Задачи без начальных условий для некоторых классов неклассических уравнений Вафодорова Гулпари Одинаевна

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Задачи без начальных условий для некоторых параболических уравнений 15-38

1.1. Задачи без начальных условий для вырождающихся параболических уравнений 16-21

1.2. О единственности решения первых двух краевых задач для уравнения теплопроводности без начальных условий 22-38

Глава 2. Аналог задачи Гурса для некоторых дифференциальных уравнений 39-59

2.1. Задача Гурса для уравнения иху = а2щ в классе периодических функций 40-55

2.2. Аналоги задачи Гурса для уравнения иху = а2щ в классе целых функций экспоненциального типа 55-59

Основные результаты 60-61

Литература 62-68

• Задачи без начальных условий для вырождающихся параболических уравнений
• О единственности решения первых двух краевых задач для уравнения теплопроводности без начальных условий
• Задача Гурса для уравнения иху = а2щ в классе периодических функций
• Аналоги задачи Гурса для уравнения иху = а2щ в классе целых функций экспоненциального типа

Введение к работе

Начало исследованию задач без начальных условий для параболического уравнения принадлежит А.Н. Тихонову [52], который указал метод исследования задачи без начальных условий для уравнения теплопроводности и дал её первое строгое решение.

В его известной работе [53] была исследована единственность решения задачи без начальных условий (задачи Фурье) для уравнения теплопроводности

ди од²и

Задачей без начальных условий для отдельных параболических уравнений и систем занимались О. А. Олейник, Е.В. Радке-вич, С. Д. Ивасишен, А. Е. Шишков, К. В. Валиков, Н.М. Бокало, И. И. Шмулев, Е. И. Моисеев, А. И. Янушаускас, С. Д. Эйдельман, А. С. Калашников, Н. П. Куликов.

Тем не менее, задачи без начальных условий для вырождающихся параболических уравнений не изучались.

В настоящей диссертации изучаются задачи без начальных условий для вырождающихся параболических уравнений, задачи

без начальных условий для неклассического уравнения вида

щ = Lit,

где L — гиперболический оператор (аналог задачи Гурса).

Первая глава посвящена исследованию задачи без начальных условий для некоторых параболических уравнений.

1. Постановка задачи и результаты. В первом параграфе исследуются задачи без начальных условий для вырождающихся параболических уравнений.

Рассмотрим задачу

х^ки_хх = а²щ, -ос < fc < 2, х > О, * (—оо,+оо) (1) при граничных условиях

1 Г

/w-Еле**, /' = 2^/^/(г)е"'^н

Ограниченное решение будем искать в классе периодических функций в виде

+оо

*(*,*) = y, ^и^> (³)

/=-оо

причем функция u(x,t) непрерывно при X > 0, t Є (—00,+00) и непрерывно дифференцируема по t и дважды по х при х > О, t (—00,+00).

1 Г

^ldt.

Решение в этом случае имеет вид u(x,t) =

х^я^"*⁰(^ е-ч-уш-*«)), (4)

где Hil(x), Н_1(х) — функции Ханкеля.

Теорема 1 Пусть // = 0 при |/| > iV, тогда решение задачи (1), (2) существует, единственно и представляется в виде (4), где суммирование идет от —N до N.

Теорема 2 Краевая задача (1), (2) в классе периодических функций по t и ограниченных на +со имеет и притом единственное решение, причем от функции f(t) требуется периодичность и удовлетворение условию Гельдера.

Замечание 1 Если искать решение в классе убывающих при х —> со функций и периодических по *, то решение существует

и единственно при условии, что /о = 0, т. е.

т [ /(*) dt = 0.

-Г

Замечание 2 Если искать решение в классе растущих не быстрее некоторой степени х при х — со, то решений линейно независимых существует два.

Во втором параграфе главы исследовано одномерное уравнение теплопроводности щ = а²и_хх при t (—со, +со) в полуплоскости х > 0. Поэтому начальные условия не задаются, а задаются лишь граничные условия: либо первого рода и\_х=0 = /(), либо второго рода Ux|_x=o = /(*) Р^анее [52], для такой задачи с первым краевым условием была доказана единственность решения в классе ограниченных функций |г*(я,)| < М.. В этом параграфе доказана единственность решения в классе функций, растущих следующим образом:

\u{x,t)\< A(z² + |*l)^W + В, (5)

х > 0, t Є (—оо,+оо),

где А, В, S — положительные постоянные.

