Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Предварительные сведения 20
Глава 2. Математические модели гидравлического удара в слабо вязкой жидкости и экстремально упругом скелете 32
1. Постановка задачи 32
2. Основные результаты 40
3. Доказательство теоремы 2.2 44
4. Доказательство теоремы 2.3 47
5. Доказательство теоремы 2.4 59
6. Доказательство теоремы 2.5 68
Глава 3. Математические модели гидравлического удара в вязкой жидкости и экстремально упругом скелете 73
1. Основные результаты 73
2. Доказательство теоремы 3.1 75
3. Доказательство теоремы 3.2 87
Глава 4. Математические модели гидравлического удара в слабо вязкой жидкости и эластичном твердом скелете 94
1. Основные результаты 94
2. Доказательство теоремы 3.1 96
3. Доказательство теоремы 3.2 102
Глава 5. Математические модели гидравлического удара в вязкой жидкости и эластичном твердом скелете 109
1. Основные результаты 109
2. Доказательство теоремы 5.1 110
Список литературы 124
Введение к работе
Актуальность темы.
В настоящей работе исследуется корректность начально-краевых задач макроскопических математических моделей распределения поля давления в пласте вблизи скважины в процессе гидравлического удара. Доказательство корректности указанных моделей основано на строгом усреднении точных уравнений, описывающих на микроскопическом уровне совместное движение твердого скелета грунта и вязкой жидкости, заполняющей поры в грунте.
Задача математического моделирования фильтрации подземных жидкостей актуальна как в научном, так и практическом аспекте. Как правило, процессы фильтрации являются очень медленными процессами, в которых характерными временами являются месяцы. Общепринятые математические модели фильтрации жидкостей базируются на феноменологическом законе Дарси, определяющим связь между давлением жидкости и ее скоростью.
В тоже время есть задачи фильтрации, в которых процессы длятся доли секунд. Например, гидравлический удар в нефтяной скважине. Гидравлическим ударом называется резкое повышение давления в некоторой системе, включающей, например, трубы, трещины и поры, заполненной жидкостью, вызывающее микроразрывы нефтяного пласта.
В настоящее время существуют инженерные модели этого процесса, косвенно связанные с фундаментальными законами механики сплошных сред1'2'3. В работе Т.Т. Гарипова4 была предложена модель распространения трещин в пороупругой среде, в которой динамика жидкости описывается уравнением Дарси. Для последнего уравнения, как мы отмечали, характерное время на порядки превышает время описываемого процесса.
1 Adachi J.I., Detournay Е., Peirce А.P. Analysis of the classical pseudo-3D model for hydraulic fracture with equilibrium height growth across stress barriers //Int. J. of Rock Mechanics and Mining Sciences (2010) V. 47, 625 - 630.
2Kovalyshen Y., Detournay E. A Reexamination of the Classical PKNModel of Hydraulic Fracture //Transp. Porous Med. (2010) V. 81, 317 - 339.
3Liang Weiguoab, Zhao Yangshenga, A mathematical model for solid liquid and mass transfer coupling and numerical simulation for hydraulic fracture in rock salt //Progress in Natural Science (2005) V. 15, Issue 8, 742 - 748.
4Гарипов T.T. Моделирование процесса гидроразрыва пласта в пороупругой среде //Мат. Моделирование, (2006), т. 18, No. 6, 53-69.
Задаче о движении жидкости в пористой среде посвящено большое количество работ российских и зарубежных авторов: М. Био, К. фон Терцаги, Р. Барриджа и Дж. Келлера, Э. Санчес-Паленсии, Т. Леви, A.M. Мейрманова, А.Л. Пятницкого, Г.А. Чечкина, А.С. Шамаева, Дж. Бьюкенена, Ж. Лина, М. Бакингема, Т. Клопиу, Ж. Ферри, Р. Гилберта, А. Микелича, Л. Паоли, Г. Нгуетсенга, Ж. Санчес-Хьюберта.
