Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Задача Коши для системы уравнений, описывающей малые колебания вязкой сжимаемой жидкости 14
1.1. Некоторые вспомогательные утверждения 14
1.2. Доказательство теоремы о существовании решения задачи Коши 21
1.3. Асимптотические представления при t -> +со компонент решения задачи Коши 29
Глава 2. Существование и гладкость решения задачи (6) - (8) 36
2.1. Сведение исходной задачи к обобщенной 36
2.2 Построение формального решения обобщенной задачи (2.1.4) 40
2.3. Доказательство теоремы о существовании первой компоненты обобщенного решения задачи (6) - (8) 49
2.4 Доказательство теоремы о существовании второй компоненты обобщенного решения задачи (6) - (8) 61
2.5. Доказательство теоремы о существовании третьей компоненты обобщенного решения задачи (6) - (8) 72
2.6. Теорема существования решения задачи (6) - (8) 76
Глава 3. Асимптотические при со формулы решения задачи (6) - (8) 78
3.1. Асимптотические при t со формулы третьей компоненты решения задачи (6) - (8) 78
3.2. Асимптотическая формула при t со для первой компоненты решения задачи (6) - (8) 84
3.3. Асимптотическая формула при t со для второй компоненты решения задачи (6) - (8) 91
3.4. Асимптотические оценки при t -» со компонент решения 99
Глава 4. Проверка выполнения граничных условий 102
4.1. Проверка первого граничного условия 102
4.2. Проверка второго граничного условия 112
Глава 5. Начально - краевые задачи динамики экспоненциально -стратифицированной жидкости 118
5.1. Построение решения задачи динамики стратифицированной жидкости с
разрывными начальными и однородными граничными условиями 118
5.2 Изучение гладкости компонент решения задачи (36)-(38) 120
5.3 Построение решения задачи динамики стратифицированной жидкости при однородных начальных и разрывных граничных условиях 122
5.4. Существование решения задачи (36), (39),(40) 123
5.5. Вспомогательные оценки 124
5.6. Изучение гладкости компонент решения задачи (36), (39),(40) 125
5.7. Проверка выполнения условий (39), (40) 127
Литература
- Доказательство теоремы о существовании решения задачи Коши
- Доказательство теоремы о существовании первой компоненты обобщенного решения задачи (6) - (8)
- Асимптотическая формула при t со для первой компоненты решения задачи (6) - (8)
- Изучение гладкости компонент решения задачи (36)-(38)
Введение к работе
Настоящая работа посвящена изучению качественных свойств решений некоторых начальных и начально-краевых задач, описывающих малые колебания жидкостей. Под качественными свойствами решений понимаются точные асимптотические представления решений при f-»oo, изучение гладкости решений и динамики разрывов решений, порожденных негладкими начальными и граничными условиями.
Первыми работами в математической теории движения вращающихся жидкостей явились работы С. Л. Соболева [1], [2]. В этих работах исследовалось движение идеальной (то есть невязкой и несжимаемой) вращающейся жидкости. В работах Р. А. Александряна [3], Т. И. Зеленяка [4], В. Н. Масленниковой [5], В. Н. Масленниковой и М. Е. Боговского [5], [7], В. П. Маслова [8] исследовалась асимптотика при t -» а решений различных задач, описывающих движение вращающихся жидкостей.
В настоящее время возрос интерес к изучению динамики неоднородных, в частности, стратифицированных жидкостей. Здесь можно указать работы М. И. Вишика [9], Т. И. Зеленяка и В. П. Михайлова [10]. В монографии А. В. Глушко [11] содержатся результаты, относящиеся к дифференциальным операторам с неоднородным символом. В [11] рассмотрены также вращающие вязкие сжимаемые жидкости. Следует отметить также работу С. Л. Ляховой [12], в которой рассмотрена задача Коши для линеаризованной системы уравнений Навье - Стокса в случае, когда носитель правой части начального условия сосредоточен в круге единичного радиуса.
