Введение к работе
Актуальность теми. Под обратными задачами для дифференциальных уравнений понимаются задачи определения коэффициентов, правых частей уравнений, начальных или граничных условий по некоторым функционалам от решений прямых задач. Широкий круг обратных задач математической физики включает в себя такие задачи как обратная кинематическая задача сейсмики, обратная задача теории потенциала,' обратная задача Штурма-Лиувилля, задача определения одного или нескольких коэффициентов уравнения с частшш производными.
Практическая значимость обратных задач матештической физики, которые в своем большинстве классически некорректны, настолько велика для прикладной геофизики, астрофизики, квантовой механики и т.д., что за последние 30 лет возникла новая область математики - теория некорректных задач математической физики, основы которой были залоаенн в работах Л.Н. Тихонова, М.М.Лаврентьев":, В.К.Иванова.
Первые результаты по обратным задачам для обыкновенных дифференциальных уравнений' второго порядка были получены В.А.Амбарцумяном, Г.Боргом, Л.II.Тихоновым, Л.А.Чудовым, Н.Ле-висоном. Разнообразные подходы к исследовании и'построению алгоритмов решения некорректных и обратных задач отражены в работах таких авторов как А.С.Алексеев, Д.С.Аниконов, Ю.Е. Аниконов, А.С.Благовещенский, А.Л.Бухгейм, В.К.Иванов, А.Д. Искекдеров, С.И.Кабашшш, М.М.Лаврентьов, Р.Г.Мухометов, А.И.Прилепко, В.Г.Романов, А.Н.Тихонов, В.Г.Яхно и др.-
Систематическое изучение многомерных обратных задач для уравнений в частных производных было начато в работах М.М.Лаврентьева и В.Г.Романова,'Ими, были разработаны методы исследования различных постановок обратных для гиперболических уравнений.
Представляет большой интерес как в практическом, так и в теоретическом отношениях исследование' обратных задач для гиперболических уравнений с памятью, К таким уравнениям приводят задачи распространения упругих,, электромагнитных волн в средах, где состояние среда в данный 'момент времени зависит вообще говоря от её состояния во все предыдущие МО-,
менты времени. В этой направлении помимо публикаций автора имеется работа М.Грасселли, С.И.Кабанихина, А.Лорепци, Цель работы, Исследовать вопросы корректности одномерных и многомерных обратных задач для некоторых гиперболических уравнений второго порядка о памятью со сосредоточенным воздействиям, системы интегродифференциальных уравнений Максвелла. Исследовать задачу об определении индикатрисы рассеяния в уравнении переноса о шнуровым источником. Выяснить вопросы однозначного определения коэффициента жидкостного насыщения горных пород в уравнении переноса, описывающем модельную задачу скважинной геофизики. Кчзтодика исследования. В работе применяются штоды теории дифференциальных уравнений с частными производными и теории интегральных уравнений.
Научная новизна, теоретическая ценность. В работе получены методы,, позволяющие свести обратную задачу для дифференциальных уравнений в частных производных к решению системы интегральных уравнений типа Вольтерра. Доказаны теоремы об однозначно!} разрешимости. Получены оценки непрерывной.зависимости изменения решения обратной задачи от изменения информации. Работа носит теоретический характер. Все полученные в диссертации'результаты являются новыми. Они могут быть использованы при дальнейшем исследовании обратных задач для уравнений с памятью и переноса. Апробация работы.. Результаты диссертации докладывались.и > обсувдались на научном семинаре кафедры высшей математики (рук. - чл.-корр. РАН В.Г.Романов) и на студенческом семи- наре "Обратные задачи гяоэлектрики" (рук. - чл.-корр. РАН В.Г.Романов,.д.ф.-м.н. С.И.Кабанихин). Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в пяти работах, список которых приводится в конце реферата. Структура и объем диссертации. Работа состоит из введешш и двух глав, каждая из которых разбита на'три раздела. Объем диссертации 6G машинописных страниц, библиография включает
1 М.Грасселли, С.И.Кабанихин, А.Лоренци. Обратная задача для интегродифференциального уравнения//Саб.шг.журн. -IS92. -Т. 33, Ш 3. -с. 58-68.
51 наименований.
