестность U, что для любой окрестности V С U выполнено включение f Є SP(V). Наконец, нам понадобятся еще две технические леммы. Лемма 3.2.5. Пусть диффеоморфизм f удовлетворяет Аксиоме А и условию отсутствия циклов. Фиксируем его базисное множество fij. Тогда существует такое 6Q 0, что для любого положительного є ео? любой окрестности Ui С U(e/2,Qi) и любого а 0 существует такое d 0, что если = {xt} - d-псевдотраектория и + С Ui, то существует такое открытое множество D С U(ct, XQ), что для любой точки z Є D выполнено включение t+CU(e,0+(z,f)). Лемма 3.2.6. Пусть диффеоморфизм f удовлетворяет Аксиоме А и условию отсутствия циклов. Пусть Qi - аттрактор. Тогда существует такое єо 0, что для любого положительного є єо и такой окрестности аттрактора Ui, что Ui С U(e/2, П ) и f{Cl[Ui)) С U\, существуют такие числа d 0, а 0, что если = {xk} - d-псевдотраектория с XQ Є Щ, то верны следующие утверждения: (І) .Постановка задачи
Случай Н{М) = Z(M
Доказательство теоремы 2.1.1
Вспомогательные результаты
Похожие диссертации на Свойства отслеживания для семейств динамических систем
