Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Задача Гурса 27
1. Случай уравнения с дифференцированием лишь по одной переменной. 28
2. Уравнение с дифференцированием по двум переменным 37
3. Случай трех переменных 52
4. Общий случай 76
5.Теорема существования и единственности 85
5.1. Вспомогательная формула: интегральный аналог формулы Лейбница 85
5.2. Применение принципа сжимающих отображений 89
Глава II. Повышение порядка нормальных производных в граничных условиях 91
1. Задача с повышением порядка на единицу (Г ) 92
1.1. Изучение случая, связанного с одной характеристикой 92
1.1.1. Редукция к задаче Гурса 93
1.1.2. Случаи решения в явном виде 97
1.2. Результаты для остающихся характеристик 103
1.3. Варианты с парами характеристик 105
1.4. Одновременное участие трех характеристик 109
1.5. Разъяснения для п-А ПО
1.6. Общий случай задачи 122
2. Увеличение порядка производных до произвольного натурального N... 126
Глава III. Задача Дирихле и нелокальные задачи 153
1. Задача Дирихле 153
1.1. Плоский случай 153
1.2. Пространственная задача 160
2. Задачи со смещениями в граничных условиях 171
2.1. Для двух независимых переменных 171
2.1.1. Задача для уравнения третьего порядка 172
2.1.2. Случай четвертого порядка 175
2.2. Случай пространства размерности п 2 178
Глава IV. Уравнения с сингулярными коэффициентами 202
1. Случай двух измерений 202
1.1. Уравнение типа Аллера. Общая методика построения каскада 203
1.2. Аналоги уравнения Эйлера-Пуассона - Дарбу 205
1.3. Задача Гурса 207
1.4. Повышение порядка производных в граничных условиях 209
2. Трехмерное пространство 220
2.1. Случай некратного дифференцирования 220
2.2. Случай наиболее общего уравнения в трехмерном пространстве 225
3. Случай общего уравнения в «-мерном пространстве 229
4. Задачи Гі 233
4.1. Задачи для уравнения четвертого порядка 233
Литература 238
- Случай трех переменных
- Редукция к задаче Гурса
- Для двух независимых переменных
- Случай наиболее общего уравнения в трехмерном пространстве
Введение к работе
Актуальность темы. Объектом исследования в предлагаемой диссертации являются уравнения вида
, (1)
где - декартовы координаты точки x, , , , , , - целые неотрицательные числа, , - искомая, а , - известные функции.
При , данное уравнение вошло в математическую литературу под именем Л.Бианки, который одновременно с О.Никколетти еще в 1895г. рассматривал его как многомерный аналог хорошо известного в математической физике уравнения
. (2)
Исследование более сложных уравнений (1) в случаях кратного дифференцирования искомой функции по независимым переменным представляет собой естественный дальнейший этап на пути теоретических обобщений. Ценность получаемых при этом теоретических результатов существенно возрастает в связи с тем, что подобные уравнения встречаются в приложениях. А именно, частные случаи (1) возникают при моделировании процессов вибрации и играют существенную роль в теории аппроксимации, теории отображений, к ним сводится задача интегрального представления преобразований одних обыкновенных линейных дифференциальных операторов в другие. Такие уравнения встречаются в теории упругости, при изучении фильтрации жидкости в трещиноватых породах, влагопереноса в почвогрунтах, передачи тепла в гетерогенных средах, моделировании различных биологических процессов и явлений, при изучении распространения волн в диспергирующих средах, а также в теории оптимальных процессов и обратных задачах (см. библиографические ссылки в конце статьи).
Среди этих уравнений наиболее известными являются указанное И.Н.Векуа уравнение изгиба тонкой сферической оболочки
, (3)
а также уравнения Аллера и Буссинеска – Лява
, .
Первое из них описывает процесс переноса почвенной влаги в зоне аэрации, а второе встречается при изучении продольных волн в тонком упругом стержне с учетом эффектов поперечной инерции и еще описывает волновой процесс в периодических слоистых средах. К виду (1) относятся и поливибрационные уравнения Д.Манжерона.