В настоящей диссертации предлагается доказательство корректности новых макроскопических математических моделей гидравлического удара в нефтяном пласте, основанное на точном анализе параметров соответствующей математической модели на микроскопическом уровне (базовой модели), с последующим усреднением дифференциальных уравнений модели.
Автор следует естественной идее, предложенной Р. Барриджем и Дж. Келлером5, сначала описать совместное движение упругого скелета и жидкости в порах на микроскопическом уровне, используя классические законы механики сплошных сред, а затем найти соответствующие аппроксимирующие модели с помощью методов теории усреднения. Базовая модель не вызывает сомнений и является общепринятой. Следовательно, все ее строго обоснованные подмодели (в том числе и усредненные уравнения) будут востребованы для будущих практических приложений.
В настоящей работе рассмотрена только небольшая часть всех возможных предельных ситуаций (усредненных уравнений). Очевидно, что нахождение всевозможных корректных математических моделей, асимптотически аппроксимирующих базовую модель, является важной и интересной задачей как с математической так и с практической точек зрения. Вообще говоря, при решении реальных физических задач не предполагается осуществление каких-либо предельных переходов. В то же время решение системы микроскопических уравнений, наиболее точно отражающих рассматриваемый физический процесс практически нереально, поскольку коэффициенты системы осциллируют на масштабе в 10-15 микрон. С другой стороны, в распоряжении исследователя имеются конкретные физические постоянные (плотность среды, вязкость
5Buiridge R. and Keller J.В. Poroelasticity equations derived from microstructure //Journal of Acoustic Society of America, V. 70, No. 4, (1981) 1140 - 1146.
жидкости, упругие постоянные твердого скелета, характерный размер рассматриваемой области L, характерное время физического процесса г и т.п.) и естественный малый параметр. Считая безразмерные коэффициенты уравнений функциями данного малого параметра и меняя физические величины в пределах применимости математической модели можно определить закономерности в поведении безразмерных коэффициентов. Последние подскажут выбор усредненной модели, близкой к базовой модели. Здесь необходим наиболее полный набор возможных усредненных уравнений, поскольку различные предельные режимы соответствуют различным физическим ситуациям, предугадать которые заранее невозможно.
Вывод усредненных уравнений основан на систематическом применении метода двухмасштабной сходимости, идея которого впервые была введена в 1989 году Г. Нгуетсенгом6. Понятие двухмасштабной сходимости развивает понятие слабой сходимости. При этом двухмас-штабный предел последовательности функций зависит от двух групп переменных: медленные и быстрые переменные. В дальнейшем эта идея разрабатывалась в работах Г. Аллэира7, В.В. Жикова8, A.M. Мейрманова9 и других авторов.
Цель работы. Основной целью работы является доказательство корректности новых макроскопических математических моделей гидравлического удара в нефтяном пласте.
Общая методика исследования. В работе используются классические методы функционального анализа и теории дифференциальных уравнений в частных производных и методы теории усреднения, в первую очередь метод двухмасштабной сходимости Г. Нгуетсенга.
Научная новизна. Результаты, полученные в диссертации, являются новыми. Среди наиболее важных отметим следующие:
1. Доказано существование обобщенного решения начально-краевой задачи для системы линейных уравнений, описывающей на микро-
8Nguetseng G. A general convergence result for a functional related to the theory of homogenization// SIAM J. Math. Anal. - 1989. V. 20. - P. 608-623.
7Allaire G. Homogenization and two-scale convergence //SIAM J. Math. Anal. - 1992. - V. 23. -P. 1482-1518.
8Жиков В. В. Об одном расширении и применении метода двухмасштабной сходимости// Матем. сб. - 2000. Т.191. т. С.31 - 72.
9Мейрманов A.M. Метод двухмасштабной сходимости Нгуетсенга в задачах фильтрации и сейсмоакустики в упругих пористых средах// Сибирский математический журнал. - 2007. - Т. 48, №3. - С. 645 - 667.
