Введение к работе
Актуальность темы.
Математические модели механики сплошных сред япляются одним из основных объектов исследования в теории дифференциальных уравнений с частными производными. Притягательность этих задач обусловлена многочисленными приложениями с одной стороны, а с другой — естественностью постановок и наглядностью результатов. С теоретической точки зрения уравнения механики также вызывают несомненный интерес.
В предлагаемой работе рассматривается ряд задач гидродинамики, в которых терпят разрыв те или иные характеристики жидкости.
В первой главе диссертации рассматривается задача о движении абсолютно твердого тела в несжимаемой жидкости. Эта задача имеет многочисленные приложения и уже довольно большую историю. Можно различить три возможных ситуации, относящихся к данной задаче:
тело является буксируемым,
тело является самодвижущимся,
тело является пассивным и движется вместе с жидкостью.
. В первой тело движется в жидкости по заранее предписанному закону. Исторически первое систематическое исследование в этом направлении было предпринято еще в 19-м веке Кирхгофом и лордом Кельвином и продолжено С.А.Чаплыгиным. Они изучали движение тела в потоке идеальной жидкости. Интерес к этой задаче диктовался потребностями зарождавшейся тогда аэромеханики. Впоследствии появилось целое направление в науке, связанное с описанием обтекания крыла аэроплана и тел другой формы потенциальным потоком идеальной несжимаемой жидкости. Результаты исследований этой задачи давно стали классическими и вошли в учебники по гидродинамике.
Второй тип задач характеризуется тем, что тело движется по заранее неизвестному закону под действием приложенных к нему сил со стороны двигателя и окружающей жидкости. Имитация работы двигателя может быть различной и обычно выражается через задание условия протекания на границе тела или распределение объемных сил. Эта задача очень трудна и ее разрешимость доказана лишь для некоторых частных постановок (В.В.Пухначев 1990, G.P.Galdi 1999), в которых течение жидкости удовлетворяет линейным уравнениям Стокса.
В данной диссертации рассматривается третья ситуация. Предполагается, что течение жидкости удовлетворяет системе уравнений Навье-Стокса, а твердое тело движется только под действием окружающей его жидкости и внешних массовых сил. Здесь сложилась довольно парадок-
сальная ситуация. При обилии механических и вычислительных исследований, что говорит о большой прикладной ценности задачи, количество работ, посвященных ее математическим аспектам, совершенно незначительно.
При решении задачи мы сталкиваемся со следующими основными трудностями:
фактически, приходится решать начально-краевую задачу для уравнений Навье-Стокса в нецилиндрической области, так как твердое тело меняет со временем свое положение в пространстве;
область течения априори неизвестна и должна быть определена;
3. область течения может превращаться из двусвязной в односвязную,
когда тело касается стенок.
Последняя трудность является наиболее существенной.
Видимо, впервые краевая задача для уравнений Навье-Стокса в заданной нецилиндрической области была рассмотрена в работе Сазера (J.Sa-ther, 1963), где решение строилось методом Галеркина. При этом строились специальные базисы, зависящие от времени. В 1968-м году О.А.Ладыженская решила эту задачу методом полудискретизации по времени. Другой подход, связанный с применением метода штрафа, был предложен Ж.-Л.Лионсом (J.-L.Lions, 1969), Фуджитой и Сауером (H.Fujita & N.Sauer, 1970). Следует заметить, что в этих работах краевые условия для скорости сводились к однородным. Сначала задача решалась в цилиндрической области, содержащей заданную нецилиндрическую, а потом за счет подходящего выбора штрафа совершался предельный переход, при котором скорость стремилась к нулю в «лишней» части цилиндра.
В 1974-м году появилась работа Н.В.Юдакова, в которой доказывалась разрешимость именно задачи о движении твердого тела в вязкой жидкости. В его постановке присутствовало только одно твердое тело, и жидкость занимала все пространство. Таким образом, третьей из перечисленных трудностей не возникало. В этой ситуации можно с помощью замены переменных перейти к задаче в фиксированной области, конечно, немного усложнив уравнения. Впоследствии аналогичный метод с небольшими модификациями использовался и другими авторами (С.Сопса, J.San Martin к. M.Tucsnak, 2000). В такой же постановке задача исследована Д.Серром (D.Serre, 1987).
Третья трудность возникнет, если мы рассмотрим задачу в ограниченной области. Есть несколько статей, в которых доказывается разрешимость этой задачи «в малом» по времени, точнее, до момента столкновения тела с границей области течения (B.Desjardins & M.J.Esteban,1999,
C.Conca, J.San Martin & M.Tucsnak, 2000, M.D.Gunzburger, H.-C.Lee к G.A.Seregin, 2000). В работе С.А.Саженкова (1998) доказана глобальная разрешимость задачи для специального случая неньютоновской жидкости с определяющим уравнением, исключающим соприкосновения тела со стенкой.