Таким образом, актуальность построения общей теории уравнений вида (1) обусловлена как логикой развития теоретических исследований, так и востребованностью обсуждаемых уравнений в приложениях.
Степень разработанности проблемы.
После L.Bianci и O.Niccoletti различные вопросы, связанные с уравнениями вида (1) изучали за рубежом H.Bateman, E.Lahaye, H.Hornich, D.Mangeron, M.Ogustoreli, D.Colton, S.Easwaran, V.Radochova, A.Corduneany, W.Rundell, M.Stecher и др. В нашей стране интерес к общему уравнению вида (1) при n=2 возник в связи с задачами теории упругости. Статьи Н.И.Мусхелишвили (1919г.) и И.Н.Векуа (1937г.) положили начало целому направлению исследований в данной области, развивавшемуся в течение ряда десятилетий до работ А.П.Солдатова, М.Х.Шханукова, О.М.Джохадзе и др.(1987 - 1996). При n>2 публикаций на русском языке, посвященных уравнениям вида (1) было сравнительно немного: М.К.Фаге (с 1956г.), В.И.Жегалов с учениками (с 1990г.), В.Ф.Волкодавов с учениками (с 1993г.).
Практически все вышеуказанные авторы, начиная с Л.Бианки развивали в своих исследованиях метод, предложенный в свое время Б.Риманом для уравнения (2), отправляясь от его классического варианта и внося в него те или иные изменения и дополнения. Так, М.К.Фаге, отмечая, что «…Бианки и Никколетти разработали лишь формальную часть теории, не вдаваясь в аналитические детали…» представил вариант метода Римана, более соответствующий современному уровню развития математики. Здесь же обращает на себя внимание некоторая самооценка автора: «… изучение сопровождается довольно сложными выкладками» (с.281). В названии же работы, вслед за Г.Бейтменом (1933г.) он использует термин «уравнение Бианки». В некоторых работах уравнения (1) назывались псевдопараболическими (первым такое название использовал Д.Колтон (1972г.)).
Еще одно видоизменение метода Римана было предложено И.Н.Векуа и А.В.Бицадзе: при решении основной характеристической задачи (Гурса) еще для уравнения (2) они вместо основного дифференциального тождества Римана использовали соотношение
. (4)
В варианте метода Римана, предложенном для уравнения Бианки В.И.Жегаловым при n=3 (1990г.) и распространенном им совместно с В.А.Севастьяновым (1996,1997) на случай любого числа измерений n, были построены аналоги тождества (4). При этом было введено еще одно изменение: функция Римана определялась не как решение сопряженного уравнения, удовлетворяющее граничным условиям, число которых очень быстро увеличивается с ростом n, а как решение некоторого интегрального уравнения. Все это позволило получить существенно более прозрачную и лаконичную схему решения задач Гурса и Коши для уравнения Бианки, чем в работах предшественников. К тому же появились дополнительные возможности построения функций Римана в явном виде путем непосредственного решения интегральных уравнений.
Наконец, В.И.Жегаловым и А.Н.Мироновым для уравнения Бианки были исследованы кроме задачи Гурса и другие характеристические задачи, получаемые заменой граничных значений искомой функции значениями нормальной производной от этой функции. Первым автором в 1992г. было выяснено, что для уравнения (2) такие задачи являются содержательными только в случаях, когда хотя бы один из коэффициентов a, b, c не равен тождественно нулю, а их разрешимость приобретает в этих случаях вариантный характер. Вместе со вторым автором эти результаты в 2000г. были распространены на трехмерный аналог уравнения (2). Затем А.Н.Миронов обобщил их на случай уравнений с .
В связи с вышеизложенным естественно возникла идея обобщения указанных результатов В.И.Жегалова, В.А.Севастьянова и А.Н.Миронова на уравнения (1) с кратным дифференцированием по независимым переменным при . Далее, так как (1) есть обобщение (2), целесообразным представлялось развитие других аспектов исследования (2) с целью применения соответствующих результатов к уравнению (1): изучение нелокальных задач, задачи типа Дирихле, разработка каскадного метода.
