Содержание к диссертации
Введение
1. Временные средние: пример Боуэна 9
1.1. Введение. Пример Боуэна и SRB-меры 9
1.1.1. Описание примера Боуэна 9
1.1.2. Постановка задачи 10
1.1.3. Связь с SRB-мерами 11
1.2. Формулировка теоремы об отсутствии предела 11
1.3. Обозначения, определения и вспомогательные утверждения 12
1.4. Формулировки основных результатов 15
1.5. Доказательства основных утверждений 16
1.6. Доказательства вспомогательных утверждений 18
2. Пример отсутствия временных средних коразмерности 2 — 0 23
2.1. Коразмерность динамической системы 23
2.2. Описание потока Черри 24
2.2.1. Поток Черри - пример нетривиального квазиминимального множества 24
2.2.2. Двойной поток Черри: различные фазовые портреты 26
2.3. Формулировка результатов 32
2.4. Доказательство основных утверждений 33
2.4.1. Параметризация 33
2.4.2. Основная идея 40
2.4.3. Доказательство отсутствия временных средних точек 42
2.4.4. Доказательство отсутствия временных средних меры 44
3. Аналитические слоения 50
3.1. Резюме 50
3.2. Введение 50
3.3. Бесконечность числа цилиндрических слоев для типичного аналитического слоения в С2
3.3.1. Формулировка результата 52
3.3.2. Построение плотного множества с сепаратрисной связкой и вспомогательные леммы 53
3.3.3. Существование счетного числа гомологически независимых предельных циклов 54
3.3.4. Группа монодромии седловой связки слоения TQ 54
3.4. Минимальность и эргодичность типичного аналитического слоения С2 . 57
3.4.1. Формулировка результата 57
3.4.2. План доказательства: идея конструкции 57
3.4.3. Обозначения и определения 58
3.4.4. Вспомогательная конструкция ("черный ящик") 60
3.4.5. Устойчивая минимальность в компактной области при наличии "черного ящика" 61
3.4.6. Открытое и плотное множество слоений с "черным ящиком" . 62
3.4.7. Построение искомого остаточного множества 65
3.4.8. Доказательства технических лемм 66
Заключение
- Описание примера Боуэна
- Обозначения, определения и вспомогательные утверждения
- Поток Черри - пример нетривиального квазиминимального множества
- Построение плотного множества с сепаратрисной связкой и вспомогательные леммы
Введение к работе
Настоящая диссертация посвящена исследованию предельного поведения динамических систем с вещественным и комплексным временем.
Главы 1 и 2 посвящены изучению предельного поведения динамических систем с вещественным непрерывным временем, а именно, вопросу существования временных средних для типичной точки и для тшшчной меры.
Описание примера Боуэна
Рассмотрим на плоскости векторное поле с двумя седлами 0\ и 02? такими, что одна исходящая сепаратриса каждого из них совпадает с входящей сепаратрисой другого. Обозначим собственные значения сёдел через — fi± 0 и Лі 0 для первого седла и —Д2 О и Лг 0 для второго. Предположим, что Л = 1. Это условие означает, что все траектории, достаточно близкие к "сепаратрисному двуугольнику" (объединению сепаратрис и сёдел), будут к нему приближаться. Такая динамическая система (изображенная на рис. 1, см. с. 13) называется примером Боуэна или гетероклиническим аттрактором. Этот пример, придуманный Боуэном на рубеже 70-ых годов, впервые описан в литературе в статье [10]. В этой работе было доказано, что для почти всех в смысле лебеговой меры точек, лежащих внутри сепаратрисного двуугольника, не существует временных средних.
Рассмотрим меры, абсолютно непрерывные относительно лебеговой, с носителем внутри "сепаратрисного двуугольника". Будем выбирать начальную меру т из этого класса. Мы рассматриваем следующую задачу: выяснить, как устроено множество частичных пределов мер mt при t — оо. В частности, выяснить, существует ли предел mt при t —» со.
