Содержание к диссертации
Введение
1. Функциональные операторы в ограниченных областях 9
1.1. Группа преобразований М.п и функциональные операторы . 9
1.2. Алгебра Cjr(Q) 11
1.3. Отношение эквивалентности и фактор-топология 13
1.4. Пространство максимальных идеалов 18
1.5. Разбиение единицы для функциональных операторов . 21
2. Краевые задачи для сильно эллиптических функционально-дифференциальных операторов 23
2.1. Определение сильной эллиптичности 23
2.2. Разбиение единицы для функционально-дифференциальных операторов 25
2.3. Условия сильной эллиптичности в случае конечного множества П[х] 30
2.4. Условия сильной эллиптичности в случае неподвижной точки 38
2.5. Определение обобщенного решения 42
2.6. Разрешимость краевых задач. Спектр 44
3. Применение к нелокальным краевым задачам 48
3.1. Постановка задачи 48
3.2. Сведение нелокальной краевой задачи к функционально-дифференциальному уравнению 50
3.3. Нелокальные краевые задачи и формула Грина 67
3.4. Сведение формально сопряженной задачи к краевой задаче 74
3.5. Однозначная разрешимость некоторых нелокальных краевых задач в двугранных углах 79
Выводы
Заключение
- Отношение эквивалентности и фактор-топология
- Разбиение единицы для функциональных операторов
- Условия сильной эллиптичности в случае конечного множества П[х]
- Сведение нелокальной краевой задачи к функционально-дифференциальному уравнению
Введение к работе
1. В настоящей диссертации изучаются сильно эллиптические функционально-дифференциальные уравнения и их применение к исследованию нелокальных краевых задач.
Первый результат о сильной эллиптичности для систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами был получен М. И. Ви-шиком [5]. Для получения достаточных условий сильной эллиптичности дифференциальных уравнений в частных производных с переменными коэффициентами Л. Гординг [37] использовал разбиение единицы и «замораживание» коэффициентов. Другие результаты о сильной эллиптичности можно найти в [31,36].
Сильно эллиптические дифференциально-разностные операторы рассматривались А. Л. Скубачевским [45]. Для дифференциально-разностных уравнений А.Л. Скубачевский взял выполнение неравенства типа Гор-динга в качестве определения сильной эллиптичности. Нахождение необходимых и достаточных условий сильной эллиптичности в алгебраической форме для дифференциально-разностных уравнений оказалось непростой задачей. Им, в частности, было показано, что неотрицательность символа дифференциально-разностного оператора не влечет за собой сильную эл-
липтичность (как в случае дифференциальных операторов в частных производных). Это связано, в частности, с тем фактом, что преобразование сдвига не отображает ограниченную область на себя. В случае соизмеримых сдвигов А. Л. Скубачевский получил необходимые и достаточные условия сильной эллиптичности в алгебраической форме для дифференциально-разностных уравнений в терминах положительной определенности некоторых матриц.
Используя аппарат банаховых алгебр, Л.Е. Россовский [19] получил необходимые и достаточные условия сильной эллиптичности в алгебраической форме для функционально-дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами с преобразованиями растяжения и сжатия аргумента. Полученные им условия записывались в виде положительности некоторой функции, которую он назвал символом функционально-дифференциального оператора.
В диссертационной работе рассматриваются функционально-дифференциальные уравнения с произвольными преобразованиями аргумента. Рассматриваемые преобразования принадлежат некоторой группе преобразований, которая, вообще говоря, не отображает область на себя.
Целью работы является изучение следующих взаимосвязанных вопросов:
нахождение необходимых и достаточных условий сильной эллиптичности для достаточно широкого класса функционально-дифференциальных уравнений с произвольными преобразованиями аргумента;
исследование разрешимости сильно эллиптических функционально-диф-
ференциальных уравнений;
3. применение сильно эллиптических функционально-дифференциальных
уравнений для исследования нелокальных эллиптических краевых задач.
2. Диссертация состоит из введения и трех глав.