В настоящей работе рассматривается задача Коши и начально-краевые задачи для линейных систем дифференциальных уравнений, описывающих малые колебания вязких сжимаемых и вязких стратифицированных жидкостей. Рассматриваются случаи разрывных начальных или граничных условий. Получены асимптотические при ґ-»к формулы решений таких задач, доказаны теоремы о существовании решений этих задач, изучено, в каком смысле выполняются начальные и граничные условия.
Доказательство теоремы о существовании решения задачи Коши
Воспользуемся известными интегральными представлениями обратного преобразования Лапласа. Учитывая, что корни yJ}j = 1,2,3 многочлена P{s,f) лежат в левой полуплоскости, можно перейти от интегрирования по прямой Re/ = 7 0 к интегрированию по замкнутому контуру Г = Г(,у), охватывающему корни ур j = 1,2,3 и состоящему из отрезка -R \my R прямой Im у = а и полуокружности радиуса R, опирающейся на этот отрезок. Тогда Vj(x,t) = F;l Ш\р2{5,у)е у , j = 1,2,3, (2.2.18) где bi =-% b2=a2y(y + v\s\2) + sf; Ьъ = -is2(y + v\sf). (2.2.19)
Для вычисления интегралов по Г воспользуемся теорией вычетов. Учитывая, что при почти всех ,УЄІ?2,.У 0 выполняется условие Ух уг Уъ, получим из (2.2.18) формулы (2.2.1) - (2.2.3). Лемма 2.2.1 доказана. Формулы представления решения (2.2.1)-(2.2.3) зависят от корней у. J = 1,2,3 характеристического многочлена. Эти корни имеют вид (2.2.12). Выведем далее асимптотические представления корней уравнения (2.2.5) при \s - +0 и 5J-»+oo, а также асимптотические формулы некоторых интегралов. Эти формулы потребуются в дальнейшем.
Лемма 2.2.2. Справедливы следующие асимптотические представления корней yj(s), j = 1,2,3 многочлена (2.2.11) Доказательство. Рассмотрим вначале Jk2(t), где keN, /(A)-аналитическая в малой полуокрестности нуля, 8 0- достаточно мало. Найдем главный член асимптотики Jkl(t) при /- оо. В силу аналитичности f(X) и теоремы Коши представим Jk2(t) в виде: Таким образом, функция B](x,t) есть непрерывная и ограниченная функция при всех (х1,х2) е R2, t 0. Рассмотрим B\j(x,i). Так как при любом є 0 выражение (-v520ee" ограничено равномерно по совокупности своих аргументов, то подинтегральное выражение в B\ (x,t) с учетом (2.3.4) может быть оценено следующим образом cf\s\-x-1$. WifoiK 1 (2.3.23) Из (2.3.23) при є 1 следует оценка B\ {x,t)\ cfe \ \s\ X 2e ds с0Гє, є -. (2.3.24) Из (2.3.24) следует, что функция B\ {x,t) есть непрерывная ограниченная функция (xvx2) eR2,t 8 0 при любом 8 0. Отсюда, а также из (2.3.22) и (2.3.21) следует оценка первого слагаемого в (2.3.19): я (х,0 Ц \ є - (2.3.25) Из (2.3.25) следует, что функция Bll3(x,t) есть непрерывная и ограниченная функция при всех я, Є R\ Х2 0, t 8 0 при любом 8 0 Рассмотрим теперь второе слагаемое в правой части (2.3.19): en ds + BJ, ( , ) = I і ге/мАад( 1) (2л-) a2 N -2flW J + (2л-) a2 \S\ N -Н!о(ИІ+о(,ґ) Ш \нФю s = (2.3.26) Оценим каждое слагаемое в правой части (2.3.26). кадМ 52(x„f ) с J J—-5 ds c,. Ы ЛГ (2.3.27) При выводе (2,3,27) мы использовали неравенство \еГ2 1, справедливое при всех seR2, / 0. Таким образом, функция Bf 2(xvt) есть непрерывная и ограниченная функция при всех JC, є Rx, х2 0, t 0. Рассмотрим: er ds. 21 ( ) = (2 )V М УгА і) (2.3.28) Из представления (2.2.24) при достаточно большом N 0 следует оценка 1 . 2 Re/2(.y) —v\s\ . (2.3.29) С помощью оценки (2.3.29), неравенства (2.3.23) ( с заменой v на —) и представления (2.3.4) оценим подинтегральное выражение в (2.3.28):