Цели диссертационной работы:
1. Вывод основного дифференциального тождества и отыскание решения задачи Гурса для общего случая уравнения (1).
2. Изучение задач для уравнения (1), получаемых из задачи Гурса путем повышения порядка нормальных производных в граничных условиях.
3. Отыскание вариантов корректно поставленных задач типа Дирихле для уравнений вида (1).
4. Постановка и исследование новых многомерных задач с нелокальными граничными условиями.
5. Выделение из класса уравнений вида (1) аналогов уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу, разрешимых в явном виде с последующим решением для них граничных задач.
Методика исследования. Основным моментом является развитие метода Римана с целью его применения к общему уравнению (1), при этом пришлось комбинировать аналитический подход с компьютерным. Используются и другие методы из теории уравнений с частными производными: каскадного интегрирования и априорных оценок. Применяются результаты из теории интегральных уравнений Вольтерра и Фредгольма.
Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. Стержневую роль играет вывод формулы решения задачи Гурса для общего уравнения (1): эта формула используется в качестве общего представления решений, позволяя при определенных (получаемых в диссертации) условиях редуцировать все задачи из второй и третьей глав к задаче Гурса. Новизна содержится и в развиваемых здесь методах Римана и Лапласа: область их применения существенно расширяется. Новой является качественная картина разрешимости рассматриваемых задач, а также выделяемые в работе случаи разрешимости в квадратурах.
Теоретическое и практическое значение. Работа носит теоретический характер, заполняя определенный пробел в теории дифференциальных уравнений с частными производными. Автору представляется, что имеются возможности использования полученных результатов в качестве основы для дальнейших исследований. Не исключена возможность практических приложений.
Апробация работы. Результаты работы, по мере их получения, докладывались на семинарах кафедры дифференциальных уравнений Казанского государственного университета, часть была доложена на итоговых ежегодных научных конференциях КГУ за период с 1997 по 2010. Также был сделан доклад в МГУ на семинаре акад. Е.И.Моисеева, 2002г.
Обзорные доклады по диссертации были сделаны:
в Институте математики им.С.Л.Соболева РАН в Новосибирске на семинарах по неклассическим уравнениям математической физики (руководитель проф. А.И.Кожанов) и по качественной теории дифференциальных уравнений (руководитель проф.В.С.Белоносов), 2004г.;
на семинаре кафедры математического анализа Белгородского государственного университета (руководитель проф.А.П.Солдатов), 2005г.;
в МГУ на семинаре акад. Е.И.Моисеева, 2011г.;
в РУДН на семинаре по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям (руководитель проф.А.Л.Скубачевский), 2011г.
Результаты работы докладывались также на различных научных конференциях, в том числе, международных. Например:
Третьем сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (biprim –98), посвященном памяти С.Л. Соболева (Новосибирск, 1998);
Международной научной конференции, посвященной 70-летию акад. В.А. Ильина (Стерлитамак,1998);
Международной научной конференции «Актуальные проблемы математики и механики» (Казань, 2000);
Международной конференции AMADE (Минск, Беларусь, 2003);
III международной конференции «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики»(Нальчик, 2006);
Международной конференции "Современные проблемы математики, механики и их приложений", посвященной 70-летию акад. В.А.Садовничего (Москва, 2009).
Названия других конференций указаны в списке литературы [25]-[29], [31], [33], [38]-[42], [44]- [46], [48]- [49], [51]- [54], [56]-[57], [59]- [61].
Публикации. По теме диссертации опубликовано 62 работы, в том числе 24 статьи - в журналах, определенных Высшей аттестационной комиссией (ВАК) Министерства образования и науки Российской Федерации для публикации результатов научных исследований. Из общего числа 9 выполнены в соавторстве с научным руководителем кандидатской диссертации, которому здесь принадлежат постановки задач и общие идеи о возможных путях их решения.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, разбитых на параграфы, списка литературы из 206 наименований и занимает 263 страниц машинописного текста.