В главе 1 диссертации изучаются функциональные операторы в ограниченных областях. Так как функциональные операторы, вообще говоря, нелокальные, то нельзя рассматривать функционально-дифференциальные уравнения в окрестности какой-либо одной точки области. Необходимо рассматривать их также в окрестностях точек, связанных с исходной точкой отношением эквивалентности 1Z (которое строится в работе). Раздел 1.1 посвящен связи группы преобразований W1 и алгебре функциональных операторов. В разделе 1.2 строится алгебра функций, коммутирующих с функциональными операторами. Далее в разделе 1.3 строится отношением эквивалентности 1Z и соответствующее фактор-пространство. В разделе 1.4 показывается, что построенное фактор-пространство гомеоморфно пространству максимальных идеалов алгебры функций, коммутирующих с функциональными операторами. Это позволяет использовать теорию Гельфанда—Наймарка. И, наконец, в разделе 1.5 строится разбиение единицы для функциональных операторов.
В главе 2 диссертации исследуются необходимые и достаточные условия сильной эллиптичности для функционально-дифференциальных операторов, а также свойства решений краевых задач для сильно эллиптических функционально-дифференциальных операторов. В разделе 2.1
вводятся основные обозначения и определение сильной эллиптичности. В разделе 2.2 строится разбиение единицы для функционально-дифференциальных операторов и доказывается теорема о «локализации». Эта теорема позволяет исследовать сильную эллиптичность для модельных задач.
Одна из модельных задач изучается в разделе 2.3. Рассматривается некоторый класс эквивалентности, состоящий из конечного числа точек, и преобразования из группы не содержат ни одну из точек в этом классе в качестве неподвижных (аналогичная ситуация возникала в случае преобразований сдвигов). Для такой модельной задачи получены необходимые и достаточные условия сильной эллиптичности в алгебраической форме для рассматриваемых функционально-дифференциальных уравнений. В случае, когда рассматриваемый класс эквивалентности не пересекает границу области, найденные условия совпадают.
Другая модельная задача изучается в разделе 2.4. Она является, в некотором смысле, противоположной первой. Рассматривается класс эквивалентности, состоящий из одной точки и конечная группа преобразований, для которой рассматриваемая точка является неподвижной. Для такой модельной задачи получены достаточные условия сильной эллиптичности в алгебраической форме для рассматриваемых функционально-дифференциальных уравнений. В случае, когда группа является топологически свободной найденные достаточные условия являются также и необходимыми.
В разделе 2.5 вводится определение обобщенного решения краевой задачи для функционально-дифференциального уравнения. В разделе 2.6
изучается вопрос о разрешимости и спектре такой задачи.
В главе 3 диссертации исследуются нелокальные краевые задачи с помощью сведения к краевой задаче для функционально-дифференциального уравнения. В разделе 3.1 дается постановка нелокальной краевой задачи. В разделе 3.2 изучается вопрос о возможности сведения такой нелокальной краевой задачи к функционально-дифференциальному уравнению. Получены необходимые и достаточные условия возможности такого сведения. Раздел 3.3 посвящен формально сопряженным задачам, а в разделе 3.4 исследуется вопрос о связи формально сопряженных задач и функционально-дифференциальных уравнений. В разделе 3.5 получены достаточные условия однозначной разрешимости нелокальных краевых задач в двугранных углах.
3. Результаты диссертации опубликованы в работах [21-25,42,43].
Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинаре кафедры дифференциальных уравнений и математической физики РУДН под руководством профессора А. Л. Скубачевского. Результаты диссертации докладывались также на Четвертой и Пятой Международных конференциях по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям, Москва, 2005, 2008; Воронежской зимней математической школе, Воронеж, 2004; Крымских осенних математических школах-симпозиумах, Симферополь, 2004, 2008; XLII, XLIII и XLIV Всероссийской конференции по проблемам математики, информатики, физики и химии, Москва, 2006, 2007, 2008.
