Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Равномерная локальная управляемость
1. Динамическая система сдвигов 28
2. Равномерная полная управляемость 41
3. Оператор Грина и оператор управляемости 48
4. Доказательства утверждений второго параграфа 62
5. Равномерная локальная управляемость 73
6. Замечание о равномерной полной управляемости 85
ГЛАВА 2. Равномерная глобальная управляемость
7. Достаточные условия равномерной глобальной управляемости 89
8. Оценки опорной функции 99
9. Ляпуновские преобразования 105
10. О глобальной управляемости условно-периодического уравнения 112
ГЛАВА 3. Вероятностные характеристики множества. управляемости
11. Пример уравнения с "плохим" множеством управляемости. 125
12. Мера множества глобально управляемых уравнений 132
13. Доказательства теоремы 12.I и следствия 12.I 137
14. О мере множества Ш в случае почти-периодического уравнения IP 150
ГЛАВА 4. Стабилизация и управляемость
15. Равномерная стабилизация линейного уравнения . 160
16. Несколько замечаний о полной управляемости 183
ГЛАВА 5. Неосцилляция и структура границы множества управляемости
17. Структура границы множества управляемости 204
18. Неосцилляция линейной системы 213
19. Некоторые эффективные условия неосцилляции 221
20. К вопросу о регулярном синтезе 245
Литература 257
- Равномерная полная управляемость
- Оценки опорной функции
- Мера множества глобально управляемых уравнений
- Несколько замечаний о полной управляемости
Равномерная полная управляемость
Математическая теория линейных управляемых систем, развитие которой во многом обязано трудам Н.Н.Красовского [40], [41], [42], Р.Калмана [34], [35], Р.В.Гамкрелидзе [18], [19], А.Б.Куржанского [47], [48], Р.Конти [93], [94], L95] и ряду других исследователей (см, обзоры [16], [17] ) представляет важный раздел общей теории управляемых процессов. Значительно меньше изучено уравнение (ОД), в теории которого оформился ряд задач, не поддающихся решению в течение длительного периода времени. К числу таких задач относится задача о глобальной управляемости уравнения (ОД). Остановимся на этой задаче более подробно.
Пусть задано множество U, расположенное в R , Обозна 5 чим через i)(6,U)- множество управляемости в нуль уравнения(ОД) на [о,si ( х є Же,Ил в том и только в том случае, если существует измеримое управление u.Q;[o,e]— U, такое,что уравнение (0,1) при u«u0cfc" имеет решение,удовлетворяющее условиямоссо)=хо, xce"i = o). Уравнение (ОД) называется глобально управляемым, если множество Ъ(.Щ = и Xe,U} совпадает с Ка.
Отметим,что отказ от периодичности уравнения (0,1) (с сохранением условий (0.3),(0.6) и (0.7)) уже не обеспечивает глобальную управляемость уравнения (0.1). Более того, из условий (0,3), (0,6) и (0,7) не следует глобальная управляемость уравнения (ОД) даже в том случае, когда уравнение (ОД) условно-периодическое с двумерным базисом частот, а уравнение(О.в) - правильное (соответствующий пример приведён в 10 главы И),
Решение задачи о глобальной управляемости уравнения (ОД) потребовало привлечения математического аппарата, ранее не привлекавшегося в теории управляемых систем: уравнению (ОД) ставится в соответствие так называемая динамическая система сдвигов, исследование Q - предельного множества которой приводит к ответу на вопрос о глобальной управляемости уравнения (ОД), Динамическая система сдвигов описана в монографии В,В, Немыцкого и В.В.Степанова ( [613, гл.6, 9) и активно применялась В,М,Миллионщиковым [58] для исследования свойств показателей А.М.Ляпунова. Использование динамической системы сдвигов при исследовании уравнения (ОД) привело также к возникновению ряда понятий (названых в данной работе равномерной полной управляемостью, равномерной локальной управляемостью,рав-номерной глобальной управляемостью и равномерной стабилизиру-емостью), представляющих, как мне кажется, определённый инте 7 рес в задачах управления в условиях неопределённости [48], [68] и в игровых задачах [431,[441,т.е. в тех случаях, когда возникает необходимость в позиционном управлении объектом.
