Начальные и граничные задачи для сингулярных абстрактных дифференциальных уравнений Афанасьев Сергей Николаевич

Основы теории полугрупп. Дробные степени операторов.

Здесь А действующий в Е оператор с плотной областью определения D(A), аи0є D{A). Решением задачи Копій (1.2) — (1-3) называется сильно (в смысле Фреше) непрерывно дифференцируемая на отрезке [0;Т] функция u(t), значения которой принадлежат D{A) при всех t Є [0;Т], удовлетворяющая (1.2) и (1.3). Задачу Коши (1.2) — (1-3) называют корректно поставленной на отрезке [0;Т], если при любом UQ Є D{A) существует ее единственное решение u{t), непрерывно зависящее от начальных данных, т. е. из ип(0) — 0, ип(0) є D(A) для соответствующих решений un{t) следует un{t) "- 0 при каждом іє[0;Т]ип- со. Семейство линейных ограниченных операторов T(t), 0 t оо называется полугруппой, если Теорема 1.1 ми задача Коши (1.2) — (1 3) корректна, то ее решение дается формулой u(t) = X()tto, щ- Є- D(A), где T(t) сильно непрерывная при t 0 полугруппа операторов. Для корректной задачи Коши lim п" ." " = ш оо. Число и назы- вается типом полугруппы T{t) и типом задачи Коши (1.2) — (1 3). Линейный оператор T {Q)UQ Hm 11 0 определенный на тех элементах щ, для которых функция T(t)uoy доопределенная в нуле как щ, дифференцируема справа в нуле, называется производящим оператором полугруппы. Производящий оператор обладает следующими основными свойствами: 1) Для всякого х Є D(T (0)) функция T(t)x имеет непрерывную про изводную при t О, причем T(t)T (0)x = Tr(0)T(t)x. 2) Оператор А, порождающий корректную задачу Коши, может быть расширен до производящего оператора Х (0) сильно непрерывной полугруппы T(t). Заметим, что AT(t)x = T(t)Axf х є D(A). Корректно поставленная задача Коши называется равномерно корректной, если из ип(0) —» 0 следует, что un(t) — 0 равномерно по t на каждом конечном промежутке [0;Т] при п — оо. Говорят, что полугруппа T(t) принадлежит классу Со, если она сильно непрерывна при t 0 и удовлетворяет условию lim T{t)x = х при любом х Е. Полугруппа класса Со имеет следующие свойства: 1) Справедлива оценка ]Т() Меші. Число ш называется типом полугруппы. 2) Область определения любой степени производящего оператора Г (0), т. е. D((T (0))n), п = 1,2,... всюду плотна в Е. 3) Производящий оператор Т (0) замкнут и имеет резольвенту при всех Л, удовлетворяющих условию Де А иг. Имеют место следующие основные теоремы о полугруппах класса Теорема 1.2 Для того чтобы задача (1.2) — (1-3) с замкнутым оператором А была равномерно корректной, необходимо и достаточно, чтобы А был производящим оператором полугруппы класса CQ. Теорема 1.3