В первой главе диссертации доказывается глобальная разрешимость задачи с учетом возможных столкновений тела с границей.
В второй главе рассмотрен ряд задач, описывающих течения двуфаз-ных сред. Глава разбита на три части. Первая имеет отношение к задаче о движении двух несмешнвающихся жидкостей, разделенных капиллярной границей. В классической постановке наличие поверхностного натяжения означает, что на границе раздела скачок нормальной компоненты тензора напряжений пропорционален средней кривизне границы. Считается, что течение жидкостей подчиняется уравнениям Навье-Стокса.
Эта и родственные ей задачи широко изучались В.А.Солонннковым и его учениками, Т.Бнлом (J.T.Beale, 1982) , Г. Алаином (G.Allain, 1985) и многими другими авторами. Ими доказано существование решения в различных классах гладкости на малом промежутке времени. В работах П.И.Плотникова (1995, 1998) и В.Н.Старовойтова (1990) построено глобальное, но мерозначное решение, где граница раздела жидкостей описывалась с помощью варпфолдов. Изучению свойств границы в случае жидкости Стокса посвящена статья П.И.Плотникова (1995).
Другой подход к описанию этого явления представлен в первой части второй главы. Рассматривается новая модель, в которой учитывается как взаимная диффузия жидкостей, так и их капиллярное взаимодействие. Эта модель построена на основе идей Ван дер Ваальса, Кортевега, Кана и Хилларда. Формальные асимптотические разложения по малому параметру, характеризующему эффективную толщину слоя перемешивания, построенные в работе В.Н.Старовойтова (1994), показывают, что классическая модель является нулевым приближением предложенной. Модель подобного типа для течений сжимаемой жидкости в приближении пограничного слоя исследовалась в работе В.Н.Монахова, Е.Н.Разинкова и Н.В.Хуснутдиновой (1996).
Аналогичные модели используются для описания фазовых переходов первого рода и процессов диффузии (В.П.Скрипов & А.В.Скрипов, 1979, G.Caginalp, 1989). Они носят название моделей фазового поля и основаны на введении так называемой фазовой функции, которая задает распределение какой-либо макроскопической характеристики среды, например, концентрации или фазы. Эти модели содержат ряд параметров, при стремле-
ний которых к нулю получаются различные постановки задач о фазовых переходах: классическая задача Стефана, задача Стефана с поверхностным натяжением, задача Стефана с поверхностным натяжением и кинетическим переохлаждением. Последние две носят уточняющий характер по сравнению с классической задачей Стефана, учитывая поверхностную энергию Гиббса и динамику границы раздела фаз. Это приводит к тому, что вблизи межфазной границы может быть, например, лед с положительной температурой и вода с отрицательной. Поэтому модели такого типа называют еще моделями с переохлаждением.
Все три задачи исследовались на корректность, хотя и с разной степенью полноты. С результатами по классической задаче Стефана можно познакомиться по книге А.М.Мейрманова (1986). Для задачи Стефана с поверхностным натяжением и кинетическим переохлаждением доказано существование и единственность локального по времени классического решения (В.Н.Старовойтов, 1990, Е.В.Радкевич, 1991, X.Chen & F.Reitich, 1992). В работах S.Luckhaus (1990), R.Schatzle (2000), П.И.Плотникова и В.Н.Старовойтова (1992) доказано существование глобального обобщенного решения задачи Стефана с поверхностным натяжением. Довольно много статей посвящено обоснованию предельного перехода от моделей фазового поля к указанным постановкам задачи Стефана (П.И.Плотников к. В.Н.Старовойтов, 1992, Е.В.Радкевич, 1993, В.Г.Данилов, Г.А.Омельянов к Е.В.Радкевич, 1995, H.M.Soner, 1995, R.Schatzle, 2000).
Во второй части главы 2 рассматривается конвективная задача Стефана с поверхностным натяжением, в которой наряду с тепловыми процессами учитывается движение среды. Следует отметить, что учет конвекции вносит в задачу существенные трудности. Определенный прогресс в этой области был достигнут в работах: J.R.Cannon, E.DiBenedetto к G.K.Knightly (1983), Н.А.Кулагина (1985), E.DiBenedetto к A.Friedman (1986), J.F.Rodrigues (1986), Б.В.Базалий к С.П.Дегтярев (1987), E.DiBenedetto к M.O'Leary (1993), А.В.Кажихов к И.А.Калиев (1999), однако, существование глобального решения доказано не было. В данной диссертации предлагается учесть энергию межфазного взаимодействия. Таким образом, получается комбинация задачи Стефана с поверхностным натяжением и задачи о движении двух несмешивающихся жидкостей, разде-ленных капиллярной границей. Не смотря на то, что отдельно для второй задачи пока не получена глобальная разрешимость, их совокупность допускает глобальное обобщенное решение с гладкой границей раздела фаз. Поверхностная энергия тепловых процессов вносит в задачу некоторый дополнительный регуляризующий фактор.