Из (2.3.28) с помощью (2.3.30) получим Из оценки (2.3.31) следует, что функция B {x,t) является непрерывной, равномерно по xeR2,t 8 0 ограниченной функцией при любом 8 0. Из неравенств (2.3.31) и (2.3.27) вытекает, что для функции (2.3.26) при всех х є R2, t 8 0 (при любом 8 0) справедлива оценка Bl{x,t)\ c{\ + r),s -, (2.3.32) из которой, в свою очередь, следует, что функция В23 (х, t) является непрерывной, равномерно ограниченной по (x,t) из указанной выше области функцией. Рассмотрим теперь третье слагаемое в правой части (2.3.19). М 2 .2 Bl(x,t) = (2л) а \ 5 Л (Уъ-гЖь-Уг) eHds. (2.3.33) Из (2.2.24) и (2.2.22) получим, н В, (In) v v\s\ (2.3.34) - = Z?54 0 + 5S( 4 1K)2\JNV\S\\I (2л-) H?Nv\s\ (у21 - 3 f a1 + 0(1) + 0(\s\ 2) Оценим каждое из слагаемых, (2.3.35) і& Cj 00. \s\ N \S\ Таким образом, функция B (x,t) есть непрерывная и ограниченная функция при Bcexxt є R\ Х2 О, / 0. Оценим B(x,t) с учетом (2.3.4) в»( ,фС J ИА С, f Ы4 = 0О. (2.3.36) \s\ N \S\ \s\ H\S\ Таким образом, функция Bf(x,t) есть непрерывная и ограниченная функция при всех (xvx2) є R2, t 0. Отсюда и из (2.3.35), (2.3.36) следует, что функция B (x,t) есть непрерывная и ограниченная функция при всех (XX,X2)ER2, t 0. Нами доказано первое утверждение теоремы 2.3. Перейдем к доказательству представлений (2.3.9), (2.3.10), выполненных вплоть до ґ = +0. Заметим, что возникшее в первой части доказательства условие t S 0 обусловлено использованием при доказательстве оценок функций Bx (x,t) и B (x,t) неравенства(2.3.23).
Доказательство теоремы о существовании первой компоненты обобщенного решения задачи (6) - (8)
Объединим результаты, полученные в предыдущих параграфах главы 2 относительно ядер Bj(x,t), j = 1,2,3, выписанных в (2.3.7) и на их основе сформулируем утверждение о гладкости компонент (2.3.6) решения задачи (6) -(8). Из теорем 2.3, 2.4.1, 2.4.2, 2.5 следует, что ядра Bj{x,i), j = 1,2 являются непрерывными, равномерно ограниченными функциями хх є Rl, х2 О, t . О, для которых справедливы оценки \Bj{x,t)\ucJtj = 1,2. (2.6.1) Ядро B3(x,t) является непрерывной равномерно ограниченной по хх є R\ Х2 О, t S 0 функцией при любом 8 0, причем функция JtB3(x,t) непрерывна и равномерно по xl eR\ х2 0, t є[0;] ограничена. Таким образом, справедлива оценка \B3(x,t)\ c3(l + ±). (2.6.2)
Кроме того, для Вг{х,і) справедливо представление (2.5.2). Представления (2.3.6) задают компоненты решения Vj{x,t), j = 1,2,3, как свертки ядер Bj(x,t) с гладкой финитной функцией f2(t). Очевидно, компоненты v,( ,/), у = 1,2 являются непрерывными по совокупности переменных x R1, x2 0,t 0 функциями, для которых справедливы оценки v,(x,0 )\В х,і-т)\\/2(трт Cj \\f2(T)\dr, y = l,2. (2.6.3) о о Из (2.6.3), в силу финитности f2 (t) вытекает также равномерная оценка уДх,фс,/2(фг, ;=1,2. (2.6.4) Різ (2.6.3) также следует, что непрерывные вплоть до t = +0 функции v.( ,/), у = 1,2 имеют при t - +0 пределы limv,(x,t) = 0
