Введение к работе
Актуальность темы.
Область математического анализа, называемая дробным исчислением и посвященная исследованию и применению производных и интегралов произвольного (вещественного или комплексного) порядка, имеет давнюю историю и богатое содержание, обусловленное проникновением и взаимосвязями с самыми разнообразными вопросами теории функций, интегральных и дифференциальных уравнений и др. Дробное исчисление функций одной и многих переменных продолжает интенсивно развиваться, и в настоящее время наблюдается заметный рост внимания исследователей к нему. В первую очередь это обусловлено многочисленными эффективными приложениями дробного интегро-дифференцирования при математическом моделировании физических, химических, экономических и социально-биологических явлений. Как справедливо заметил A.M. Нахушев: "дробное (дифференциальное и интегральное) исчисление в теории фракталов и систем с памятью приобретает такое же важное значение, как и классический анализ в физике (механике) сплошных сред".
Дифференциальные уравнения дробного порядка являются основой большинства математических моделей, описывающие физические, химические, экономические и социально-биологические явления. Поэтому весьма актуальной и важной задачей является развитие аналитического аппарата теории уравнений с производными дробного порядка.
В 1925 г. впервые при обобщении задач вариационного исчисления С. Мандельбройт пришел к уравнению, позже названное В. Вольтерра, обыкновенным непрерывным дифференциальным уравнением.
A.M. Нахушев в 1988 г. ввел оператор интегро-дифференцирования континуального порядка
M0a/u(x) = J as(x)Dixu{t)dt, <*<р, (1)
где D{x - оператор дробного интегро-дифференцирования порядка f с началом в точке а и с концом в точке х, и следуя В. Вольтерра, дал определение непрерывного дифференциального уравнения. В силу этого определения, уравнения с оператором (1) относятся к классу непрерывных дифференциальных уравнений.
В англоязычной литературе вместе с названием "непрерывное дифференциальное уравнение" используется "distributed order differential equation".
В 1995 году М. Caputo ввел производную распределенного порядка
і
(D("V)(*)= f {B{a)
"О
где (p№
В настоящее время имеется много работ, посвященных различным аспектам теории дифференциальных уравнений с производными дробного порядка в смысле Рішана-Лиувилля и в смысле Капуто. В то время, как непрерывные дифференциальные уравнения остаются практически не исследованными.
A.M. Нахушев предложил метод решения непрерывных дифференциальных уравнений, им найдено условие однозначной разрешимости видоизмененной задачи Коши в классе функций со степенной особенностью. Доказал формулы дробного и непрерывного интегрирования по частям, взаимную сопряженность операторов дробного и непрерывного дифференцирования и интегрирования, положительность операторов дискретного и непрерывного интегрирования, положительность оператора дробного дифференцировании и континуального интегрирования сегментного порядка.
Непрерывное уравнение Абеля
Dtu(t) = v{x), (3)
Е&*Ф) = J &,*»№, (4)
в случае /3 = 0, а < 0 было исследовано A.M. Нахушевым. Также им было рассмотрено задачи Коши и Дирихле для уравнения
^u{x)-XDl\{t) = f(x).
Для уравнений с оператором дифференцирования континуального порядка A.M. Нахушев поставил класс принципиально новых задач.
А.В. Псху построил оператор, обратный оператору (4), доказал аналоги формулы Ньютона-Лейбница для интегрального и дифференциального операторов, решил непрерывное уравнение Абеля (3) через обратный оператор, сформулировал и доказал принцип экстремума для оператора иитегро-диф-ференцирования континуального порядка.
Для уравнения
D[\(і) + Au(i) = /(.г), 0 < 0 < 1
А.В. Псху построил фундаментальное решение, решил задачу Коши, доказал положительность фундаментального решения и исследовал характер зависимости от спектрального параметра.
Уравнение диффузии континуального порядка было исследовано А.В. Псху, который получил фундаментальное решение и его оценку, построил общее представление решения методом функции Грина, решил задачу Коши и основные краевые задачи.
Задачи с операторами континуального дифференцирования в краевых условиях исследовались в работах А.А. Керефова и Ф.М. Нахушевой.
Уравнения с оператором (2) рассматривали Е. Andries, Т.М. Atanackovic, R.L. Bagley, М. Budincevic, М. Caputo, Y. Chen, К. Diethelm, R. Gorenfio, T.T. Hartley, A.N. Kochubei, C.F. Lorenzo, Yu. Ludiko, F. Mainardi, A. Mura, G. Pagnini, S. Pilipovic, H.Sheng, S. Steinberg, M.N. Stojanovic, P.J. Torvik, S. Umarov.
Цель работы. Основной целью работы является исследование основных локальных и нелокальных краевых задач для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с континуальной производной.
Методы исследования. Результаты работы получены с использованием метода функции Грина, интегрального преобразования Лапласа, теории интегральных уравнений, теории специальных функций, теории дробного исчисления.
Научная новизна. В диссертации исследуются основные локальные (Коши, Дирихле, Неймана) и нелокальные (Стеклова с граничными условиями первого и второго классов) краевые задачи для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка, содержащего производную континуального порядка.
Основные результаты диссертации, выносимые на защиту.
Для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с континуальной производной:
-
Найдено фундаментальное решение. Доказана теорема существования и единственности решения задачи Коши.
-
Доказаны теоремы существования и единственности решения задачи Дирихле и задачи Неймана.
-
Показаны непустота и конечность спектра задачи Дирихле и задачи Неймана. Доказана теорема, об оценке спектра задачи Дирихле.
-
Доказаны теоремы существования и единственности решения задачи Стеклова с граничными условиями первого и второго классов.
Практическая и теоретическая ценность. Работа является теоретической. Ее результаты могут быть использованы при построении теории кра-
евых задач для непрерывных дифференциальных уравнений. Практическая ценность обусловлена прикладной значимостью обыкновенных дифференциальных уравнений, локальных и нелокальных краевых задач в математическом моделировании и других областях.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на III Международной конференции "Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики"(Нальчик, 2006), на Международном Российско-Азербайджанском симпозиуме "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики "(Эльбрус, 2008), на Международном Российско-Абхазском симпозиуме "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики" (Нальчик -Эльбрус, 2009), на III, V, VIII, IX школах молодых ученых "Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики" (Нальчик - Эльбрус, 2005, 2007, 2010, 2011), на I Всероссийской конференции молодых ученых "Математическое моделирование фрактальных процессов, родственные проблемы анализа и информатики" (Терскол, 2010), на Международной конференции "Комплексный анализ и его приложения в диі^ч'"Р""П,"'і'г'"""*х уравнениях и теории чисел "(Белгород, 2011), на семинаре по современному анализу, информатике и физике НИИ ПМА КБНЦ РАН (руководитель - На-хушев A.M.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[18]. Из них [1]-[3] опубликованы в изданиях, включенных в список изданий, рекомендованных ВАК для публикации основных результатов кандидатской диссертации.
Структура и объем. Диссертация состоит из введения, вводных сведений, трех глав, объединяющих 14 параграфов, заключения и списка литературы, содержащего 70 наименований, и изложена на 73 страницах.
