Введение к работе
Актуальность темы. Начиная со второй половины XX века в ряде работ, посвященных исследованию краевых задач уравнений математической физики, появились задачи, качественно отличные от классических задач Коїли, Гурса, Дарбу, Дирихле, Неймана. Постановке и исследованию новых краевых задач были посвящены работы таких известных ученых, как А.В. Би-цадзс, В.И. Жегалов, A.M. Нахушев, А.А. Самарский.
Новые краевые задачи, в которых задаются условия вида
7і[и(*і)]+72[и(«2] = 0,
где 7і, 72 - линейные операторы, «і, »2 _ различные точки границы рассматриваемой области, следуя А.А. Дезину1, принято называть задачами с нелокальными условиями.
Дифференциальное уравнение будем называть нелокальным, если если оно содержит искомую функцию или ее производные, вычисленные в различных точках рассматриваемой области. Класс нелокальных уравнений охватывает, например, уравнения с отклоняющимся аргументом, нагруженные уравнения, уравнения с карлемановским сдвигом, функционально-дифференциальные уравнения.
Известно, что в 50—60 гг. в связи с возросшим интересом к задачам управления произошел "исследовательский взрыв" в теории обыкновенных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. В этот период вышли хорошо известные монографии как отечественных ученых - Н.М.Красовско-го, А.Д. Мышкиса, С.Б. Норкина, Л.Э. Эльсгольца, так и иностранных исследователей - Р.Беллмана, К.Кука, Э.Пинни, А. Халаная.
В 1931г. Т. Карлеман поставил и изучил задачу отыскания аналитической функции в области, ограниченной замкнутой кривой Г, удовлетворяющей
1Дезин А.А. Простейшие разрешимые расширения для ультрагиперболического и псевдопараболического операторов // Докл. АН СССР. 1963. Т.148. N5.
известному ранее из задачи Газемана, краевому условию
ф+и*)) = с(*)ф-(*),
где a(t) - изменяющий ориентацию гомеоморфизм а : Г —> Г такой, что
a2(t) = a(a(t)) = і.
Данный гомеоморфизм носит название карлемановского сдвига или ин-волютивного отклонения. Свойства этого гомеоморфизма исследовали Г.С. Литвинчук, 3. Нитецкий, Н.К. Карапетянц и С.Г. Самко. В дальнейшем эти свойства использовались при исследовании различных типов уравнений (сингулярные интегральные уравнения, функциональные уравнения, краевые задачи теории аналитических функций, уравнения типа свертки и др.), содержащих тот или иной инволютивный оператор. Отметим, что дифференциальные уравнения с карлемановским сдвигом, в том числе и отличным от отражения, были предметом исследования Л. Зильберштейна, Ю.А. Майстренко, Р. Келмана, В.Н. Шевело, А.Н. Шарковского.
Впервые дифференциальные и функциональные уравнения с инволютив-ным отклонением встречаются в работе Ч.Баббеджа, опубликованной в 1816 году. В 1921 году В. Файт описал свойства решений обыкновенного дифференциального уравнения
dy(x) , \ / >
-j—= ау(-х), х Є (-оо,+оо),
с инволюцией частного вида (отражением) а(х) = —х, и показал, что это дифференциальное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами имеет колеблющееся решение. Более того, И.Г. Петровский привел пример уравнения с простейшим инволютивным отклонением
^- = ау(х) + Ьу(с -х),хе (0, с), (1)
интересного тем, что правая (у(с) = 0) и левая (у(0) = 0) задачи Коши неравноправны в смысле единственности решения. Например, при а = 1,
Ь = 1, с = 1 левая задача Коши имеет бесчисленное множество решений вида у = kz, где к - произвольное вещественное число; тогда как правая задача Коши имеет только единственное тривиальное решение.
Уравнения с отклоняющимся аргументом нашли применение в теории функционально-дифференциальных уравнений (ФДУ). Линейные ФДУ с постоянными коэффициентами и линейными преобразованиями аргумента рассматривал, например, В.А. Рвачев, который исследовал финитные решения (так называемые атомарные функции) уравнений типа
М Ly(x) - X^ckviax - Ьь),
где L - дифференциальный оператор n-го порядка с постоянными коэффициентами.
Финитные решения ФДУ с частными производными изучались Е.А. Гориным. Близкие по тематике результаты можно найти в статьях В.М. Борока, Я.И. Житомирского, Г.А.Дерфеля, Т.И. Шейко, а в связи с приложениями в теории приближений - в статьях харьковских математиков А.А. Дабагян, Е.А. Федотовой, В.А. Рвачева, В.К. Ярмолюк и др.
Необходимо также отметить результаты А.П.Хромова, исследовавшего интегральный оператор вида
1-х
Af=f A(l-x,t)f(t)dt. о
При исследовании свойств интегрального оператора А с переменным верхним пределом интегрирования А.П.Хромовым существенно использовались решения обыкновенного неоднородного дифференциального уравнения с отклоняющимся аргументом (1).