скопическом уровне совместное движение упругого пористого тела и жидкости, заполняющей поры, названной в работе моделью Mi;
-
Доказана сходимость решений системы уравнений модели Mi, на основе анализа ее параметров, к решениям усредненных систем уравнений при стремлении малого параметра усреднения к нулю;
-
Получены математические модели гидравлического удара, на основе строгого усреднения модели, описывающей физический процесс на микроскопическом уровне;
4. Доказана однозначная разрешимость трех макроскопических мате
матических моделей гидравлического удара в нефтяном пласте.
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы в теории усреднения дифференциальных уравнений и математическом моделировании быстротекущих процессов фильтрации в подземных грунтах.
Апробация работы. Основные результаты и содержание работы докладывались и обсуждались на VIII школе молодых ученых «Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики» (Нальчик-Хабез, 2010), Воронежской весенней математической школе «Понтрягинские чтения - XXI» (Воронеж, 2010), Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (Воронеж, 2011, 2013), на Международной конференции «Комплексный анализ и его приложения в дифференциальных уравнениях и теории чисел» (Белгород 2011), на Международной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (Белгород 2013), а также на семинаре по дифференциальным уравнениям и их приложениям под руководством профессора А.П. Солдатова (Белгородский государственный университет, 2013, 2014).
Публикации. Основные научные результаты, вошедшие в диссертацию, отражены в работах [1] - [14] из списка публикаций автора по теме диссертации. Из них статьи [3], [5], [6], [8], [11], [14] опубликованы в рецензируемых научных изданиях. В совместных с научным руководителем A.M. Мейрмановым работах [3], [9], [14] руководителю принадлежат постановка задач, выбор методик исследования и общее руководство работой, а соискателю - реализация указанных методик.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, разбитых на параграфы, списка литературы, включающего 42 наименования, и изложена на 130 страницах.
Основные результаты
Теорема 2.2. Пусть выполнено условие (2.4) и функции {р, Vе} являются обобщенным решением задачи (2.8) - (2.17). Тогда из последовательности параметров {є 0} можно выделить подпоследовательность, такую что при є — 0 последовательность {р} сходится слабо в L/2(QT) К решению p(x,t) Є W2 (QT) следующей смешанной краевой задачи для строго эллиптического уравнения:
Теорема 2.3. Пусть выполнено условие (2.5) и функции {рє, Vе} являются, обобщенным решением задачи (2.8) - (2.17). Тогда из последовательности параметров {є 0} можно выделить подпоследовательность, такую что последовательность {рє} сходится слабо в L2(QT) при є стремящемся к нулю к решению смешанной краевой задачи, состоящей из краевого условия (2.27) на части S1 границы S, краевого условия на оставшейся части S2 и усредненного уравнения
В уравнениях (2.28) - (2.29) тензорВ(/і1, Л1; ж,) дан ниже формулой (2.58), п{х) - нормальный вектор к границе S2 в тючке х Є S2
Заметим, что уравнение (2.29) и краевое условие (2.28) являются формальным выражением интегрального тождества для некоторой гладкой функции , исчезающей на части 5 1 границы S. Как мы уже упоминали выше, р удовлетворяет (2.28) и (2.29) в смысле теории распределений.
Следующие две теоремы формулируются в условиях:
Для вывода усредненных моделей в этих условиях, поле перемещений продолжается из выбранной компоненты (жидкой или твердой) на всю область, с сохранением лучших свойств решения.