Оценку для компоненты v3( ,0 легко получить с помощью оценки (2.6.2), eamfo:supp/2e[0; 0] v3(x,0 c3J(l + )/2(r) c3 max /2(г)-[ґ0 +J- L 0 V -Г rsupp/2 J _, = c3 max. /2(r)-[t0+2 ]. resupp/2 (2.6.5) Из (2.6.5) следует, что функция v3( ,f) непрерывна по х, eR1, х2 0, / 0 и равномерно по этому множеству ограничена. Если рассмотреть ґє[0;1], легко модифицировать оценку (2.6.5) следующим образом: Гз (x,t)\ c3 max /2(r).J(l + -== /r c3 max /2(г)-[ґ + 2л/ґ], resupp/2 J yJt—T resupp/2 откуда следует, что lim v3(x,t) = 0 при всех X1ER\X2 0. Г-++0 Таким образом, доказана Теорема 2.6. Компоненты Vj(x,t), j = \,2 решения задачи (6) - (8) являются непрерывными, равномерно по х1 є R\ х2 0, t 0 ограниченными функциями, компонента v3(x,t) решения является непрерывной равномерно ограниченной функцией переменных хх є Rl, х2 0, t 0, причем limvj(x,t) = 0, j = 1,2,3. Глава 3. Асимптотические при / - оо формулы решения задачи (6) - (8) 3.1. Асимптотические при t - оо формулы третьей компоненты решения задачи (6) - (8) . В силу (2.3.6) v3(x,t) = B3(x,t) f2(t), (3.1.1) где функции B3,f2 определены в (2.3.7), (2.3.5). Учитывая (2.3.8), (2.2.19), представим функцию В3(х,ї)в виде: B3(x,t) = B3x(x,t) + B32(x,t), (3.1.2) где is2e hi Pl(Sl) AM /2 is2e -і (3.1.3) Гг-Гг u( . ) = - ft "ft Справедлива следующая теорема. Теорема 3.1. Пусть функция рх(хх) удовлетворяет условию 2.1. Тогда для функции B3[x,t), определенной в (3.1.2), справедлива при f- x асимптотическая формула: В3(Х,І) = 0(Ґ), (3.1.4) равномерная при всех XXER\X2ER\ Доказательство. Рассмотрим каждую из функций Ви к = 1,2. Представим функцию B3X(x,t) в виде: Взх (x,t) = -В\х (x,t) - Вгзх (x,t) - В]х (x,t), (3.1.5) где (3.1.6) w ( ш41 (2яг) п; Г2-Гз области Q;, j = 1,2,3 определены в (1.2.3). Изучим каждое слагаемое в правой части (3.1.5). Переходя в интеграле Blx(x,t) к полярным координатам sx=Xcos6, s2 =Л sin в (3.1.7) и учитывая асимптотические формулы (2.2.20), (2.2.21), получим при достаточно малом 8 0: Bl(x,t) = B%(x,t) + B%(x,t), (3.1.8) где 2(2 ) 4!М= ТН МК+ +0(д3)) 1 2[27Г) оо J (3.1.9) InS М = 77 7 1 J«in«.0(A ) exp[(- +f+0(Л ))Л (3.1.10) 2(2 ) oo 7?i(/lcos0),W/fo/0; здесь p(x, в) = Xi cos в + x2 sin в. Используя формулы (2.2.25) и (2.2.42) при = 2, получим, й ( » )=ттгтг Я-2"2 sin +И) = (3.1.11) 2(2 ) 0J З 2т ..З 2ж = -т fsinft/0— (2л-)2 0J 2(2 ) 0(Г3У6» = 0 + 0(Г3) = 0(Г3) - оо. 0 Л Л; о Используя формулы (2.2.27)и (2.2.42) при = 4, получим, о і 5--4 2ж 3.1.12) вз1д( 0=::7 4гfsin6,o(1) +o(г5)=:O(/"4) 2(2 ) о Применяя (3.1.11) и (3.1.12) в (3.1.8) получим, (3.1.13) В\х (x,t) = О (г3) при t - оо. Рассмотрим теперь функцию B {x,t), определенную в (3.1.6). Ранее было показано, что при se(,iV), где S Q достаточно мало, a N 0 достаточно велико, справедливо неравенство Re% (s) 0, к = 1,2,3, то есть Reyk(s) -s0(S,N) 0, Ы 1,2,3.