Приводится пример, что в случае S = 0 может и не быть. Для второй краевой задачи единственность решения доказана в классе функций

\u{x,t)\ ^li Tj y/x

С sign /_e---ign/ ^ _a /—^-^^,^ v^_

,3* «.;.«,; / \ —v

(«V^f)'

^g_="^ir(1_"1r'"^ⁿ_{''^/^' -л-}

Используя свойство

Г(1-*),!>) =

Sin 7ГІ/

27Г ^ . ,_ч .-„з»,

^:_г"М

С = -/^(signOe*^' («^м|)',

где ^ = 5.

^С = -^ЛГШ^^^'(2^^^А'

отсюда

Подставляя м/ в (1.3), получим окончательную формулу для решения задачи (1.1), (1-2):

»VZ HW) (^-4-.^.1.,^)) . (1.9)

Теорема 1.1. Пусть // = 0 при \l\ > N, тогда решение задачи (1.1), (1.2) существует, единственно и представляется в виде (1.9), где суммирование осуществляется от —N до N.

Теорема 1.2. Если функция f(t) является периодической и удовлетворяет условию Гелъдера, то краевая задача (1.1), (1.2) в классе периодических функций по t и ограниченных по х на +оо имеет и притом единственное решение.

Замечание 1. Если искать решение в классе убывающих при х —> оо функций и периодических по , то решение существует и единственно при условии, что /о = 0, т. е.

J f(t) dt = 0. -г

Замечание 2. Если искать решение в классе растущих не быстрее некоторой степени х при х —> оо, то решений линейно независимых существует два, как следует из формулы

^ио = /о + С\х.

1.2. О единствености решения первых двух краевых задач для уравнения теплопроводности без начальных условий

Рассматривается одномерное уравнение теплопроводности

щ = а²и_хх

при t Є (—оо,+со) в полуплоскости х > 0. Поэтому начальные условия не задаются, а задаются лишь граничные условия: либо первого рода

«1.=о = /(*)> либо второго рода

^u*lr=0 = /(О-

Ранее [52] для такой задачи с первым краевым условием была доказана единственность решения в классе ограниченных функций |и(х,)| < М. В настоящем параграфе доказана единственность решения в классе функций, растущих следующим образом:

\и{х,t)\ < А{х² + |t|)Н + В, (1.10)

для х > 0, t Є (—оо,+оо), где А, В, S — положительные постоянные.

Приводится пример, что в случае S = 0 единственности решения может и не быть. Для второй краевой задачи единственность решения доказана в классе функций

\u(x,t)\¹-* + B (1.11)

для х > 0, t Є (—оо, +оо), где А, В, S — положительные постоянные. Приведен пример, показывающий, что, если 6 = 0, то единственности решения может и не быть.

1. Рассмотрим первую краевую задачу для уравнения теплопроводности без начальных условий

щ = а²и_хх, х > 0, t Є (-оо,+оо), (1-12)

Ч,=о = /(*) в классе и Є С⁰([0, оо) х (—оо, оо)), дважды непрерывно дифференцируемых по х в области (0, оо) х (—оо, оо) и один раз непрерывно дифференцируема по t в той же области. Такое решение будем называть в дальнейшем регулярным.

Теорема 1.3. Пусть существует постоянная Т > 0, что выполнено условие (1.10) лишь для t < —Т; пусть для любого числа Ті > —Т существуют постоянные С > 0, Ь > 0, что при t Є [—Т,Ті] справедливо неравенство \u(x,t)\ < Cexp(bx²).

Тогда существует только одно регулярное решение задачи (1.12).

Доказательство. Для доказательства теоремы 1.3 достаточно доказать, что решение задачи (1.12) с функцией / = 0 равно нулю. Пусть u(x,t) — решение задачи (1.12) с / = 0. Обозначим

(р(х) =и(х,-Т),

где Т > 0. В силу (1.10) <р(х) удовлетворяет неравенству

\ф)\ < А{х² + Г)*-* + Б, х е [0, оо), Т > 0. (1.13)

Следствие. Существует только одно регулярное решение задачи (1.12), удовлетворяющее условию (1.10).