Для того чтобы задача (1.2) — (1-3) с замкнутым оператором А была равномерно корректной, необходимо и достаточно} чтобы для резольвенты R(X) оператора А выполнялось условие при некоторых из и М. При этом для соответствующей полугруппы справедливо неравенство Заметим, что для выполнения условия (1.4) достаточно, чтобы имела место оценка Полугруппа называется аналитической, если она имеет аналитическое продолжение с полуоси t 0 в некоторый сектор Sv — {z : \arg z\ p, 0 z со, 0 p } и сильно непрерывна на замыкании этого сектора Stp. Теорема 1.4 Замкнутый оператор А с плотной в Е областью определения D(A) является производящим оператором аналитической полугруппы тогда и только тогда, когда резольвентное множество р(А) включает некоторую полуплоскость ReX то, и в ней резольвента удовлетворяет неравенству Тогда аналитическая полугруппа T(z) представима в форме где контур Г образован лучами А = а + Ае±г , 0 А оо, 7 "0) f +arcsm jjj, а М взято из условия (1.5). При этом спектр оператора А лежит в секторе Е , расположенном слева от контура а-,Ф, а сектор аналитичности S дляТ(г) удовлетворяет неравенству где М — константа из (1.5). Теперь рассмотрим в Е неоднородную задачу Коши где /(і) непрерывна на отрезке [0;Т], a w0 Є D(A). Теорема 1.5 Пусть задача Коши (1.6) — (1-7) корректна на D(A) и оператор А имеет хотя бы одну регулярную точку. Если u(t) решение (1.6) — (1-7)} їло оно задается формулой Следующая теорема указывает достаточные условия, при которых формула (1.8) дает решение задачи (1.6) — (1-7). Теорема 1.6 Пусть задача (1.6) — (1.7) равномерно корректна и UQ Є (А), а функция f(t) удовлетворяет одному из следующих условий: V /( ) &{А) и функция Af(t) непрерывна при t Є [0;Т]; 2) Функция /() непрерывно дифференцируема при t [0;Х]. Тогда (1.8) есть решение (1.6) — (1-V при всех t е [0;Х]. Пусть оператор А слабо позитивен. Тогда мы можем определить дробные степени оператора А формулой Контур Г был определен в предыдущем параграфе. Операторы А а, 0 а оо ограничены и образуют полугруппу, так как выполняется свойство А аА & = А (а+№. Для а є (0; 1) можно определить дробные степени оператора А формулой Теорема 1.7 Полугруппа степеней оператора А, определенная формулой (1.9), удовлетворяет Co-условию и является аналитической в открытой правой полуплоскости, причем

Положительные дробные степени Аау а 0 определяются как операторы, обратные к соответствующим отрицательным степеням. Они обладают следующими основными свойствами: 1) При любых а, 0 а оо операторы Аа замкнуты, и их область определения D{Aa) плотна в Е. 2) D(Aa) D D(A0) при а J3. 3) Если х D(Aa+13), то АаА$х = Аа+/Зх. 4) Имеет место оценка 5) При 0 а 1/2 операторы — Аа являются производящими опе раторами аналитических полугрупп, удовлетворяющих Со-условию. Изложенная в этом параграфе теория взята из работ [21], [30] и [68]. Кроме того, изложенную здесь теорию и примеры полугрупп можно найти в монографии [62]. 1.3 Основные свойства операторных косинус-функций Семейство C(t), t Є R линейных ограниченных операторов, действующих в Е, называется сильно непрерывной операторной косинус- 18 функцией (КОФ), если С [і) сильно непрерывна при t R, С(0) — I vs. выполняется тождество Производящим оператором КОФ C(t) называется оператор А = С"(0). Область определения А — это множество тех х Еу для которых функция C(t)x дважды дифференцируема в точке t = 0. Это эквивалентно тому, что Пусть А линейный оператор, действующий в Е с областью определения D{A). Задача Коши называется корректной типа со на R, где со Є R, если выполнены следующие три условия. 1) В пространстве Е существует плотное подмножество D С D(A), такое что для любых щ, щ Є D найдется единственное решение u(t), t R задачи (1.10) — (1.11). 2) Для каждого решения u(t), удовлетворяющего 1), 3) Если { ()} — последовательность решений задачи (1.10) — (1.11) и lim ип(0) — lim и п(0) = 0, то lim un(t) — 0, и сходимость рав номерна по в ограниченных подмножествах R. Имеет место Теорема 1.8 Следующие утверждения эквивалентны. 1) Задача Коши (1.10) — (1-И) корректна типа со на R для неко торого со, 2) А является производящим оператором сильно непрерывной КОФ, 3) Резольвентное множество оператора А не пусто, и для каждого х D{A) задача имеет единственное решение u(t) = C(t)ua в C2(R,E). Следующее утверждение играет ту же роль в теории операторных косинус-функций, что и теорема 1.3 в теории полугрупп. Теорема 1.9 Для того чтобы А являлся производящим оператором сильно непрерывной КОФ C(t), необходимо и достаточно, чтобы оператор А был замкнут, имел плотную в Е область определения D(A) и существовали константы М 1, ш 0, такие что при ReX LJ А2 Є р{А) и Функция называется операторной синус-функцией (СОФ), ассоциированной с C(t). Пусть А порождает сильно непрерывную КОФ С (і) и D(A1/2) = {х:хеЕ, C(t)x Є C\R,E)}. Имеет место следующее утверждение.