Асимптотическая формула при t со для первой компоненты решения задачи (6) - (8)
Рассмотрим начально - краевую задачу (36) -(38). Докажем теорему 5.1. По функции U(x,t) построим функцию V(x,t), XER2, teR[, продолжив U{x,t) нулем при t О и по формулам (42) при х2 О. Непосредственно проверяется, что если функция U(x,t) является решением задачи (36) - (38), то построенная функция V(x,t) удовлетворяет в S (R3) следующей обобщенной задаче Коши: AV = F = {0;0;VOj(x);0}T, (5.1.1) 1, xt+(x2-2Ry Rl где оператор А определен в (36), Г-знак транспонирования, 1 г2 - " 2 -»2 rw( H О, х{ + (x2-2R)2 R2
Применим к правой и левой частям (5.1.1) преобразование Фурье FJ-M = Fx _ F и преобразование Лапласа Ц у, придем к уравнению A{-is,y)v = fx{s,y\ (5.1.2) где v = Fx sLt_ r[V], fx{s,y) = Fx sL Y[F], а матрица A(-is,y) является символом дифференциальной оператор - матрицы A{DX,—) из (36). Решая от алгебраическое уравнение (5.1.2), можем записать = = (5Л.З) где P(s,y) = detA(-is,y) = у(у+ \sf)\sf+ 6)QSI , матрица Bi ассоциирована к матрице A(-is,y). Учитывая, что fx{s,y), согласно (5.1.1), содержит только одну компоненту, отличную от нуля, вид (5.1.3) функции v(s,y) можно упростить: v(s,y) = p-\s,r)B\s,y)f0(s), (5.1.4) где B0(s,y) = {gslS2;-gs2;\sf S\is2gS}T, f0(s,y) = Fx [V0 (x)], S = y + v\sf. 116
Если правая часть (5.1.4) существует как элемент пространства обобщенных функций 5+(Д3), то решение уравнения (5.1.1) можно записать в виде V(x,t) = F;lL t[p-\s,y)B0(s,y)f0(s)]. (5.1.5) Лемма 5.1. Функция f0(s) имеет вид /0( ) = 24I"1 Jx (R\s\)cos(2Rs2), (5.1.6) где Jx(z)- функция Бесселя первого рода первого порядка. Доказательство. По определению функции f0(s) имеем /o( ) = W]=je%( ) = J efadx+ J tfdx. R2 x}+(x2-2R)2 R2 л2+(х2+2Д)2 Я2 В первом из интегралов проведем замену переменных интегрирования хх = xxR l; х2 = (х2 - 2R)R \ а во втором: хх = xxR x; х2 - (х2 + 2R)R \ Тогда в каждом из интегралов х2 + х\ 1; dxxdx2 = R2dxxdx2. Поэтому f0(s) = R2[ei2RS2 lei{ xdx + e-nRS2 \ei( Rs)dx = 2R2cos(2Rs2) \ei« Rs)dx. (5.1.7) Как следует из работы [13] j e,Wb)dKi = /to J,(i?js), где Jx(z)- функция Бесселя первого рода первого порядка. Отсюда и из (5.1.7) следует утверждение леммы 5.1. Обозначим rj(s) = -0,5v\sf + (-\y,j(0,5v\s\2f -\s[202os2, j = 1,2 (5.1.8) корни многочлена P(s,y). Введем обозначения h{S,t) = {e -e s)){yx{s)-yx{s))-\ (5.1.9) r{s,t) = {em\yx+v\sf)-er2{s)\y2+v\sf)(yAs)-y2{s))-x = -+vis? к (5.1.10) її ii После применения к уравнению (5.1.4) обратных преобразований Фурье Fs_ x и Лапласа 17х и простых вычислений можем записать формальное представление решения V{x,t) обобщенной задачи Коши (5.1.1) V(x,t) = {2к)-г \eiM{gSxs2 \s\2 ;-gs2 \s[2 ;0;0}rh{s,t)f0(s)ds + e 2 (5.1.11) +(2 )-2 je-iM{0;0;\;gis2 р}гф,0/0( )Ж.
