Введение к работе
Акт^альность_темы. При построении математической модели
исследуемого объекта, как правило, отсутствует полная информация о его свойствах. Поэтому имеет смысл производить математическую постановку задачи с учетом этого факта и считать, например, свойства среды неизвестными' ( полностью или частично ) и подлежащими восстановлению вместе с физическими полями. Такие постановки и составляют предмет исследований в теории обратных задач. Начало интенсивного изучения обратных (часто некорректных) задач для уравнений в частных производных связано с работами А.Н. Тихонова, П.С. Новикова, М.М. Лаврентьева, В.К. Иванова, Г.И.Марчука . Цель изучения - это найти такие условия на исходные данные, чтобы обратная задача имела бы единственное решение (или решение существовало бы, или являлось в некотором смысле устойчивым и т.д. ). Этим вопросам посвящены работы Ю.Е. Аниконова, А.Д. Искендерова, В.P. Jones, J.R. Cannon, А.И.Прилепко, С. Pucci, В.Г. Романова и их учеников .
В диссертации исследуются вопросы существования, единственности и устойчивости обобщенных решений обратных задач для параболических уравнений второго порядка. В первой главе рассмотривается задача о нахождении правой части (или источника) в уравнении. Дополнительная' к данным прямой задачи информация задается в виде финального или интегрального переопределения. Доказаны глобальные теоремы о разрешимости и устойчивости.
Во второй главе изучаются коэффициентные обратные задачи двух типов, при таких же переопределениях. В первом из них ищется коэффициент перед U(x,t) в уравнении, во втором коэффициент перед Ut(x,t). При этом неизвестные коэффициенты считаются зависящими
лишь от пространственных переменных. Доказаны соответствующие теоремы существования, единственности и устойчивости обобщенных решений отмеченных задач. Ц<Уй_Е52 состоит в
получении достаточных условий существования, единственности и устойчивости обобщенного решения линейной задачи нахождения источника в параболическом уравнении с финальным и интегральным наблюдением;
доказательстве теорем об однозначной разрешимости и устойчивости обобщенных решений коэффициентных ( нелинейных ) обратных задач для параболических уравнений;
Основная_методика_исследованиа линейной задачи состоит в ее
сведении к операторному уравнению второго рода с вполне непрерывным оператором. При изучении коэффициентных задач применяется теория изотонных операторов. В доказательствах используются априорные оценки обобщенных решений основных начально-краевых задач для параболических уравнений второго порядка. Слабый принцип максимума для эллиптических и параболических уравнений позволяет установить необходимые качественные свойства соответствующих обобщенных решений.
Научная новизна. Все полученные в диссертации результаты
являются новыми. Основные из них состоят в следующем: 1. Доказаны глобальные теоремы существования, единственности и устойчивости решения линейной обратной задачи восстановления источника в параболическом уравнении с финальным и интегральным наблюдением. Как следствие из теоремы единственности получены достаточные условия полноты в Ь2(П) для нового класса систем функций.
-
Для нелинейной обратной задачи восстановления коэффициента' С(х) перед функцией U(x.t) доказаны глобальные теоремы существования, единственности и устойчивости обобщенного решения.
-
Для нелинейной обратной задачи восстановления коэффициента р(х) перед tft(x,t) с указанными переопределениями доказаны теоремы существования и единственности решения без условий малости норм заданных функций, получены оценки устойчивости.
Приложения. Работа носит теоретической характер. Ее
результаты могут найти применение в развитии теории обратных задач, в теории управления и прогнозирования процессов.
АпОбация_работа. Результаты диссертации докладывались на
семинаре кафедры высшей математики МИФИ, руководимом профессором
А.И. Прилепко, на семинаре в МГУ им. М.В.Ломоносова, руководимом докторами физ.-матем. наук А.Б.Бакунинским, А.В.Гончарским, А.Г.Яголой, на семинаре в РУДН им. П.Лумумбы, руководимом профессором В.Н.Масленниковой, на пятой школе молодых математиков Сибири и дального востока ( Новосибирск, 1990 г.), на XXVII-XXIX конференциях молодых ученых РУДН им. П.Лумумбы (Москва, 1991-1993г.), на международной конференции "Некорректно поставленные задачи в естественных науках" ( Москва, 1991г. ), на XXV (1993г.) Воронежской зимней математической школе.
Публикации^ Основные результаты диссертации опубликованы в 7
работах 11-7].
Ст^укту^а_и_объем_диссертациил Диссертация состоит из
введения и двух глав, в первой из которых четыре параграфа, а во второй - шесть. Для удобства чтения, в конце диссертации даны
- б -
приложения I-VII. Объем работы составляет 130 машинописных страниц, библиография - 127 названий.