Рассмотрим теперь следующую задачу: найти регулярное решение краевой задачи

U_t = a²U_xx, ж > 0, *Є(-Т,оо), (1.14)

0Uo = O, t>-T,

U\t=-T = >(*)» причем функции U(x,t) удовлетворяют условию

1ЧМ)1 <Сехр(Ъх²)

для t Є (—Т,Т\), где Ті — любое число, удовлетворяющее неравенству Ті > -Т.

В силу леммы 1, которая будет доказана ниже, U(x,t) = u(x,t). Далее, решение задачи (1.14) можно записать в квадратурах [52]

u(x,t) = U(x,t) =

1 Г 1 Г <*-& (*+g)² І

= —-= / —===== < е <&$?*) - є ї^її+л \ <т?() df.

Дифференцируя полученную формулу по х, что возможно при t > —Т, имеем

1 / 1

иЛхЛ) = —т= / ——=== х

Оценим, например, интеграл 1\ (интеграл 1^ оценивается аналогично).

В интеграле 1\ заменим переменную на z по формуле

i-x .

Z =

2ay/t + Г "

/і = —. / e~^z2 -z-tp(x + 2z- ay/t + Г) Жг.

av^ + Г) J

s ' 2a-/t+1

Используя оценку (1.13) для функции <>(я) и элементарные неравенства

(a + b)²<2a² + 2fc²,

получим

\(p(x + 2zaVt + T)\ <

< А \(х + 2галДТт\ + Г + 5 <

< Л [2rc² + 8*²a(* + Г) + Г] *~* + В <

< Л [8г²а²(* + Г) + (2х² + Г)] *~* + В. Далее используем неравенства

(а + /3)И < 2*"* (_аЫ + /?М) ;

|v?(a; + 22a\/tTr)| <

< A2*-* [(Sz²a² (t + Г)) *~* + (2а;² + Г)И] + Б.

+oo

I'll < , ,* f e-*'\z\ Ш-> \z\¹-* (8a²)H x

—oo

x(t + T)*-^s + A2*~^s . (2z² + Г)*"* + я} +00
< / /" e^M*"* Л Л 2H . (8a²) W +

—оо

Л-2М у. + Г)Ы 7_, _в7_е^

ay/n(t + T) J ay/ir(t + T) J

—00 —с»

Из последней оценки видно, что 1\ —> 0 при Г —> оо и фиксированных х и t. Отсюда получаем, что u_x(x,t) = 0 для всех х > О и і Є (—оо, оо). Далее, учитывая граничное условие u(0,t) = О, имеем

u(x, t) = и(х, t) - ti(0, *) = / ^w*(> 0 ^ =

о для всех X > 0 и t Є (—оо, оо).

Теорема 1.3 доказана.

Замечание. Отметим, что из формулы, дающей решение задачи (1.12) [52]

t "(*'*)= /о г .^-^) f (г) dr

видно, что интеграл сходится, если функция /(т) растет не

быстрее, ЧЄМ |т|5^-<*.

Докажем теперь лемму, которая была использована при доказательстве теоремы.

Лемма 1. Регулярное решение U(x,t) задачи (1.14) совпадает с регулярным решением u(x,t) задачи (1.12) при t > —Т, при этом предполагается, что решения задачи (1.12) и (1.14) удовлетворяют условию

\u(x,t)\ < Ce^hx2

для t Є (—Т,Ті), где Ті — любое число, удовлетворяющее неравенству Ті > —Т.

Доказательство. Если функции и(х, t) и U(x, t) непрерывно дифференцируемы любое число раз в окрестности полупрямой {х = 0, t > —Т}, то можно их продолжить нечетно с сохранением гладкости

{u(x,t), -u(-x,t),

и=< . , U= <

х <0,

17(ж,*), х>0; -U(-x,t), х<0.

Обе функции w и U удовлетворяют одному уравнению теплопроводности на всей прямой

для х Є (—оо,оо) и t > —Т. Кроме того, они удовлетворяют одному начальному условию

Цх, -Т) = U(x, -Т) = <р(х)

для х Є (—со, со), где ф(х) — нечетное продолжение функции (р(х) на всю прямую. Так как функции u(x,t) и U(x,t) удовлетворяют

условию (1.10), то в силу теоремы Тихонова о единственности решения задачи Коши [61] функции и(х, t) и U(x, t) совпадают при t > -Т, х Є (-оо,+оо).