Свойства операторных функций Бесселя

Рассмотрим семейство линейных ограниченных операторов I {z) вида Здесь xE,v -1/2, Cv = 2 71- (17( + 1/2))"\ C(t) сильно непрерывная КОФ. Эти операторы называются операторными функциями Бесселя (ОФБ). Сформулируем свойства I„(z)y установленные в [25], в виде следующего утверждения. Теорема 1.13 Пусть v —1/2, z 0, х є D(A). Тогда функция u(z) = Iv{z)x дважды непрерывно дифференцируема, удовлетворяет уравнению и при v 1/2 справедливы соотношения Воспользовавшись (1.25), можно определить при х Є D(A) и v (—3/2; —1/2], -1 функцию Iv{z), z 0 формулой Аналогично можно определить Iv{z)x для любых v —1/2, v ф -1,-2,..., если х Є D(An) при достаточно большом п N. Операторную функцию Бесселя I-\f2{z)x можно определить на всем Е при помощи формулы Справедлива Лемма 1.4 При v [—1/2;+оо) функции Iu{z)x (заданные формулой (1.24) Щи v —1/2 и формулой (1.27) при v = lf2) определены на Е и непрерывны по z, а при х D(A) дважды непрерывно дифференцируемы при z 0. При этом справедливы неравенства В следующей теореме выясняется асимптотическое поведение функции Iv(z)x. Теорема 1.15 Справедливы соотношения являющуюся аналогом определителя Вронского для Iv(z) и I-V{z). Теорема 1.16 Определенная формулой (1.34) на D(Ak l/ 1 ) оператор-функция W(z) допускает продолокение до ограниченного на всем Е оператора, причем Рассмотрим теперь оператор-функцию С помощью теоремы 1.16 устанавливается Теорема 1.17 Определенная формулой (1.36) на D{Ak t/ Vi) оператор-функция W(z) допускает продолжение до ограниченного на всем Е оператора, причем Изложенные здесь факты взяты из работы [41]. Общий взгляд на теорию ОФБ изложен в [15]. 2 Глава II. Коэрцитивная разрешимость абстрактной вырождающейся параболической задачи Коши в пространствах Бохнера 2.1 Однозначная разрешимость абстрактной вырождающейся параболической задачи Коши в пространстве непрерывных функций Рассмотрим в банаховом пространстве Е задачу Коши Здесь А действующий в Е производящий оператор аналитической полугруппы класса Co T(t) = e tA t 0, см. [62]. В частности, А замкнут и его область определения D(A) плотна в Е, Функция a(t) непрерывна на отрезке [0; Т], непрерывно дифференцируема в интервале (0;Г], причем a(t) 0 при t 0, о(0) - 0. Определение 2.1 Решением задачи (2.1) — (2.2) назовем u(t) Є С1, такую что a(t)Au(t) Є С и u(t) удовлетворяет (2.1) и (2.2). Докажем однозначную разрешимость задачи (2.1) — (2.2) при определенных условиях на f(t) и начальное условие щ. Имеет место Теорема 2.1 Пусть и0 Є D(A), а функция f(t) удовлетворяет одному из следующих условий: Тогда задача (2.1) — (2.2) однозначно разрешима, причем решение имеет следующий вид