Все перечисленные выше результаты были получены в предположении, что плотность вещества не терпит скачка при фазовом переходе. В реальных явлениях этот эффект имеет место, и его, вообще говоря, нельзя игнорировать. Например, всем известно, что вода при замерзании расширяется. Автору известна только одна математическая работа, в которой рассматривается задача Стефана со скачком плотности, а именно, статья А.А.Костикова (1992). В этой работе доказана локальная разрешимость задачи при следующих предположениях:
вещество является несжимаемым,
плотности фаз — различные постоянные,
жидкая фаза окружает твердую.
Последнее ограничение очень существенно. В самом деле, рассмотрим фазовый переход типа жидкость - твердое тело в ситуации, когда выполняются первые два предположения, но жидкая фаза заполняет полость внутри твердой. Положим для определенности, что плотность жидкой фазы больше плотности твердой фазы (как у воды). Легко видеть, что в этой ситуации невозможен фазовый переход, описываемый классическими уравнениями механики сплошной среды. Если граница раздела фаз движется в сторону жидкой фазы, то жидкость при замерзании будет расширяться, что невозможно, так как ее объем ограничен жесткой оболочкой из твердой фазы. Аналогично, движение межфазной границы в сторону твердой фазы также невозможно. Таким образом, задача о фазовом переходе в несжимаемой жидкости в общем случае неразрешима даже «в малом». Необходимо искать другие модели для описания этого процесса, пусть даже в простейших ситуациях. В части III главы 2 представлен один из возможных подходов.
Третья глава диссертации посвящена изучению сингулярных течений идеальной несжимаемой жидкости, а именно, течений с точечным вихрем. Для описания потоков идеальной жидкости используется система уравнений Эйлера. Несмотря на то, что с физической точки зрения эта модель является сильно упрощенной, она издавна и до сих пор широко используется в гидродинамике. Исследование начально-краевых задач для уравнений Эйлера было начато в работах Н.М.Гюнтера (1927) и Л.Лихтенштейна (L.Lichtenstein, 1927). Ими получены основополагающие результаты о существовании и единственности локального классического решения задачи. Впоследствии, в ставших уже классическими работах Е.Гельдера (Е.Holder, 1933), В.Волнбнера (W.Wolibner, 1933), В.И.Юдовича (1963) и Т.Като (T.Kato, 1967) были доказаны теоремы о глобальной однозначной разрешимости задачи в случае двух простран-
ственных переменных.
В трехмерном случае ситуация более сложна, и доказать глобальную разрешимость задачи пока не удалось. Более того, численные исследования показывают (R.Morf, S.Orszag к U.Frisch, 1980, A.Chorin, 1981), что гладкие в начальный момент времени течения идеальной жидкости могут становиться сингулярными. В работе J.T.Beale, T.Kato к A.Majda (1984) установлено, что если изначально гладкое решение теряет регулярность, то максимум завихренности (ротора скорости) обязательно неограниченно растет при приближении к некоторому критическому моменту времени. Вообще говоря, в образовании сингулярности нет ничего страшного. В том и состоит особенность течений идеальной жидкости, что они допускают нерегулярные режимы. Необходимо лишь выявить возникающую сингулярность и ввести соответствующее определение решения. В двумерном случае уже получен ряд результатов в этом направлении (R.J.DiPerna к A.Majda, 1987). Недавно Ж.-М. Делор (J.-M.Delort, 1991) доказал глобальную разрешимость задачи в случае, когда начальное распределение скорости суммируемо с квадратом, а завихренность является знакоопределенной мерой. Другие доказательства этого факта предложены в работах A.Majda (1993), L.C.Evans к S.Miiller (1994). Таким образом, частично решена задача о «вихревой пелене». «Вихревая пелена» — это линия, перемещающаяся вместе жидкостью, на которой терпит скачок касательная компонента скорости. То есть завихренность является мерой, сосредоточенной на этой линии. Для полного решения задачи требуется освободиться от условия знакоопределенности меры.
В диссертации рассматривается задача Коши для системы уравнений Эйлера с начальными данными, в которых завихренность имеет особенность типа J-функции Дирака, и поле скорости не является суммируемым с квадратом. Такой тип особенности называется точечным вихрем. При исследовании этой задачи необходимо наложить дополнительные ограничения на структуру решения. В гидродинамике принято предположение, состоящее в том, что точечный вихрь присутствует в течении и в последующие моменты времени и «сам на себя не действует», то есть, его движение определяется только регулярной составляющей скорости. Результаты главы 3 позволяют сделать вывод об обоснованности такого предположения. Эта глава посвящена доказательству глобальной однозначной разрешимости задачи о движении точечного вихря.