Поэтому для доказательства леммы достаточно показать, что функции u(x,t) и U(x,t) непрерывно дифференцируемы любое число раз в окрестности полупрямой {х = 0, t > —Т}. Отметим, что доказательство одинаково, что для функции u(x,t), так и для U(x,t). Поэтому проведем доказательство только для u(x,t).

Рассмотрим следующую краевую задачу:

v_t = a?v_xx, 0 < х < /, t > -Т; (1.15)

"U = о;

v\_x=[ =u(l,t) для t>-T] v\_t=__T = <р(х), 0 < х < I

в классе регулярных решений.

Решение задачи (1.15) в силу принципа максимума совпадает с u(x,t) при 0 < х < Z, t > —Т. Поэтому достаточно изучить гладкость функции v(x,t) в окрестности х = 0.

Решение задачи (1.15) можно искать в виде [48]

_/

Ф(т) Г (g-o² (*+п²
—г¹ »\(x-l)e **tt + (x + l)e ^^)
Іауркіі — г)ї L

1 Г 1 Г (»-о^а <*+е)² 1

dr +

Функция (р(т) определяется из следующего интегрального уравнения:

_{+ 21 f ^ 3-e~^fc)dr +}

J 2ay/Tr(t-r)2

oo
1 С 1 Ґ C-g)² __Ш2*_1

⁺ 2A/^WTfyr^-^e"^r^(f)^ ^(1Л7)

для t > —Т. Это уравнение возникает из требования, чтобы функция v{x,t) удовлетворяла граничному условию при х = /. Уравнение (1.17) это интегральное уравнение Вольтерра относительно функции ip(t) с непрерывным ядром и его решение существует, единственно и непрерывно.

Поэтому функцию v(x,t) можно представить в виде формулы (1.16) видно, что функция v(x,t) непрерывно дифференцируема в окрестности полупрямой

{x = 0,t >-Т}

любое число раз. Лемма 1 доказана.

Пример 1. Если в условии (1.10) положить S = 0, то единственности решения может и не быть. Действительно, пусть и = х, тогда такая функция и(х, t) удовлетворяет уравнению тепрлопроводно-сти (1.12) и однородному граничному условию при х = 0.

2. Рассмотрим теперь вторую краевую задачу для уравнения теплопроводности без начальных условий

щ = а²и_хх, х > О, t Є (—оо,оо), (1-18)

^w*Uo = /(*) в классе и Є С⁰([0, оо) х (—оо, оо)), дважды непрерывно дифференцируемых по х в области (0, оо) х (—оо, оо) и один раз непрерывно дифференцируема по t в той же области, причем u_x{x,t) непрерывна при х > 0, t Є (—оо,оо). Такое решение будем называть в дальнейшем регулярным.

Теорема 1.4. Пусть существует постоянная Т > О, что условие (1.11) выполнено лишь при t < — Т; пусть для любого числа Т\ > —Т существуют постоянные С > О, Ь > 0, что при t Є [—Т,Ті] справедливо неравенство

\u(x,t)\ <Се^Ьх\

Тогда существует только одно с точностью до постоянной регулярное решение задачи (1.18).

Доказательство. Для доказательства теоремы 1.4 достаточно доказать, что решение задачи (1.18) с функцией / = 0 является постоянной. Пусть u(x,t) — решение задачи (1.18) с / = 0. Обозначим через

(р(х) =и(х,-Т),

где Т > 0.

В силу (1.11) <р(х) удовлетворяет неравенству

\<р(х)\ < А(х² + Т)¹-* + В, х Є [0,оо), Т > 0. (1.19)

Следствие. Существует только одно с точностью до постоянной регулярное решение задачи (1.18), удовлетворяющих условию (1.11) на бесконечности.

Рассмотрим теперь следующую задачу: найти регулярное решение краевой задачи

U_t = a²U„_t х>0, *є(-Г,оо), (1.20)

#.1,=0 = 0, t>-T,

^U\t=-T = РМ» причем функция U(x,t) удовлетворяет условию

\u{x,t)\^b*²

іЄ[-Т,Тг],

где Ті — любое число, удовлетворяющее неравенству Т\ > —Т. В силу леммы 2, которая будет доказана ниже,

U(x,t) = u(x,t).