Пусть выполнено условие (2.6) и wr = Едє(гиє). Тогда существует, подпоследовательность от малого параметра {є 0}, такая что последовательности {р}, {(1 — ()(1 — Х) dw/dt], {dwf/dt} и {d2wf/dt2} сходятся при є — 0 слабо aв L2{QT) и L2{QT) К функциям р є W2 (QT), dw /dt, dwf/dt и d2Wf/dt2 соответственно. Предельные функции удовлетворяют в области QT системе усредненных уравнений, состоящей из уравнения неразрывности для твердой компоненты при X\ 0 мли усредненного закона сохранения количества движения твердой компоненты в виде
В уравнениях (2.33), (2.34) матрицы, Bs(oo, Лі; t), Bs(oo,0;) определены ниже формулами (2.72) и (2.79), постоянная матрица Bs(oo,0;) = Bs(oo,0) строго положительно определена.
Теорема 2.5. Пусть выполнено условие (2.7) и ws = Е (гиє). Тогда существует подпоследовательность, выделенная из последовательности параметров {є 0}, такая что последовательности {р}, {xdw/dt}, {(1 - C,)dwJdt} и {(1 - C,)d2wJdt2} сходятся при є — 0 слабо в L2(QT) и L (QT) К функциям р Є W2 {QT), dw /dt, dws/dt и d2ws/dt2 соответственно. Предельные функции удовлетворяют в области QT системе усредненных уравнений, состоящей из уравнения неразрывности
Уравнения (2.38) - (2.41) дополняются, однородными начальными условиями (2.35) для перемещений т и ms жидкой и твердой компонент, и граничными условиями (2.36) и (2.37) для давления р и скорости v. В уравнениях (2.40), (2.41) матрицы B/(/ii, ОО; t), В/(0, оо;) определены ниже формулами (2.94) и (2-97), постоянная матрица В/(0, oo;t) = В/(0, оо) строго положительно определена.
Доказательство теоремы 2.5
Доказательство теоремы 2.5 повторяет доказательство предыдущей теоремы с очевидными симметричными изменениями. Поэтому мы только сформулируем основные результаты, оставляя в стороне доказательства. d2w Случай /ii 0. Последовательности {р}, {w}, { }, otz д w , dw д w ограничены в пространствах L2(QT) И L (QT) соответственно. Следовательно существует подпоследовательность от малого параметра {sk 0} и функции р, ws и w \ такие что слабо в L2(QT) И L (QT) при є/с — 0. Переобозначая, если это необходимо, индексы, считаем сходящимися сами последовательности. Существует 1-периодическая по у функция W(x,t,y), такая что д w dw последовательности at1 ot сходятся двухмасштабно в (Qr) и L (QT) К функциям p(x,t), соответственно, и d2W dW Лемма 2.6. Предельные функции v = dw/dt и W удовлетворяют усредненному уравнению неразрывности (2.38) в области QT и краевому условию (2.37) на границе ST для скорости " = СЖ + (1-0( Г + (1-т) г), (2.84) и микроскопическому уравнению неразрывности (2.51) в области Ут для почти всех (x,t) Є QT Лемма 2.7. Предельные функции р, w, ws и w удовлетворяют интегральному тождеству для всех гладких функций ц , таких что (p(x,t) = О на границе ST. Интегральное тождество (2.85) результирует граничное условие (2.36) и уравнение баланса импульса для твердой компоненты в форме умножая последнее уравнение на ( и (1 — () мы получим (2.56) и Как и в предыдущем случае, заключаем, что функции w и ws удовлетворяют начальному условию (2.35). Чтобы получить уравнение баланса импульса для жидкой компоненты, необходимо перейти к пределу при є — 0 в (2.18) с пробными функциями вида (р = h(x,t)(p0(x/e,t), где h(x,t) есть гладкая финитная в Г2у, a (fo(y) - 1-периодическая по у гладкая соленоидальная финитная в Yj функция. Пара функций {W{f\ П } удовлетворяет уравнению в области У/- х (0,Т), начальным условиям и краевому условию для почти всех х Є Г2у, где W = x(y)W. Следовательно решение {W , П } периодической начально-краевой задачи (2.51), (2.87) - (2.89) имеет вид f) тт(Я где {W , Щ } , і = 1,2,3, есть решения следующих периодических начально-краевых задач Последнее соотношение влечет уравнение (2.40). Случай /ii = 0. При /ii = 0 микроскопическое уравнение баланса импульса для жидкой компоненты принимает вид Qf—jtf- = vvп(Л " v- Р- (2-95) Вместо условия (2.89) на границе 7 имеем условие (wW(x,t,y) - wa(x,t)) п(у) = 0, (2.96) которое является следствием микроскопического уравнения неразрывности (2.51) и представления W(x,t,y) = x(y)W (x,t,y) + (1 - x(y))ws(x,t), у є Y. Решая уравнение (2.95), подействуем на него оператором Vy- и снова используем (2.51):
Доказательство теоремы 3.1
В этой главе проводится усреднение базовой модели Мі для случая вязкой жидкости и эластичного твердого скелета: О /io оо, 0 Ло оо.