Доказательство. Выполняя в (2.1) — (2.2) замену мы приходим к невырождающейся задаче Коши см. [30]. Выполняя в (2.7) замену (2.4) сначала по т, а затем по 5, мы получаем (2.3). Теперь покажем, что функция u(t)t полученная формально, действительно дает решение задачи (2.1) — (2.2) в смысле определения 2.1. Пусть f(t) удовлетворяет условию 1). Так как f(t) Є Здесь мы используем свойства полугруппы T(t) и непрерывность a(t) при t [0; Г]. Из (2.9) также следует, что u(t) удовлетворяет задаче (2.1) — (2.2), поскольку щ Є D(A). Так как T(t) — аналитическая полугруппа класса Со, задача (2.1) — (2.2) равномерно корректна и полученное решение единственно. Случай, когда /() С1 рассматривается аналогично с помощью интегрирования по частям в формулах (2.8) и (2.9). Теорема доказана. 2.2 Коэрцитивная разрешимость неоднородной вырождающейся параболической задачи Коши Рассмотрим вопрос о коэрцитивной разрешимости задачи (2.1) — (2.2) в пространствах Бохнера Вр, р Є (1;+оо). Для этого введем определение обобщенного решения. Определение 2.2 Решением задачи Коши (2.1) — (2.2) называется функция u(t) Є Wp, такая что a(t)Au(t) Bv, удовлетворяющая начальному условию (2.2) и почти всюду на [0;Т] уравнению (2.1). Из определения 2.2 вытекает, что f(t) Є Вр, р Є (1;+оо). Пусть в (2.1) f(t) = 0. Обозначим через j \\ЕФ норму максимального пространства начальных значений Е$, для которого однородная задача (2.1) — (2.2) однозначно разрешима. (Ниже мы докажем, что Еф есть банахово пространство.) Определение 2.3 Задача (2.1) — (2.2) коэрцитивно разрешима в Вр, если для любых /() Є Вр и щ Є E$ решение задачи (2.1) — (2.2) существует и единственно и выполняется неравенство В этой главе доказывается коэрцитивная разрешимость задачи (2.1) — (2.2) при определенных условиях на функцию о (і). Вначале докажем однозначную разрешимость задачи (2.1) — (2.2) в смысле определения 2.2. Лемма 2.1 Пусть р (1;+оо). Тогда решение задачи (2.1) — (2.2) существует и единственно. Доказательство. Из теоремы 2.1 следует, что для любых щ Є D(A) и /(і), Af(t) є С задача (2.1) — (2.2) имеет единственное решение в смысле определения 2.1. Поэтому для таких щ и f(t) решение (2.1) — (2.2) тем более существует в смысле определения 2.2. Докажем един ственность этого решения. Согласно теореме 2.1, для любой f(t) Є D(A), такой что f(t)}Af(t) єС задача имеет единственное решение в смысле определения 2.1, и его можно записать в виде Пусть u(t) любое решение задачи (2.10) — (2.11) с нулевой правой частью f(t) — 0. Покажем, что u(t) = 0 почти всюду на [0;Т]. Пусть L(u(t)) = u (t)+a(t)Au(t) и v(t) = R(X)u(t), где А фиксированная регулярная точка. Ясно, что L(v(t)) = 0. Следовательно, Выполняя интегрирование по частям в первом слагаемом (2.12) и используя свойства аналитической полугруппы T(t) и начальное условие (2.11), мы получим, что R(X)u(t) = 0 почти для всех t Є [0;Т]. Вследствие обратимости оператора Л(А) в регулярной точке мы находим, что u{t) = 0 почти для всех t [0;Х]. Отсюда вытекает единственность решения задачи (2.10) — (2-11) с f(t) = 0, а значит, и задачи (2.1) — (2.2) в смысле определения 2.2 для любых допустимых значений щ.

Разрешимость неоднородной вырождающейся гиперболической задачи Коши в пространствах Бохнера

