Введение к работе
Актуальность темы.
К настоящему моменту, важными и интересными проблемами естествознания продолжают оставаться различные математические задачи, возникающие при исследовании движения разнообразных жидкостей и сред, во многом близких к жидкостям. В частности, до сих пор не получено полных и всесторонних результатов, касающихся вопросов о существовании и единственности решений начально-краевых задач, связанных с наиболее известными уравнениями гидродинамики - уравнениями Навье-Стокса. При этом не всегда очевиден ответ на вопрос о выборе граничных условий. Наиболее часто в гидродинамике используют условие прилипания, при котором поле скоростей жидкости на неподвижной, твердой границе сосуда, содержащего жидкость, обязано обращаться в нуль. Однако в последние десятилетия все большее распространение получает гипотеза о проскальзывании, согласно которой касательная составляющая скорости отлична от нуля и сложным образом связана с тензором напряжений.
Вопрос о выборе граничных условий имеет непростую историю. К примеру, Навье использовал условия проскальзывания. Тем не менее, к концу 40-х годов ХХ-века широкое признание получило условие прилипания. Однако во второй половине XX века, в связи с интенсивными экспериментальными исследованиями "неньютоновских жидкостей", было обнаружено, что для многих из этих жидкостей справедливы соотношения проскальзывания.
Среди математических работ, посвященных исследованиям задач гидромеханики при краевых условиях проскальзывания необходимо отметить работы В.Г. Литвинова, Н. Beirao da Veiga, L. Consiglieri, С. Le Roux, H. Fugita, M. Bulicek, J. Malek, K.R. Rajagopal, T. Hayat, Masood Khan, M. Ayub, S. Itoh, N. Tanaka, A. Tani.
Примечательно, что K.R. Rajagopal, один из ведущих специалистов по проблемам современной гидродинамики, выделяет важность исследований задач с проскальзыванием.
Хорошо известно, что нестационарное движение любой несжимаемой сплошной среды с постоянной плотностью р определяется системой дифференциальных уравнений в форме Коши:
, Div T + pF, {t, x) Є [0, T] x П, (1)
(JXi
divM = 0, (t,x) Є [0,T] x ft, (2)
где ft - ограниченная область, т.е. ограниченное открытое подмножество евклидова пространства Мп,п Є {2,3}; t - параметр времени; u(t,x) = (\ii(t,x),... ,un(t,x)) - вектор скорости точек среды; F = (Fi,... , Fn) - известная плотность внешних сил; Т" = {%^-=1 -тензор напряжений. Дивергенция div берется по переменной х. Дивер-
генция Div от тензора Т это вектор с координатами (Div T)j = ^ -^-.
Без ограничения общности будем считать в дальнейшем плотность р равной единице.
Тип рассматриваемой среды определяется видом определяющего (реологического) соотношения между Т и тензором скоростей деформации є {и) = {eij{u)}lj=1, Eijiu) = \ (^ + ) Так, при р > 0 соотношение вида
Tij = -pdij + 2рє%3(и), Vi,j Є {1, 2,... ,n}, (3)
определяет ньютоновскую жидкость. Здесь Sij - компоненты единичного тензора; p(t,x) — скалярная функция давления; коэффициент/і называется вязкостью. Подставляя (3) в (1), можно получить уравнения Навье-Стокса. Однако соотношение (3) подходит для описания довольно ограниченного класса сплошных сред, многие важные в практических приложениях жидкости, такие как полимеры, масла, гели и т.п., подчиняются иным ("неньютоновским") соотношениям между Т"
И Є.
Таким образом, математическая модель, описывающая течения произвольной несжимаемой жидкости в ограниченном сосуде, состоит из уравнений (1)-(2), реологического соотношения исследуемой жидкости, а также некоторых начальных и краевых условий. Для анализа вопроса о существовании решений, получающейся таким образом системы уравнений, в данной работе используются различные понятия слабого решения.
Целью работы является исследование вопросов существования и выяснению некоторых свойств слабых решений краевых, а также
начально-краевых задач, описывающих движение различных несжимаемых жидкостей при наличии проскальзывания.
Методика исследований. Использовались идеи и методы современного нелинейного анализа и теории дифференциальных уравнений в частных производных, теоремы о вложениях функциональных пространств, аппроксимационно-топологический метод исследования задач гидродинамики, развитый В.Г. Звягиным и его учениками.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Среди них можно выделить наиболее важные:
Доказаны теоремы о существовании слабых решений краевых задач, описывающих стационарные течения нелинейно-вязких жидкостей, а также вязко-пластической жидкости Бингама с различными условиями проскальзывания.
Доказана теорема о существовании слабых решений начально-краевой задачи, описывающей нестационарные течения нелинейно-вязкой жидкости при условии проскальзывания.
Исследована задача оптимального управления с обратной связью в одной модели неньютоновской жидкости, скользящей вдоль границы.
Теоретическая и практическая значимость. Работа имеет теоретический характер. Полученные результаты применяются при исследовании задач гидродинамики.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на Воронежских зимних математических школах (2004-2007), научной сессии ВГУ (2004-2007), семинарах под руководством проф. В.Г. Звягина (ВГУ, 2004-2007), международной научной конференции ТВМНА-2005, посвященной юбилеям проф. А.Д. Мышки-са и проф. Ю.Г. Борисовича (Воронеж, 2005), Пермской зимней школе (четырнадцатой) по механике сплошных сред (2005), семинаре под руководством проф. А.Л. Скубачевского (РУДИ, 2007), семинаре под руководством проф. А.С. Шамаева (МГУ, 2007).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[7]. Из совместных работ [3] и [7] в диссертацию вошли только принадлежащие диссертанту результаты.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, списка основных обозначений, трех глав, разбитых на девятнадцать пунктов, и списка литературы, включающего 45 источников. Общий объем диссертации 106 страниц.