Далее, решение задачи (1.20) можно записать в квадратурах [52]

и(х, t) = U(x, t) =

1 С 1 Г <*-»' __i±siL1

2^У y/a*{t + T)\ Г^У)

Дифференцируя полученную формулу по t, что возможно при t > ~Т, имеем

с»

"'^(х'^г) = 8^?/(1Т?)|^Х

-0М ₊

*{«-*)*«Р (-4_{+ Г)}

__j_ 7 і г / (s-g)² \

₊

_4-)}^

Оценим, например, два интеграла, остальные оцениваются аналогично. Пусть

h = f ^-s- exp [-J|-liL.l df.

Заметим в этом интеграле переменную на 2 по формуле

f = 2алЛ + Tz + х и применим оценку (1.19) для функции <р().

33 В результате получим

+оо

|/i| <2а J * tp(2ay/t + Tz + x)dz<

-оо

< 2а /УЦ=г {^Л^Л^ + T)^l~^s\z\²-^2S+ {2х² + Г)¹"'* В} dz. J (t +1)

— ОО

Оценим для примера еще один интеграл

о Заменяя переменную f на

z =

2а\/Г+Т' получим, используя оценку (1.19), для

—оо

{А2¹-⁸ [(&a²z²(t + Г))¹"' + (2х² + Т)¹"*] + Б} dz.

Из полученных оценок видно, что І\ - О и її —>> 0 при Т —> оо и фиксированных х nt. Отсюда получаем, что

щ(х,Ь) = 0

для всех х > 0 и t Є (—оо, +оо).

Далее, из уравнения теплопроводности следует, что

и_хх — 0.

Учитывая граничное условие u_x(0,t) = 0, имеем

u_x(x,t) = u_x(x,t) - u_x(0,t) = / ««(,*) d = О

о для всех х > 0 и t Є (—оо, +оо). Поэтому градиент функции u(z, ) равен нулю при х > 0, т. е. функция и(ж, t) — постоянная.

Теорема 1.4 доказана. Лемма 2. Регулярное решение U(x,t) задачи (1.20) совпадает с регулярным решением u(x,t) задачи (1.18) при t > — Т, при этом предполагается, что решения задачи (1.18) и (1.20) удовлетворяют условию

\u(x,t)\ <Сехр(Ьх²)

для t Є [—Т,Ті], где Ті — любое число, удовлетворяющее неравенству Ті > —Т.

Доказательство. Если функции u(x,t) и U(x,t) непрерывно дифференцируемы в окрестности полупрямой {х — 0, t > — Т}, то тогда можно продолжить четно и с сохранением гладкости функции и(х, t) и U(x, t)

_л Г «(я,*), я? > 0,

и = <

^ u(-z,t), ж < 0,

| tf(-x,t), х <0.

Обе функции и и С/ удовлетворяют одному уравнению теплопроводности на всей прямой

для х Є (—со, со) и t > —Т. Кроме того, они удовлетворяют одному начальному условию

(я, -Г) = U(x, -Т) = ${х)

для х Є (—оо,оо), где (р(х) — четное продолжение функции <р(х) на всю прямую. Так как функции u(x,t) и U(x,t) удовлетворяют условию

l^w(#₅)l ^ Сехр(6х²),

то в силу теоремы Тихонова о единственности решения задачи Коши [61] функции и и U совпадают при t > —Т, х (—со, +оо).

Поэтому для доказательства леммы достаточно показать, что функции u{x,t) и U(x,t) непрерывно дифференцируемы любое число раз в окрестности полупрямой {х = 0,t > — Т}. Отметим, что доказательство одинаково, что для функции u(x,t), так и для U(x,t). Поэтому проведем доказательство только для u(x,t).

Рассмотрим следующую краевую задачу:

Щ = a²v_xx, 0 < х < I, t>-T; (1.21)

v\_x=l = u(l,t) для t>-T;

v\_t___T = (р(х), 0 < х < I

в классе регулярных решений.

Решение задачи (1.21) в силу принципа максимума совпадает с u{x,t) при 0 < х < I, t > —Т. Поэтому достаточно изучить гладкость функции v(x, t) в окрестности х = 0.

Решение задачи (1.21) можно искать в виде [48]

Функция ір(т) определяется из следующего интегрального уравнения:

_u(M) = -m₊1 / ₂jv _r)f exp (-g|^) *-

t oo

* fa» (-4) - "» {-МЫ } ^V(?) « ⁽¹-²³⁾

для t > —Т. Это уравнение возникает из требования, чтобы функция v(x,t) удовлетворяла граничному условию при х = I. Уравнение (1.23) — это интегральное уравнение Вольтерра относительно функции ф(Ь) с непрерывным ядром и его решение существует, единственно и непрерывно.