Случай трех переменных
Другим направлением исследований этой главы являются задачи об отыскании решений частных случаев уравнений (1) по соотношениям, связывающим значения искомой функции в различных переменных точках, лежащих на границе и внутри рассматриваемой области. Впервые подобные задачи при исследовании проблем теплопроводности встречались еще у В.А.Стеклова [92] (второе издание книги, первое было в 1922г.). Несмотря на большую известность работ В.А.Стеклова, никто из математиков более 30 лет не обратил на эту задачу свое внимание. Поэтому началом систематического изучения таких задач естественно считать работы Ф.И.Франкля [100] (1956г.) и В.И.Жегалова [24](1962г.). Первая из этих работ, как и в случае В.А.Стеклова, появилась из приложений (газовая динамика), а вторая возникла в качестве теоретического обобщения: там были объединены в одной формулировке два известных варианта задачи Трикоми из теории дифференциальных уравнений смешанного типа. Именно в [24] обнаружилась качественная новизна не только в постановке задачи, но и в результатах: наряду с однозначной и безусловной разрешимостью появились другие варианты -решение могло стать неединственным, могли появиться дополнительные условия разрешимости. Важную роль в привлечении внимания к данной тематике сыграли статьи А.М.Нахушева [75] и А.В.Бицадзе, А.А.Самарского [5] от 1969г. Вскоре образовался широкий фронт исследований в обсуждаемом направлении. В литературе эти задачи получили название «со смещением» и «нелокальные». Некоторые первые итоги были подведены А.А.Самарским в обзоре [86], где была подчеркнута качественная новизна указанных задач и их возникновение при решении современных проблем физики. Впоследствии В.И.Жегалов включил в формулировку различные варианты задачи Геллер-стедта [26], а также исследовал ряд других задач [27] для уравнений смешанного типа и уравнения вида (2). Анализ многочисленных публикаций позволяет рассматривать краевые задачи со смещениями как эффективный инструмент теоретических обобщений. В последнее время активная разработка рассматриваемого направления ведется в Москве (В.А.Ильин [56], Е.И.Моисеев [72], А.Л.Скубачевский [88]), Новосибирске (А.И.Кожанов [61] - [65]), Нальчике (А.М.Нахушев и его ученики [75] - [78]), Самаре (О.А.Репин с учениками [85]), Белгороде (А.П.Солдатов [90] и др.).
В теории нелокальных задач сформировалась еще одна ветвь интенсивных исследований — задачи с граничными условиями интегрального типа, возникновение которых связано с прикладными аспектами: диффузия частиц в турбулентной плазме [86], теплопроводность [162,57 (J.R.Cannon, Н.И.Ионкин)], физика сверхпроводников [163], радиационный перенос [171], распространение загрязнений в воде биосферы (с. 179 и далее [68]). Подобными же задачами занимаются Л.С.Пулькина и ее ученики ([19], [195], [81] -[84], [16], [20]). В частности, Л.С.Пулькиной было доказано существование и единственность как обобщенного [81], так и классического [19] решений задачи для гиперболического уравнения и,у + (л(х, у)и)х + (В(х, у)и)у + с(х, у)и = F(x, у) с интегральными условиями. Итоги многих исследований подведены в монографии А.М.Нахушева [77]. Однако до последнего времени изучались лишь задачи на плоскости и то лишь в случае некратных характеристик. Что же касается пространственных задач, то были лишь две постановки [28], [30], носившие довольно частный характер. В данной, диссертации предпринята попытка продвинуться в нелокальных задачах дальше, рассмотрев случаи как с кратными характеристиками для уравнений (1) (при п 2) так и с некратными (при п = 3,4).
Второй параграф третьей главы посвящен изучению задач со смещением для уравнений с некратным и кратным дифференцированием. А именно, первоначально рассматриваются задачи для двух плоских уравнений - (2) и обобщения Буссинеска - Лява (9). Затем — задачи для уравнения Бианки в пространствах п = 3,4. Результат исследования каждой задачи сформулирован в виде теоремы. Приведем одну из упомянутых задач, сделав предварительно пояснения.