Здесь А действующий в Е производящий оператор сильно непрерывной операторной косинус-функции C(i), t R. В частности, А имеет регулярные точки, и его область определения D(A) плотна в Е. Ниже доказывается однозначная разрешимость задачи (3.1) — (3.2) при определенных условиях на начальные данные ио и щ и функцию /() в пространстве непрерывных функций С. Всюду в этой главе Iu{z) . z О есть операторная функция Бесселя (ОФБ). Определение 3.1 Решением задачи Коши (3.1) — (3.2) называется функция u(t) Є С2, такая что t2aAu(t) С, удовлетворяющая уравнению (3,1) и начальным условиям (3.2). Вначале рассмотрим однородную задачу Пусть и = 2, , . Имеет место Теорема 3.1 Пусть а 0 u«o,ui Є - (- )- Тогда задача (3.3) — (3-4) имеет единственное решение Доказательство. Выполнив в задаче (3.3) — (3-4) замену z = Здесь v(z) = u({ )2l,) T = 2fT . В соответствии с определением 3.1, решением задачи (3.6) — (3.7) мы назовем функцию v(z) Є С([0;Т],Е)ПС2((0;Т],), такую что существует предел функция Av(z) непрерывна при z Є (0;Т], удовлетворяющую уравнению (3.6) и начальным условиям (3.7). Решение задачи (3.6) — (3-7) мы будем искать в виде v(z) = zvI-l/(z)w0 + zvIv{z)wi\ w0,wi Є D(A). (3.8) Отметим, что слагаемые в формуле (3.8) линейно независимы по теореме 1.17. Покажем, что функция v(z) удовлетворяет уравнению (3.6) при z Є (0;Т\, Согласно лемме 1.4, функция v(z) дважды непрерывно дифференцируема при z 0. Используя формулы (1.25) и (1.30) — (1.31), найдем производные Подставляя v (z) и v"(z) в (3.6), мы получим, что v(z) удовлетворяет уравнению (3.6) при любых Покажем, что существуют такие WQ и w\ D{A), что v{z) удовлетворяет начальным условиям (3.7). Отметим, что согласно свойствам ОФБ, v(z) определена и непрерывна при z 0 для любых wo,w\ Є Е. Используя асимптотическое представление (1.32), мы имеем Поэтому Аналогично, применяя (1.32) и (3.9), мы получаем, что В результате мы получаем, что функция является решением задачи (3.6) — (3.7). Выполняя в (3.10) замену z = 2г4 , мы получаем формулу (3.5), которая дает решение задачи (3.3) — (3.4) при щ,щ Є D{A). Единственность этого решения следует из результатов, полученных в работе [15]. Теорема доказана. Теперь рассмотрим неоднородную задачу Имеет место Теорема 3.2 Пусть а 0, а функция f(t) Є D(A) и удовлетворяет условию f{t), Af(t) С. Тогда задача (3.11) — (3.12) имеет единственное решение Доказательство. Выполняя в (3.11) — (3.12) замену z = 2vt y мы получаем задачу где v(z) = u{{±f% g(z) = /(( ) )(21/)2- , T = 2VTTV , Используя результат, полученный в теореме 3.1, с помощью метода вариации произвольных постоянных мы можем записать формальное решение задачи (3.14) — (3.15) в виде Выполняя в (3.16) замену z = 2vt , мы получим (3.13). Докажем, что формула (3.13), полученная формально, действительно дает решение задачи (3.11) — (3.12). Поскольку функции f(t) и Af(t) непрерывны на [0;Т], оператор А замкнут, а операторы /ilv(2vt ) и /tl u(2vt ) ограничены и сильно непрерывны при t 0, все интегралы в (3.13) сходятся и принадлежат D(A).