Данная задача рассматривалась ранее Н.Д.Введенской и Л.Р.Волеви-чем (1983), C.Marchioro к M.Pulvirenty (1983), B.Turkington (1987). В работах Н.Д.Введенской и Л.Р.Волевича доказана разрешимость регуля-
рнзованной задачи, а также приведены методы численного исследования. К.Маркьоро и М.Пулвнрентн решили задачу даже для случая нескольких вихрей в безграничном потоке жидкости, но в предположении что регулярные составляющие завихренности и скорости равны нулю. В этом случае, если в течении присутствует только один вихрь, то он будет неподвижен, и задача становится тривиальной. В статье Б.Туркингтона также предполагается, что регулярная часть завихренности равна нулю, но область течения ограничена, поэтому регулярная часть поля скорости не равна нулю, и вихрь перемещается. Цель работы.
Доказательство глобальной разрешимости краевых задач, описывающих эволюцию гидродинамических систем типа вязкая жидкость - твердое тело, идеальная жидкость - точечный вихрь, двухфазная жидкость.
Исследование полученных решений.
Методика исследования.
При получении результатов работы используются методы теории функций, функционального анализа, дифференциальных уравнений и уравнений математической физики. Для доказательства разрешимости рассматриваемых задач используются различные методы регуляризации: метод штрафа, регуляризация с помощью сингулярно возмущенных систем, сглаживание особенностей. Основные результаты диссертации. Научная новизна.
Доказана глобальная разрешимость задачи о движении абсолютно твердого тела в ограниченном объеме однородной вязкой несжимаемой жидкости с учетом возможных столкновений тела с границей области течения. Введены и изучены новые классы функций. Исследовано поведение тела вблизи границы.
Установлена глобальная разрешимость конвективной задачи Стефана с учетом энергии межфазного взаимодействия.
Доказана глобальная однозначная разрешимость задачи о движении точечного вихря в потоке идеальной несжимаемой жидкости. Обоснована классическая постановка этой задачи, а именно, показано, что ее решение является пределом решений задач со сглаженным начальным распределением завихренности.
Доказана глобальная однозначная разрешимость конвективной задачи Стефана со скачком плотности на межфазной границе для одного класса определяющих уравнений в предположении, что течение жидкости подчиняется уравнениям Стокса (медленное движение).
Теоретическая и практическая ценность работы.
Разработан оригинальный подход к решению задач гидродинамики, связанных с наличием областей твердотельного движения среды, открывающий новые перспективы в исследовании такого рода систем. Получены результаты о глобальной разрешимости ряда широко известных краевых задач, возникающих в механике сплошных сред. Применяемые для доказательства теорем существования методы и априорные оценки могут быть использованы при разработке численных алгоритмов решения рассматриваемых задач.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на следующих семинарах и конференциях: семинар им. И.Г.Петровского, МГУ, Москва, 1995; семинар под руководством профессора К.-Х.Хоффманна, Институт прикладной математики и статистики, Технический университет, Мюнхен, Германия, 1996; конференция "Regularization Methods in Free Boundary Problems", Фару, Португалия, 1996; семинар по дифференциальным уравнениям под руководством профессора Х.Ф.Родригеша, Центр математики, Лиссабон, Португалия, 1997;"международная конференция "Nonlinear Partial Differential Equations", Киев, Украина, 1997; математический семинар, Институт Картана, Университет А.Пуанкаре, Нанси, Франция, 2000; семинар теоретического отдела Института гидродинамики СО РАН под руководством академика РАН Л.В.Овсянникова, 2000; семинар под руководством чл.-корр. РАН П.И.Плотникова, Институт гидродинамики СО РАН, Новосибирск, 1996, 2000; семинар кафедры теоретической механики Новосибирского госуниверситета под руководством чл.-корр. РАН В.Н.Монахова, 2000; семинар под руководством профессора Т.И.Зеленяка, Институт математики СО РАН, Новосибирск, 2000; семинар под руководством профессора В.Н.Врагова, Институт математики СО РАН, Новосибирск, 2000; семинар под руководством чл.-корр. РАН В.В.Пухначева, Институт гидродинамики СО РАН, Новосибирск, 2000; семинар под руководством профессора А.М.Блохина, Институт математики СО РАН, Новосибирск, 2000; семинар под руководством профессора В.М.Ковени, Институт вычислительных технологий СО РАН, Новосибирск, 2000; Четвертый сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ), Новосибирск, 2000.
Публикации.
По теме диссертации автором опубликовано 11 статен. Часть из них написаны в соавторстве с П.И.Плотниковым и К.-Х.Хоффманном. Структура и объем работы.
Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Вторая глава разбита на три части. Объем работы —- 230 страниц. Список литературы содержит 155 наименований.