В этом параграфе будет построена «асимптотика по гладкости» компонент решения (5.1.11) задачи (5.1.1). Это означает, что будут выделены и изучены разрывные составляющие компонент решения, порожденные разрывным начальным условием (37) и доказана непрерывность остальных компонент. Отметим, что предложенная методика позволяет изучить гладкость решений и более детально, однако, это не делается с целью экономии места. Приведем утверждения, доказанные в [11] и носящие технический характер. Лемма 5.2. Справедливы следующие оценки для функций (5.1.9). (5.1.10): \h(s,t)\ c\s\ 2+2ef; (5.2.1) С; (5.2.2) dt ф,0-1 с((1+ )-4 + (1 + 1 ) )- (5.2.3) Оценки верны при всех seR2 є[0,1]; постоянная с 0 зависит лишь от v,g,o)0,sve. Представим вектор - функцию (5.1.11) в виде V(x,t) = 2У ( ,0, (ГД ,0 = 1Х( Д ; = 1,2,3,4); (5.2.4) Vk(x,t) = (2тгТ2 \eiM{gSls2 \s\ 2 ;-gs2 \s\2 ;0;0}Th(s,t)f0(s)ds + Uk (5.2.5) +(2 )-2 \e-iM{0;0;l;gis2 \і\У r(s,t)fo№ где П,={$єЯ2:05#};П2 = {,5єД2фЛГ}. Число N 0 (достаточно большое) будет выбрано ниже. Лемма 5.3. Функции Vj(x,t), j = 1,2,3,4 являются непрерывными, равномерно ограниченными функциями xeR2,0 t T, при любых T,N 0. Доказательство. Из оценок (5.2.1) (при = 0) и (5.2.2) следует очевидное неравенство ф, ) с(1 + у). Из последнего неравенства, оценки (5.2.5) и оценки (5.2.1) (при s = Sj) следует неравенство V]{x,t)\ c te j \Шь; є j = 1, j = 1,2; j = 0, j = 3,4. (5.2.6)
Изучение гладкости компонент решения задачи (36)-(38)
Рассмотрим начально-краевую задачу в полупространстве хх є R\ Х2 0, t 0 для системы уравнений (36) с начальными условиями (39) и граничными условиями (40). Как показано в [11], продолжение решения U(x,t)задачи (36), (39), (40) нулем на / 0 и методом (42) на х2 0 сводит эту задачу к обобщенной задаче Коши AV = Fx = {0;2q(t)\_U](xx)S(x2y,0;0}T. (5.3.1) Применим к обеим частям (5.3.1) преобразование Фурье Fx_ s =F F и преобразование Лапласа Lt_ r. Воспользовавшись этими преобразованиями, приходим к уравнению A{-is,y)v = f {s,y), где f.{s,y) = Fx sLt r[Fx], а матрица A{-is,y) определена в (5.1.1). Так как F Si[\_xxx(xx)]= \ещнскх = -, то -і s\ решение задачи (5.3.1) может быть формально записано в виде V(x,t) = F;lL- t[v{s,y)} = F;\xL- t[G{s,y) q{y)l (5.3.2) Tflpq{y) = Lt r[q{t)l G(s,y) = 4sxA smsxP-\s,y){-ysxs2;ysxW0g lsl2;-iys2(y + v\s\2)}T. (5.3.3) Обозначим G(s,t) = Lr t[G(s,y)];v(s,t) = Lr t[v(s,y)]. Легко установить равенство 120 ,2„2т,/„ ,\ -2,. 2j V{S,l)-4b{ bmSyX 2 — ,—j — , —J—, —5 ) . \p.3A) \s\ ot \s\ ot g\s\ \s\ Тогда (формально, в случае существования свертки) v(s,t) = \6(t - T,s)q(T)dr. (5.3.5) о
Компоненты вектор - функции (5.3.2) имеют вид Vk(x,t) = V (x,t) + V (x,t), где функции Vj1 (х,t), Vх. (х,t), j = 1,2,3,4 определены в (44)-(48).