Следовательно, согласно лемме 1.4, u(t) будет дважды непрерывно дифференцируема при t 0. Используя (1.26), (1.30), (1-31) и (1.37), найдем производные u (t) и u"(t) по обычным правилам дифференцирования. Мы получим, что Подставляя (3.13) и (3.18) в уравнение (3.11) и учитывая, что 2а = —J7 мы получаем тождество. Легко проверить, что limw(t) = 0 и limu (i) = 0. Так как u"(t) и t Au t) непрерывны на [0;Т], функция u(t), определяемая формулой (3.13), действительно дает решение задачи (3.11) — (3.12) согласно определению 3.1. Единственность полученного решения вытекает из единственности решения однородной задачи (3.3) — (3.4), доказанной в теореме ЗЛ. Теорема доказана. Рассмотрим в банаховом пространстве Е задачу Коши и изучим вопрос о ее разрешимости в пространстве Бохнера Вр, р Є [1; +оо). В связи с этим дадим определение обобщенного решения задачи Определение 3.2 Решением задачи (3.19) — (3.20) назовем функцию u(t) 6 Wp, такую что t2aAu{t) Є Вр, u(t) удовлетворяет (3.20) и почти всюду на [0;Т] выполняется (3.19). Из определения 3.2 следует, что /() Є Вр. Докажем единственность решения задачи (3.19) — (3.20) в смысле определения 3.2. Лемма 3.1 Пусть а 0, р Є [1;+оо). Тогда решение задачи (3.19) — (3.20) существует и единственно. Доказательство. В теореме 3.1 было доказано, что при а 0 для любых ко, щ D{A) задача (3.19) — (3.20) имеет единственное решение в смысле определения 3.1. Поэтому для таких щ и щ решение (3,19) — (3.20) тем более существует в смысле определения 3.2. Докажем един ственность этого решения. Согласно теореме 3.2, для любой функции f(t), такой что f(t),Af(t) Є С задача имеет единственное решение в смысле определения 3.1, и его можно записать в виде есть функция Коши нашей задачи. Пусть u(t) решение задачи (3.21) — (3.22) с нулевой правой частью f(t) = 0. Покажем, что u(t) = 0 почти для всех t Є [0;Т]. Пусть L{u{t)) = u"(t)2aAu(t) и v(t) = R(\)u(t), где А фиксированная регулярная точка. Ясно, что L(v(t)) = 0. Следовательно, В первом и третьем слагаемом (3.25) дважды проведем интегрирование по частям, учитывая, что и(0) = 0, и (0) = 0 и используя (1.32). Результаты будут отличаться лишь индексами при Аналогично преобразуется и третье слагаемое (3.25). Подставляя эти результаты в (3.25), мы имеем Так как W{z)x = -2 аг -іх согласно (1.37), то v{t) = 0. Вследствие обратимости R(\), u(t) = 0 почти для всех і Є [0;Т]. Мы доказали единственность нулевого решения задачи (3.19) — (3.20). Отсюда вытекает единственность любого решения этой задачи. Лемма доказана. Рассмотрим множество функций Обозначим Легко видеть, что множество Wp есть банахово пространство с нормой (3.27). Пусть причем Сд = СА. Лемма 3.2 Множества Сд всюду плотны в пространстве Wp. Доказательство. Возьмем любую функцию f(t) Є Wp. Доопределим ее на всей прямой, полагая где Rh оператор усреднения с достаточно гладким ядром и?д(, s) (см. [36]). Например, можно положить шд( ,д) = где Пусть к Є ЛГи{0} фиксировано. Последовательность функций {Rhf(t)} Є СкЛ к = 0,1,2,... при любом /і. Так как оператор Rh коммутирует с Л на D(A) и Af(t) Є Вр, то {ДЛ/(і)} Cj. Согласно [36] мы

Коэрцитивная разрешимость неоднородной вырождающейся краевой задачи

В банаховом пространстве Е рассматривается краевая задача со слабо позитивным оператором А. Определение 4.3 Решением задачи (4-35) — (4-36) назовем функцию и(і) Є Wp, такую что t2aAu(t) Bpt u{t) удо елетворлет (4-36) и почти всюду на [0;Т] выполняется (4 35). Пусть f(t) = 0. Обозначим через EQ и Ej1 максимальные пространства для краевых условий щ и их соответственно, для которых однородная задача (4.35) — (4.36) однозначно разрешима. Определение 4.4 Задача (4-35) — (4-36) называется коэрци-тивно разрегаимой в Вр, если она однозначно разрешима для любой /() Вр и любых щ G Ео, ит Є Ет и справедливо неравенство2 2В следующем параграфе будет доказано, что Ец И ЕТ являются банаховыми пр о странст вами. Прежде всего докажем однозначную разрешимость задачи (4.35) — (4.36) в смысле определения 4.3. Лемма 4.1 Пусть а —1, р Є (1;+оо). Тогда решение задачи (4-35) — (4-30) существует и единственно. Доказательство. Из теорем 4.2 и 4.4 следует, что при а — 1 для любых «о, иТ Є D(A2) и f(t) Є D( ), /(і), Af(i) Є С задача (4.35) — (4.36) имеет единственное решение в смысле определения 4.1. Поэтому для таких wo, их и f(t) решение (4.35) — (4.36) тем более существует в смысле определения 4.3. Докажем единственность этого решения. Согласно теореме 4.4, для любой функции f(t) D(A), такой что f(t)tAf(t) Є С задача имеет единственное решение в смысле определения 4.1, и его можно записать в виде Здесь /i(t,A) = %/2 ЇЦ2і/\/А), U2{t,\) = 1 ,(2 \/X), v 0. Пусть u{t) любое решение задачи (4.37) — (4.38) с нулевой правой частью f(t) 0. Покажем, что тогда u(t) = 0 почти всюду на [0;Х]. Пусть L(u(t)) = u"(t) - 2(М«() и v(t) = R(X)u(t), где А регулярная точка. Ясно, что L(v(t)) — 0. Следовательно, В первом слагаемом (4.39) дважды выполним интегрирование по частям, используя свойства G(, s) и получим, что Используя (1.23), нетрудно найти, что вронскиан W{Ui(t, A), (, А)} = —1. Последний интеграл в (4.41) равен нулю, так как оператор-функция G(t, s) удовлетворяет уравнению (4.35) с f(t) 0 по з на каждом из соответствующих промежутков в сильном смысле, a v(s) Є D{A), s Є [0;T]. Следовательно, мы получаем, что R(\)u(t) = 0, t [0;СГ].