Ещё одно обстоятельство следует отметить особо. Среди уравнений вида (ОД) существуют уравнения со следующими свойствами ( II, глава Ш): (A) уравнение (0.1) с фиксированным множеством U, удовле творяющим условию (0.3), глобально управляемо; (Б) ДЛЯ любого a elR" и любого -fco 0 найдётся такое т = trt0,x t , что время быстродействия ТЧ Х ИЗ ТОЧКИ зссс =эс0 в нуль удовлетворяет неравенству ТСТ, :0Ї & і-ас0і; (B) для всякого є і найдутся такие т=тсв) о и x0eRa, чтоіх\=і и при этом время быстродействия Ttt,x ». Причины существования уравнений со свойствами (А) - (Б) удалось объяснить в терминах вероятностных мер, определённых на С2 -предельном множестве соответствующей динамической системы, а это в свою очередь привело к некоторым новым задачам, связанным с вероятностными характеристиками множества управляемости.
Другая задача, которой в данной работе уделено достаточное внимание, состоит в изучении границы 6Dce,U) множества управляемости ЪсвД) уравнения (0.1) при малых s (точнее при , не превосходящих некоторого критического значения є0, которое может быть и достаточно большим). Вопрос о структуре дЗкеДЛ) тесно связан с задачей построения синтезирующей функции. При исследовании этих вопросов (которые достаточно изучены для стационарного уравнения (0.2)) в работе привлекаются классические методы, связанные с теорией чебышевских систем и тео - 8 рией неосцилляции в смысле Ш.Валле-Пуссена. Правда,понятие неосцилляции в смысле Ш.Валле-Пуссена относится только к уравнению fccn\to+х Ь ъс %+... +ъ4 А Ъ А =о, что оказалось недостаточным для наших целей. Поэтому один из параграфов данной работы посвящен обобщению теории неосцилляции на линейные уравнения вида (0.8). При этом получились результаты, представляющие самостоятельный интерес.
Оценки опорной функции
Уравнение (0,1) отождествляется с функцией -fc- i?0A) CA0iV , b0dV е HoruClR xtm ,iRri) и строится множество 1оу сЦ : тєК},гдеір( Ь=и ст+-Ь, а сі означает замыкание множества {ц \ хеЭДв топологии равномерной сходимости на отрезках. Динамическая система сдвигов, отвечающая уравнению (0.1) - это пара cKci a S, где аг- однопараметрическая группа движений в фазовом пространстве ЯиМ, определённая равенством a ci сг+-Ь, цє Х&і , teK, Наряду с Шу0) рассматриваются пространства V? J«cEtyfc»o}, ft o 18.\(к0} (последние два пространства отвечают уравнению (0.8),которое отждествляется с функцией -Ь—A toettom.(Rn,Raft. Всюду далее предполагается.
Определение 0.1. Уравнение i?0 называется равномерно вполне управляемым (вправо), если существуют числа є о, } 0, такие,что всякое уравнение сКЧі і вполне управляемо на отрезке Со,el (т. е. 1)0 6,( =6 ) и среди управлений, переводя -10 щих ip из точки сссо »«0 В точку «се = о найдётся управление fc -»- uc"fc, 0; ip), удовлетворяющее неравенствуіги-fc,-30 , 1 1 для всех ts[o,&], x0e!Ra.
Это определение эквивалентно (см, 4) определению равномерной полной управляемости в смысле Р.Калмана [102]; уравнение \ равномерно вполне управляемо (в смысле [102] ), если существуют0 0,1=-1,...,4, 0,что при всех гг о выполнены неравенства (понимаемые в смысле квадратичной формы).
Теорема O.I. Если H. % является минимальным компактным инвариантным относительно а множеством и найдётся такое уравнение ipZltif0\4TO Х К"1)-! (т.е. уравнение ц вполне управляемо), то уравнение р0 равномерно вполне управляемо.