Поэтому функцию v(x,t) можно представить в виде формулы (1.22). Из формулы (1.22) видно, что функция v(x,t) непрерывно дифференцируема в окрестности полупрямой

{я = о,г> -Т}

любое число раз. Лемма 2 доказана.

Пример 2. Если в условии (1.11) положить S = 0, то единственности решения может и не быть. Действительно, пусть

и = х² + 2а²,

тогда такая функция u(x,i) удовлетворяет уравнению тепрлопро-водности (1.12) и однородному граничному условию

u_x(O_yt)=0

при х = 0.

3. Из теорем 1.3 и 1.4 вытекает следующая теорема, являющаяся аналогом теоремы Лиувилля для гармонических функций.

Теорема 1.5. Пусть функция u(x,i) является регулярным решением уравнения теплопроводности на всей плоскости; пусть существует постоянная Т > О, что для всех t < —Т справедливы неравенства

\u{x,t) - u{-x,t)\ < А(х² + |t|)H + В;

(1.24) \и(х, t) + «(-*, t)I < А(х² + |t|)H + В,

кроме того, пусть для любого числа Т\ > —Т существуют положительные постоянные Cub, что справедливо неравенство

КМ)| <Сехр(Ьх²)

дляге [-T,Ti], х Є (-оо,+оо).

Тогда функция и(х, і) — постоянная.

Следствие 1. Пусть функция u(x,t) является регулярным решением уравнения теплопроводности на всей плоскости и удовлетворяет неравенствам (1.24) для всех х, t Є (—оо,со), тогда функция u(x,t) — постоянная.

Следствие 2 Пусть функция u(x,t) является регулярным решением уравнения теплопроводности на всей плоскости и удовлетворяет неравенству

|«(*,*)|2 + |t|)W + B для всех i,tG (—00,00), тогда функция u(x,t) — постоянная.

Задачи без начальных условий для вырождающихся параболических уравнений

Постановка задачи и результаты. В первом параграфе исследуются задачи без начальных условий для вырождающихся параболических уравнений.

Рассмотрим задачу Ограниченное решение будем искать в классе периодических функций в виде причем функция u(x,t) непрерывно при X 0, t Є (—00,+00) и непрерывно дифференцируема по t и дважды по х при х О, t (—00,+00). 1 Г ldt. Решение в этом случае имеет вид u(x,t) = где Hil(x), Н_1(х) — функции Ханкеля. Теорема 1 Пусть // = 0 при / iV, тогда решение задачи (1), (2) существует, единственно и представляется в виде (4), где суммирование идет от —N до N. Теорема 2 Краевая задача (1), (2) в классе периодических функций по t и ограниченных на +со имеет и притом единственное решение, причем от функции f(t) требуется периодичность и удовлетворение условию Гельдера. Замечание 1 Если искать решение в классе убывающих при х — со функций и периодических по , то решение существует и единственно при условии, что /о = 0, т. е. Замечание 2 Если искать решение в классе растущих не быстрее некоторой степени х при х — со, то решений линейно независимых существует два. Во втором параграфе главы исследовано одномерное уравнение теплопроводности щ = а2ихх при t (—со, +со) в полуплоскости х 0. Поэтому начальные условия не задаются, а задаются лишь граничные условия: либо первого рода и\х=0 = /(), либо второго рода Uxx=o = /( ) Ранее [52], для такой задачи с первым краевым условием была доказана единственность решения в классе ограниченных функций г (я,) М.. В этом параграфе доказана единственность решения в классе функций, растущих следующим образом: где А, В, S — положительные постоянные. Приводится пример, что в случае S = 0 может и не быть. Для второй краевой задачи единственность решения доказана в классе функций где А, В, S — положительные постоянные. Формулируется аналог теоремы Лиувилля для регулярных решений уравнения теплопроводности на всей плоскости. В первом параграфе главы 2 рассматривается задача Гурса для уравнения иху = а2щ в классе периодических функций. 2.1. Постановка задачи и результаты. В области — щ, (7) (X со следующими краевыми условиями: =—оо (8) где / (х) и 7 (я) — заданные непрерывные функции Л(о) = (о) = о. Решение будем искать в классе периодических функций по

О единственности решения первых двух краевых задач для уравнения теплопроводности без начальных условий

Докажем теперь лемму, которая была использована при доказательстве теоремы. Лемма 1. Регулярное решение U(x,t) задачи (1.14) совпадает с регулярным решением u(x,t) задачи (1.12) при t —Т, при этом предполагается, что решения задачи (1.12) и (1.14) удовлетворяют условию для t Є (—Т,Ті), где Ті — любое число, удовлетворяющее неравенству Ті —Т.