Дальнейшим предметом нашего изучения является метод непосредственного нахождения решения (каскадного интегрирования Лапласа), известный для уравнения (2) [93], [55]. Каскадный метод был предложен Лапласом в 1773г. [183] для уравнения (2) и получил впоследствии большую известность: он излагался в учебниках для студентов-математиков, авторами которых были, например, Г.Дарбу, Э.Гурса, Ф.Трикоми, Н.Х.Ибрагимов. Эти учебники издавались и переиздавались за рубежом, а также переводились на русский язык для издания в нашей стране. В настоящее время наиболее доступными русскоязычными являются издания [93, с.177-186], [55, с.210-212]. Обзор различных обобщений обсуждаемого метода за 18-19 века имеется в [194]. Например, в [166] метод распространен на эллиптические уравнения. В последнее время наблюдается определенное возрождение интереса к данной теме: в [178] разработано распространение метода на параболические уравнения, в [51]-[54] - на нелинейные уравнения и системы (линейные и нелинейные), в [31], [42], [47], [50]- на трех- и четырехмерные уравнения типа Би-анки.
В основном, указанные авторы рассматривали уравнения с достаточно гладкими коэффициентами. Но известны также результаты применения метода Лапласа к уравнениям с сингулярными коэффициентами, например, к хорошо известному в математической1 физике, уравнению Эйлера-Пуассона-Дарбу (далее обозначаемое ЭПД). Этот аспект и развивается в четвертой главе настоящей диссертации.
Здесь при ряде значений п изучены уравнения (1) при различных п, для которых удается провести рассуждения упомянутого метода, построены некоторые аналоги уравнения ЭПД, для которых рассмотрены характеристические задачи Гурса и rj. Поставленные задачи несколько отличаются от изло 22 женных в главе I. А именно, меняются как область (она выбирается так, чтобы внутри нее коэффициенты оставались гладкими), так и интегральное уравнение функции Римана, сопряженное уравнение и основное тождество. В п. 1.1 упомянутый метод был применен сначала к уравнению (4), для которого были получены пары групп условий на коэффициенты (4), позволяющие понизить порядок уравнения на единицу. Одной из указанных групп является набор
Редукция к задаче Гурса
В данной главе речь идет о задачах, которые играют в смысле их постановок ту же роль по отношению к задаче Гурса, что и задача Неймана в теории эллиптических уравнений по отношению к задаче Дирихле. А именно в 1 рассматриваются характеристические задачи для уравнений (1.1) и (1.31)(при п = 3,4 и общий случай), в которых хотя бы одно из условий Гурса заменяется значением нормальной производной более высокого порядка. При этом хотя бы на одной характеристике, на которой задаются граничные условия, наивысший порядок нормальной производной увеличивается на единицу. Поэтому задачи подобного типа мы обозначили Ц. Аналогичные Г, задачи изучались ранее для уравнения и + а(х, у)их + b(x, у)иу + с(х, у)и = 0 и его многомерных аналогов. Вероятно, впервые граничное условие такого рода встречается в работе Л.М.Невоструева [79], где речь идет о задаче для уравнения смешанного типа, а ситуация с обсуждаемым условием играет вспомогательную роль для основной задачи. В работах С.С.Харибегашвили [101], [102] изучены в характеристических и нехарактеристических областях для указанного уравнения задачи с граничными условиями вида аих + fiuy + уи = f. Очевидно, на характеристических участках при у = 0 и либо а = 0, /3 = 1, либо а = 1, Р = 0 полученные условия совпадают с условиями задач Тх. Но в общности данного условия как бы теряются некоторые специфические условия задач типа Г}. С.С.Харибегашвили применял, в основном, метод неподвижной точки. Он направлен, главным образом, на доказательство теорем существования и единственности. Следовательно, теряются задачи, в которых в решении получается неоднозначность. Другим путем при исследовании Ц для объявленного уравнения шел В.И.Жегалов [202]. Им были сфор 92 мулированы условия на коэффициенты а, Ь, с, обеспечивающие определенный уровень их содержательности, поскольку, например, при а = Ь = с = 0 нормальные условия на характеристиках могут принимать лишь постоянные значения, а это - тривиальная задача. Применявшийся при этом метод редукции задач типа Г, к задаче Гурса позволил не только доказать существование решения, но и записать его либо в терминах резольвент интегральных уравнений (в общем случае), либо в явном виде (в частных случаях). В виде результатов сформулированы условия однозначной разрешимости, а также разрешимости с точностью до определенного количества произвольных констант или произвольных функций.