Тодд Янг в статье [49] доказал, что в центрально-симметричном примере Боуэна для всюду плотного множества мер процедура Крылова-Боголюбова не будет иметь предела, а также, что существуют меры, для которых предел есть. Системы, рассмотренные Ян-гом, имеют бесконечную коразмерность. В этой главе рассмотрен общий случай примера Боуэна, имеющий коразмерность 2 в пространстве векторных полей на плоскости.
В этой главе доказано необходимое и достаточное условие на меру, для которой в процедуре Крылова-Боголюбова имеет место предел, а в случае, когда предела нет, будет описано множество частичных пределов.
Отметим, что носитель любой инвариантной меры в примере Боуэна может состоять только из двух точек — седел 0]_ и Оо. Поэтому единственное, от чего зависит существование предела, это стабилизируется ли доля меры, сосредоточенная около первого (и, соответственно, около второго) седла.
Эта задача может быть сформулирована в терминах SRB-мер. Понятие SRB-меры появилось в работах Синая [35], Рюэлля [34] и Боуэна [52]; грубо говоря, так называются меры, которые естественно наблюдать в реальном эксперименте. Существует несколько различных (и неэквивалентных!) определений SRB-меры, из которых мы упомянем два. Естественной называется мера, к которой сходятся временные средние любой абсолютно непрерывной (относительно лебеговой) меры. Наблюдаемой называется мера, в соответствии с которой распределены траектории почти всех (в смысле меры Лебега) точек. Эти определения могут быть найдены, к примеру, в обзоре [4] (см. также работы [25, 13, 48]). Там же показано, что наблюдаемая мера одновременно оказывается и естественной, однако обратное, вообще говоря, неверно (см. [26], [20]). Пример Боуэна является примером несуществования наблюдаемых мер, однако отсюда не следует, что для него нет естественной меры. Настоящая работа как раз и доказывает это последнее утверждение: в примере Боуэна естественной меры также нет.
Рассмотрим пример Боуэна. Как уже было сказано выше, наложенное на собственные значения сёдел условие означает, что все траектории, достаточно близкие к сепаратрис-ному двуугольнику и лежащие внутри него, к нему стремятся. Это означает, что существует окрестность Q, сепаратрисного двуугольника, лежащая внутри ограниченной им области, такая, что любая траектория, начинающаяся в Г2, не уходит гоПи стремится (при t — +оо) к сепаратрисному двуугольнику. Определение. Назовём меру т в пример Боуэна допустимой, если мера т абсолютно непрерывна относительно лебеговой и её носитель лежит внутри fi. Теорема 1.2.1. В С3 -гладком примере Боуэна для типичной допустимой меры т усреднённые мерыггц не будут иметь предела при t — оо, а множеством частичных пределов будет отрезок в пространстве мер.
Типичность в данном случае означает, что условие выполнено вне подпространства бесконечной коразмерности в пространстве мер.
Эта теорема легко выводится из теоремы 1.4.1 (см. раздел 1.4), описывающей предельные точки семейства гщ при t — со, и ее следствия 1.4.2, устанавливающего явный критерий существования предела. Для того, чтобы сформулировать эти утверждения, нам понадобится несколько обозначений и определений.