Доказательство. Если функции и(х, t) и U(x, t) непрерывно дифференцируемы любое число раз в окрестности полупрямой {х = 0, t —Т}, то можно их продолжить нечетно с сохранением гладкости Обе функции w и U удовлетворяют одному уравнению теплопроводности на всей прямой для х Є (—оо,оо) и t —Т. Кроме того, они удовлетворяют одному начальному условию для х Є (—со, со), где ф(х) — нечетное продолжение функции (р(х) на всю прямую. Так как функции u(x,t) и U(x,t) удовлетворяют условию (1.10), то в силу теоремы Тихонова о единственности решения задачи Коши [61] функции и(х, t) и U(x, t) совпадают при t -Т, х Є (-оо,+оо). Поэтому для доказательства леммы достаточно показать, что функции u(x,t) и U(x,t) непрерывно дифференцируемы любое число раз в окрестности полупрямой {х = 0, t —Т}. Отметим, что доказательство одинаково, что для функции u(x,t), так и для U(x,t). Поэтому проведем доказательство только для u(x,t). Рассмотрим следующую краевую задачу: в классе регулярных решений. Решение задачи (1.15) в силу принципа максимума совпадает с u(x,t) при 0 х Z, t —Т. Поэтому достаточно изучить гладкость функции v(x,t) в окрестности х = 0. Решение задачи (1.15) можно искать в виде [48] Функция (р(т) определяется из следующего интегрального уравнения: для t —Т. Это уравнение возникает из требования, чтобы функция v{x,t) удовлетворяла граничному условию при х = /. Уравнение (1.17) это интегральное уравнение Вольтерра относительно функции ip(t) с непрерывным ядром и его решение существует, единственно и непрерывно. Поэтому функцию v(x,t) можно представить в виде формулы (1.16) видно, что функция v(x,t) непрерывно дифференцируема в окрестности полупрямой {x = 0,t -Т} любое число раз. Лемма 1 доказана. Пример 1. Если в условии (1.10) положить S = 0, то единственности решения может и не быть. Действительно, пусть и = х, тогда такая функция и(х, t) удовлетворяет уравнению тепрлопроводно-сти (1.12) и однородному граничному условию при х = 0. Рассмотрим теперь вторую краевую задачу для уравнения теплопроводности без начальных условий

Задача Гурса для уравнения иху = а2щ в классе периодических функций

Это уравнение возникает из требования, чтобы функция v(x,t) удовлетворяла граничному условию при х = I. Уравнение (1.23) — это интегральное уравнение Вольтерра относительно функции ф(Ь) с непрерывным ядром и его решение существует, единственно и непрерывно. Поэтому функцию v(x,t) можно представить в виде формулы (1.22). Из формулы (1.22) видно, что функция v(x,t) непрерывно дифференцируема в окрестности полупрямой любое число раз. Лемма 2 доказана.