В 1 данной главы мы развиваем методику работы [202] для решения задачи Ц.
Во втором параграфе с помощью указанного подхода рассматриваются задачи, в которых порядок нормальной производной увеличен до произвольного натурального N. Считаем порядок производной N выше наивысшего порядка граничного условия из задачи Гурса на данной характеристике больше чем на единицу. Такие задачи мы обозначили как.Г .
В формулировках предлагаемых ниже задач будем указывать только класс отыскиваемой функции и, подразумевая при этом, что из этого класса выбираются.также коэффициенты уравнений.
В этом пункте рассматриваются задачи для трехмерного случая, в которых одну единицу порядок повышается только одного граничного условия и лишь на одной характеристике. А именно, ведется подробное изучение при хх = xlQ. На этой характеристике заданы тх условий, поэтому, если последовательно заменять каждое из них, у нас получится тх задач. Естественно, все их выписывать нецелесообразно. Поэтому первоначально изучается слу 93 чай, когда заменяется граничное условие при ix = 0, затем - при ix = 1, и, наконец, самый общий случай - произвольного ix — j {j тх-\). Получающиеся задачи являются однозначно разрешимыми. Результаты этого пункта используются в следующих параграфах.
Приведем сначала формулировку задачи с самым общим условием на характеристике Хх. Здесь Хх означает замыкание множества Хх. А)3адача 2.1.1. Найти функцию и є Сщ+т2+щ (D) л Cmi+0+0(DuYx)n C0+(W2_1 (D uljn C0+0+ 1\D ulj), являющуюся в D решением уравнения (1.31), удовлетворяющую всем условиям (1.32) кроме j-того при ix - j(j принимает некоторое значение от 0 до тх—\) и условию
Первоначально, как и объявлено выше, будем считать, что 7 = 0. Данную задачу с помощью некоторого интегрального уравнения можно редуцировать к задаче Гурса. Для получения этого уравнения выполним следующие действия. Проинтегрируем (1.31) т2 раз по х2 в пределах от х2 до х2. Затем полученное уравнение проинтегрируем т3 раз по х3 в пределах от х3 Д хз ((XX,X2 ,X3 ),(X1,X2,X3)GD). После этого в полученном соотношении устремим х2 к х20, х3 к х30, и положим хх=хх0. Сначала выполним первую операцию интегрирования:
Для двух независимых переменных
На основе анализа уравнения (2.31) устанавливается Теорема 2.1. Если коэффициенты уравнения (1.1) принадлежат классу искомых решений и, кроме того, коэффициент при р10(х2,...,хп) в левой части (2.31) отличен от нуля, то задача 2.2.1 редуцируется к задаче Гурса.
Перейдем к нахождению интегрального уравнения для определения (рХ0{х2,..;Хп). Уравнение (2.27) разрешимо в резольвентах. Перепишем левую
Отметим, что и при других вариантах замены только одного граничного условия Гурса на условие, аналогичное (2.25), определяется единственным образом. Если рассматривать задачи, в которых заменяются два и более граничных условия, в них требуется комбинировать получающиеся условия редукции. При их определении в общем случае будут участвовать произвольные функции и (или) произвольные постоянные, число которых в некоторых случаях сокращается за счет согласования граничных условий на ребрах.