Условия теоремы 0.1 являются предельными в следующем смысле: условие R необходимо для равномерной полной управляемости, а условие рекуррентности нельзя ослабить до условия устойчивости по Пуассону (&ор,,л/)П C,«O 0 для всех іо о,є 0,// 0 и некоторого ц є2с% . Свойство равномерной полной управляемости устойчиво относительно возмущений из множества.
Теорема 0.5. Пусть множество U удовлетворяет условию (0.9), уравнение (0,10) рекуррентно и X-Q не является собственным значением. Тогда существует не более счётного числа собственных значений уравнения (О.Ю), причём на каждом отрезке [л ,Х ] собственных значений конечное число. В шестом параграфе введено определение равномерной полной наблюдаемости и отмечена связь этого определения с задачами наблюдения в условиях помех. Глава П посвящена равномерной глобальной управляемости. В седьмом параграфе введено следующее определение. Определение 0.4. Уравнение у называется равномерно глобально управляемым (вправо), если для всех ipefc+up. — Xu — Если выполнено условие (0.9), то свойство равномерной глобальной управляемости эквивалентно следующему свойству: для любого л/ о существует такое 6-=ЄСЮ О,ЧТОО"СІКІРТ,6,Ш для всех t o. Теорема О.б. Пусть выполнено условие (0.9).Если кроме того: (а) уравнение 0 равномерно локально управляемо; (б) показатели А.М.Ляпунова д.сА0 о, 1=4.....а; (в) уравнение Ао приводимо (ляпуновским преобразованием к уравнению с постоянным оператором); то уравнение ц»0 равномерно глобально управляемо. Существенность условий (а)-( в) выясняется в следующей теореме. Обозначим через Мслв множество нормированных боре-левских мер на%Р А инвариантных относительно сдвигов. В силу теоремы Н.М.Крылова и Н.Н.Боголюбова ( [61], стр.514), множество МсА непусто.
Теорема 0.7, Пусть выполнено условие (0.9).Если уравнение ц равномерно глобально управляемо,то; (а) уравнение vp равномерно локально управляемо; (б) показатели А.М.Ляпунова л А),..., &№ .А) неположительны для почти всех (относительно любой меры из МсА0)) Ae"4A0v» (в) если уравнение А0 приводимо или почти-периодично (в смысле Бора),то .СА) ОЛ=А,...% а для всех Ae-fc+cA . Доказательство теорем 0.6 и 0.7 опирается на свойства ля-пуновских преобразований и оценки опорной функции, которые представляют самостоятельный интерес и поэтому я привожу их ниже. Доказательство пункта (б) теоремы 0,7 использует результаты работы В.М.Миллионщикова [60] о мере множества абсолютно регулярный уравнений.
Мера множества глобально управляемых уравнений
С множеством U Q с 0?а и всилу неравенств (О.Н), вопрос о равномерной глобальной управляемости уравнения ц 0 сводится к вопросу о равномерной глобальной управляемости уравнения 0. Теоремы 0.6 и 0.7 оставляют невыясненными ряд вопросов, один из которых (поставленный В.М.Миллионщиковым) состоит в следующем: являются ли условия (а) и (б) теоремы 0.6 достаточными условиями равномерной глобальной управляемости почти-периодического (в смысле Бора) уравнения ip (из теоремы 0.7 следует, что эти условия необходимы)?
Ответ на этот вопрос дают сформулированные ниже теоремы 0.8 и 0.9. Введём в рассмотрение два множества - множество глобально управляемых уравнений из 1+(і и Множества 1Т1 и Я инвариантны относительно of и если уравнение ifo почти-периодично, то динамическая система сдвигов CRcip ofo строго эргодична, т.е. на &uft существует единственная нормированная борелевская мера jl, инвариантная относительно сдвигов и такая, что для любого инвариантного бореле-вского множества Ц, juuQ равна нулю или единице. Отметим ещё, что верхний особый показатель сА0} уравнения А0 определяется равенством ( [III, стр.116)
Теорема 0.8. Пусть выполнено условие (0.9) и уравнение ц почти-периодично. Тогда равенство дл.ОД)« Л имеет место в том и только в том случае,если 3Kip0, ,ny=iR,a (т.е. уравнение % вполне управляемо) и QcA0} « о.