Вследствие обратимости резольвенты Я(А) в регулярной точке мы находим, что u{t) = 0 почти для всех t Є [0;Т]. Отсюда следует единственность решения задачи (4.37) — (4.38) с f(t) = 0, а значит, и задачи (4.35) — (4.36) в смысле определения 4.3 при а — 1. Лемма доказана. Рассмотрим неоднородную задачу с нулевыми краевыми условиями и вспомогательную невырождающуюся задачу Лемма 4.2 Коэрцитивная разрешимость задачи (4-44) — (4-4$) в пространстве Вр эквивалентна ограниченности оператора F в этом пространстве. Если —1 у р— 1, то из ограниченности оператора F в Вр вытекает его ограниченность в пространстве BPil. Лемма 4.2 доказана в работе [40]. Сформулируем основной результат этого параграфа. Теорема 4.5 Пусть а 0, р Є (1; +оо) и задача (4-44) — (4 45) коэрцитиено разрешима в пространстве Вр. Тогда задача (4-4%) — (4-43) коэрцитиено разрешима в Вр, причем решение имеет вид Доказательство. Пусть вначале f(t) Є D{A) и функции /(і), Af(t) непрерывны на отрезке [0;Т]. В теореме 4.4 доказано, что тогда задача (4.42) — (4.43) имеет единственное решение (4.47). Из леммы 4.1 следует, что это решение единственно в смысле определения 4.3. В задаче (4.42) — (4.43) выполним замену переменной г = 2ut , v = 2(а+і) и пеРеиДем к эквивалентной задаче Отметим, что задача (4.48) — (4.49) рассматривается в весовом пространстве -Вр,7, где 7 = 2і/ — 1. Действительно, [і2аЛи(і)вр = (2zv)-fr2- (r)k, и /( )Др - (21/)-1 IIPWH , где /? = (2р- 1)(1 -2v). Ясно, что д{т) Є (Л), причем функции д(т) и Л (т) непрерывны на отрезке [0;Т]. Для доказательства коэрцитивной разрешимости задачи (4.42) — (4.43) необходимо показать, что а это равносильно неравенству Сходимость всех интегралов в (4.53) обосновывается полученными ниже оценками. Докажем ограниченность операторов В,, і — 1,2,3,4 в -Врл, где Для этого оценим по норме функции Gi(r s), і = 1,2,3,4. В качестве примера мы оценим функции C?i(r, s) И(?З(Т,Й). Обозначим р = Re\fX О и разобьем контур Г на 4 части чтобы можно было применить асимптотические формулы для модифицированных функций Бесселя. Здесь є достаточно малое положительное число иО 5 т Т. Легко видеть, что на контуре Г GJ(T, s) Me, і = 1,2,3,4. А для А Г(, і = 1,2,3 мы имеем \dX\ Mpdp. Обозначим к = v — \ О, v (0;1/2). Если А Є Гі, то мы имеем 0 sp тр 1. При А Гг имеем 0 sp 1 тр. Для А 6 Гз получаем 1 sp тр.