Здесь предлагается способ получения условий, обеспечивающих однозначную разрешимость данной задачи. При этом задача редуцируется к.урав-нениям Фредгольма, однозначная разрешимость которых выводится из доказываемой на основе априорных оценок теореме единственности. 1. Сначала запишем решение задачи с условиями (3.2) и их ( У) = Pi (У) , иу ( ) = 2 W (3 -4)
Соотношения (3.2), (3.4) представляют собой граничные значения Гурса, решение которой дается формулой (6.26) из [40] (впервые полученной в [113]): функция Римана. Здесь у функций R, N, Р, К, Q, Т, Fx, F2 выписана только первая пара аргументов, второй всегда является (х,у).
Далее мы считаем (3.5) общим представлением искомого решения через фк, у/к, к = 0,2. Подставляя в (3.5) аргументы точек (х,ух), (хх,у) и учитывая известные значения (3.2), (3.3), приходим к системе нагруженных интегральных уравнений, в которой искомыми функциями являются р2, ц/2 и константа tp2 (о):
Если же J J R(0,0, ,rj)dTjd = 0 и J J R(0,0,%,?i)d?]dZ; = 0 при лю 0 0 0 0 бом 0 Д 1, то последние слагаемые в (3.6) ср2 (о) J R(0,0, ,Tj)drjd и (о) J J R y rjd равны нулю и мы получим более простую систе му. Таким образом, для нахождения каждой из функций ср2, у/2 получим уравнения фредгольмовского типа.
Обратимся теперь к доказательству единственности решения задачи (3.1) - (3.3). А именно, проверим, что при однородных условиях (3.2), (3.3) однородное уравнение (3.1) имеет только нулевое решение. Доказательство осуществляем методом априорной оценки с помощью энергетического неравенства [69](Ладыженская О.А.).
Потребуем неотрицательности коэффициентов при нормах. Тогда из третьей равенство по х и у в диапазоне от 0 до х и от 0 до у соответственно. Учитывая, что условия на границе являются нулевыми получим, что функция и может быть только нулевой. При f = 0, срк=у/к=0 {к = 0,1). Система уравнений (3.6) является тоже однородной. В силу доказанной единственности решения задачи эта система допускает в данном случае только нулевое решение. По теореме Фред-гольма [11] это означает однозначную разрешимость неоднородной системы уравнений (3.6).
Отметим, что условия теоремы являются существенными. Рассмотрим, например, задачу Дирихле для уравнения иххуу + 7Г ихх = 0 в области ) = [0,l]x[0,l] с нулевыми условиями на границе. В нем коэффициент а20 = тг" > 0, а все остальные равны нулю, условие теоремы не выполнено.
Решением, в чем можно убедиться непосредственно, является и(х, у) = sin лх sin лу, отличная от тождественного нуля в области D. которое можно считать обобщением уравнений Манжерона [184] и Буссине-ска-Лява из теории колебаний [90, формула (20)], а также усложнением уравнения Бианки [95], связанного с интегральным представлением одних дифференциальных операторов через другие [96], и играющего важную роль в теориях аппроксимации и отображений [7, с. 109]. Пусть D = {0 Затем рассматривались более сложные, чем (4), уравнения со старшими частными производными иххуу, uxxyz, uxxyyz, uxxyyzz и т.д.(это можно проследить по публикациям [108], [ПО], [113], [116], [125], [127]). При этом была выделена некая «главная» часть (которая строилась по тому же принципу, что и в случае уравнения Бианки, и присутствовала при каждом построении) и «остаток», который вычислялся каждый раз путем вычитания левой и «главной» части тождества. Долгое время не удавалось спрогнозировать общий вид этого «остатка». Излагать подробно всю историю вопроса в данной диссертации представлялось нецелесообразным, поэтому необходимо было найти способ изложения, который был бы более прост для восприятия. В связи с этим возникла мысль, что сначала следует изложить вопрос, когда в уравнение входит производная лишь по одной из переменных, а потом уже производить усложнения, которые более или менее естественным образом приводили бы к общему случаю. Получить аналог тождества (7) даже для этого случая оказалось непросто. Решение задачи Гурса строится путем интегрирования указанного тождества, но для этого одно из слагаемых в нем требует преобразования в другую форму, причем установление этой формы представляло главную трудность. При малых m удалось прийти к ней