Переобозначая, если это необходимо, индексы, считаем сходящимися сами последовательности.
По теореме Нгуетсенга существуют 1-периодические по у функции P{x,t,y) из L2{QT Х У) И W{x,t,y) из L2(Qr,W\(Y)), такие что последовательности {р}} {Vw} и {V(dw/dt)} сходятся двухмасштабно в (Ог) И L/2(QT) К функциям Р(ж,,г/), (Vxw(x,t) + VyW(x,t,y)) и (Vxvfat) + Vy(dW(x,t,y)/dt)) соответственно.
Заметим, что в силу ограниченности последовательностей функций {D(x,w)} и {D(x,dw/dt)} в L2{QT) И леммы 1.3, последовательности {w} и {dw/ді\ сходятся двухмасштабно к своим слабым пределам {w} и {v}.
Лемма 5.1 Предельные функции w и W удовлетворяют макроскопическому и микроскопическому уравнениям неразрывности
Перейдем теперь к выводу усредненного уравнения баланса импульса (5.2). Чтобы найти тензоры 9Ті, 9 2 и 9Тз() необходимо решить периодическую задачу (5.7), (5.9) в области Yp, найти В (у, dW/dt) и В (у, W") как операторы на В(ж, dw/dt) и В(ж, ги) и подставить их выражения в макроскопическое уравнение (5.8).
Доказательство теоремы 3.1
1. Некрасова И.В. Об одной модели гидравлического удара в теории фильтрации жидкости// Материалы Воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения - XXI». - Воронеж: ВГУ. - 2010. - С. 158-159.
2. Некрасова И.В. Моделирование быстропротекающих процессов при фильтрации несжимаемых жидкостей//Материалы VIII школы молодых ученых «Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики». - Нальчик-Хабез: КБНЦ РАН.
3. Гриценко С.А., Некрасова И.В. О методе фиктивных областей для периодической начально-краевой задачи для уравнений Стокса// Научные ведомости БелГУ. Серия Математика. Физика. - 2010. -№17(88). - Выпуск 20. - С. 29 - 37.
4. Некрасова И.В. Математические модели гидравлического удара в пористой среде// материалы Воронежской зимней математической школы «Современные методы теории функций и смежные проблемы». - Воронеж: ВГУ. - 2011. - С. 239 - 240.
5. Некрасова И.В. Моделирование быстропротекающих процессов фильтрации несжимаемой жидкости через усреднение периодических структур: односкоростной континуум// Научные ведомости БелГУ. Серия Математика. Физика. - 2011. - №23(94). - Выпуск 21. - С. 75 88.
6. Некрасова И.В. Моделирование быстропротекающих процессов фильтрации несжимаемой жидкости через усреднение периодических структур: двухскоростной континуум// Научные ведомости БелГУ. Серия Математика. Физика. - 2011. - №5(100). - Выпуск 22. - С. 75 87.
7. Некрасова И.В. Две модели гидравлического удара в нефтяном пласте// Материалы Международной конференции «Комплексный анализ и его приложения в дифференциальных уравнениях и теории чисел». Белгород. - НИУ «БелГУ», 2011. - С. 87.