Соответственно выбираются и асимптотические формулы (1.21) и (1.22). Вначале оценим по норме функцию где J, Ju — интегралы по соответствующим контурам: Ге, Fj, і = 1,2,3. Для А Гі применим к J\\ формулу (1.21) и получим Мы имеем В результате из (4.54) — (4.56) мы получаем, что Чтобы оценить по норме функцию &з(т, s), представим контур Г в виде Г = ГиГ!иГ2иГ3, где В данном случае для А Є 1\ мы имеем 0 тр sp 1. При А Є Гг имеем 0 тр 1 sp. Если А Є Гз, то мы получаем 1 rp sp. Соответственно применяются формулы (1-21) или (1.22). Итак, оценим по норме функцию где J, «/ЗІ — интегралы по контурам Г, Г,, г = 1,2,3 соответственно. Так как в данном случае ( \ [0;1], v Є (0;1/2), то в дальнейших оценках этот множитель можно опустить. Для А Гі мы имеем Применяя леммы 1.1 и 4.2, мы получим, что при р Є ( 1»+) каждый из интегральных операторов (4.64) ограничен в Lprt. (Ограниченность третьего интегрального оператора следует из ограниченности первых двух операторов (4.64) в Lp .) Так как а 0, мы получаем оценку (4.52) для любого р Є (1; +оо). Таким образом, оценка (4.51), а значит и коэрцитивная разрешимость задачи (4.42) — (4.43) доказана для плотного в Вр множества функций f(t) Є D(A), таких, что f(t),Af(t) непрерывны на отрезке [0;Т]. Используя это обстоятельство, с помощью предельного перехода мы можем распространить полученный результат на любые /() Вр. Теорема доказана. Для иллюстрации приложения изложенной в этом параграфе абстрактной теории к уравнениям математической физики в пространствах Лебега Lp LP(Q), Q = [0;Т] х [0;/], р (1;+оо) рассмотрим задачу В соответствии с определением 4.3 решением задачи (4.65) — (4.66) назовем функцию u(t,x) Є VKp,2(Q), такую что t2auxx{t,x) Є LP{Q), удовлетворяющую (4.66) и почти всюду уравнению (4.65). Тогда мы имеем следующее утверждение. Теорема 4.6 Пусть а 0 и р Є (1;+оо). Тогда задача (4-65) — (4-66) однозначно разрешима для любой f(tyx) Є LP(Q), причем Для доказательства рассмотрим сильно позитивный оператор А = Ш действующий в Lp([0;J]) с областью определения D(A) = Wp([Q;l]) при нулевых краевых условиях (4.66) и воспользуемся теоремой 4.5. Соответствующая невырождающаяся задача коэрцитивно разрешима в Lp{Q). 4.3 Коэрцитивная разрешимость однородной вырождающейся краевой задачи Рассмотрим в банаховом пространстве Е однородную краевую задачу Здесь А слабо позитивный оператор. Определение решения такой задачи было дано выше (см. определение 4.3). Целью настоящего параграфа является изучение максимальных пространств для краевых условий (4.68) (которые в определенной норме становятся банаховыми пространствами), таких что задача (4.67) — (4.68) однозначно разрешима тогда и только тогда, когда UQ И ит принадлежат этим пространствам соответственно. Это позволяет доказать коэрцитивную разрешимость задачи (4.67) — (4.68) в Вр. Разобьем задачу (4.67) — (4.68) на две подзадачи и изучим каждую из них отдельно. Сначала рассмотрим задачу

Похожие диссертации на Начальные и граничные задачи для сингулярных абстрактных дифференциальных уравнений

Исследование локальных бифуркаций дифференциальных уравнений задач небесной механикиБеликова, Оксана Николаевна

Аналитические исследования нелинейных задач уравнения теплопроводностиХакимова Олима Хафизовна

Спектральные вопросы задачи Франкля для уравнения смешанного типа и разрешимость аналога этой задачи для уравнения ГельмгольцаАмбарцумян Ваграм Эдвардович

Решение методом интегральных уравнений контактных задач для параболических уравненийШевелева, Виктория Николаевна

Краевые задачи для уравнений Эйлера-Дарбу с условиями сопряжения на характеристике и нехарактеристической линииПодклетнова Светлана Владимировна

Асимптотические решения бисингулярных задач для уравнений параболического типаКапустина, Татьяна Олеговна

Краевые задачи для уравнений смешанного типа в областях с треугольной эллиптической частьюШакиров, Рафис Гильмегаянович

Разрешимость и дифференциальные свойства решений краевых задач для уравнения ЭйлераМоргулис, Андрей Борисович

Исследование решений граничных задач для уравнения Бицадзе в ограниченной плоской области с общими линейными граничными условиямиИбрагимов, Натиг Сохраб оглы

Обратные задачи для уравнений смешанного параболо-гиперболического типаСафин, Эльдар Маратович