В этом параграфе будет показано, что при выполнении некоторых условий на функцию q{t) из условия (40) компоненты (44)-(48) решения задачи (5.3.1) при каждом t 0 принадлежат пространству L2(R2). Лемма 5.6. Пусть q(t), q {i) принадлежат пространству Z2(0,oo). Тогда при каждом t 0 справедливы следующие оценки компонент (44) - (48) решения задачи (5.3.1) lh(- 4, -c ( l ».. ;i=3 4 Доказательство. Доказательство проведем на примере компонент Vx(x,t);V(x,t). Компонента V2(x,t) оценивается аналогично V{0(x,t), а компонента V {x,i) аналогично V(x,t). Рассмотрим сначала V(x,t). Воспользовавшись равенством Парсеваля, получим
Доказательство. Так как при любом є є [0;1] справедлива оценка (t - т)Е 1 + /, t О,0 т t, то можно записать неравенство с использованием (5.2.1): Ks,t) f(A JA(V - r)f{r)\dr \c\s\-2+2e (t - ту \f(T)\dr о о cH"2+2/J(l + r)/(r) CC5 15-2+2C, о что доказывает утверждение леммы. Изучение гладкости компонент решения задачи (36), (39), (40)
Лемма 5.8. Пусть выполнено условие 5.1 для функций g(t), g (f) и g(0) = 0. Тогда компоненты решения (44)-(47) являются непрерывными, равномерно по t 0, х є R2 ограниченными функциями. Доказательство. Пусть выполнено условие 5.1 при f(t) = q (t). Перепишем представление (44), (45) компонент Vj(x,t), j = 1,2 решения исследуемой задачи в виде 6(f) .s.sin.s. . V(x,t) = Щ \e-M(-iy -i-2_L(/ (M) У(0Ж j = 1,2. (5.6.1) ЇЇ & sl При выводе (5.6.1) использованы равенства h(s,0) = Q, g(0) = 0. Оценим функции (5.6.1) с использованием неравенства (5.5.1) при є =—. 4cc»Vt vfr Jsinj-1± -c"falA Ace , r _,, eflsmiSil , Здесь cQ=—j1- (I + 77) drj со. Учитывая, что , dsx 00, получаем 7Г « » С Я" 0 0 1 равномерную по t 0,xeR2 оценку Vj(x,t), j = 1,2. Отсюда следует непрерывность Vj (х, t), j = 1,2 по совокупности переменных. 123 Пусть теперь выполнено условие 5.1 при f(t) = q(t). В этом случае для компоненты решения V%{x,t) дословно повторяются выкладки, проведенные для Vj(x,t), 7 = 1,2. Поэтому, компонента решения V(x,t) непрерывна и равномерно ограничена по совокупности переменных t О, х є R2. Перейдем к доказательству утверждения еммы при у = 4. Для этого Лемма 5.9. Компонента (48) решения является непрерывной функцией переменных xleRl,x2 0. При х2=0 справедливо равенство Vi(x{,Q,t) = #(01 ( ), то есть V (xl,0,t) имеет разрывы в точках хх = ±1. Доказательство. Вычисляя в явном виде обратное преобразование Фурье Fs _ Хі в (48), можем записать sin s. 6{t)q{t) (5.6.2) Vl{x,t) = 2e{t)q{t)F; [e 1 -00 -ч -Є -Z S —Є -Є - 1-1 I sms\ ЇЇ і S, Так как при z є [0;оо), є 0 справедлива оценка zeez eez s, то ДДЛО. . то есть 1 ( )-40,5) -5 « 00 Поэтому при х2 ФО справедлива оценка р ( 0 - /— J sins, ,1.5 dsx с\х 1-0.5 Таким образом, компонента V (x,t) при х2 мажорируется абсолютно интегрируемой по 51, функцией, с константой, зависящей от Б. Учитывая непрерывность подинтегрального выражения в Vl(x,i) по х1 и х2 заключаем, что V\{x,f) непрерывна по хх eR\ х2 ФО. Утверждение леммы относительно