Среди первых работ по исследованию краевых задач для уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами второго порядка с отклонениями в старших производных (нелокальные уравнения) следует отметить
работы И.М. Гуля и А.Б. Нерсесян, в которых было обращено внимание на эффект влияния отклонения аргумента на корректность постановок классических задач. Так, И.М. Гулем2 были рассмотрены краевые задачи для уравнения вида
a2ix(ai,/?i) d2u(a2,/32) _ fl дх2 + ду2
где ось — сц;{х,у), / — ftk(x,y), к = 1, 2, и показано, что задача Дирихле не является корректной. А.Б. Нерсесян3 рассмотрел постановку задачи Коши для дифференциального уравнения с отклонением в аргументе вида at
utt(x,at) = a2uxx(x,t)
и показал, что задача Коши для этого уравнеия некорректна по Адамару. Очевидно, что уравнения, рассмотренные И.М. Гулем и А.Б. Нерсесян, вообще говоря, не поддаются класификации, поскольку присутствие отклонения в аргументе старшей производной не позволяет классифицировать данные уравнения, так как принадлежность уравнения к тому или иному типу есть свойство локальное.
Заметим, что к подобным уравнениям сводятся некоторые задачи интегральной геометрии, обратные задачи кинематической сейсмики и геофизики, задачи колебания, вызванные двумя синхронными источниками.
Исследованию решений краевых задач для уравнений в частных производных с отклоняющимся аргументом в старших производных в целом посвящено небольшое количество работ, и поэтому, теория краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных с отклоняющимся аргументом остается весьма далекой от завершения, актуальность исследования нсло-
2 Гуль И.М. Задача Коши для некоторых дифференциальных уравнений в частных производных с функциональными аргументами. Успехи математических наук. 10:2, (64), 1955. С.153-156.
3Нерсесян А.Б. О задаче Коти для уравнения в частных производных с отклоняющим
ся аргументом. Материалы 2-й Всесоюзной межвузовской конференции по теории и при
ложениям дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. Черновцы, 1968.
С.116-117.
кальных краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных, содержащих изменяющий ориентацию (опережение-запаздывание), отклоняющийся аргумент в старших производных, не вызывает сомнений.
Цель работы. Предлагаемая работа посвящена исследованию корректности краевых задач для некоторых нелокальных уравнений,-; обобщающих классические и содержащих вещественный параметр ц (или Ь). При (і — О [Ь = 0) эти задачи представляют собой классические задачи Дирихле, Неймана для уравнения Лапласа; задачу Гурса, задачи В.И. Жегалова и A.M. На-хушева для волнового уравнения (задачи со смещением); смешанные задачи для уравнения теплопроводности и волнового уравнения.
Методы исследования. В работе используется аппарат теории дифференциальных уравнений, уравнений математической физики, функционального анализа, специальных функций, функциональных уравнений.
Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации имеют теоретическую направленность. Они могут быть использованы для дальнейшего исследования краевых задач для нелокальных дифференциальных уравнений в частных производных.
На защиту выносятся результаты исследования корректности постановок краевых задач для уравнений
аММ) 82u{x,t) ud2u(c-x,t) _п
dt? а дх* " ж ~и' (г>
д2 д2 д2
-^u(x,t) + -^u{x,t)=n^u(-x,t), (3)
д2 д2 д2
д2 д д2
fo2 "(*'*) - о1и(х>*) = ^д^2и(-ж>*)> (5)
а также для дифференциальных уравнений с сингулярными коэффициентами
д" и дхду
1 5«1
х-уду
= 0, (6)
Научная новизна. В диссертационной работе получены следующие новые результаты:
-
Для уравнения (2) при а > 6 > 0 поставлены новые краевые задачи. Эти задачи при 6 = 0 переходят в ранее известные задачи для волнового уравнения. Исследована корректность поставленных задач по Адамару (глава 1).
-
Исследована корректность классических смешанных краевых задач для уравнений (3),(4),(5).
-
В случае нарушения корректности по Адамару классических смешанных краевых задач рассмотрены видоизмененные задачи для (3),(4),(5).
-
Построена функция Римана для трехпарамстрического уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу (глава 3).
-
Построено общее решение для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу в одном исключительном случае.
-
Поставлены краевые задачи для уравнений (6),(7) с инволютивным отклонением и исследована их корректность по Адамару.
Апробация работы. Результаты исследований апробировались
на ежегодных научных конференциях профессорско-преподавательского состава Самарского государственного университета 1996-2000гг.;
на международном семинаре "Дифференциальные уравнения и их приложения", проходившем в Самаре в 1995 и 1996гг.;
на Сибирской конференции по неклассическим уравнениям математической физики (12-15 сентября 1995г.);
на международной конференции "Краевые задачи, специальные функции и дробное исчисление", проходившей в Минске 16-20 февраля 1996г.;
на молодежной научной конференции в Москве (XXII Гагаринские чтения), проходившей 2-6 апреля 1996г.;
на научном семинаре кафедры дифференциальных уравнений Казанского государственного университета в феврале 2000г. (руководитель д.ф.-м.н., профессор Жегалов В.И.);
- на научном семинаре по дифференциальным уравнениям в Самарском педагогическом университете (руководитель д.ф.-м.н., профессор Волкодавов В.Ф.) в октябре 2000г.
на научном семинаре кафедры уравнений математической физики Самарского государственного университета в 199б-2000гг. (руководитель д.ф.-м.н., профессор Филатов О.П.).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 работ [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7]. Из совместных работ в список публикаций включены только те, результаты которых получены автором самостоятельно.
Объем и структура диссертации. Диссертация изложена на 133 страницах и состоит из введения, трех глав и списка литературы. Библиография содержит 114 наименований.