Теорема 0,9, Для любых т. и rt существуют уравнение ifo вида (0.1) и компактное множество U (oeiattl), такие, что Т1 # и при этом: (I) уравнение ц 0 условно-периодично с двумерным базисом частот; (2) уравнение ip0 равномерно локально управляемо; (3) уравнение А0 правильное (и даже абсолютно регулярное [58] ); (4) Qtft0 о; (5) ip0etft.
Теорема 0.8 допускает обобщение на эргодические системы. Для формулировки такого обобщения отметим, что еслисЯЛ .Л-эргодическая система (т.е. на Z. существует по крайней мере одна эргодическая мера jx ), то система {1SL\h %f) тоже эргодическая и мера ) , определённая равенством эргодична на І&ЧА . Теорема 0.10. Пусть выполнено условие (0.9),система tfR.ufvqft эргодична и JJL - фиксированная эргодическая мера. Если уравнение v Q равномерно локально управляемо и для почти всех (в смысле меры ) уравнений А изЛ/ выполнены неравенства СА\ о, 1я ,...,п, то juWhe1, Следствие 0.1. Пусть выполнены условия теоремы 0.10 и уравнение \уо рекуррентно. Тогда множество УІ имеет пер вую категорию Бэра. ; - 17 Пятнадцатый параграф посвящен вопросам равномерной стабилизации уравнения if0. Определение 0.5. Уравнение у0 называется равномерно стабилизируемте если для всякого о существует ограниченная и равномерно непрерывная наїй функция k0:IR- Wom(R,iR,n) ( k0 зависит oiot ), обладающая свойством (s): каждому уравнению у из fc ift,} отвечает функция k 1R4k0 ,TaKafl,4ToQcP о4, где РсЬ = А .Ъ + ВсЪксЛ). Теорема 0.ЇЇ. Уравнение ц 0 равномерно стабилизируемо в том и только в том случае, если оно равномерно вполне управляемо. Если уравнение ф0 равномерно стабилизируемого для каждого о %о функция к0л «-ь;съа-очъ% (0.12) где Q tb- J Xnd,ft bn« fc is X A,s exp(2aicfc-sttds, О І О V) О Q удовлетворяет свойству (s) при всех достаточно больших Г 0, Оказывается далее, что если уравнение ц 0 рекуррентно, то функция (0.12) рекуррентна и для любых O, / Q найдутся & о и М о, такие,что &0fQ,5,M C &ск0,&,л/), где AM = ixelR: max I if cfc)- %(.Ы 1. Если же уравнение ц»0 почти-периодично (в смысле Бора),то kQ почти-периодична и WUk clflfto , где Шсц» - модуль функции 0 (т.е. наименьшая абелева группа, содержащая все показатели Фурье). Свойство равномерной стабилизируемости эквивалентно свойству равномерной полной управляемости, а свойство равномерной полной управляемости - грубое свойство, поэтому и свойство равномерной стабилизируемости - грубое свойство. Естественно, что свойство равномерной стабилизируемости должно сохраняться (по крайней мере в локальном смысле) и при нелинейных возмущениях уравнения ц о. Доказательству этого утверждения посвящен конец параграфа пятнадцать.
В 16 исследуются условия, при которых 3Xif0 в, "Н- 6 т.е. условия полной управляемости уравнения на заданном отрезке Со,si. Вопрос об эффективных условиях полной управляемости нестационарного уравнения у (важность которого отмечалась Н.Н.Красовским ещё в 1968 году [42] , стр.15) по-прежнему не получил существенного развития. Здесь доказано следующее утверждение.
Несколько замечаний о полной управляемости
Другой вопрос,обсуждаемый в 16 состоит в следующем: пусть фиксировано некоторое множество вполне управляемых уравнений у вида (0.1) (например, sC - множество со;-периодических вполне управляемых уравнений). Требуется получить оценку сверху числа є=е(.5С),обеспечивающего полную управляемость на отрезке [о,«1 любого из уравнений ц$ зі. В этом направлении получены следующие результаты. Пусть Тг - тор размерности г с угловыми координатами 4 ,..., х CUUXUTT).Пусть задан вектор частот \)=( ,..., г), причём для любого ненулевого вектора ppp..., р ) с целочисленными координатами линейная комбинация р \) +.„+pJ не Обращается в нуль. Рассмотрим уравне-ние if с\)Ъ=сА и-Ь,ВсМ) вида (0.1), гдех- A.cs) и х-»В_cso неп 10 0 о рерывные на Тг функции. Тогда уравнение ф Ъ является условно-периодическим с периодами оо. = 2зс/ ); ,1=1,..., . Пусть о))-множество вполне управляемых уравнений вида %Oi) (базис -С ,..., \} фиксирован).
Эта теорема является обобщением на нестационарные уравнения известной теоремы АД.іельдбаума ( [65], стрД34) о «я еле переключений. Она была опубликована в [70], а затем пере открыта (при более жёстких ограничениях) і ряде работ (см., например, [96] ). Вообще в последние годы вопросу числе переключений посвящено большое число работ, причём рассматриваются как линейные так и нелинейные уравнения [661, [92], [96], [99],[106], [Ю81,[109].
Утверждение ОД. Пусть выполнены условия (а) и (б) Тогда s0 .»?0v=o и поэтому для каждого фиксированного е 0 множеств управляемости Ж 0 е,Щ обладает свойствами сформулированными в теореме 0.14« Далее, если найдутся такие константы & о и 5 о, что дополнительно к (0,14) при всех, достаточно больших -Ь выполнены неравенства и еинтезирущая функция \М,х) определена в области [о, ») xR" (т.е, уравнение 0 допускает глобальный синтез) Теоремы 0.14, O.I5 и утверждение 0.1 сформулированы в 17, 20 и 19 соответственно, параграф восемнадцать посвящен выяснению двух вопросов; при каких условиях. При каких условиях для заданного е выполнено неравенств « %% ? Как уже отмечалось, эти вопросы тесно связаны с вопросом о неосцилляции в смысле Ш.Валле-Пуссена, Но теория неосцилляции развита только для уравнения и перенесение этой теории на систему уравнений нетривиально,
В силу теоремы Биркгофа ([бі], стр.402), если с -минимальное компактное инвариантное относительно оУ множество, то всякое движение в 1( -) рекуррентно, т.е. для любого о существует є о, такое,что для всех -fceiR ipe fctiy. Здесь 0cZ) - s, -окрестность множества Z, с с .Следуя [56], уравнение ш будем называть рекуррентным, если cip — минимальное компактное инвариантное множество относительно о . Оказывается, что уравнение if рекуррентно в том и только в том случае если множество {теК: ptip0,a\if ї) &} относительно плотно на прямой R для всякого & 0 ([61], стр.405), т.е. существует такое-Еш, что любой интервал (ос, d.+ -Us-Vi длины ІСЕ, содержит хотя бы один элемент этого множества.
Введём в рассмотрение множество 2.чр0} омега-предельных точек движения T--ifT. Напомним, что ц е с іу0ї в том и только в том случае, если найдётся такая последовательность {Д 0 , чюТ.- -оо и ц . Множество 2 непусто,компактно ( в метрикер ) и инвариантно относительно сдвигов. Запишем множество +(vpo в виде 1R.+tv) = 0+С1Ро U t% , где 8+ C = 1\iy\Z.ciy. Если 21up0) - минимальное ( относительно аг ) множество, то всякое уравнение Ц из 514V рекуррентно. В этом случае уравнение % называется предельно рекуррентным, В частности, если if ip+vj , где уравнение рекуррентно, а О, то как легко проверить, уравнение ц»о предельно рекуррентно.