Обозначения, определения и вспомогательные утверждения
Исследование потоков на двумерных поверхностях затем было продолжено многими авторами, и к настоящему моменту эта область хорошо исследована. Обзор известных результатов о классификации таких потоков приведен в обзоре С. X. Арансона и В. 3. Гринеса [1]. Напомним конструкцию частного случая потока Черри, а именно, потока с одной ячейкой, следуя работам [6, 29] и [31]. Поток Черри с одной ячейкой (или просто ячейка Черри) это поток на двумерном торе, устроенный следующим образом. Выбран меридиан L, трансверсальный потоку. У потока есть две неподвижные точки, репеллер R и седло S] одна из входящих сепаратрис седла приходит из R, вторая пересекает L слева в точке с, а две исходящие пересекают L справа (см. рис. 2.1) в точках а и Ъ. Отображение Пуанкаре Т с меридиана L в себя определено на \{с}, при этом его образ есть L\[a,b] (под отрезком [а,Ь] имеется в виду та дуга, которую высекает на окружности бассейн отталкивания репеллера R). Рассмотрим отображение f:L L, f(x)={ v " L J [с, хе [a,b]. Тогда / — монотонный эндоморфизм окружности степени 1, поэтому его число вращения a = p(f) корректно определено. В классическом определении требуется, чтобы а было иррациональным, но мы будем использовать термин "поток Черри", даже если это предположение не выполнено. Отметим, что, вообще говоря, сказать "число вращения отображения Пуанкаре Т" нельзя: отображение Т не является эндоморфизмом окружности. Именно поэтому в определении рассматривается отображение /. Но, поскольку циклический порядок точек на отрезке орбиты эндоморфизма / такой же, как у поворота на угол а = р(/), у отображения Т соответственно порядок будет такой же, как у поворота на угол —/)(/). Именно этот угол мы в дальнейшем и будем для краткости называть числом вращения отображения Пуанкаре Т.
Наконец, последним из накладываемых требований будет условие, что Т — сжимающее отображение на Ь\{с}. Отметим, что при этом предположении вышеупомянутое условие иррациональности числа вращения оказывается равносильно тому, что входящая сепаратриса, проходящая через точку с, никогда в обратном времени не пересечёт отрезок [а,Ь]. Рис. 2.1. Будем называть бокалом ячейки Черри бассейн отталкивания репеллера R. Входящую сепаратрису седла 5, проходящую через точку с будем в дальнейшем называть внешней. Условие, что отображение Т — сжимающее, позволяет также показать, что бокал имеет полную меру Лебега. В работе [21] было показано, что для ячейки Черри с иррациональным числом вращения есть несовпадение минимального и Милноровского аттракторов. На настоящий момент это наиболее типичный пример несовпадения этих аттракторов (ячейка Черри с иррациональным числом вращения имеет коразмерность 1 — 0 в пространстве векторных полей на торе).
Для построения примера отсутствия временных средних коразмерности 2 — 0 нам понадобится поток Черри с двумя ячейками. Для краткости, будем называть поток с двумя ячейками Черри, для которого (как и для одной ячейки Черри) обратное отображение Пуанкаре растягивающее, двойной ячейкой Черри. Определение 2.2.1. Будем говорить, что ячейка А открыто поглотила ячейку В, если внепшяя сепаратриса ячейки В принадлежит бокалу ячейки А. Будем также говорить, что ячейка А гранично поглотила ячейку В, если внешняя сепаратриса ячейки В совпадает с одной из исходящих сепаратрис ячейки А. Будем назвать двойную ячейку Черри правильной, если ни одна из ячеек не поглощает себя или другую ячейку, т.е. ни один из бокалов не поглощает ни одну из внешних входящих сепаратрис седел. Отметим, что это условие влечет иррациональность числа вращения отображения Пуанкаре. Чтобы понять, как может быть устроена двойная ячейка Черри, опишем различные типы возможных фазовых портретов. 1) Ячейка А открыто поглотила ячейку Б.Тогда возможны следующие случаи: а) Число вращения иррационально, в этом случае других поглощений нет и "две ячейки ведут себя как одна" (см. рис. 2.2). б) Число вращения рационально, и ячейка В открыто поглотила ячейку А (см. рис. 2.3). в) Число вращения рационально, и ячейка В гранично поглотила ячейку А (см. рис. 2.4). г) Число вращения рационально, и ячейка А открыто поглотила себя (см. рис. 2.5). д) Число вращения рационально, и ячейка А гранично поглотила себя (см. рис. 2.6). 2) Ячейка А открыто поглотила себя, но не поглощает открыто вторую ячейку (этот случай уже рассмотрен выше). В этом случае число вращения рационально и воз можны следующие случаи: а) Ячейка А гранично поглотила ячейку В (см. рис. 2.7). б) Ячейка В также открыто поглотила себя, тогда есть две замкнутые траекто рии "разделающие ячейки" (см. рис. 2.8). в) Ячейка .
Поток Черри - пример нетривиального квазиминимального множества
Теперь можно строго сформулировать основные результаты данной главы: Теорема 2.3.1. Для типичного двупараметрического семейства множество JC содержит канторово множество. Типичность здесь трактуется в локально-топологическом смысле: как существование открытого множества в пространстве всех С -семейств, для точек которого выполнено заключение теоремы. Теорема 2.3.2. Множество 1С содержит остаточное множество параметров, для которых для почти всех точек (по Лебеговой мере) отсутствуют временные средние. Из этих двух утверждений мгновенно получается Следствие 2.3.3. Существует пример динамической системы коразмерности 2 — 0, для которых нет сходимости временных средних типичной точки. Более того, как и для примера Боуэна, отсутствуют не только временные средние отдельных точек, но и временные средние типичной меры, а именно, верна следующая теорема: Теорема 2.3.4. В мноокестве К, мнооюество параметров, отвечающих отсутствию сходимости временных средних типичной меры, содержит остаточное под мнооюество. Под типичной мерой мы понимаем следующее. Каждому параметру из упомянутого остаточного множества мы сопоставим (способом, который описан ниже) некоторое число 0 х 1. В результате заключение теоремы будет вьшолнено для всех абсолютно непрерывных мер, таких, что мера первого бокала отлична от с. Иными словами, на абсолютно непрерывную меру накладывается одно условие типа неравенства.
Настоящий раздел посвящен доказательству теоремы 2.3.1. Нам будет полезно следующее предложение, получающееся непосредственно из определения множества /С как замыкания множества параметров с двойным критическим поглощением: Предложение 2.4.1. Для типичного двупараметрического семейства любое открытое мнооюество, содержащее все двойные критические поглощения, плотно в /С. Опишем условия типичности двупараматрического семейства, при которых будет вьшолнено заключение теоремы 2.3.1. А именно, мы рассмотрим семейство vu,h с параметрами ИІЇ/І, удовлетворяющее следующим (открытым) условиям типичности: 1) По параметру h отображение Пуанкаре монотонно возрастает при любом значении параметра и и для любой точки х окружности L. 2) По параметру и одна ячейка делает оборот, начиная и заканчивая его внутри другой (см. рис. 2.16). 3) В области параметров седла не пересекают выделенный трансверсалъный меридиан.
Введем еще одно обозначение. Обозначим интервалы, высекаемые сепаратрисами первого бокала на трансверсальной окружности L через Д, Д,..., Д,... (при этом для отображения Пуанкаре выполнено Т(Ік) = Д+і). Аналогичные интервалы для второго бокала обозначим через J\, J2,..., Д,... (см. рис. ?).
Для дальнейшего рассмотрения нам потребуются численные характеристики потока из нашего семейства. А именно, с одной стороны, мы рассмотрим функцию а = а(и, h), задающую число вращения отображения Пуанкаре для двойной ячейки Черри, отвечающей параметрам (и, h). С другой стороны, для тех точек (и, h), для которых а(и, h) . Q, определим функцию d = d(u, v) следующим образом. Поскольку эндоморфизм окружности, обратный к отображению Пуанкаре, имеет иррациональное число вращения, он полусопряжен повороту единичной окружности на угол —а. Это полусопряжение склеивает точки любого из интервалов IkTuJi- Рассмотрим рассмотрим образы интервалов /і и Ji при полусопряжении. Ориентированное расстояние между этими образами и обозначим через d(u, h).
Тогда имеет место следующее предложение: Предложение 2.4.2. Пусть а иррационально. Тогда: 1) Одна из ячеек поглощает другую тогда и только тогда, когда d принадлежит группе (а) С R/Z; при этом при d = ka mod 1, где А; Є N первая ячейка поглощает вторую, а при d = —ka mod 1 вторая ячейка поглощает первую. В случае же d = 0 поглощение происходит без пересечения трансверсали L. Рис. 2.17. 2) На множестве параметров, отвечающих иррациональным числам вращения, "расстояние" d непрерывно. Доказательство. Рассмотрим эндоморфизм окружности, обратный отображению Пуанкаре. Как уже отмечалось выше, поскольку его число вращения —а иррационально, он полусопряжён соответствующему повороту. При этом полусопряжении любой из интервалов Ik или Ji, высекаемых сепаратрисами бокалов на трансверсали L, становится точкой — поскольку переводится в точку конечным числом итераций эндоморфизма. С другой стороны, после проведения таких отождествлений объединение орбит-бокалов становится плотным множеством (иначе к нему имелся бы интервал дополнения, а, как мы видели раньше, дополнение до объединения бокалов имеет меру ноль). Поэтому никакие больше точки отождествляться не будут. Теперь допустим, что первая ячейка поглощает вторую, сделав перед этим А; оборотов. Тогда Л С h+i (см. рис. 2.18 для к = 1). Поэтому интервалы h и Л проецируются при полусопряжении в точки одной и той же орбиты поворота на угол — а, а именно, этот поворот должен за к итераций перевести точку, в которую спроецировался Д, в точку, в которую спроецировался J%.
Выкинем из двупараметрического семейства параметры, которые отвечают устойчиво-рациональным а (это открытое множество) (см. рис. А). На границе этого множества лежат параметры, которые отвечают рациональным числам вращения, разрушаемым малым шевелением. Это возможно только для граничных поглощений одной ячейкой другой или граничного поглощения ячейкой себя. Открытое поглощение ячейкой себя обеспечивает устойчиво рациональное число вращение (так как такое поглощение нельзя разрушить малым шевелением).
Рассмотрим теперь любую кривую а(и, h) = const Є б \ Q, обозначим ее Г0. На ней канторово множество образуют те точки, в которых функция d(u, h) непостоянна. Для доказательства теоремы 2.3.1 достаточно показать, что в окрестности любой такой точки найдется двойное критическое поглощение. Рис. 2.19.
Действительно, пусть на нашей кривой Го дана точка (ио? о) в которой функция d непостоянна. Возьмем любое є 0 и докажем, что в е-окрестности точки (UQ, ho) найдется двойное критическое поглощение. В —окрестности точки (щ, ho) на кривой Г0 найдем две точки (щ,кі) и (1 , 2) такие, что i(ui,/ii) d(u2,h,2). Посмотрим на очень маленькие окрестности этих двух точек (такие что функция d в первой окрестности везде, где определена, меньше функции d во второй окрестности). Найдем, проходящую через эти окрестности и не выходящую между ними за пределы в є—окрестности точки (г о, ho) кривую Г і отвечающую правому граничному рациональному значению числа вращения с достаточно большим знаменателем. На этой кривой Гх посмотрим на две точки (гГі, hi) и (u2, /іг) из соответствующих окрестностей (см. рис. 2.19).
Рассмотрим, как при движении вдоль Гі будет меняться фазовый портрет. Для начала отметим, что фазовый портрет с двумя сепаратрисными связками седел, но не являющийся двойным критическим поглощением (см. рис. ?), не может иметь места при гранично-рациональном числе вращения. Действительно, единственный способ возмутить эту картинку, чтобы избавится от рациональности числа вращения - это "развести" два бокала, и провести обе входящие сепаратрисы в образовавшийся зазор.
Построение плотного множества с сепаратрисной связкой и вспомогательные леммы
Для полиномиальных слоений плоскости С2 бесконесно удаленная прямая "почти всегда" является решением с богатой группы монодромии. Изучение этой группы монодромии позволяет доказывать типичные свойства полиномиальных слоений С2. Для типичного аналитического слоения С2 бесконечно удаленная прямая не является решением. Другим источником богатой группы монодромии может быть сепаратрисная связка. Д.Волком в [9] доказана плотность слоений с сепаратрисной связкой в пространстве полиномиальных, а следовательно, и аналитических слоений плоскости С2.
Нам понадобится уточнение теоремы Д.В.Волка, которое следует из ее доказательства (см. .[9]). Теорема. Для любого полиномиального слоения степени п 2, для любых двух его особых точек и любого є 0 существует г—близкое к нему полиномиальное слоение с тем же отношением собственных значений этих особых точек и с их сепаратрисной связкой. Пусть у особой точки о слоения J7 есть две сепаратрисы L\ и L отвечающие соответственно собственным значениям а± и а . Тогда характеристическим числом особой точки а, отвечающим сепаратрисе Ь±, будем называть число А = р-. Определение. Два характеристических числа Ai и \% называются резонансными, если существуют такие целые числа т, п, к, не равные одновременно нулю, что тАї+пАг = к. Будем называть такой резонанс резонансом порядка (т, п). Следствие 3.3.4. Существует плотное множество S в пространстве аналитических слоений плоскости С2, такое что для любого слоения Т Є S найдутся две особые точки оі и а?, такие, что есть сепаратрисная связка этих особых точек, а характеристические числа этих точек, отвечающие сепаратрисной связке, невещественны и нерезонансны. Нам понадобится несложная техническая лемма, доказательство которой очевидно. Лемма 3.3.5. Пусть M,N Є Z не равны нулю одновременно, a p,q (р q) — простые числа. Тогда числа Мр — Nq и М2Р — N2q не равны одновременно нулю. Доказательство. Предположим обратное: рассмотрим наименьшие такие М и N (М N), что оба числа равны нулю: Мр - Nq = О М2р - N2" = О, Тогда М и N взаимно просты. Из первого равенства следует, что М делится на q, следовательно, из второго равенства (так как q р 2), N делится на д, что противоречит взаимной простоте М и N.
По Следствию 2 существует плотное множество S в пространстве аналитических слоений плоскости С2, такое что для любого слоения Т Є S найдутся две особые точки ах и 02 такие, что есть сепаратрисная связка этих особых точек, а характеристические числа, отвечающие сепаратрисной связке невещественны и нерезонансны. Без ограничения общности это плотное множество можно считать счетным.
Зафиксируем любое слоение Т Є S. Построим в некоторой окрестности TQ остаточное множество, все слоения из которого удовлетворяют утверждению теоремы 3.3.1. Пусть преобразования монодромии Ayj циклов 7/, 3 = 1)2 определены в диске D с центром О Є 71 72- Поскольку \UJ\ 1, диск D можно выбрать так, что преобразования A7i будут сжимающими. Эти преобразования зависят от слоения как от параметра. Окрестность U = и?0 слоения о можно выбрать так, что для каждого Т Є U преобразование A7j (-}Т) определено в диске D и является в нем сжимающим. Рассмотрим преобразование монодромии Др, соответствующее циклу Гр = Tilf где р 2—произвольное простое число. Преобразование Ар для любого р и Т Є U определено и является сжимающим в диске D. Следовательно, у него есть неподвижная точка tp(JF) Є D. Эта неподвижная точка соответствует близкому к Тр циклу на слое слоения Т. При F — FQ все неподвижные точки Ьр(То) совпадают с 0. Докажем, что для типичного слоения Т EU точки ір{Т) попарно различны и соответствуют комплексным предельным циклам, лежащим на разных слоях.
Отметим, что для любых фиксированных к,т,п Є Z3 \ {(0,0,0)}, равенство (3.3.1) выделяет аналитическое подмножество в окрестности U. Как доказано выше, это подмножество не содержит Последовательно, второе условие типичности выполняется в дополнении V окрестности U до счетного объединения аналитических подмножеств.