Пример 2. Если в условии (1.11) положить S = 0, то единственности решения может и не быть. Действительно, пусть тогда такая функция u(x,i) удовлетворяет уравнению тепрлопро-водности (1.12) и однородному граничному условию 3. Из теорем 1.3 и 1.4 вытекает следующая теорема, являющаяся аналогом теоремы Лиувилля для гармонических функций. Теорема 1.5. Пусть функция u(x,i) является регулярным решением уравнения теплопроводности на всей плоскости; пусть существует постоянная Т О, что для всех t —Т справедливы неравенства кроме того, пусть для любого числа Т\ —Т существуют положительные постоянные Cub, что справедливо неравенство Тогда функция и(х, і) — постоянная. Следствие 1. Пусть функция u(x,t) является регулярным решением уравнения теплопроводности на всей плоскости и удовлетворяет неравенствам (1.24) для всех х, t Є (—оо,со), тогда функция u(x,t) — постоянная. Следствие 2 Пусть функция u(x,t) является регулярным решением уравнения теплопроводности на всей плоскости и удовлетворяет неравенству «( , ) A(s2 + t)W + B для всех i,tG (—00,00), тогда функция u(x,t) — постоянная. Аналог задачи Гурса для некоторых дифференциальных уравнений В этой главе изучается аналог задачи Гурса для неклассического уравнения вида иху = а2щ. В классе периодических функций решения выписываются в виде некоторого функционального ряда. При определенных ограничениях на исходные данные доказана однозначная разрешимость такой задачи. В классе функций экспоненциального типа решения аналога задача Гурса выписывается в виде интеграла Фурье. Также доказаны существование и единственность решения такой задачи. Задача Гурса для уравнения иху = а2щ в классе периодических функций Рассмотрим задачу Гурса для уравнения, когда в правой части стоит гиперболический оператор, а в левой — первая производная по времени. Рассмотрим задачу где fk(x) и # (я) — заданные непрерывные функции, причем Л(0) = 9к(0) = 0. Решение будем искать в классе периодических функций по t Как и выше, умножим уравнение (2.1) на е-1" , проинтегрируем по t на промежутке (—Г,Т) и с помощью интегрирования по частям сведем задачу (2.1) к следующей задаче:

Аналоги задачи Гурса для уравнения иху = а2щ в классе целых функций экспоненциального типа

Некоторые вопросы, связанные с распространением тепла, приводят к задачам без начальных данных для параболических уравнений. Для этих задач не имеет значения направленность времени. Рассмотрим задачу при заданных граничных условиях

Предположим, что функции / и д — целые функции экспоненциального типа конечного порядка по ; f,g Є 2(-00,+00) по аргументу t и непрерывно дифференцируемы по гс, у. Тогда их можно представить в виде [11]

Будем искать решение в классе целых функций экспоненциального типа конечного порядка по t, причем и(х, /, t) Є 2(-00, +00) по t: Чтобы решить уравнение (2.30), умножим его на е гіт и проинтегрируем по t (—А, А). Затем с помощью интегрирования по частям сведем задачу (2.30) к задаче иху = а2ітїї(х, у, т). (2.33) Интегрируя уравнение (2.33) по х и у, получаем о о Точно также, как была получена формула (2.10), используя метод последовательных приближений, получим следующую формулу, дающую решение задачи (2.33): С помощью функции Бесселя можем записать решение уравнения (2.33) в виде (V5a(l - іва&іт)у/\т\ф-8)) Gi{s,r)ds, (2.36) Подставляя (2.36) в (2.32), получим окончательную формулу решения задачи (2.30), (2.31): также финитно по т. Достаточно потребовать, что f(x,t) и д(у, і) были функции экспоненциального типа. Теорема 2.4. Пусть f(x,t) и g(y,t) — целые функции экспоненциального типа по t конечного порядка, непрерывно дифференцируемые по х и у, для которых существуют следующие интегралы по вещественной оси: Va;, у 0 и существует такая постоянная А, что Тогда интегральная формула (2.37) дает единственное регулярное решение задачи (2.30), (2.31) в классе целых функций экспоненциального типа по t.

Похожие диссертации на Задачи без начальных условий для некоторых классов неклассических уравнений

О решении одного класса линейных уравнений параболического типа с функциональными условиямиЮсуфов, Али Тураевич

Нелокальные краевые задачи для некоторых классов уравнений нечетного порядкаЛукина, Галина Александровна

Об одном классе обратных задач для параболических уравненийЖидков, Евгений Николаевич

О начально-краевых задачах для некоторых классов эволюционных уравненийАмиров, Шариф Ханкиши оглы

Краевые задачи для некоторых классов нагруженных уравнений гиперболического типаБозиев, Олег Людинович

Граничные задачи для некоторых классов дифференциальных уравнений в частных производных высших порядков с сингулярной точкойАхмад Джелло

Решение одного класса парных интегральных уравнений в задачах теории дифракции Ахмедов Тураб Мурсал оглы

Задача Моравец для одного класса уравнений смешанного типаАкимов Андрей Анатольевич

О корректных краевых и обратных задачах для некоторых классов эволюционных уравненийБубнов, Борис Алексеевич

О разрешимости краевых задач для некоторых классов нелинейных уравнений неклассического типа Касенов Шамкен Касенович