Отношение эквивалентности и фактор-топология
Введем на Q х Q следующее отношение 1Z: т. е. (х,у) Є 1Z справедливо тогда и только тогда, когда алгебра Cjr{Q) не разделяет точки х и у. Легко видеть, что отношение 1Z рефлексивно, симметрично и транзитивно, то есть является отношением эквивалентности. Поэтому оно порождает разбиение множества Q на классы эквивалентности. Будем обозначать через 71[х] класс эквивалентности, в который входит точка х Є Q, г через 7Z[M}, где М С Q, будем обозначать множество точек из Q, которые -эквивалентны точкам из М, т. е.
Множество классов эквивалентности { -[ Ц д — это фактор-пространство, которое мы обозначим через Q/1Z. Обозначим также через -к: Q —» Q/1Z — каноническое отображение, действующее по формуле ж{х) = 7Z[x], х є Q. Следуя определению 1 из [3, раздел 9, с. 91], введем на Q/1Z фактор-топологию — сильнейшую топологию, при которой каноническое отображение 7г непрерывно. В дальнейшем, при рассмотрении Q/1Z как топологического пространства мы всегда будем считать его наделенным фактор-топологией. Лемма 1.3. Фактор-пространство Q/7Z, наделенное фактор-топологией, является компактным пространством. Доказательство. Пусть {Ua}a — произвольное покрытие фактор-простран ства Q/1Z. В силу определения фактор-топологии множества 7г_1(С/а) от крыты в Q. Кроме того, {7r_1(t/Q,)}a — покрытие Q открытыми множе ствами. Так как Q — компакт, то можно выделить конечное подпокрытие {7r l(Uaj)}jL1. Тогда семейство {Uai,..., UaN} будет конечным подпокры тием фактор-пространства Q/1Z. Лемма 1.4. Каноническое отображение 7г: Q —» Q/7Z является замкнутым. Доказательство. Согласно теореме 10 из [12, глава 3] для доказательства теоремы достаточно показать, что если множество М замкнуто в Q, то множество 1Z[M] также является замкнутым множеством в Q. Пусть множество М замкнуто в Q. Возьмем последовательность {yn} Li, уп Є 1Z[M], уп —» у при п — сю. Покажем, что у Є 7Z[M]. В силу определения множества 7Z[M] существует точка хп Є М (вообще говоря, неединственная), такая, что (хп,уп) Є 71. Так как множество Q ограничено, то можно выделить подпоследовательность {xnk}kLi, хПк Є М, хПк —» х , причем, х Є М в силу замкнутости множества М. Тогда для любой функции г/ Є Cp{Q) имеем г](у ) = lim г]{уПк) = lim rj(xnJ = г}(х ). к— оо к— оо Таким образом, (х ,у ) еПи х Є М, т.е. у Є К[М]. Из леммы 1.4 и теоремы Александрова—Хопфа (см. теорему 12 из [12, глава 3]) вытекает следующее утверждение. Лемма 1.5. Пусть U Є Q — открытое множество в Q, х Є Q и TZ[x\ С U. Тогда существует множество V, такое, что 1. V открыто в Q; 2. V = n[V]; 3. Щх] С V. Лемму 1.5 мы будем использовать в главе 2 для выделения сколь угодно мелких -эквивалентных окрестностей множества И[х]. Сделаем также несколько замечаний относительно множеств TZ[x] и алгебры Cjr(Q). Замечание 1.2. Если Cj?(Q) = {г/ : г){х) — const для всех х Є Q}, то множество 7Z[x] = Q для любой точки х Є Q. Очевидно, верно и обратное утверждение. Замечание 1.3. Если Cp{Q) = C(Q), то множество 7Z[x] = {х} для любой точки х Є Q. Обратное утверждение следует из теоремы Стоуна, так как в этом случае алгебра Cp(Q) разделяет точки компакта Q (кроме того, она не исчезает на Q, так как 1 Є Cp(Q) и в силу леммы 1.2 она замкнута). Но этот случай возможен тогда и только тогда, когда алгебра F состоит из числовых функций (и поэтому оператор А является дифференциальным, а не функционально-дифференциальным оператором). Действительно, для любой функции и Є C(Q) и любого Ф(и)(х) = и(х)Ф(1)(х) = ip(x)u(x), где ф(х) = Ф(1)(х). Так как C(Q) плотно в 1 2(Q) и операторы Ф Є Т ограничены, равенство Ф[и){х) = ір{х)и(х) справедливо для всех и Є (Q).
Разбиение единицы для функциональных операторов
В лемме 1.8 функции из разбиения единицы, вообще говоря, только непрерывны. В дальнейшем при изучении функционально-дифференциальных уравнений нам понадобятся бесконечно дифференцируемые функции.
Теорема 2.1 (разбиение единицы). Предположим, что {U\,... ,Us} — конечное подпокрытие Q, где Ui,... ,Us Є Т и Т0с{ФеТ : Ф С}, где С — константа. Тогда для любого а 0 существуют функции ?7i,... ,rjs Є C(Q), обладающие следующими свойствами: 1. О rjs(x) I, s = 1,..., S, х є Q; Доказательство. Утверждение леммы 1.8 справедливо, поэтому существуют функции Сії Xs Є C(Q), обладающие свойствами 1-4 леммы 1.8. Функции у/СЇ,..., y/Cs Є C(Q) обладают следующими свойствами: 1.0 у/Цх) 1, 5 = 1,..., 5, х Є Q; 2. supp x/Cs С C/s, s = 1,..., S; s з. (Л/Ш)2 = І, eQ; 4. [, л/S] = 0, Ф Є T, s = 1,..., S (так как уД и ..., VS Є C (Q)). Так как C{Q) плотно в C(Q), то для любого 5- 0 существуют ФУНКЦИИ TJ8ta Є C(Q), ТЭКИе, ЧТО ?7 - V?7lc(Q) S = 1,---, Выберем их так, чтобы 77 ,5- 0 и supp 77,, С Us, s = 1,..., S. Положим VsAx) s=l Тогда функции rjs, s = 1,... ,S, удовлетворяют свойствам 1-3 теоремы 2.1 (когда а 0 достаточно мало) и, кроме того, \\rjs — VCsllcfQ) — 0 ПРИ при т —» 0, мы можем выбрать а достаточно малым, чтобы получить функции r]s, s = 1,... ,5, которые обладают свойствами 1-4 теоремы 2.1. Теперь, используя разбиение единицы, докажем теорему о «локализации». Она позволяет нам получить сильную эллиптичность в Q оператора А, доказав его сильную эллиптичность в окрестностях множеств М є Q/TZ. Теорема 2.2 (о «локализации»). Оператор А сильно эллиптический в Q тогда и только тогда, когда существует покрытие {иа}ае , где Ua є Т, Q с (J Uа, такое, что оператор А сильно эллиптический в Ua, а Є 21. Доказательство. Необходимость очевидна, так как C(Ua) С C{Q), а Є а. Докажем достаточность. Так как Q — компакт, мы можем выбрать конечное подпокрытие {Ui,... ,Us} из этого покрытия. В силу условия теоремы оператор А является сильно эллиптическим в каждом множестве Us, s = 1,..., S. Поэтому справедливы следующие неравенства Rea(us) cis\\us\\lrm{Ug) - c2sK!2([/s), s = 1,... ,5, -28 для всех us Є C(US), где константы с\8 О и с2з 0 не зависят от us. Положим С = тах{Фа/з}а=/з=т То — {Фар}\а\=щ=т- Тогда, исполь-зуя теорему 2.1, мы можем построить разбиение единицы {r]i,...,rjs}, обладающее свойствами 1-4 теоремы 2.1, где а достаточно мало. Возьмем и C(Q). Имеем 2є 2 и выбирая а достаточно малым, мы получим Yl Re Y; (1l a(3 D0u,rjsVau)L2iUs) ci\\u\\2Wm{Q) - c2 2(Q). s=l \a\,\p\=m Замечание 2.2. Если Q/1Z = {Q}, то T — {0,Q}. В этом случае 5 = 1 в теореме 2.1 (так как покрытие может состоять только из одного множества), и поэтому разбиение единицы состоит только из функции r]i(x) = 1. Принцип локализации в данном случае неприменим. Такая ситуация возникает, например, в функционально-дифференциальных уравнениях с растяжением-сжатием аргумента (см. [19]). Используя теорему 2.2, мы можем рассматривать модельные задачи во множествах, принадлежащих топологии Т, для получения условий сильной эллиптичности в Q для оператора А.
Условия сильной эллиптичности в случае конечного множества П[х]
Тогда существует такое г, что оператор А является сильно эллиптическим в Ог(хо) П Q. Доказательство. 1. Если точка XQ Є Q и 1Z[XQ\ П dQ — 0, то при выполнении условий теоремы существует окрестность Ог(хо), такая, что оператор А является сильно эллиптическим в Ог(хо) = Or(xo)nQ. Это несложно показать, во многом повторяя выкладки из доказательства предыдущей теоремы в обратном порядке.
Если точка XQ Є Q и 1Z[xQ]ndQ 0, то поступаем следующим обра зом. Выберем достаточно малую окрестность Ог(хо) и область Q , такую, что Ог(хо) С Q , Q С Q . Тогда 1Z[XQ] Г) dQ — 0, и можно применить ре зультаты п. І. В этом случае мы получим, что оператор А является сильно эллиптическим в Or(xo) DQ. Замечание 2.3. Найденные достаточные условия, в общем случае, не совпадают с необходимыми. Аналогичная ситуация имела место и в случае дифференциально-разностных уравнений (см., подробнее, [45, Chapter 2]). 2.4. Условия сильной эллиптичности в случае неподвижной точки В этом разделе мы рассмотрим другую модельную задачу, которая является в некотором смысле противоположной предыдущей. Пусть 7Z[xo] = {хо}. Будем в этом разделе считать, что группа Q удовлетворяет следующим условиям. Условие 2.2. Для всех преобразований из группы Q точка XQ является неподвижной, т. е. для любого преобразования g Є Q справедливо Условие 2.3. Группа Q конечна, т.е. Q = {еI} Так как TZ[XQ] — \х), то существует сколь угодно малая окрестность С, такая, что TZ[0] = О (поэтому всякое преобразование g Є Q переводит О в себя). Учитывая малость окрестности О можно считать, что все коэффициенты «заморожены» в точке XQ. В случае, когда группа Q конечна и отображает множество О на себя, задачу исследования сильной эллиптичности можно свести к такой, которая не содержит операторов сдвига (по группе Q) в старшей части. Для функциональных операторов данный метод использовался в [1, глава 1, раздел 4]. Запишем оператор А в следующей форме: Оператор Нд обладает следующим свойством: Н = Н 1. Мы считаем, что аард Є С (в противном случае, коэффициенты можно было бы «замо розить» в точке XQ). Операторы Vg действуют по формуле: Vgu= Y, ЪаааРдН и, (2.15) \ W\=m а оператор А\, содержащий младшие члены, действует по формуле Ащ = Va Е а-сфдНдТРи. \а\+\(3\ 2тп дед Так как младшие члены не влияют на сильную эллиптичность оператора А, то в дальнейшем мы будем их опускать. Итак, пусть оператор А имеет вид Аи — 2_\ Vgu- g&G где операторы Vg действуют по формуле (2.15). Найдем сначала достаточные условия сильной эллиптичности оператора А. Составим матричный оператор А — \\А8Г\\ 2о гДе Asr — операторы, действующие по формуле Легко показать, что если U — (и, Hgiu,..., HgN_xu) — вектор-функция, то (AC/, U) = Na(u), где а(и) = а(и,и) определено по формуле (2.3). Поэтому для сильной эллиптичности оператора А достаточно, чтобы оператор А был сильно эллиптическим (как матричный оператор). Рассмотрим теперь операторы Asr. Используя (2.15), получаем г = Нд-А ]Г ЪааРдНд АнЯг = где Asr i — операторы, содержащие производные порядка ниже, чем 2т, а коэффициенты cf-? находятся по формуле (ср. с (2.9), (2.11)). Заметим, что старшая часть оператора Asr (а следовательно, и оператора А) не содержит функциональных операторов. Поэтому из коэффициентов с составим матрицы Cpq = Цс Ц ! . Тогда достаточные условия сильной эллиптичности для оператора А записываются в следующем виде: если при всех Є Шп, ф 0 матрицы Е (Си + СУ (2-16) положительны определены (см. [5, 37]). Это условие является также и достаточным условием для сильной эллиптичности оператора А. Изучим теперь необходимые условия. Вообще говоря, без дополнительных предположений необходимые условия могут отличаться от достаточных условий, так как координаты в вектор-функции U связаны между собой. Следуя [1, глава 1, раздел 4], введем определение. Определение 2.2. Будем говорить, что группа Q топологически свободна, если, какова бы ни была окрестность О точки XQ, существует точка х Є О, такая, что все точки x ,gi(x ),... ,д -і(х ) различаются между собой.
Сведение нелокальной краевой задачи к функционально-дифференциальному уравнению
Доказательство для RQ приведено в [45, глава 1, раздел 2]. Доказательство для IZK проводится аналогично.
Если условия 3.3, 3.4 выполнены, мы можем уточнить распределение собственных чисел операторнозначной функции (А). Лемма 3.17. Пусть условия 3.3 и 3.4 выполнены. Тогда прямая ImA = О не содержит собственных чисел операторнозначной функции С{\). Доказательство. Если условие 3.3 выполнено, то по теореме 3.3 оператор RQ отображает HAl(0, (N + в)К) на VPp(0, (N + 6)h) непрерывно и о взаимнооднозначно. Положим и — RQW, где w Є W (О, (N + 9)h). Если її удовлетворяет задаче (3.69), (3.70), то w удовлетворяет следующей задаче: и наоборот. Так как условие 3.4 выполнено и А2 0 (так как А Є R), имеем Re(\2(RQw), w))L2{0 N+9)h) 0. Тогда используя теорему 3.3 [45, глава 1, раздел 3], получаем, что зада ча (3.72), (3.73) имеет только тривиальное решение. Из леммы 3.17 и теоремы 3.5 следует, что оператор Ск: Е2(К) - Ег(К) х J5?/2( o) х E%/2(eiN+e)h) фредгольмов. Покажем тривиальность его ядра и коядра. Пусть и Є Е\(К) — решение однородной задачи (3.67), (3.68) (с / = О, 9і — 92 = 0). Так как коэффициенты оператора Тік удовлетворяют (3.12), мы можем свести задачу (3.67), (3.68) к краевой задаче для функционально-дифференциального уравнения. Полагая w = IZKU (здесь w Є Е\(К) C\El(K)), мы получаем: w(y) = 0 (уєЄ0), и (у) = 0 (у Є t(N+e)h)-Используя положительную определенность оператора Тік + 7 к- П0ЛУ чаем (ср. с неравенством 2.4). Поэтому в силу теоремы 2.6 настоящей работы и теоремы 10.1 из [45, глава 2, раздел 10], мы получаем, что w = 0 — единственное решение задачи (3.74), (3.75) в Wl(K). Используя Е\(К)Г\ \{К) С Wl(K), мы получаем, что эта задача имеет единственное решение в Е\(К) Г\і(К). Поэтому w — 0. Так как Тік обратим, то и = 0. Таким образом, мы доказали, что кет С к — {0}.
Замечание 3.4. Легко видеть, что при выполнении условия 3.4 оператор w н- —ATZKW + TZRW является сильно эллиптическим в К. Это связано с тем, что оператор Лапласа имеет специальную структуру (в нем дифференцирование переменных разделено). Если же рассматривать эллиптиче -87 ский оператор более общего вида, то в этом случае нужно использовать теоремы 2.3, 2.4 для получения сильной эллиптичности.
Теперь, для того чтобы доказать тривиальность коядра оператора Ск, мы изучим задачу, формально сопряженную к задаче (3.67), (3.68). Запишем формально сопряженную задачу с нулевой правой частью. Эти задачи получаются так же, как и в одномерном случае (см. раздел 2). Если 6 = 1, имеем
Похожие диссертации на Сильно эллиптические функционально-дифференциальные уравнения