Рассмотрим теперь произвольное слоение Т Є FflW, обладающее свойствами типичности 1 и 2. Докажем, что неподвижные точки tp{F) для этих слоений попарно различны и, более того, циклы Гр( ) лежат на разных слоях для разных р.
Предположим противное. Пусть циклы Гр и Гд лежат на одном слое слоения Т. Мулитипликаторы циклов Гр и Г9 по модулю меньше 1; следовательно, эти циклы— комплексные предельные. Поскольку Т Є W, слой, на котором лежат циклы Гр и Tq— топологический цилиндр. Следовательно, его фундаментальная группа—циклическая. Поэтому некоторые целые степени циклов Гр и Tq совпадают. Следовательно, совпадают некоторые целые степени их мультипликаторов. Другими словами, мультипликаторы fpi F) и vq{T) находятся в мультипликативном резонансе, что противоречит принадлежности Т Є V.
Отсюда следует, что циклы TP{JF) и Tq{!F) лежат на разных слоях при Т Є VD W, р ф д, что и доказывает теорему 1. 3.4. Минимальность и эргодичность типичного аналитического слоения С2
Для получения искомого результата, мы докажем, что для любого компакта Я" С С2 существует открытое и всюду плотное множество слоений U(К), такое что каждое слоение из этого множества минимально и эргодично на К (точные определения приведены ниже). Тогда пересечение построенных открытых и всюду плотных множеств слоений, отвечающих счетному исчерпыванию плоскости С2 компактами, и будет искомым остаточным множеством минимальных и эргодичных слоений.
Построение этих множеств разбивается на несколько шагов: Черный ящик. Построить "черный ящик": "механизм", обеспечивающий минимальность и эргодичность на небольшой трансверсали и устойчивый к малым возмущениям. Будем называть такую конструкцию "черным ящиком" по аналогии с физикой: когда она построена, нас уж не интересует как она работает. Применение черного ящика. Показать, что если каждый слой из некоторого компакта пересекает трансверсалъ с "черным ящиком", то тогда динамика на этом компакте минимальна и эргодична (определения приводятся ниже). Открытое и всюду плотное. Для данного слоения и компакта К С С2 построить сколь угодно близкое слоение, обладающее трансверсалью с "черным ящиком" и минимальное на С2. Тогда, согласно предыдущему шагу, для любого компакта К найдется открытое и всюду плотное множество слоений U{K) минимальных и эргодичных на этом компакте. Пересечение. Доказательство оканчивается взятием пересечения открытых и всюду плотных открытых множеств слоений, отвечающих счетному семейству компактов, исчерпывающих С2.
Такие векторные поля задают аналитическое слоение с особенностями плоскости С2, их траектории с комплексным временем становятся слоями слоения, а особые точки становятся особенностями слоения. Снабдим это пространство аналитических векторных полей топологией равномерной сходимости на компактах. Будем назвать свойство типичным для аналитических слоений, если оно выполнено для остаточного множества в этом пространстве (т. е. счетного пересечения открытых и всюду плотных множетсв).
Определение 3.4.4. Пусть F - слоение плоскости С2, a j : [0, s] — С2 — путь, лежащий на одном слое слоения Т. Пусть также диски То и Ті — это трансверсали к слоению Т, проходящие через точки 7(0) и 7(5) соответственно. Тогда для любой начальной точки х на трансверсали То, достаточно близкой к 7(0), кривые, проходящие через ж, лежащие в одном слое, близкие к 7 и приходящие на трансверсаль Т1? приходят на эту трансверсалъ в одну корректно определенную точку, которая называется образом точки х под действием голономии вдоль 7- Так определяется отображение голономии А7 вдоль 7, действующее из окрестности точки 7(0) на То в окрестность точки 7(5) на Ті.
Использую отображения голономии, мы сведем изучение слоения к изучению систем отображений. Поэтому нам понадобятся определения минимальности и эргодичности для динамической систем с несколькими отображениями. Следующие определения, применимые к не инвариантным подмножествам, являются небольшой-модификацией стандартных.