аналитическим путем и спрогнозировать ее вид в общем случае: «- ад+І ИГ -І (-іГ ] в остальных случаях; Скп - биномиальные коэффициенты. Затем к доказательству указанной гипотетической формулы был применен компьютерный метод. Таким образом, получен некоторый синтез компьютерного метода с аналитическим. К сожалению, компьютерная составляющая ведет к накоплению погрешности при вычислениях, поэтому окончательную формулу решения задачи Гурса В 4 упомянутая схема рассуждений реализована уже для общего случая рассматриваемого уравнения (1). Для компактности записи применяются мультииндексы. Вывод указанной формулы может быть истолкован как доказательство существования решения. Но мы приводим и независимое доказательство существования и единственности решения. В процессе этого доказательства выведена вспомогательная формула, которую можно считать интегральным аналогом формулы Лейбница, связанной с- дифференцированием произведения. Таково содержание первой главы. Полученная формула решения задачи Гурса служит основой для следующих двух глав, где она применяется, в качестве общего представления решений уравнения (1). Такой подход к этой формуле при п = 2, т}=т2=1 хорошо известен [10,гл.1], [4, гл.1]. Например, в [4] говорится, что она выражает «структурные свойства решений» (с.62) и «является общим представлением регулярных решений» (с.66). На с.67 из [4] также указывается: «из процесса построения формул следует, что решение задачи Гурса...определяется однозначно». Наш метод получения обсуждаемой формулы есть обобщение рассуждений из [4], поэтому данное указание сохраняет силу и для полученной в представляемой диссертации формулы. Если в задаче Гурса заменить хотя бы одно из граничных значений dsu I dxsk Хк=Хк к = 1, п, s = 0, тк -1 на д и I дх к х для некоторого / тк, то получится новая задача. Такие задачи с повышением порядка нормальных производных являются предметом изучения во второй главе. В случае, когда наивысший порядок нормальной производной на границе увеличивается на единицу (подобно тому, как для уравнения Бианки в уже процитированных работах [37], [70], [71], [40]) такие задачи для уравнения (1) мы обозначаем как Тх. В 1 второй главы рассматриваются задачи типа Г, для уравнения (1) (при п-3, п = 4 и общий случай). При этом первоначально рассматриваются задачи в трехмерном пространстве, когда заменяется одно условие только на одной характеристике. Выяснено, что тогда соответствующие значения Гурса определяются единственным образом. Приведем одну из постановок указанных задач. В п. 1.3 рассматриваются задачи, когда условия Гурса заменены на парах характеристик. Здесь приходится исследовать на разрешимость уже два интегральных уравнения, а сама картина разрешимости приобретает более разветвленный характер. Например, если а000(х10,х20,х3) = 0, то функции выделено по 25 вариантов. Поэтому для компактной записи результата в рассмотрение были введены специальные матрицы-строки, элементами которых являются блоки из условий на коэффициенты, обеспечивающие тот или иной характер разрешимости соответствующих задач. В п. 1.4 рассмотрена одна из задач, когда заменены данные Гурса уже на всех трех характеристиках. В п. 1.5 рассуждения распространены на (1) в четырехмерном пространстве. В п. 1.6 рассматриваются задачи Г, для общего уравнения (1). Дальнейшим этапом развития задач Гурса после Ц являются задачи Гдг, когда граничные условия заменяются на нормальные производные, порядок которых повышается уже на N по сравнению с максимальным порядком производной в задаче Гурса на заданной характеристике (он равен порядку уравнения по соответствующей переменной, уменьшенному на единицу). Во втором параграфе с помощью обсуждаемого подхода рассматриваются задачи FN. Считаем порядок производной N выше наивысшего порядка граничного условия из задачи Гурса на данной характеристике больше чем на единицу. Рассуждения ведутся сразу для общего уравнения (1). Доказан следующий результат о достаточных условиях редукции к задаче Гурса.Случай наиболее общего уравнения в трехмерном пространстве
Похожие диссертации на Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными
