Введение к работе
Актуальность темы. Предмет исследований в теории наблюдения составляют задачи о вычислении оценок состояния динамической системы по результатам доступных измерений. Такого рода задачи могут возникать, например, при моделировании и предсказанпп эволюции систем, для которых характерна неопределенность в описании динамики, неполнота текущей и априорной информации. К рассмотрению указанных вопросов могут приводить задачи принятия решения п планирования эксперимента. Исследованпе задач наблюдения является ключевым в построении стратегий позиционного управления в динамических системах. Объектом приложений теории наблюдения служат конкретные проблемы механики, экологии, экономики, моделирования технологических процессов и ряд других.
Современное состояние и тенденции развития теории наблюдения, как представляется, во многом определились исследованиями по теории дифференциальных игр, теории управления и наблюдения в условиях неопределенности, ведущимися в свердловской школе по теории управления, основанной Н.Н.Красовским; исследованиями Н.Винера, А.Н.Колмогорова, К.Шеннона в области стохастических дифференциальных уравнений и стохастической теории управления и оценивания; исследованиями Р.Калмана по общей теории систем; фундаментальными результатами А.Н.Тихонова, В.К.Иванова, М.М.Лаврентьева по теории некорректных задач; исследованиями Ж.-Л.Лионса и его соавторов по теории граничных задач для уравнений с частными производными.
Методологической основой данной работы является детерминистский подход к задачам наблюдения, предполагающий, что априорная информация о неопределенных параметрах и возмущениях в динамической системе и уравнении измерений исчерпывается заданием множеств, ограничивающих их возможные реализации. Данный подход был инициирован исследованиями Н.Н.Красовского 1 и раз-
1 Н.Н.Красовскпй. Теория управления движением. М.: Наука, 1968. 475с.
вит в работах А.Б. Куржанского 2. Задачи наблюдения в укапанных информационных предположениях составляют предмет теории наблюдения в услових неопределенности. В основу постановки здесь положен принцип вычисления гарантированной оценки состояния системы, обеспечивающей неулучшаемую величину погрешности оценивания. Рассматриваемый в диссертации круг вопросов приводит к апостериорным оценкам, именно, оценкам, вычисляемым с учетом знания результатов измерений в системе. Вычисление такого рода оценок базируется на построении "информационной области" 2 - множества в пространстве состояний системы, совместимого с наблюдениями и априорными ограничениями на неопределенные параметры Ряд принципиальных результатов названной теории получен в работах Б.И.Ананьева, А.Е.Барабанова, Д.Бертсекаса, Х.Витсенхаузена Р.Габасова, М.И.Гусева, И.Я.Каца, Ф.М.Кирилловой, А. В. Кряжим-ского, М. С. Никольского, О. И. Никонова, Ю. С. Осипова, В.Г.Поко тило, Б.Н.Пшеничного, А.И.Субботина, Т.Ф.Филипповой, Ф.Л.Черно усько, Ф.Швеппе.
Известно, что решение широкого класса задач теории наблюденш и оценивания в условиях неопределенности может быть сведено к ре шению некоторой обратной задачи, связанной с системой. Соответ ственно, ряд понятий и проблем названной теории может быть сфор мулирован в терминах теории некорректных задач и исследоватьо методами этой теории. Существенный вклад в развитие теории обрат ных и некорректных задач внесли работы О.М.Алифанова, Ю.Е.Ани конова, ВЛ.Арсенина, Е.А.Арутюхина, А.Б. Бакушинского, Г.М.Вай никко, Ф.П.Васильева, В.В.Васина, В.Б.Гласко, А.В.Гончарского А.И.Егорова, В.К.Иванова, С.Г.Клейна, М.М.Лаврентьева, Р.Латтеса Ж.-Л.Лионса, Г.И.Марчука, А.И.Прилепко, В.Г.Романова, С.В.Ру мянцева, А.Н.Тихонова, С.П.Шишатского. Вместе с тем, многие ас пекты обратных задач теории наблюдения требовали отдельного изу чения, что приводило, в свою очередь, к новым постановкам и форми ровало соответствующий математический аппарат их исследования.
2 А.Б.Куржанский. Управление и наблюдение в условиях неопреде пенности. М.: Наука, 1977. 392с.
Одним на центральных d теории наошодения является вопрос о том, однозначно ли реконструируется состояние динамической системы но наблюдениям при отсутствии воомущений в системе. Системы, для которых этот вопрос решается положительно, называются наблюдаемыми. Р.Калман указал необходимое и достаточное условие для полной наблюдаемости линейной системы, описываемой обыкновенными дифференциальными уравнениями, и сформулировал для нее принцип дуальности задач наблюдения и управления. Одной из первых, где исследовалась наблюдаемость бесконечномерной системы, была работа Н.Н.Красовского, А.Б.Куржанского 3. Рассмотрению свойств наблюдаемости и управляемости бесконечномерных систем, а также соотношений двойственности между ними, посвящены, например, работы А.Г.Бутковского, Е.К.Костоусовой, И.Лазиеской, А.Прптчарда, Д.Расселла. Т.Сейдмана, Р.Трпджиани, Х.Фатторинп, П.Фурманна и других авторов.
В работе А.Б.Куржанского, А.Ю.Хапалова * было подчеркнуто, что в отличие от конечномерных систем свойство наблюдаемости систем с распределенными параметрами не является конструктивным для восстановления по результатам наблюдения их текущего состояния. В * было введено понятие сильной наблюдаемости, формулируемое в терминах информационных областей состояний, совместимых с наблюдениями. Это свойство является, как было показано, необходимым и достаточным для существования решения в задаче гарантированного оценивания состояния. Свойство сильной наблюдаемости предполагает ряд существенныхтребованнй х оператору наблюдения, поэтому актуально рассмотрение более слабых свойств наблюдаемости, достаточных в отдельных задачах наблюдения. Возможность этого открывал предложенный в 4 подход к проблеме наблюдаемости. С другой стороны, раскрывая связь между проблемой наблюдаемости и проблемой
3 Н.Н.Красовскпй, А.Б.Куржанский. К вопросу о наблюдаемости си
стем с запаздыванием // Дифференд. уравнения. 1966. Т. 2, N3. С. 299-
308.
4 A.B.Kurzhanski, A.Yu.Khapalov. An observation theory for distributed
- parameter systems//J. Math. Sys., Estimat., Control. 1991. Vol.1, no.4.
P.389-440.
гарантированного оценивания, этот подход давал новое представление о наблюдаемости динамических систем.
Следующее направление исследовании в диссертации связано с проблемой регуляризации оадачи наблюдения. Необходимость в регуляризации возникает, например, если наблюдение в системе не обеспечивает сильной наблюдаемости, в связи с чем даже "малые" помехи в измерениях могут приводить к тому, что информационная область состоянии системы, совместимая с наблюдениями, будет неограниченной. Наряду с использованием общих методов теории некорректных задач в теории наблюдения разрабатываются методы регуляризации, учитывающие специфику объекта исследования в названной теории. В частности, существенное внимание в теории наблюдения уделяется алгоритмам регуляризации, допускающим возможность эволюционного описания решения в задаче динамического оценивания состояния. Сказанное относится, например, к методам, предложенным в работах А.С.Кощеева, А.Б.Куржанского, О.И.Никонова, А.И.Овсеевича. И.Я.Пищулиной, Т.Ф.Филишювой, А.Ю.Хапалова, Ф.Л.Черноусько Метод динамической регуляризации Ю.С.Осипова, А.В.Кряжимскогс сочетает в себе принципы теории позиционного управления и теории некорректных задач. Важный класс алгоритмов регуляризации задач наблюдения восходит к идеям метода квазиобращения Р.Латтеса, Ж.-Л.Лионса. Укажем в этой связи работы П.Н.Вабшцевича, Х.Гаевского, Х.Захариаса, А.А.Самарского, Э.Э.Тамме, Т.Тсачева, Р.Шовальтера.
Имея в виду системы с распределенными параметрами параболического типа, заметим, что ряд существенных трудностей возникает при исследовании задач наблюдения с сенсорными измерениями, - где доступные в каждый текущий момент времени измерения являются конечномерными. Принципиальный результат был получен в работе А.Б.Куржанского, А.Ю.Хапалова 4, доказывающий существование в указывающий метод построения кривых в пространственно-временное области, пмерение вдоль которых значений распределенного поля, описываемого параболической системой, обеспечивает сильную наблюдаемость системы. Различные аспекты задач наблюдения и оценивания в системах с сенсорными измерениями рассматривались также в работах Д.Гпллиама, Р.Гудсона, А.Ел Джея, С.Долецкого, Р.Клейна, Т.Ко-
байашп, М.Коды, Дж-Коревуара, В.Луксембурга, С.Омату, А.Прит-чарда, Е.Рафайловпча, И.Сакавы, Дж.Сейнфельда. Вместе с тем, актуальными остаются многие вопросы, касающиеся исследования задач наблюдения для систем с сенсорными измерениями. Упомянем здесь конструирование сенсоров, обеспечивающих требуемые свойства наблюдаемости для отдельных классов систем; регуляризацию задач оценивания состояния в системах с сенсорными наблюдениями; исследование устойчивости регуляризируюших алгоритмов к погрешностям задания сенсора.
Отдельная группа вопросов, рассмотренных в диссертации, связана с задачами идентификации и оценивания в системах с немоделируемой динамикой. Библиография по теории идентификации весьма обширна. Круг вопросов, рассматриваемых в этой работе, связан с применением минимаксного подхода к задачам оценивания весовой функции и состояния линейной управляемой системы. Предложенные в диссертации методы асимптотического оценивания состояния и вычисления оптимальной программы наблюдений основаны на результатах теории минимаксной фильтрации для систем с немоделируемой динамикой.
Целью работы является развитие теории наблюдения и оценивания состояния и параметров необратимых эволюционных систем.
Методы исследования. В основу работы положены понятия и методы теории наблюдения, идентификации и управления в условиях неопределенности, теории некорректных задач, используются результаты теории экстремальных задач, теории граничных задач для уравнений с частными производными, функционального анализа и спектральной теории операторов в гильбертовых пространствах.
Научная новизна. В работе установлены новые свойства решений задач наблюдения, идентификации и оптимизации наблюдений в системах с немоделируемой динамикой в условиях неопределенности; развит подход к исследованию наблюдаемости динамических систем, в рамках которого свойства формулируются в терминах "информационных областей", совместимых с наблюдениями; предложены новые понятия и критерии наблюдаемости систем с распределенными параметрами параболического типа, дана формулировка результатов в терминах свойств управляемости сопряженной системы; разработан подход к
регуляризации задач наблюдения, основанный на методе гарантированных оценок, и, как показано, включающий в себя ряд известных методов регуляризации некорректных задач; исследованы приложения этого метода к системам с финальными распределенными, зонными и сенсорным наблюдениям.
Теоретическая и практическая ценность. Полученные в диссертациг. результаты развивают теорию обратных задач и теорию наблюдения и идентификации в условиях неопределенности. Они могут служить основой вычислительных алгоритмов оценивания состояния и параметров систем, функционирующих в условиях неопределенности, планирования процесса наблюдений. Результаты, касающиеся наблюдаемости систем, могут быть полезны при исследовании вопросов корректности постановок граничных задач для систем с распределенными параметрами. Возможно использование материалов диссертации в специальных курсах по теории наблюдения и обратным задачам.
Апробация работы. Результаты, составившие содержание диссертации, обсуждались на Международной конференции "Некорректно поставленные задачи в естественных науках" (Москва, 1991), на VII Всесоюзной конференции "Управление в механических системах" (Свердловск, 1990), на Всесоюзной школе-семинаре "Аналитические методы и оптимизация процессов в механике жидкости и газа" (Екатеринбург, 1992), а также в Институте математики и механики УрО РАН (руководитель семинара - академик РАН А.Б.Куржанский), Институте проблем механики РАН .(руководитель семинара - академик РАН Ф.Л.Черноусько), в МГУ им. Ломоносова (руководитель семинара - профессор М.С.Никояьский), Институте математики СО РАН (руководитель семинара - академик РАН М.М.Лаврентьев).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-12].
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на 15 параграфов, одного приложения и библиографического списка, включающего 260 наименований. Общий объем диссертации составляет 244 страницы машинописного текста.
